0 a a determinare la forma di Jordan e la matrice di cambio da base, al variare di a si discuta la stabilità di F al variare di a

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1 Compito di SISTEMI E MODELLI 09/02/8: PARTE on è ammesso l uso di libri, quaderni o calcolatrici programmabili. Le risposte vanno giustificate. Saranno rilevanti per la valutazione anche l ordine e la chiarezza di esposizione. Consegnare solo la bella copia. LE SOLUZIOI DELLA PARTE E QUELLE DELLA PARTE 2 VAO COSEGATE SU FOGLI PROTOCOLLO DISTITI Ex.. [5 pti Un sistema di irrigazione è costituito dal terreno, un serbatoio di irrigazione ed un serbatoio di recupero, ed è soggetto alle seguenti regole il serbatoio di recupero è alimentato da un flusso che proviene dal terreno, proporzionale alla quantità di acqua nel terreno secondo un coefficiente a =, ed alimenta il serbatoio di irrigazione con un flusso proporzionale alla quantità di acqua nel serbatoio di recupero secondo un coefficiente b = il serbatoio di irrigazione alimenta il terreno con un flusso proporzionale alla quantità di acqua nel serbatoio stesso, secondo un coefficiente non costante, ma inversamente proporzionale alla quantità d acqua nel terreno secondo un coefficiente c = (in pratica, un misuratore di umidità del terreno controlla il flusso entrante, di modo che più il terreno è umido, meno acqua lo irrighi) Si scriva un modello di stato (non-lineare) per tale sistema, evidenziando la sua struttura compartimentale, dove l uscita y rappresenta l acqua totale presente nel sistema. Si determini infine il punto di equilibrio del sistema corrispondente ad y(0) = 8. Ex.2. [4 pti Dato il sistema, dipendente da un parametro reale a seguente a 0 a(a ) ẋ = 0 a 0 x 0 a a determinare la forma di Jordan e la matrice di cambio da base, al variare di a si discuta la stabilità di F al variare di a Ex.3. [5 pti Dato il sistema Σ, dipendente da un parametro reale a x (t + ) = ax (t) + ( a)x 3 (t), x 2 (t + ) = ax 3 2(t) el suo linearizzato nell intorno di x eq = 0, sia Σ LI, si studi la stabilità di x eq = 0 al variare di a reale, quando possibile, ricorrendo all analisi degli autovalori (sia per Σ che per Σ LI ) all equazione di Lyapunov (solo per Σ LI ), utilizzando Q = nei casi critici (solo per Σ), alla funzione di Lyapunov V (x) = x 2 + x2 2 [ b 0 con b scelto opportunamente 0 Ex.4. [4 pti Dato il compartimentale descritto dal grafo, con uscita y = x 5 (Attenzione: le frecce del nodo 3 sono errate, e sono tutte USCETI, non entranti) u(t)" 2" 3" 4" 5" y(t)" si determinino le matrici K, G, H si determino tutti i chiusi, in particolare il massimale e minimali si determinino tutti i punti di equilibrio sapendo che x(0 ) = 0 e che u(t) = δ(t), si determini y(+ )

2 Compito di SISTEMI E MODELLI 09/02/8: PARTE 2 on è ammessa la consultazione di libri o quaderni e l uso di calcolatrici programmabili. Le risposte vanno giustificate. Saranno rilevanti per la valutazione anche l ordine e la chiarezza di esposizione. Consegnare solo la bella copia. LE SOLUZIOI DELLA PARTE E QUELLE DELLA PARTE 2 VAO COSEGATE SU FOGLI PROTOCOLLO DISTITI CO LA PARTE 2 COTEUTA I O PIU DI 4 FACCIATE Ex.5. [4 pti Dato il sistema compartimentale descritto dal grafo, supponendo che sia x(0 ) = 0, u(t) = δ(t) e y(t) = x 2 (t), si discuta la sua identificabilità a priori. Ex.6. [5 pti Si consideri il seguente modello che descrive la cinetica di eliminazione renale di un farmaco y i = 2Ad2 i 2A + B + ɛ i > 0 dove ɛ i sono variabili aleatorie Gaussiane con componenti indipendenti, a media nulla e varianza α. Sono disponibili le seguenti misure: (d, y ) = (, 2); (d 2, y 2 ) = ( 2, ) si calcoli il valore di α per il quale la varianza dello stimatore a massima verosimiglianza del parametro A sia pari a 5; si calcoli la stima a massima verosimiglianza dei due parametri A e B del modello con α fissato al valore trovato al punto precedente. Ex.7. [6 pti Si considerino variabili aleatorie discrete x, x 2,..., x indipendenti ed equidistribuite, con: Si sa che E[x i = V ar(x i ) = λ. P rob(x i = x λ) = λx x! e λ. Si calcoli la stima a massima verosimiglianza di λ (λ ML ); si verifichi l efficienza dello stimatore λ ML. 2

3 Soluzione Ex.. Indicando con x, x 2, x 3 l acqua rispettivamente nel terreno, nel serbatoio di irrigazione en quello di recupero, le equazioni sono del tipo ẋ = x x 2 x, ẋ 2 = x x 2 + x 3, ẋ 3 = x x 3, y = x + x 2 + x 3 che possono essere riscritte in forma pseudo-lineare (nel senso che la matrice F dipende da x) come x 0 ẋ = 0 x x, y = [ x 0 che evidentemente corrisponde ad un compartimentale chiuso (anche se non-lineare), e si ha facilmente ẏ = 0 che implica y(t) = y(0) = 8 (rimane costante nel tempo). La ricerca dei punti di equilibrio conduce facilmente a x 2 = x 2, x 3 = x, x = qualsiasi dei quali l unico compatibile con y(t) = 8 si ottiene risolvendo x 2 +2x 8 = 0, che conduce alle soluzioni x = 4 (priva di senso) ed x = 2, da cui x eq = [ T Soluzione Ex.2. La matrice è triangolare a blocchi con sulla diagonale un blocco pari ad [ a ed un altro blocco a sua volta triangolare con a sulla diagonale, per cui ha λ = a con ν = 3. Se a = 0, la matrice è nulla ed è quindi già in Forma di Jordan (3 miniblocchi con λ = 0) e quindi F J = F, T = I. Se invece a 0, si ha che ker(f ai) è generato dall unico vettore e se a, mentre se a = è generato da e, e 3. el primo caso abbiamo necessariamente un unica catena di autovettori generalizzati lunga 3, mentre nel secondo una lunga 2 ed una lunga. Valutando (F ai) 2 el suo ker, si scopre che esso è generato da e, e 3 nel primo caso, mentre ovviamente esso consiste di tutto lo spazio di stato se a =. Quindi le catene sono, ad esempio e 2 ae 3 a 2 (a )e (se a 0, ), e 2 e 3, e (se a = ) da cui facilmente a 2 (a ) 0 0 a 0 T = 0 0 F J = T F T = 0 a (se a 0, ) 0 a a T = 0 0 F J = T F T = 0 (se a = ), T = I, F = F J = 0 (se a = 0) Ora, se a > 0 c è instabilità (autovalori positivi), se a < 0 stabilità asintotica (autovalori negativi), se a = 0 l autovalore nullo ha molteplicità unitaria nel polinomio minimo, quindi c è stabilità semplice ma non asintotica. Soluzione Ex.3. Il linearizzato è caratterizzato da [ a 0 F = 0 0 λ = 0, a per cui stabilità asintotica per a < enstabilità per a > (per entrambi i sistemi). ei casi a = ± si conclude per la stabilità semplice del lineare, e nulla si può dire per il non-lineare (caso critico). Risolvendo Lyapunov (per Σ LI ) si ottiene [ [ P F F b 0 x y P F = Q, Q =, P = x( a 2 ) = b, y = 0, z = 0 y z el caso a < basta scegliere b = per ottenere P, Q > 0 e quindi la stabilità asintotica. el caso a > nulla si può dire, comunque si scelga b, ma nel caso a = si riesce ad ottenere almeno una soluzione (in realtà infinite) se e solo se b = 0. Infatti in tal caso ( a = e b = 0) P = [ x 0 0, x = qualsiasi 3

4 Ma la scelta x > 0 (ad esempio x = ) rende P > 0, Q 0, da cui la stabilità almeno semplice e per Krasowskii solo semplice, in quanto = ker(q) = span(e ), ed è facile vedere che ci sono infinite traiettorie (x (t) = x 0 se a =, x (t) = ( ) t x 0 se a =, per ogni x 0, ed x 2 (t) = 0) dentro. Usando la V (x) proposta nei casi critici (a = ±) si ottiene V (x) = x 2 2( x 4 2) 0 se a =, V (x) = 4x 4 ( x 2 ) x 2 2( x 4 2) < 0 se a = Quindi nel secondo caso (definita negativa in un intorno di x = 0) si ha la stabilità asintotica, nel primo almeno quella semplice, ma anche in questo caso Krasowskii porta facilmente a concludere per la stabilità solo semplice. Soluzione Ex.4. La matrici sono facilmente le seguenti K = , G = 0 0, H = [ Con le frecce sbagliate (entranti) le matrici sarebbero state diverse, non ci sarebbe stato alcun chiuso, alcun punto di equilibrio diverso da x = 0, e sarebbe ovviamente stato y(+ ) = x(+ ) = 0. Con le frecce corrette, il chiuso massimale è facilmente (, 2, 4, 5), quelli minimali (, 2) e (4, 5), e non ci sono altri chiusi. I punti di equilibrio sono combinazioni lineari a coefficienti non-negativi dei punti di equilibrio corrispondenti ai chiusi minimali, vale a dire v = [ T, v 2 = [ T el compito originario, anche la posizione dell ingresso sarebbe stata sul nodo 3 e non 2 (con ovvie ripercussioni sulla matrice G). L effetto dell impulso sarebbe stato quello di rendere x(0 + ) = [ T, dopodichè il nodo 3 si svuota, el suo contenuto viene equamente distribuito tra esterno, chiuso minimale e chiuso minimale 2, vista l uguaglianza dei relativi coefficienti di flusso. Pertanto 3 è il contenuto asintotico di ciascun chiuso minimale, e quindi x(+ ) = 6 [ 0 T y(+ ) = 6 Invece, nell esercizio proposto con tale figura sbagliata, quello che cambia è x(0 + ) = [ T, x(+ ) = 2 [ T y(+ ) = 0. Soluzione Ex.5. Si ha θ θ 2 0 K = θ (θ 2 + θ 3 ) 0, G = 0, H = [ θ 3 θ 4 0 K è triangolare a blocchi, e dalla struttura di G, H solo il primo blocco 2 2 viene coinvolto nel calcolo della funzione di trasferimento, che risulta pertanto [ [ s + θ θ W (s) = [ 0 2 θ = θ s + (θ 2 + θ 3 ) 0 s 2 + s(θ + θ 2 + θ 3 ) + θ θ 3 da cui il sommario esaustivo θ, θ + θ 2 + θ 3, θ θ 3. Dalla prima abbiamo il valore di θ, ed ora dalla terza anche quello di θ 3, e questi due valori permettono il calcolo univoco anche di θ 2 dalla seconda. Tuttavia, θ 4 non appare mai, quindi il sistema non è identificabile a priori. In effetti, θ 4 apparirebbe nel polinomio caratteristico, ma causa cancellazione zero/polo del fattore (s + θ 4 ), tale parametro non appare in W (s). Soluzione Ex.6. Possiamo riformulare il problema come una regressione lineare in quanto il modello puo essere riscritto nel seguente modo: y i = A(2 2) + B + ɛ i, [ [ [ [ 0 A 2 α 0 da cui è semplice ricavare: Θ =, θ =, y =, Σ =. La matrice della covarianza 2 B 0 α/4 dell errore di stima è data da: (Θ T Σ Θ) = α [

5 Da cui si ottiene: α = 20/7. Riguardo al primo punto, e stata ritenuta corretta anche la seguente interpretazione del modello delle misure: y i = 2Ad2 i 2A + B + ɛ i, > 0. Anche in questo caso possiamo riformulare il problema come una regressione lineare in quanto il modello puo essere riscritto nel seguente modo: da cui è semplice ricavare: Θ = dell errore di stima è data da: Da cui si ottiene: α =. Quindi Σ = I. [ 0, θ = 2 y i = A(2 2) + B + ɛ i [ A, y = B (Θ T Σ Θ) = α [ 2 [ 5 2 2, Σ = In ogni caso la stima a massima verosimiglianza dei due parametri si ottiene risolvendo: [ [ ˆθ = = (Θ ÂˆB T Σ Θ) Θ T Σ 3 y = 2 Soluzione Ex.7 La verosimiglianza risulta: Da cui: la derivata è: ponendola uguale a zero: l λ = L(λ x) = i= λx i x i! e λ, x i > 0 log( λx i x i! ) + λ = log(λ) x i i= l k λ = λ i= x i + i= ˆλ = i= x i i= [ α 0. La matrice della covarianza 0 α log( x i! ) + λ che è effettivamente punto di minimo visto che la derivata seconda è > 0: 2 l k = λ 2 λ 2 i= x i Per verificare l efficienza dello stimatore calcoliamo sia la varianza che l inversa della matrice di informazione di Fisher: i= V ar( x i ) = λ Per Fisher: E[( L(λ x) λ ) 2 = E[ λ 2 x i = λ Poichè la varianza della stima coincide con l inversa della matrice di Fisher, lo stimatore è efficiente. i= 5