Compito di SISTEMI E MODELLI 24/06/19: PARTE 1

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1 Compito di SISTEMI E MODELLI 4/6/9: PARTE on è ammesso l uso di libri, quaderni o calcolatrici programmabili Le risposte vanno giustificate Saranno rilevanti per la valutazione anche l ordine e la chiarezza di esposizione Consegnare solo la bella copia LE SOLUZIOI DELLA PARTE E QUELLE DELLA PARTE VAO COSEGATE SU FOGLI PROTOCOLLO DISTITI Ex [4 pti] Tre regioni sono soggette a fenomeni di immigrazione/emigrazione Indicando con x i (t, i =,, 3 il numero di soggetti nelle regioni,, 3, rispettivamente, all inizio dell anno t esimo, le migrazioni sono soggette alle seguenti regole ogni anno, solo una percentuale (della popolazione presente all inizio dell anno b ( < b < rimane nella regione, una percentuale a ( < a < b emigra verso la regione e la rimanente percentuale emigra verso la regione 3 ogni anno, una percentuale (della popolazione presente all inizio dell anno c ( < c < emigra dalla regione 3 alla regione È richiesto un modello di stato (a tempo discreto per descrivere la dinamica delle popolazioni delle 3 regioni, e di stabilire cosa accade per t + a tali popolazioni, supponendo di conoscere x( = [ x ( x ( x 3 ( ] T Ex [5 pti] Dato il sistema ẋ = ax x ẋ = x + ax ẋ 3 = ax 3 x 3 3 si discuta la stabilità dell equilibrio nell origine, al variare del parametro reale a, ricorrendo a analisi degli autovalori (SIA per il non-lineare CHE per il linearizzato equazione di Lyapunov con Q = ai per il linearizzato V (x = x + x + x 3 per il non-lineare Ex3 [5 pti] Dato il sistema x(t + = F x(t, y(t = Hx(t, F = è richiesto, al variare del parametro reale a, di [ ] a a, H = [ ] a calcolare forma di Jordan F J di F e matrice T di cambio di base (O occorre la verifica che T F T = F J usando la trasformata Zeta, calcolare y(t corrispondente ad x( = [ ] T ragionando nel dominio del tempo, calcolare y(t corrispondente ad x( = [ Ex4 [4 pti] Dato il compartimentale descritto dalle matrici F =, G = tracciare il grafo corrispondente individuare TUTTI i chiusi, ed in particolare quello massimale e quelli minimali individuare i punti di equilibrio (con ingresso nullo calcolare x(+, suppondendo x( = [ 3 ] T e u(t = 3 (costante ] T

2 Compito di SISTEMI E MODELLI 4/6/9: PARTE on è ammessa la consultazione di libri o quaderni e l uso di calcolatrici programmabili Le risposte vanno giustificate Saranno rilevanti per la valutazione anche l ordine e la chiarezza di esposizione Consegnare solo la bella copia LE SOLUZIOI DELLA PARTE E QUELLE DELLA PARTE VAO COSEGATE SU FOGLI PROTOCOLLO DISTITI CO LA PARTE COTEUTA I O PIÙ DI 4 FACCIATE Ex5 [4 pti] Si consideri il sistema (condizioni iniziali x( =, ingresso u(t = δ(t ẋ (t = ax (t + bx (tx (t + u(t ẋ (t = bx (t + u(t y(t = x (t + x (t È richiesto di studiare l identificabilità a priori con il metodo di Taylor (fermandosi alla derivata seconda studiare l identificabilità a priori del sistema linearizzato (attorno a x eq = con il metodo della funzione di trasferimento Ex6 [5 pti] Si consideri il seguente modello contenente i parametri incogniti θ, θ, θ 3, θ 4 : y = aθ + aθ + bθ 3 + bθ 4 + e y = aθ + aθ + bθ 3 + bθ 4 + e y 3 = bθ + bθ + aθ 3 + aθ 4 + e 3 y 4 = bθ + bθ + aθ 3 + aθ 4 + e 4 dove le e i sono tutte variabili aleatorie Gaussiane mutuamente indipendenti con media nulla e varianza pari a per i =, e pari a se i = 3, 4 Si assuma di aver osservato le misure y =, y =, y 3 =, y 4 = 4 Sia θ il vettore che contiene i quattro parametri incogniti Sia a =, b = Si calcoli la stima a massima verosimiglianza del vettore θ Sia a =, b = Si calcoli l MSE associato allo stimatore a massima verosimiglianza di θ Sia a =, b = Si calcoli l MSE associato allo stimatore a massima verosimiglianza di θ Ex7 [6 pti] Si considerino variabili aleatorie discrete y, y,, y indipendenti e di densità geometrica In particolare, esse possono assumere valori k =,, e la probabilità di assumere valore k è definita da dove < θ < p(y i = k = θ( θ k, k =,, Ricavare l espressione dello stimatore ˆθ a massima verosimiglianza di θ; Sia grande Ricavare un intervallo di confidenza al 95% asintotico (funzione di assumendo la stima a massima verosimiglianza pari a ˆθ = 5 Suggerimento: vale l uguaglianza + kθ( θ k = θ k=

3 Soluzione Ex Trattasi banalmente di un sistema lineare, descritto da b x(t + = F x(t, F = a c, λ(f = b,, c a b c Essendoci due autovalori positivi inferiori ad ed uno unitario, il sistema è semplicemente stabile, e non si può che avere convergenza verso un punto di equilibrio (proporzionale all autovettore e Inoltre è evidente che la popolazione TOTALE rimane immutata, in quanto ci sono solo spostamenti da una regione all altra (ciò si vede matematicamente notando che [ ] F = [ ], da cui y(t+ = [ ] x(t+ = [ ] F x(t = [ ] x(t = y(t, avendo indicato con y(t la somma delle 3 popolazioni Di conseguenza non può che essere x(+ = [ x ( + x ( + x 3 ( ] T cioè asintoticamente tutti i soggetti sono emigrati nella regione Soluzione Ex Il sistema linearizzato ha matrice diagonale a blocchi [ ] [ ] F a F =, F F =, F a = [ a ] da cui facilmente i 3 autovalori distinti a, a ± i, la cui parte reale dipende dal segno di a Quindi stabilità asintotica (per ETRAMBI i sistemi se a <, solo semplice per il LI e CASO CRITICO per il O-LI se a =, instabilità (per ETRAMBI i sistemi se a > Risolvendo Lyapunov con Q = ai si trova facilmente P = I (se a, P = bi, b R (se a =, quindi infinite soluzioni da cui a < implica P, Q > e la stabilità asintotica, a = implica (scegliendo ad esempio b = P >, Q = e quindi stabilità almeno semplice, ma in realtà SOLO semplice (o con Krasowskii, o notando che Q = implica V (x(t = x(t costante, o notando che essendoci infinite soluzioni O può esserci la stabilità asintotica, infine a > implica che P >, Q < che non corrisponde a casi noti, quindi O si può concludere nulla (ci sarebbe comunque instabilità da V (x >, V (x = x T Qx > Infine, si ha V (x >, V (x = a(x + x + x 3 x 4 3 = a(x + x + x 3(a x 3 Se a <, risulta in un intorno dell origine V < (quindi stabilità asintotica, mentre V > (quindi non si può concludere nulla, in realtà si avrebbe instabilità se a >, ed infine V se a =, con = span(e, e, da cui la stabilità ALMEO semplice Poichè sostituendo la condizione di appartenenza ad il sistema riduce a ẋ = x, x = x, x 3 = che trattasi di un sistema lineare, e si vede facilmente che esso ammette infinite traiettorie (circolari nel piano (x, x, quindi dentro, da cui per Krasowskii la stabilità SOLO semplice Soluzione Ex3 Calcolando F ai (unico autovalore doppio λ = a, si vede che se a = siamo già in Forma di Jordan (matrice diagonale, quindi F J = F, T = I, mentre se a solo e è autovettore, e possiamo ad esempio individuare la catena e (F aie = ae, da cui [ ] [ ] a a F J =, T = (se a, F a J = F, T = I (se a = Da Y (z = H(zI F z zx( = a (z a y(t = atat = ta t (se a, mentre y(t = (se a = Infine, da si trova facilmente [ F t = T FJT t a t ta = t ] a t (se a, mentre F t = [ δ(t ] δ(t (se a = y(t = HF t x( = ( + ta t (se a, mentre y(t = δ(t (se a = 3

4 Soluzione Ex4 Il grafo è in figura 3 u Si vede che solo 4, 6 comunicano verso l esterno, per cui (,, 3, 5, 7 è il chiuso massimale I chiusi sono tanti, ne segue la lista (,, 3, 5, 7, (, 3, 5, 7, (, 3, 5, (, 3, 5, (3, 5, 7, (3, 5, (5, (7 di cui (5 e (7 sono i due minimali, da cui i punti di equilibrio x eq = ae 5 + be 7, a, b Per determinare x(+ possiamo ragionare separatamente su (4, 6 e (,, 3, 5, 7, che non sono collegati Il contenuto totale nel chiuso massimale è 7 all inizio, e tale rimane per t +, ma non può che distribuirsi in accordo ai punti di equilibrio, quindi solo (5, 7 saranno non-vuoti E siccome (7 è alimentato solo da (, il suo contenuto sarà + = (il contenuto iniziale sommato a metà del contenuto di (, visto che questi alimenta in egual misura (3, 7, e per differenza 5 dovrà contenere 5 = 7 Per quel che riguarda (4, 6, a regime dal nodo 6 esce il flusso x 6, mentre entra il flusso x 4, da cui x 4 = x 6 el nodo 4 entra invece il flusso u = 3 nonchè x 6, mentre esce x 4, da cui x 4 = x Quindi x 4 = 6, x 6 = 3 per t + In conclusione x(+ = [ ] T Soluzione Ex5 Si ha facilmente x ( + = x ( + =, come conseguenza dell ingresso impulsivo Ora y = x + x, ẏ = ẋ + ẋ = ax + bx x bx, ÿ = ( a + bx ẋ + (bx b x = ( a + bx ( ax + bx x + (bx b( bx = a x + b x + x x (b x b ab da cui, valutando le precedenti relazioni in t = +, il seguente sommario esaustivo (s, s, s 3 : s = y( + =, s = ẏ( + = a + b b = a, s 3 = ÿ( + = a + b ab = (a b Quindi a è univocamente determinabile dal sommario esaustivo (il testo richiede di limitarci alla derivata seconda, mentre b richiede la risoluzione di un equazione di secondo grado, che in generale ammette due soluzioni Quindi si può dedurre soltanto la (AL- MEO locale identificabilità (ALMEO, in quanto non è escluso che l identificabilità possa diventare globale andando avanti con le derivate successive Il linearizzato è invece caratterizzato da F = [ a b ], G = [ ], H = [ ] W (s = s + a + s + b = s + (a + b s + (a + bs + ab ed il sommario esaustivo consiste di s =, s = a + b, s 3 = ab Siamo nella classica situazione (equazione di secondo grado in cui le due radici a, b possono essere identificate solo a meno di uno scambio dei loro valori, per cui nuovamente si ha (questa volta SOLO locale identificabilità Soluzione Ex6 Definendo G = ( la matrice di regressione può essere scritta come ( ag bg Φ = bg ag el primo caso (a =, b =, Φ si riduce alla matrice a blocchi ( G Φ = G 4,

5 Applicando Gauss-Markov, e considerando che con y = ( 4 otteniamo facilmente G = 3 ( ˆθ = Φ y = ( G G, y = Ricaviamo ora l MSE associato allo stimatore a massima verosimiglianza che coincide con la sua varianza alla luce del teorema di Gauss-Markov La matrice di covarianza dell errore è diagonale e pari a Σ = diag{ }, mentre la matrice di covarianza dello stimatore è ( Φ Σ Φ : risulta anch essa a blocchi e pari a ( (G G (G G Si ha (G G = 9 ( Si conclude allora facilmente che l MSE (la traccia della covarianza dello stimatore risulta pari a 3/9 = /3 el secondo caso (a =, b =, Φ si riduce alla matrice a blocchi ( G Φ = G con la matrice di covarianza dello stimatore data da ( (G G (G G La somma delle diagonali (traccia risulta immutata rispetto a prima, quindi l MSE risulta ancora pari a 3/9 = /3 Soluzione Ex7 Riguardo al primo punto, la meno log-verosimiglianza è data da: ( n ( l θ (y = log θ( θ y i = log(θ y i log( θ Si ha l θ θ = θ + i= y i, θ da cui otteniamo facilmente lo stimatore a massima verosimiglianza i= ˆθ = i= y i i= Riguardo al secondo quesito, lo stimatore ˆθ è asintoticamente Gaussiano ed efficiente e quindi è asintoticamente unbiased e Var ˆθ I(θ, dove I(θ è la matrice di Fisher di una variabile geometrica y i Si ha [ I(θ = E l θ θ = E θ + y ] i ( θ 5

6 Dal suggerimento sappiamo che Ey i = θ, quindi Si ha allora I(θ = θ + θ ( θ = θ ( θ Var ˆθ θ ( θ L intervallo di confidenza richiesto risulta allora ˆθ ˆθ ( ˆθ, ˆθ ˆθ + ( ˆθ (, + 6