Capitolo 7. Settima lezione. 7.1 Introduzione

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1 Capitolo 7 Settima lezione 7.1 Introduzione Nei capitoli precedenti abbiamo presentato un certo numero di modelli contenenti livelli e flussi. In questi modelli i livelli presenti variano per effetto di flussi in ingresso o in uscita e le relazioni fra un flusso φ e un livello L sono descrivibili tramite equazioni che hanno la forma seguente 1 : L = φ (7.1) φ = k L (7.2) dove k individua una costante ad hoc sia come significato sia come unità di misura. Da quanto visto nel capitolo 2 sappiamo che tali equazioni hanno le seguenti soluzioni: L = L(0)e kt (7.3) φ = kl(0)e kt (7.4) dove L(0) rappresenta il valore iniziale del livello L. Se k < 0 la (7.2) identifica un flusso in uscita dal livello il cui valore decresce nel tempo, dal valore iniziale L(0), con una legge di tipo esponenziale. Se k > 0 il flusso φ è un flusso in ingresso al livello L per cui si ha una crescita esponenziale a partire dal valore L(0). La (7.3) e la (7.4) mostrano il legame stretto che esiste fra un livello e un flusso se questi sono in relazione mediante equazioni quali la (7.1) e la (7.2). In entrambi i casi di k > 0 e k < 0 il livello si modifica con un ritardo pari a: T = 1 k (7.5) 1 Come di consueto si usa il simbolo per indicare l operatore prodotto solo in quei casi in cui la sua omissione può dare luogo a qualche ambiguità di interpretazione. 318

2 7.2 Capitolo 7 Come si è visto nella sezione 2.10 il valore di T misura il tempo di crescita o di decrescita di un esponenziale e quindi il tempo medio di variazione di un livello o di un flusso. In questi casi, come vedremo meglio nella sezione 7.2, si parla di ritardi di tipo esponenziale. Ci sono casi in cui si vuole modellare il fatto che una certa quantità di materia (o anche una certa quantità di informazione) subisce in blocco un ritardo di una certa entità nel senso che arriva ad un punto di un diagramma di flusso al tempo t e si trasferisce al punto successivo al tempo t+ t. In questi casi si parla di ritardi di tipo pipeline. La metafora di un ritardo di tipo pipeline è quella del tapis-roulant che trasporta quanti di materia da un punto ad un altro in un tempo finito e perciò con un ritardo prefissato. Presenteremo i ritardi di tipo pipeline nella sezione 7.3. Nella sezione 7.4 presenteremo due esempi di interazione dei ritardi dei due tipi messi uno in cascata all altro. Si fa notare, infatti, che i due approcci sono in genere mutuamente esclusivi nel senso che nei modelli o si usano ritardi di tipo esponenziale o si usano ritardi di tipo pipeline. Può tuttavia capitare che alcune parti di un modello richiedano l uso di ritardi di tipo esponenziale mentre le parti restanti richiedano l uso di ritardi di tipo pipeline. In questi casi è bene avere chiare le tecniche utilizzabili per gestire le interazioni fra i due tipi di ritardo. Torneremo su queste ibridazioni nel capitolo 9 con esempi più complessi. 7.2 I ritardi di tipo esponenziale Per apprezzare le caratteristiche principali dei ritardi di tipo esponenziale si può iniziare dal modello di figura 7.1. Il modello di figura 7.1 contiene i due livelli L1 (con un contenuto iniziale L10 = 100) e L2 (inizialmente vuoto). In questo caso il primo livello si travasa nel secondo tramite un flusso definito mediante la seguente relazione: flux = L1 T (7.6) nella quale T rappresenta il tempo medio di permanenza nel livello L 1. L andamento dei due livelli è mostrato nella figura 7.2 mentre le relazioni descrittive del modello sono riportate qui di seguito. (01) FINAL TIME = 100 Units: Month [5,100,1] The final time for the simulation. (02) flux=l1/t 319

3 7.2 Capitolo 7 Figura 7.1: Due livelli con travaso (03) INITIAL TIME = 0 Units: Month The initial time for the simulation. (04) L1= INTEG (-flux,l10) (05) L10=100 [0,100,1] (06) L2= INTEG (flux,l20) (07) L20=0 [0,50,1] (08) SAVEPER = TIME STEP Units: Month [0,?] The frequency with which output is stored. (09) T=1.24 Units: Month [1,20,0.01] (10) TIME STEP = 1 Units: Month [ ,1, ] The time step for the simulation. Daun esame della figura 7.2edelle relazioni precedenti si vede che al modello sono associabili le seguenti equazioni differenziali: L 1 = L 1 T (7.7) 320

4 7.2 Capitolo 7 Figura 7.2: Andamenti dei livelli del modello di figura 7.1 (con il valore iniziale L 1 (0)) e: L 2 = L 1 T (7.8) (con il valore iniziale L 2 (0) = 0). Utilizzando tecniche note si ha che: - il livello L1 si svuota con un andamento del tipo e t T ovvero secondo la legge seguente L 1 = L 1 (0)e t T (7.9) - illivello L2si riempieconunandamento deltipo1 e t Tovvero secondo la legge seguente L 2 = L 1 (0)(1 e t T ) (7.10) - il contenuto di materia nel sistema è costante ovvero si ha la seguente equazione di bilancio L1 + L2 = L10 + l20 se si usa la notazione dei modelli sviluppati con Vensim. Tali relazioni caratterizzano fenomeni che variano con andamenti di tipo esponenziale e sostanzialmente continuano ad essere valide anche se il modello viene complicato come mostrato in figura 7.3. Nel modello di questa figura si ha che il livello L2, oltre ad avere un flusso in ingresso proveniente dal livello 321

5 7.2 Capitolo 7 L 1, ha un flusso in uscita caratterizzato da un ritardo R ovvero è descritto dalla seguente equazione differenziale: con il valore iniziale L 2 (0) = 0. L 2 = L 1 T L 2 R (7.11) Figura 7.3: Due livelli con travaso e perdita Figura 7.4: Andamenti dei livelli del modello di figura 7.3 Le relazioni caratteristiche di questo secondo modello sono elencate qui di seguito mentre gli andamenti dei due livelli sono mostrati nella figura 7.4. (01) FINAL TIME = 100 Units: Month [5,100,1] The final time for the simulation. (02) flux=l1/t (03) INITIAL TIME = 0 322

6 7.2 Capitolo 7 Units: Month The initial time for the simulation. (04) L1= INTEG (-flux,l10) (05) L10=100 [0,100,1] (06) L2= INTEG (flux-out,l20) (07) L20=0 [0,50,1] (08) out=l2/r (09) R=1 Units: Month [1,100,1] (10) SAVEPER = TIME STEP Units: Month [0,?] The frequency with which output is stored. (11) T=1 Units: Month [0.01,20,0.01] (12) TIME STEP = 1 Units: Month [ ,1, ] The time step for the simulation. Da un esame di tale figura si possono ricavare le seguenti considerazioni. (1) La legge di variazione del livello L 1 è identica a quella del caso precedente ovvero è ottenuta come soluzione della seguente equazione differenziale del primo ordine: per cui ha la forma seguente: L 1 = L 1 T (7.12) L 1 (t) = L 1 (0)e t T (7.13) (2) La legge di variazione del livello L 2 risente della presenza del flusso in uscita ovvero è ottenibile come soluzione della seguente equazione differenziale del primo ordine: L 2 = L 1 T L 2 R = L 1(0)e T t T L 2 R (7.14) 323

7 7.2 Capitolo 7 Utilizzando uno dei metodi visti nel capitolo 2 si può ricavare la seguente soluzione generale della (7.14): L 2 (t) = L 2 (0)e t R t R +L1 (0) T R (e T e t R ) (7.15) Nel nostro caso si ha L 2 (0) = 0 per cui la (7.15) assume la forma seguente: R t L 2 (t) = L 1 (0) T R (e T e t R ) (7.16) alla quale (se si pone R = T = 1) corrisponde l andamento di figura 7.4. Nel caso in cui sia R = T = 1 la (7.14) assume la forma seguente: alla quale corrisponde la seguente soluzione. L 2 = L 1 L 2 = L 1 (0)e t L 2 (7.17) L 2 (t) = L 2 (0)e t +L 1 (0)te t (7.18) Anche in questo caso il contributo del valore iniziale L 2 (0) si annulla rapidamente nel tempo per cui se si pone L 2 = 0 si ha: L 2 (t) = L 1 (0)te t (7.19) È facile vedere come la (7.19) goda delle seguenti proprietà: - ha un massimo per t = 1, - ha una andamento crescente per t < 1 e decrescente per t > 1, - ha la concavità verso il basso per t < 2 e verso l alto per t > 2 con un flesso in t = 2. Si è quindi visto come introdurre uno o più ritardi di tipo esponenziale in un modello definendone in modo opportuno la struttura. Da un esame di questi modelli sembrerebbe necessaria la presenza dei livelli per l implementazione dei ritardi di tipo esponenziale. Potrebbe, inoltre, sembrare che l unico modo di introdurre un ritardo di tipo esponenziale in un modello sia quello di definire un legame, del tipo quelli visti nei modelli precedenti, fra un flusso ed un livello. La figura 7.5 presenta due modi che possono essere usati per introdurre in un modello Vensim un ritardo di tipo esponenziale. Il modello etichettato come (a) fa uso di un livello L intermedio fra i due flussi in e out mentre 324

8 7.2 Capitolo 7 Figura 7.5: Due realizzazioni di un ritardo esponenziale nel modello etichettato come (b) i due flussi sono in collegamento diretto. In questi due modelli e nel modello di figura 7.7 il flusso etichettato come in (ma anche con le sue varianti in1 e inl) consiste in un impulso di cui è possibile modificare altezza, inizio e durata. La differenza che esiste fra i due modelli consiste essenzialmente nel fatto che in uno di questi compare esplicitamente un livello L che compare nell altro solo implicitamente come livello nascosto. In entrambi i modelli il legame fra i due flussi è ottenuto utilizzando una relazione quale la seguente: out=delay1i(in, R, init) nella quale, utilizzando la funzione propria di Vensim DELAY 1I, si assegna alla variabile out il valore della variabile in su cui si applica un ritardo di tipo esponenziale pari al valore del parametro R che coincide con il parametro delay time (vedi oltre). Il valore del parametro init moltiplicato per il valore del ritardo R rappresenta il valore iniziale del livello nascosto nella istruzione DELAY 1I. Di solito tale valore viene impostato a 0 tranne che in casi particolari. Dal manuale di Vensim ([17]) si ha che la versione P LE del programma mette a disposizione, per l implementazione di un ritardo di tipo esponenzia- 325

9 7.2 Capitolo 7 le, l istruzione DELAY 1(input, delay time) a cui corrispondono le istruzioni seguenti: DELAY1=LV/delay time LV=INTEG(input-DELAY1,input*delay time) nelle quali si ha LV(0) = input delay time. Oltre a tale istruzione Vensim mette a disposizione, per l implementazione di un ritardo di tipo esponenziale, anche l istruzione DELAY 1I(input, delay time, initial value) a cui corrispondono le istruzioni seguenti: DELAY1I=LV/delay time LV=INTEG(input-DELAY1I,initial value*delay time) nelle quali si ha LV(0) = initial value delay time. A parte l assenza del livello i due modelli mostrati in figura 7.5 sono equivalenti per quanto riguarda i due flussi in e out (denominati anche in1 e out1) come è possibile vedere dagli andamenti riportati nella figura 7.6 nella quale gli andamenti etichettati come (a) sono associati al modello (a) di figura 7.5 e gli andamenti etichettati come (b) sono associati al modello (b) della stessa figura. Come abbiamo già visto è possibile realizzare un ritardo del primo Figura 7.6: Andamenti dei flussi per il modello Vensim di figura 7.5 ordine in un modello Vensim mediante una struttura ad hoc mostrata in figura 7.7 la quale è detta realizzare un ritardo del primo ordine dal momento che la dinamica del livello viene descritta da una equazione differenziale del primo ordine. La figura 7.8 presenta gli andamenti dei flussi in e out(indicati come inl e outl) per il modello di figura 7.7. Confrontando tali andamenti con quelli della figura 7.6 si può verificare la perfetta corrispondenza fra i modelli, almeno per quello che riguarda i due flussi in (denominato anche in1) e out (denominato anche out1). Le relazioni caratteristiche di questi tre modelli sono elencate qui di seguito. 326

10 7.2 Capitolo 7 Figura 7.7: Realizzazione strutturale di un ritardo esponenziale (01) FINAL TIME = 10 Units: Month [5,100,1] The final time for the simulation. (02) height=50 [5,50,5] (03) in=height*pulse(start, width ) (04) in1=height*pulse(start, width ) (05) init=0 [0,0] (06) INITIAL TIME = 0 Units: Month The initial time for the simulation. (07) inl=height*pulse(start, width) (08) L= INTEG (in-out,l0) (09) L0=0 [0,100,1] (10) La= INTEG (inl-outl,la0) (11) La0=L0 (12) out=delay1i(in, R, init) (13) out1=delay1i(in1, R, init) 327

11 7.2 Capitolo 7 Figura 7.8: Andamenti dei flussi per il modello Vensim di figura 7.7 (14) outl=la/r (15) R=3 Units: Month [1,10,1] (16) SAVEPER = TIME STEP Units: Month [0,?] The frequency with which output is stored. (17) start=0 Units: Month [0,10,1] (18) TIME STEP = 1 Units: Month [ ,1, ] The time step for the simulation. (19) width=1 Units: Month Nei tre casi visti si parla di un ritardo esponenziale del primo ordine. Cosa accade se si mettono in cascata due o più ritardi esponenziali del primo ordine? In quali casi può essere necessario farlo? L uso di più ritardi del primo ordine in cascata permette di descrivere tutte quelle situazioni in cui si ha uno scivolamento di materia attraverso una serie di stadi in successione e tale scivolamento è governato dalla inerzia determinata dai tempi medi di transito da uno stadio al successivo condizionato dalla possibile presenza di perdite (ovvero flussi in uscita verso il mondo 328

12 7.2 Capitolo 7 esterno) da ciascuno stadio intermedio (ovvero, nel nostro caso, gli stadi L 1 e L 2 ), perdite che impoveriscono (fino anche ad annullarlo) il flusso di materia fra l ingresso al primo stadio e l uscita dall ultimo stadio della catena. Se si considera la relazione fra il flusso in ingresso al primo stadio e il flusso in uscita dall ultimo stadio si può dimostrare che n stadi in cascata equivalgono ad un ritardo di tipo esponenziale di ordine n al quale si può far corrispondere una equazione differenziale di ordine n. La figura 7.9 illustra il caso di tre ritardi di tipo esponenziale del primo ordine in cascata (realizzati con tre ritardi senza perdite intermedi ovvero senza ulteriori flussi in uscita) mentre la figura 7.10 mostra gli andamenti dei flussi in e out e dei tre livelli L 1, L 2 e L 3. Figura 7.9: Modello Vensim con tre ritardi del primo ordine in cascata Le equazioni di bilancio dei tre livelli sono le seguenti: L 1 = in L 1 R 1 (7.20) L 2 = L 1 R 1 L 2 R 2 (7.21) L 3 = L 2 R 2 L 3 R 3 (7.22) Utilizzando le tecniche viste nel capitolo 6 si possono trasformare le tre equazioni differenziali del primo ordine (7.20), (7.21) e (7.22) in una equazione differenziale del terzo ordine perfettamente equivalente la cui soluzione ci permette, ad esempio, di ricavare L 3 (t) e, in successione, L 2 (t) e L 1 (t). Il procedimento da seguire è il seguente: - si usa la (7.21) per ricavare L 1 R 1 ; - si deriva la (7.21) per ottenere una nuova relazione nella quale a primo membro compare il termine L 2 ; 329

13 7.2 Capitolo 7 Figura 7.10: Andamenti di flussi e livelli per il modello Vensim di figura si sostituiscono in questa nuova relazione tutti i termini in cui compare L 1 (o la sua derivata) con le relazioni equivalenti in cui compare solo L 2 o la sua derivata; - si arriva ad una equazione differenziale del secondo ordine in cui compare solo L 2 con le sue derivate. A questo punto si ripete il procedimento, con le necessarie variazioni, su questa nuova equazione insieme alla (7.22) in modo da ottenere una equazione differenziale del terzo ordine in cui compare solo L 3 con le sue derivate. Una volta nota una espressione per L 3 dalla (7.22) si può ricavare una espressione per L 2 e dalla (7.21) si può ricavare una espressione per L 1. In questo caso la trasformazione è ridondante dal momento che la (7.20) può essere risolta in modo autonomo dalle altre due equazioni differenziali dato che dipende solo da L 1. Una volta nota l espressione di L 1 (t) si può risolvere 330

14 7.2 Capitolo 7 la (7.21) da cui si ricava l espressione di L 2 (t). Si può infine risolvere la (7.22) da cui si ricava l espressione per L 3 (t). Il modello di figura 7.9 è perfettamente adatto al nostro scopo se, oltre alla relazione fra i flussi in e out, siamo interessati anche ad accedere ad almeno uno dei livelli intermedi. In questo caso i livelli intermedi rappresentano degli stadi significativi del flusso di materia soggetto a vincoli di conservazione nel senso che siamo interessati a conoscerne gli andamenti nel tempo allo scopo di controllarli e manipolarli agendo sui flussi tramite le variabili esogene. Se invece siamo interessati solo alla relazione fra i flussi in e out si può usare il modello di figura Figura 7.11: Modello Vensim sintetico per il ritardo del terzo ordine In questo modello si ha un solo livello L e la relazione fra i flussi in e out è ottenuta utilizzando la funzione seguente i cui parametri hanno i significati già visti per la funzione DELAY1I: out0=delay3i(in0, R, init) Dal manuale di Vensim ([17]) si ha che l istruzione DELAY 3I(input, delay time, initial value) viene implementata internamente (e quindi in modo trasparente all utilizzatore) mediante le seguenti istruzioni: DELAY3I=LV3/DL LV3=INTEG(RT2-DELAY3I, initial value*dl) RT2=LV2/DL LV2=INTEG(RT1-RT2,LV3) 331

15 7.2 Capitolo 7 Figura 7.12: Andamenti dei flussi per il modello Vensim di figura 7.11 RT1=LV1/DL LV1=INTEG(input-RT1,LV3) DL=delay time/3 dalle quali si vede come il valore delay time del ritardo si equiripartisca sulle uscite dei tre livelli mentre il valore iniziale initial value determini il valore iniziale del terzo livello LV 3 il cui valore iniziale definisce anche quello dei due livelli precedenti LV1 e LV2. Come nel caso del ritardo di tipo esponenziale si ha l istruzione DELAY 3(input, delay time) nella quale non compare il termine initial value e per la cui trattazione si rimanda al manuale del programma ([17]). La figura 7.12 mostra gli andamenti dei flussi in (etichettato come in0) e out (etichettato come out0) in questo caso. Il confronto fra gli andamenti di questa figura e gli andamenti dei flussi della figura 7.10 ci permette di verificare l equivalenza dei due modelli in relazione ai flussi suddetti. Va da se che non è possibile un confronto fra gli andamenti dei livelli non essendoci fra i due casi alcuna corrispondenza possibile. Come è facile immaginare si può seguire, infine, l approccio illustrato a proposito del ritardo esponenziale del primo ordine in modo da implementare il ritardo esponenziale del terzo ordine con tre blocchi in cascata ciascuno dei quali usa in modo appropriato la seguente istruzione: out=delay1i(in, R, init) 332

16 7.2 Capitolo 7 Esercizio Utilizzare l istruzione DELAY 1I(in, R, init) per implementare un ritardo esponenziale del terzo ordine utilizzando allo scopo tre livelli ed un flusso di ingresso di andamento arbitrario. Per facilitare l implementazione dei modelli esaminati in questa sezione si riportano qui di seguito le loro relazioni caratteristiche. (01) "12"=L1/R1 (02) "23"=L2/R2 (03) duration=1 Units: Month [0,4,0.2] (04) FINAL TIME = 100 Units: Month [5,100,1] The final time for the simulation. (05) in=50*pulse(start, duration) (06) in0=50*pulse(start, duration) (07) init=0 [0,0] (08) INITIAL TIME = 0 Units: Month The initial time for the simulation. (09) L= INTEG (in0-out0,0) (10) L1= INTEG (in-"12",0) (11) L2= INTEG ("12"-"23",0) (12) L3= INTEG ("23"-out,0) (13) out=l3/r3 (14) out0=delay3i(in0, R, init) (15) R=R1+R2+R3 Units: Month [1,10,1] (16) R1=1 Units: Month [0.01,5,0.01] 333

17 7.3 Capitolo 7 (17) R2=1 Units: Month [0.01,5,0.01] (18) R3=1 Units: Month [0.01,5,0.01] (19) SAVEPER = TIME STEP Units: Month [0,?] The frequency with which output is stored. (20) start=0 Units: Month [0,10,1] (21) TIME STEP = 1 Units: Month [ ,1, ] The time step for the simulation. 7.3 I ritardi di tipo pipeline Se i ritardi di tipo esponenziale sono associabili a fenomeni di scivolamento di materia (con vincoli di conservazione) i ritardi di tipo piepline sono associabili a fenomeni di trasferimento in blocco di materia (con identici vincoli) sotto forma di quanti di materia, almeno in prima approssimazione. In questi casi si hanno coppie di flussi (in e out) il secondo dei quali (out) è la copia ritardata del primo (in). Nei modelli che vedremo faremo sempre l ipotesi che il flusso in sia un impulso di altezza e durata variabili in modo da descrivere il concetto di quanto di materia da trasferire mediante copia ritardata. Questa copia ritardata è ottenuta utilizzando l istruzione seguente nella quale i parametri hanno i significati noti tranne che per la variabile init il cui valore rapresenta il valore del flusso out all inizio della simulazione: out=delay FIXED(in, R, init) Questo vuol dire che se in = f(t) si ha out = f(t + T) in modo che la trasformazione ha pienamente significato nel caso in cui la funzione f(t) sia assimilabile a un impulso (come è mostrato nella figura 7.14) o a una successione di impulsi. Un modello Vensim che implementa un ritardo pipeline pari ad R è mostrato in figura 7.13 mentre la figura 7.14 mostra gli andamenti dei due flussi in e out e del livello L in questo caso. Dalla figura 7.14 si vede che: - il flusso out è la copia del flusso in R unità di tempo dopo; 334

18 7.3 Capitolo 7 Figura 7.13: Modello Vensim per il ritardo di tipo pipeline Figura 7.14: Andamenti dei flussi e del livello per il modello Vensim di figura il livello L si carica con tutta la materia contenuta nel flusso di ingresso epoiiniziaascaricarsiquandosiiniziaaprodurreilflussooutperessere del tutto scarico quando questo flusso si è esaurito. Più in dettaglio si ha che il livello L mantiene un valore costante pari all area dell impulso in ingresso dal momento in cui questo termina fino al momento incui ilflusso inuscita allivello noniniziaadassumerevalorinonnulli ovvero fino allo scadere del ritardo R. Nel caso di figura si ha che tale intervallo di tempo ha una durata pari a R width = 3 1 = 2. Dato che il ritardo pipeline interessa direttamente i due flussi in e out ci si può aspettare che il livello L possa essere completamente rimosso dai modelli, rimozione che, del resto, è stata vista essere possibile anche nel caso del ritardo esponenziale. La figura 7.15 mostra un modello Vensim nel quale i due flussi in (etichettato come in1) e out (etichettato come out1) sono collegati direttamente fra di loro in modo che non sia necessario utilizzare il livello L mentre la figura 7.16 mostra l andamento dei flussi in e out in questo caso. Dal confronto 335

19 7.3 Capitolo 7 fra le figure 7.14 e 7.16 si vede chiaramente l equivalenza dei due modelli per quanto riguarda l andamento dei due flussi. Qui di seguito si riportano le Figura 7.15: Modello Vensim sintetico per il ritardo di tipo pipeline Figura 7.16: Andamenti dei flussi per il modello Vensim di figura 7.15 relazioni caratteristiche dei due modelli Vensim nel caso di un ritardo di tipo pipeline. (01) FINAL TIME = 100 Units: Month [5,100,1] The final time for the simulation. (02) height=1 [1,4,1] (03) in=height*pulse(start, width ) 336

20 7.3 Capitolo 7 (04) in1=height*pulse(start, width ) (05) init=0 [0,10,1] (06) INITIAL TIME = 0 Units: Month The initial time for the simulation. (07) L= INTEG (in-out,0) (08) out=delay FIXED(in, R, init) (09) out1=delay FIXED(in1, R, init) (10) R=3 Units: Month [0,10,1] (11) SAVEPER = TIME STEP Units: Month [0,?] The frequency with which output is stored. (12) start=0 Units: Month [0,10,1] (13) TIME STEP = 1 Units: Month [ ,1, ] The time step for the simulation. (14) width=1 Units: Month [1,6,1] Come per il ritardo di tipo esponenziale è possibile avere la necessità di mettere in cascata più ritardi di tipo pipeline. La figura 7.17 mostra due modelli Vensim con due ritardi di tipo pipeline in cascata: il primo di tali modelli usa i due livelli L e L1 e tre flussi in, outin e out mentre il secondo usa solo i tre flussi (etichettati come in1, outin1 e out1). Si fa notare che i due modelli sono a tutti gli effetti separati dato che condividono solamente le due variabili esogene Rin e R. La figura 7.18 mostra l andamento dei due livelli e dei tre flussi per il primo modello e dei tre flussi per il secondo modello. Da un confronto fra gli andamenti dei flussi nei due casi si può dedurre l equivalenza dei due modelli, almeno in relazione ai flussi. Le relazioni caratteristiche di questi due modelli sono riportate qui di seguito. (01) FINAL TIME = 100 Units: Month [5,100,1] The final time for the simulation. 337

21 7.3 Capitolo 7 Figura 7.17: Modello Vensim di due ritardi pipeline in cascata Figura 7.18: Andamenti dei flussi e dei livelli per il modello Vensim di figura 7.17 (02) height=1 [1,4,1] (03) in=height*pulse(start, width ) (04) in1=in (05) INITIAL TIME = 0 Units: Month The initial time for the simulation. (06) L= INTEG (in-outin,0) (07) L1= INTEG (outin-out,0) (08) out=delay FIXED(outIn, R, 0) 338

22 7.3 Capitolo 7 (09) out1=delay FIXED(outIn1, R, 0) (10) outin=delay FIXED(in, Rin, 0) (11) outin1=delay FIXED(in1, Rin, 0 ) (12) R=3 Units: Month [0,10,1] (13) Rin=3 Units: Month [0,10,1] (14) SAVEPER = TIME STEP Units: Month [0,?] The frequency with which output is stored. (15) start=0 Units: Month [0,10,1] (16) TIME STEP = 1 Units: Month [ ,1, ] The time step for the simulation. (17) width=1 Units: Month [1,6,1] Finoaquesto puntol assunzione implicita dibaseera cheilflusso inuscita da un ritardo di tipo pipeline coincide con il flusso in ingresso a parte il ritardo di trasferimento del primo sul secondo. In casi come questi la metafora del quanto di materia è perfettamente plausibile. Cosa accade, invece, se una frazione del flusso in va persa e pertanto non arriva sul flusso out? In questo caso si deve pensare che il quanto di materia in igresso al livello viene spezzato in que quanti più piccoli la cui somma, tuttavia, coincide con il valore del quanto di partenza in modo che i vincoli di conservazione siano soddisfatti. Nel caso dei ritardi di tipo esponenziale abbiamo visto come affrontare il problema. La figura 7.19 mostra come si possa affrontare e risolvere un problema analogo nel caso dei ritardi di tipo pipeline. In questo caso si presenta il modello che fauso del livello L ma èpossibile concepire laversione con tre flussi nella quale non è presente il livello L. Nel modello di figura 7.19 si ha: - un flusso in ingresso in con le caratteristiche di un impulso, - una percentuale di questo flusso (individuata dalla variabile tassodip erdita) viene dispersa per varie cause per cui viene trasfe- 339

23 7.3 Capitolo 7 Figura 7.19: Modello Vensim di un ritardo pipeline con perdita di materia rita nel flusso perdita con un ritardo pari a R (vedi la relazione (07) qui di seguito), - la percentuale residua di questo flusso individuata dalla variabile 1 tassodip erdita viene trasferita sul flusso out con un identico ritardo pari a R (vedi la relazione (06) qui di seguito). La figura 7.20 mostra l andamento dei tre flussi e del livello L in questo caso. Si fa notare che la somma dei quanti in uscita coincide con l entità del quanto in ingresso (in modo che i vincoli di conservazione siano soddisfatti) e che il livello Lsi carica fino ad immagazzinare tutta la materia in ingresso, la trattiene per un tempo pari a R e poi la rilascia in mdod da produrre i due quanti in uscita. Figura 7.20: Andamenti dei flussi e del livello per il modello Vensim di figura 7.19 Qui di seguito si riportano le relazioni caratteristiche di questo modello. (01) FINAL TIME =

24 7.3 Capitolo 7 Units: Month [5,100,1] The final time for the simulation. (02) height=1 [1,4,1] (03) in=height*pulse(start, width ) (04) INITIAL TIME = 0 Units: Month The initial time for the simulation. (05) L= INTEG (in-out-perdita,0) (06) out=delay FIXED(in*(1-tassoDiPerdita), R, 0) (07) perdita=delay FIXED(in*tassoDiPerdita, R, 0) (08) R=3 Units: Month [1,10,1] (09) SAVEPER = TIME STEP Units: Month [0,?] The frequency with which output is stored. (10) start=0 Units: Month [0,10,1] (11) tassodiperdita=0.15 Units: Dmnl [0,1,0.01] (12) TIME STEP = Units: Month [ ,1, ] The time step for the simulation. (13) width=1 Units: Month [1,6,1] Esercizio Implementare il modello Vensim corrispondente al modello di figura 7.19 ma senza fare esplicitamente uso del livello L. Verificare che i due modelli sono equivalenti per quello che concerne gli andamenti dei flussi. Nel modello di figura 7.19 si è fatta l ipotesi che il flusso di perdita e quello di transito siano caratterizzati dallo stesso ritardo R. La figura 7.21 mostra il caso in cui il flusso di perdita ha un ritardo R1 inferiore a quello R della materia in transito. L andamento dei tre flussi e del livello in questo caso è mostrato in figura Si notino gli andamenti dei flussi in uscita (sfalsati nel tempo a causa della differenza fra i valori R1 e R) e il corrispondente andamento del livello L. In questo caso il livello L si carica come nel caso 341

25 7.3 Capitolo 7 precedente ma si scarica parzialmente (di una frazione determinata dal valore del tassodip erdita) allo scadere del ritardo R1 e completamente allo scadere del ritardo R. Figura 7.21: Modello Vensim di un ritardo pipeline con perdita di materia e ritardi indipendenti Le relazioni caratteristiche di questo modello sono riportate qui di seguito. (01) FINAL TIME = 100 Units: Month [5,100,1] The final time for the simulation. (02) height=1 [1,4,1] (03) in=height*pulse(start, width ) (04) INITIAL TIME = 0 Units: Month The initial time for the simulation. (05) L= INTEG (in-out-perdita,0) (06) out=delay FIXED(in*(1-tassoDiPerdita), R, 0) (07) perdita=delay FIXED(in*tassoDiPerdita, ritardo, 0) (08) R=3 342

26 7.3 Capitolo 7 Figura 7.22: Andamenti dei flussi e dei livelli per il modello Vensim di figura 7.21 Units: Month [1,10,1] (09) R1=2 Units: Month [0,10,1] (10) ritardo=if THEN ELSE(switch=0, R, R1 ) Units: Month (11) SAVEPER = TIME STEP Units: Month [0,?] The frequency with which output is stored. (12) start=0 Units: Month [0,10,1] (13) switch=1 Units: Dmnl [0,1,1] (14) tassodiperdita=0.18 Units: Dmnl [0,1,0.01] (15) TIME STEP = Units: Month [ ,1, ] The time step for the simulation. (16) width=1 Units: Month [1,6,1] Di tali relazioni si ritiene di segnalare le seguenti: (08) R=3 Units: Month [1,10,1] (09) R1=2 Units: Month [0,10,1] (10) ritardo=if THEN ELSE(switch=0, R, R1 ) Units: Month 343

27 7.4 Capitolo 7 (13) switch=1 Units: Dmnl [0,1,1] che implementano il caso in cui i ritardi fra i due flussi in uscita assumono lo stesso valore R (se switch = 0) e il caso in cui sono indipendenti e possono assumere valori R e R1 diversi (se switch = 1 come accade nel caso del modello delle figure 7.21 e 7.22). 7.4 Esponenziale e pipeline in combinazione semplice A questo punto sono stati introdotti i ritardi di tipo esponenziale e i ritardi di tipo pipeline. Le due tipologie di ritardo sono state introdotte una indipendentemente dall altra. In molti casi, infatti, siamo interessati a definire modelli in cui compaiono ritardi o di un tipo o dell altro ma non di entrambi i tipi contemporaneamente. In alcuni casi, invece, può essere necessario usare i ritardi dei due tipi nello stesso modello. In questa sezione vedremo solo i due casi seguenti, rimandando al capitolo 9 per una trattazione di casi più complessi: (1) un ritardo di tipo pipeline con in cascata un ritardo di tipo esponenziale; (2) un ritardo di tipo esponenziale con in cascata un ritardo di tipo pipeline. Nel caso (1) si ha un trasferimento in blocco di materia (caratterizzato da un ritardo) seguito uno scivolamento di materia con un certo ritardo che definisce un tempo medio di trasferimento. Un modello Vensim di questa situazione è mostrato in figura 7.23 mentre la figura 7.24 mostra l andamento dei tre flussi in, outin e out e la figura 7.25 mostra l andamento dei due livelli L e L1. Figura 7.23: Modello Vensim di un ritardo pipeline e uno esponenziale in cascata 344

28 7.4 Capitolo 7 Da un esame degli andamenti dei flussi di figura 7.24 si individua facilmente il tipico comportamento di trasferimento con ritardo del ritardo di tipo pipeline seguito dal tipico comportamento di trasferimento per scivolamento del ritardo di tipo esponenziale. Un discorso analogo può essere fatto per gli andamenti del due livelli mostrati in figura In questo caso il livello L si carica con tutta la materia in ingresso, la rilascia in ingresso al livello L1 che si comporta come nel caso di un ingresso di tipo impulsivo e una uscita con un ritardo di tipo esponenziale ovvero: - mostra inizialmente una crescita di tipo 1 e t fino ad un valore massimo minore del valore massimo del livello L a causa della presenza contemporanea del flusso in uscita; - quando l impulso in ingresso si è esaurito mostra una decrescita di tipo e t fino a svuotarsi del tutto in un tempo teoricamente infinito. Figura 7.24: Andamenti dei flussi per il modello Vensim di figura 7.23 Le relazioni caratteristiche di questo modello sono riportate qui di seguito. (01) FINAL TIME = 100 Units: Month [5,100,1] The final time for the simulation. (02) height=1 [1,4,1] (03) in=height*pulse(start, width ) (04) INITIAL TIME = 0 345

29 7.4 Capitolo 7 Figura 7.25: Andamenti dei livelli per il modello Vensim di figura 7.23 Units: Month The initial time for the simulation. (05) L= INTEG (in-outin,0) (06) L1= INTEG (outin-out,0) (07) out=l1/r (08) outin=delay FIXED(in, Rin, 0) (09) R=3 Units: Month [1,1000,1] (10) Rin=3 Units: Month [1,10,1] (11) SAVEPER = TIME STEP Units: Month [0,?] The frequency with which output is stored. (12) start=0 Units: Month [0,10,1] (13) TIME STEP = Units: Month [ ,1, ] The time step for the simulation. (14) width=1 Units: Month [1,6,1] Nel caso (2) si ha una situazione duale ovvero si ha uno scivolamento di materia caratterizzato da un certo ritardo Rin (che definisce un tempo medio di trasferimento) seguito da un trasferimento in blocco di materia (caratte- 346

30 7.4 Capitolo 7 rizzato da un ritardo R di tipo pipeline). Un modello Vensim di questa situazione è mostrato in figura 7.26 mentre la figura 7.27 mostra l andamento dei tre flussi in, outin e out e la figura 7.28 mostra l andamento dei due livelli L e L1. Figura 7.26: Modello Vensim di un ritardo esponenziale e uno pipeline in cascata Da un esame degli andamenti dei flussi di figura 7.27 si individua subito il tipico comportamento di trasferimento per scivolamento del ritardo di tipo esponenziale seguito da un trasferimento con ritardo del ritardo di tipo pipeline. In questo caso l impulso in ingresso al livello L dà luogo ad un andamento del livello del tipo: - crescita con legge del tipo 1 e t, - decrescita con legge del tipo e t a cui corrisponde un andamento, scalato del fattore Rin, del flusso outin = L/R in mentre il flusso out è una copia ritardata di R istanti di tempo del flusso outin e il livello L 1 evolve di conseguenza, come viene mostrato in figura Le relazioni caratteristiche di questo modello sono riportate qui di seguito. (01) FINAL TIME = 100 Units: Month [5,100,1] The final time for the simulation. (02) height=1 Units: **undefined** [1,4,1] 347

31 7.4 Capitolo 7 Figura 7.27: Andamenti dei flussi per il modello Vensim di figura 7.26 Figura 7.28: Andamenti dei livelli per il modello Vensim di figura 7.26 (03) in=height*pulse(start, width ) (04) INITIAL TIME = 0 Units: Month The initial time for the simulation. (05) L= INTEG (in-outin,0) (06) L1= INTEG (outin-out,0) (07) out=delay FIXED(outIn, R, 0) 348

32 7.4 Capitolo 7 (08) outin=l/rin (09) R=6 Units: Month [0,10,1] (10) Rin=3 Units: Month [1,10,1] (11) SAVEPER = TIME STEP Units: Month [0,?] The frequency with which output is stored. (12) start=0 Units: Month [0,10,1] (13) TIME STEP = 1 Units: Month [ ,1, ] The time step for the simulation. (14) width=1 Units: Month [1,6,1] 349