Struttura del corso. Modelli Matematici Ambientali Annuale A.A. 2014/2015. Mastroeni/Cioni (Dipartimento di Informatica/Scuola Normale Superiore)

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1 Annuale A.A. 2014/2015 Mastroeni/Cioni (Dipartimento di Informatica/Scuola Normale Superiore) Struttura del corso Primo semestre parte propeduetica Secondo semestre Ritardatari approccio basato su problemi concreti modelli come ausili a strumenti formali definizioni precise per raffinare l'intuizione legame stretto fra aspetti formali e modellistici programma di Modellistica Ambientale (6 crediti) possibilità di progetto + scritto e orale su programma A. A: 2013/2014 accesso agli appelli in corsia protetta fino almeno a Dicembre 2015 Parte propedutica Prof Acuistapace Lezione 18/02 - A.A.2014/2015 argomenti di matematica (anche tosti) casi generali (ad esempio, vettori in R n ) Integrazione fra le due parti come vincoli come metodo per la predisposizione degli scritti (prove intermedie incluse) per la valutazione degli scritti (vedi sopra) per la valutazione degli orali per la determinazione del voto finale in presenza anche di un progetto individuale

2 Lezioni (Lunedì mattina, Mastroeni) Esercitazioni (Mercoledì pomeriggio, Cioni e Mastroeni) Laboratorio (Venerdì pomeriggio, Cioni e Mastroeni) Obiettivi: fondere l'approccio formale/matematico con quello simulativo nella descrizione e soluzione di problemi reali all'interno di procedure iterative di raffinamento e astrazione in modo da produrre modelli dinamici anche in collaborazione con altre figure professionali e con i cosiddetti stakeholders (o portatori di interessi) che sopportano costi e benefici di problemi e soluzioni Uso di strumenti Software (Vensim PLE 5.11, Lotka Volterra, Octave) di tipo freeware accessibili in rete o distribuiti dai docenti

3 Punto di partenza Il mondo reale è composto da un elevato numero di sistemi complessi interagenti caratterizzati da elementi strutturali e funzionali in comune la cui analisi può essere condotta utilizzando metodi formali basati su: tecniche analitiche (soluzioni esatte) tecniche numeriche/di simulazione (soluzioni accurate ma non esatte). Analisi: studio della struttura di un sistema e studio del suo comportamento dinamico (andameti nel tempo di certe variabili significative) sotto certe assunzioni e condizioni date. L'analisi fa uso di modelli per cui si basa su un certo numero di passi di astrazione, di formalizzazione e di revisione.

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5 Definizione Uno dei nostri obbiettivi è quello di analizzare metodi e modelli per la comprensione della dinamica di problemi ambientali Parole chiave nella definizione (imprecisa, troppe parole chiave indefinite) analisi, metodo, modello, comprensione, dinamica, problema, ambiente Quando si può dire di aver capito? Comprensione legata alla complessità dei modelli. Abbiamo bisogno di: concetti base della modellazione di sistemi dinamici; applicare tali concetti a sistemi ambientali e alle dinamiche che guidano la loro evoluzione.

6 Scopo Nel definire un modello a partire da una certa realtà (separata da tutto ciò che ne rimane fuori e che rappresenta il mondo esterno) si utilizza un processo guidato da uno scopo. Questo scopo è quello di risolvere un problema ovvero una situazione critica, indesiderata, percepita come tale da un insieme di attori/portatori di interesse (stakeholders) e da un insieme di decisori politici (che hanno il compito di prendere le decisioni operative). Uno dei nostri scopi è quello di dare un significato ai termini utilizzati nelle definizioni precedenti facendo uso di modelli su cui applicare politiche. Una politica è un insieme di manipolazioni delle variabili manipolabili allo scopo di ottenere compartamenti desiderati.

7 Per capire bene il ruolo dei modelli è necessario parlare di: utenti U di un modello, creatori C di un modello. in genere (ma non sempre) U C = Ø I membri di U vedono un modello come dato e lo manipolano per esplorare le relazioni fra le variabili e le ipotesi base. I membri di U usano modelli esistenti per risolvere problemi ambientali per cui: devono conoscere la struttura di un modello e quali ipotesi sono state fatte per la sua defiinizione; devono sapere quali domande fare al modello e come interpretare le risposte che il modello dà. I membri di C sviluppano modelli per analizzare specifici problemi ambientali per cui: devono essere in grado di usare sottostrutture generiche, paradigmatiche che [ri]producono comportamenti noti applicandole a fenomeni/problemi ambientali diversi in modo da connettere queste strutture fra di loro e sviluppare modelli più compessi, più versatili e più potenti. L'approccio si basa su passi successivi ripetuti che prevedono: l'individuazione delle componenti chiave o di base(strutture o variabili), la definizione delle relazioni reciproche fra le componenti chiave, l'identificazione di andamenti tipici di alcune delle variabili.

8 Esempio Analisi della concentrazione di un inquinante sversato in un ambiente acquifero superficiale (lago, fiume). Si vuole determinare la legge secondo la quale varia nel tempo (e se possibile nello spazio) la concentrazione dell'inquinante nell'ambiente dato. Almeno due possibilità: inquinante + ambiente + mondo esterno (origine dell'inquinante e modalità di sversamento) solo inquinante + mondo esterno Nel primo caso la nostra realtà sono il lago e l'inquinante I, il sistema (che deve essere separato dal mondo esterno) sono le variabili caratteristiche del lago (astrazione sulla forma, lo si pensa conico) e dell'inquinante mentre il modello è costituito dalle relazioni fra tutte le variabili. Domanda: ha senso questa complessità? Una volta ottenute le equazioni differenziali del modello le si risolve per ottenere una espressione per I(t) oppure per I(t,v) se con v si individua la variabile volume che ci permette di capire come, per uno stesso t, varia la concentrazione dell'inquinante in punti distinti del lago. Nel caso di un fiume si procede in modo analogo (con le necessarie modifiche).

9 Nel secondo caso ci si focalizza solo sull'inquinante per cui: si introducono le variabili (definizione del sistema): I(t), I(0), T (tempo medio di decadimento dell'inquinante in acqua), sversamento (ovvero modalità di sversamento dell'inquinante nell'ambiente) si definiscono le relazioni fra le variabili (definizione del modello) (A) di/dt=sversamento-decadimento (B) decadimento=i/t (C) sversamento= g per t 0 altrimenti 0 (D) sversamento=g per t Î[0, t] altrimenti 0 Il mondo esterno interviene nel modello tramite le variabili sversamento e T Problemi aperti. Cosa amisura I(t)? grammi o moli di inquinante nell'ambiente all'istante t Che valori assume T? Che senso ha T? Come si ricava I(t) dalla (A)? Come si interpreta il risultato? Come lo si usa?

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11 Altro esempio: si vuole descrivere la dinamica di una popolazione caratterizzata da (si individua una realtà da descrivere e analizzare): una numerosità variabile nel tempo; il comparire di un certo numero di nuovi individui al'anno (nascite), lo scomparire di un certo numero di individui all'anno (morti). Per descrivere tale dinamica si definiscono un certo numero di variabili (individuazione del sistema) una variabile P che ci dà il numero di individui della popolazione di interesse ad ogni istante di tempo P(t) per t [0,T] con valore iniziale P(0), una variabile nascite che misura gli individui nati anno per anno, una variabile morti che misura gli individui morti anno per anno, una variabile TdN che misura il numero di individui nati per individuo per anno, una variabile TdM che misura il numero di individui morti per individuo per anno.

12 Modelli Matematici Ambientali Una volta introdotte le variabili è necessario definire le relazioni esistenti fra di loro mediante un certo numero di espressioni matematiche dimensionali. Tali relazioni individuano il modello. L'approccio più immediato consiste nello stabilire una relazione fra la variazione della popolazione e le cause di tale variazione dettagliando tali cause fino a coinvolgere tutte le variabili definite. Se una variabile non viene usata allora la si può scartare ma può anche capitare che sia necessario introdurre altre variabili per descrivere in modo migliore, più chiaro, più accurato una delle cause di variazione della popolazione. Una possibile soluzione è quella di definire una equazione differenziale del tipo: (1) dp/dt=nascite-morti con valore iniziale P(0) detteagliando poi i termini a secondo membro come: (2) nascite=p*tdn e (3) morti=p*tdm La soluzione per via analitica della (1) è una funzione P(t) che ci permette di valutare come la numerosità della popolazione varia nel tempo in funzione dei valori che possiamo far assumere ai parametri TdN e TdM (variabile esogene, implementano le politiche di gestione della natalità e della mortalità). Una soluzione alternativa consiste nel definire un modello su cui eseguire delle simulazioni per risolvere la (1) con metodi numerici.

13 Per ogni sistema/modello è bene avere chiare le semplificazioni adottate (e le relative motivazioni) in modo da interpretare correttamente i risulati che si ottengono dalle simulazioni. Nel modello di popolazione che stiamo descrivendo le principali semplificazioni fatte sono le seguenti: si trascura la presenza della distinzione fra maschi e femmine, si trascura il fatto che solo gli individui maturi (ovvero né troppo giovani né troppo vecchi) in genere si riproducono, si trascura la presenza di fasce di età cui appartengono gli individui e si trascura la dinamica di passaggio da una fascia d'età alla successiva, si ipotizza uno stesso TdM per maschi e femmine indipendentemente dalla fascia d'età, si ipotizza una sola causa di morte legata al parametro TdM.

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15 (1) morti=popolazione*tdm Units: unit/month (2) nascite=popolazione*tdn Units: unit/month (3) P0=10 Units: unit [0,1000,10] (4) Popolazione= INTEG (nascite-morti,p0) Units: unit (5) TdN=0.7 Units: 1/Month [0,1,0.01] (6) TdM=0.7 Units: 1/Month [0,1,0.01] Nei nostri modelli le variabili hanno tutte una unità di misura. Nelle equazioni le unità di misura dei due membri devono coincidere. L'analisi la si fa utilizzando equazioni dimensioali per le quali valgono le consuete regole dell'algebra. Nel caso della (1) si ha: ovvero [morti]=[popolazione]*[tdm] unit/month=unit * 1/Month

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17 Ricapitolando Due approcci (equazioni differenziali + tecniche analitiche di soluzione oppure modelli + simulazioni e tecniche numeriche di soluzione) Legami fra i due approcci. Si richiede che: le soluzioni analitiche corrispondano agli andamenti nel tempo delle variabili che si usano nei modelli; le deduzioni, predizioni che si fanno sugli andamenti delle variabili nei modelli siano confortate dagli andamenti effettivi ottenuti da simulazioni ripetute (fatte variando i parametri in modi significativi) e dalle soluzioni analitiche delle equazioni corrispondenti. Se le soluzioni analitiche non sono disponibili (per la complessità delle equazioni coinvolte) è in genere possibile usare tecniche approssimate (linearizzazioni) oppure procedere con ragionamenti di tipo qualitativo.