Capitolo 1. Prima lezione. 1.1 Contenuto della lezione

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1 Capitolo 1 Prima lezione 1.1 Contenuto della lezione Nei capitoli che seguono ci occuperemo, salava diversa specificazione, di modelli sia matematici sia di simulazione continui e deterministici ovvero basati su EDO ovvero su Equazioni Differenziali Ordinarie. In questa lezione affronteremo il caso semplice ma non per questo meno interessante di una sola grandezza X di cui siamo interessati a studiare la velocità di variazione nel tempo. In questo modo potremo descrivere situazioni quali le seguenti: - variazione nel tempo della numerosità di una popolazione; - decadimento nel tempo di una sostanza radioattiva; - diffusione nel tempo di una sostanza inquinante in un ambiente di vastità non specificata. Prima di proseguire è bene chiarire che il nostro obbiettivo principale sarà quello di descrivere come la grandezza o variabile X varia nel tempo a partire da un valore iniziale X 0 assunto ad un istante arbitrario t 0 posto, in genere, uguale a 0 in modo da denotare convenzionalmente l istante di inizio del fenomeno che siamo interessati a descrivere. È bene chiarire fin da subito un altro aspetto chiave nel nostro contesto. Le relazioni matematiche si muovono in un mondo astratto e, per sua definizione, adimensionale. Questo significa che le grandezze che trattiamo in ambito matematico non sono associate ad una unità di misura e che i numeri utilizzati sono numeri puri. Da questo punto di vista una relazione del tipo: Ẋ = X +3 (1.1) 34

2 1.1 Capitolo 1 (dove Ẋ rappresenta la derivata della X rispetto al tempo) è perfettamente lecita. In tale relazione si eguaglia la variazione di una variabile con la somma della stessa variabile con un numero puro 3 R. Per la natura stessa dei modelli che siamo interessati a scrivere e di cui vogliamo studiare l evoluzione nel tempo mediante tecniche di simulazione noi saremo costretti a muoverci in un mondo fisico o dimensionale. Questo vuol dire essenzialmente che ([14], [5]): - quando definiamo una qualche variabile o una qualunque altra grandezza che entrerà a far parte della nostra descrizione (e quindi del nostro modello) dobbiamo assegnarle una unità di misura ovvero una dimensione; - quando definiamo una uguaglianza fra le nostre grandezze e le nostre variabili i due termini della uguaglianza devono avere la stessa unità misura ovvero devono essere dimensionalmente congruenti. In molti casi i due passi precedenti devono essere ripetuti più volte sulla stessa uguaglianza fino a che il secondo punto non risulta soddisfatto anche mediante l introduzione di costanti ad hoc dette fattori di conversione. Si ritiene degno di nota fin da ora segnalare il fatto che la necessità di introdurre fattori di conversione ai quali non si riesce ad assegnare un qualche significato fisico in relazione al fenomeno che si vuole descrivere in molti casi è una indicazione di una errata progettazione della descrizione stessa ovvero del nostro modello. Da queste premesse è intuibile come la relazione (1.1) debba essere riscritta, in modo che soddisfi la proprietà di congruenza dimensionale, come segue: Ẋ = αx +k (1.2) k = 3 (1.3) Come sarà ampiamente discusso nel seguito, in questo caso la congruenza dimensionale impone che: - l unitàdimisuradellavariabileẋ (chesiindicacon[ẋ])devecoincidere con quella di αx +k ovvero deve essere uguale a [αx +k]; - ilfattorediconversioneαdeveavereunaunitàdimisurataledarendere possibile la suddetta uguaglianza ovvero deve essere [α] = 1/t se α = 1/T e [T] = t; - la costante k deve avere la stesa unità di misura della variabile Ẋ. 35

3 1.2 Capitolo 1 Si ricorda che valgono le seguenti relazioni dimensionali 1 [αx] = [α] [X] e che [a+b] = [a] +[b]. Dalla seconda relazione dimensionale si ha che a e b sono sommabili fra di loro se e solo se hanno la stessa unità di misura ovvero se e solo se [a] = [b]. 1.2 Il modello matematico Nel caso di una singola variabile X di cui siamo interessati a studiare la velocità di variazione, il modello che dobbiamo impostare è concettualmente semplice. La velocità di variazione è rappresentata dalla derivata prima rispetto al tempo della variabile X che rappresentiamo, con notazione abbreviata, come Ẋ per cui il nostro modello matematico avrà la forma seguente: Ẋ = f(x,...) (1.4) Nella relazione (1.4) abbiamo indicato come l andamento della variabile Ẋ dipenda: - dalla struttura della funzione f; - dalla variabile X stessa; - da altri fattori al momento non specificati e pertanto sintetizzati dal simbolo... Come è stato anticipato nel capitolo 0 e come sarà ampiamente chiarito nei capitoli che seguono la presenza di una dipendenza fra la variabile Ẋ e la variabile X definisce una relazione di retroazione della variabile X su se stessa ovvero definisce un anello di retroazione della variabile X su se stessa. Se questo legame manca la relazione (1.4) assume la forma seguente: Ẋ = f(...) (1.5) Come sarà chiaro dalla lettura del capitolo 2 la soluzione di una relazione del tipo (1.5) può essere ottenuta in modo diretto mediante una operazione di integrazione. Tale operazione di integrazione può essere più o meno difficile da eseguire in funzione della struttura della funzione f che compare a secondo membro della (1.5). In ogni caso una relazione del tipo (1.5) è risolvibile con un approccio diretto e non necessita né dell uso di tecniche di integrazione che 1 In genere il carattere denota, nelle espressioni matematiche, l operazione prodotto e sarà usato solo in quei casi in cui la sua assenza può dare luogo ad ambiguità. 36

4 1.3 Capitolo 1 tengano conto della dipendenza della f dalla X stessa né dell uso di tecniche di simulazione che, invece, possono essere necessarie nel caso di relazioni del tipo (1.4). D altro lato la soluzione di una relazione del tipo (1.4) richiede che si tenga conto della relazione fra le suddette variabili Ẋ e X. La principale differenza fra le relazioni (1.4) e (1.5) è, quindi, che la prima rappresenta un modello a catena chiusa mentre la seconda rappresenta un modello a catena aperta. Nei capitoli che seguono non prenderemo mai (o quasi mai) in considerazione relazioni del tipo (1.5) perché banali o non interessanti e ci concentreremo esclusivamente (o quasi) su relazioni in cui fra le varie variabili coinvolte ci sono relazioni di retroazione più o meno complesse. Può capitare di dover descrivere, invece della velocità di variazione di una variabile, la sua accelerazione per cui, invece della derivata prima rispetto al tempo, dobbiamo usare la derivata seconda rispetto al tempo. Nel capitolo 6 vedremo come sia possibile affrontare formalmente casi come questo avendo preliminarmente acquisito dimestichezza, nei capitoli 3, 4 e 5, con un certo numero di modelli di complessità crescente. 1.3 La specificazione del modello matematico Per poter proseguire è quindi necessario definire in modo più dettagliato una relazione come la (1.4) che si riporta qui di seguito per comodità: Ẋ = f(x,...) (1.6) con valore iniziale della variabile X pari a 2 X 0. Sebbene la funzione f possa assumere una struttura qualunque (anche molto complessa) in molti casi vedremo come sia sufficiente ricorrere a relazioni semplici di proporzionalità dal momento che la complessità del comportamento della variabile X (che è ciò che siamo interessati a descrivere nel caso di questi modelli) deriva dalla presenza della relazione di retroazione fra le variabili Ẋ e X più che dalla forma della funzione f. Quanto sopra si traduce, in genere, nel fatto che: - la relazione fra una variabile X e la variazione Ẋ è di proporzionalità diretta nel senso che al crescere o decrescere (in valore assoluto) della prima cresce o decresce (in valore assoluto) anche la seconda; 2 Nei modelli Vensim che vedremo non useremo i pedici e gli apici per cui una variabile del tipo X 0 verrà rappresentata come X0 mentre una variabile come Ẋ verrà associata, in genere, alla variabile dotx. 37

5 1.3 Capitolo 1 - la relazione fra una variabile X e la variazione Ẋ è di proporzionalità inversa nel senso che al crescere o decrescere della prima (in valore assoluto) la seconda, rispettivamente, decresce o cresce (in valore assoluto). Sulla base di queste considerazioni vedremo come la relazione (1.6) assuma in genere una forma del tipo 3 (1.7). Nella relazione (1.7) abbiamo che: Ẋ = ±kx (1.7) - la variabile k assume un valore positivo per definizione; - il segno della variazione della variabile X ovvero della variabile Ẋ è indicato esplicitamente in modo che sia chiaro se si tratta di velocità positiva (o crescita, segno +) o di velocità negativa (o decrescita, segno ); - la variabile Ẋ assume valori pari a ±kx ovvero proporzionali al valore corrente della variabile X. Nella relazione (1.7) si ha che, se si tratta di crescita, la velocità della variabile X è positiva ovvero la derivata della variabile X è positiva per cui la curva che rappresenta l andamento della X nel tempo ha pendenza positiva ovvero andamento crescente. In più il valore della pendenza dipende dal valore corrente della variabile X e cresce con questa ovvero la crescita ha, a sua volta, una velocità positiva e quindi la variabile originaria ha una accelerazione (come velocità di una velocità) positiva. Nel capitolo 2 vedremo cosa tutto ciò voglia dire da un punto di vista matematico. Più formalmente nel caso in cui si ha: si ottiene facilmente: Ẋ = +kx (1.8) Ẍ = +kẋ = +k2 X (1.9) ovvero la X cresce (poiché è Ẋ > 0) con velocità crescente (poiché è Ẍ > 0). Considerazioni duali possono essere fatte nel caso della decrescita nel qual caso si ha: Ẋ = kx (1.10) 3 Il simbolo ± indica il fatto che il segno può essere o + o a seconda dei casi mentre il simbolo denota una operazione di prodotto e sarà usato di norma nelle relazioni associate ai modelli Vensim e, nelle espressioni matematiche, solo se strettamente necessario. 38

6 1.3 Capitolo 1 e: Ẍ = kẋ = +k2 X (1.11) ovvero la X decresce (poiché è Ẋ < 0) con velocità crescente (poiché è Ẍ > 0). Nel linguaggio del software di simulazione che sarà utilizzato in questo e nei restanti capitoli di questo libro, ovvero il programma Vensim ([17]), abbiamo che (con riferimento al modello di Figura 1.1, vedi anche la nota 2): - lavariabilex, cheassumevalorianchenelcasochesiimmaginidiinterrompere lo scorrere del tempo della simulazione, è un livello di valore iniziale X0 ed è graficamente descritta da una scatola rettangolare; - la variabile Ẋ (ovvero dotx) che determina la variazione della variabile X è un flusso e non ha senso se immaginiamo di interrompere lo scorrere del tempo della simulazione; - la variabile dotx viene rappresentata graficamente come associata ad una sorta di valvola su un tubo bidirazionale (come risulta evidente dalle due frecce alle sue estremità) a causa della presenza del segno ± nella (1.7); - il tubo bidirezionale lega la variabile livello X al mondo esterno (rappresentato dalla nuvoletta all altra estremità del tubo); - la variabile k è rappresentata con il suo nome mentre il segno ± della (1.7) è nascosto nella relazione che definisce tale costante (vedi la relazione (4) qui di seguito nel caso in cui sia k < 0); - l arco fra la variabile k e la variabile dotx rappresenta il legame fra le due; - l arco fra la variabile X e la variabile dotx rappresenta il legame fra le due; - il mondo esterno rappresenta o una sorgente illimitata di materiale che si accumula nella variabile X (se nella (1.7) si ha Ẋ = +kx) o un pozzo a capacità illimitata di materiale che si fuoriesce dalla variabile X (se nella (1.7) si ha Ẋ = kx) Da un esame del modello di Figura 1.1 si vede come fra le variabili esistano i legami causali seguenti (così detti perchè descrivono relazioni di causa effetto): k dotx ovvero k è la causa e dotx l effetto, 39

7 1.3 Capitolo 1 Figura 1.1: Modello Vensim della relazione Ẋ = ±kx dotx X ovvero dotx è la causa e X l effetto, X dotx ovvero X è la causa e dotx l effetto. Mettendo insieme gli ultimi due legami causali si ottiene la seguente relazione: X dotx X che descrive l anello di retroazione fra le due variabili X e Ẋ (ovvero dotx). Per maggiori dettagli vedi la sezione 1.8. Nel modello di Figura 1.1 abbiamo due tipi di flusso: - flussi rappresentati come archi semplici; - flussi rappresentati come tubi con tanto di valvola, frecce monodirezionali o bidirezionali (nel senso che possono essere una, nel primo caso, o due, nel secondo caso) e simboli che rappresentano il mondo esterno nel ruolo o di sorgente o di pozzo. I flussi del primo tipo non sono soggetti alla legge di conservazione della materia, sono detti di tipo informativo e possono legare fra di loro due variabili qualsiasi a patto che nessuna delle due sia definita come costante (nel qual caso non può accettare, per sua definizione, un arco in ingresso). I flussi del secondo tipo sono soggetti alla legge di conservazione della materia e possono collegare fra di loro, in modo significativo, una variabile di tipo flusso e una di tipo livello. La necessità di soddisfare la legge di conservazione della materia impone che, se un livello A ha un flusso in ingresso ϕ i e uno in uscita ϕ o, deve valere la seguente relazione: A = ϕ i ϕ o (1.12) 40

8 1.3 Capitolo 1 se con Ȧ si indica, come di consueto, la variazione di A nel tempo. Al modello di Figura 1.1 corrispondono le seguenti relazioni 4 : (1) dotx=k*x Units: unit/month (2) FINAL TIME = 100 Units: Month The final time for the simulation. (3) INITIAL TIME = 0 Units: Month The initial time for the simulation. (4) k=-0.05 Units: 1/Month [-1,1,0.01] (5) SAVEPER = TIME STEP Units: Month [0,?] The frequency with which output is stored. (6) TIME STEP = 1 Units: Month [0,?] The time step for the simulation. (7) X= INTEG (dotx, X0) Units: unit (8) X0=1 Units: unit [0,10,0.1] Le relazioni suddette vengono create in modo indiretto tramite l interfaccia grafica del programma Vensim e rappresentano le relazioni utilizzate dal simulatore del programma stesso per la determinazione degli andamenti nel tempo di tutte le variabili quali la X o la dotx in Figura 1.2. Nella Figura 1.2 sono rappresentati gli andamenti nel tempo delle variabili dotx e X nel caso che la (4) definisca un valore k < 0 ovvero nel caso che il flusso associato al livello sia un flusso uscente. Nel capitolo 2 vedremo come, mediante metodi formali, sia possibile ricavare gli andamenti nel tempo delle variabili X e Ẋ in modo da vedere che risulteranno essere identici a quelli ottenuti mediante la simulazione del modello che abbiamo presentato nella Figura 1.1 e che corrisponde alla seguente equazione differenziale: Ẋ = kx (1.13) 4 Una trattazione del programma Vensim in queste note non è ovviamente possibile per cui ci limiteremo a dare le indicazioni indispensabili alla comprensione delle relazioni descrittive dei singoli modelli rimandando alla documentazione del programma ([17]) per ulteriori dettagli. Si fa notare, inoltre, come per i futuri modelli non verrà fatta una descrizione dettagliata come quella svolta per questo primo esempio. 41

9 1.3 Capitolo 1 Figura 1.2: Gli andamenti delle variabili del modello di Figura 1.1 nel caso di k < 0 (vedi la (4)) Si fa notare che (vedi la Figura 1.2): - dato che la variabile k assume un valore negativo (in modo da corrispondere al caso k) il flusso è un flusso in uscita; - il livello X si svuota come se fosse una vasca con un tubo in uscita e che inizialmente contiene X0 litri d acqua; - il flusso rappresentato dalla variabile dotx decresce perché è proporzionale (secondo la relazione kx, ad un livello X che si svuota. Da un esame delle relazioni suddette è facile vedere come la loro struttura sia caratterizzata da: - un numero progressivo; - la definizione della variabile come una relazione di assegnamento; - una riga che definisce l unità di misura della variabile, il suo valore corrente e l intervallo dei valori possibili; - una riga opzionale che contiene una descrizione del significato della variabile. Le prime due relazioni che si analizzano sono le seguenti: (7) X= INTEG (dotx, X0) Units: unit (8) X0=1 Units: unit [0,10,0.1] 42

10 1.3 Capitolo 1 La relazione (7) definisce la versione integrale della relazione (1.13) ovvero definisce la seguente relazione: X = dotxdt (1.14) con valore iniziale X0 e unità di misura Units : unit. Tale relazione è ben definita data la presenza delle relazioni (1) e (4) il cui significato è chiarito qui di seguito. La relazione (8), d altra parte, definisce la variabile valore iniziale X0 del livello nel senso che: - gli assegna il valore 1, - gli assegna la stessa unità di misura del livello ovvero Units : unit, - definisce l intervallo dei valori ammessi per tale variabile e il relativo incremento come una terna [valore minimo, valore massimo, incremento] ovvero, nel caso presente, [0, 10, 0.1]. A questo punto si esaminano le relazioni seguenti: (1) dotx=k*x Units: unit/month (4) k=-0.05 Units: 1/Month [-1,1,0.01] La relazione (1) definisce la variabile dotx e gli assegna una unità di misura Units : unit/month congruente con il fatto che tale variabile è un flusso (ovvero unavariazionediunlivello neltempo)echeillivello adessa associato ha come unità di misura Units : unit e con il fatto che le relazioni (2), (3), (4) e (5) indichino che il tempo viene misurato in Month. La relazione (4) definisce la variabile k nel senso che: - gli assegna il valore 0.05, - gli assegna una unità di misura congruente con quelle del livello e del flusso ovvero Units : 1/Month - definisce l intervallo dei valori ammessi per tale variabile e il relativo incremento come [ 1, 1, 0.01]. Le unità di misura delle variabili k, X e dotx sono tali che la relazione dotx = kx da un punto di vista dimensionale si traduca nella seguente: [dotx] = unit Month = [k] [X] = 1 unit (1.15) Month 43

11 1.3 Capitolo 1 se con [A] si indica l unità di misura della variabile A e se nella (1.15) (e in relazioni analoghe) valgono le usuali regole dell algebra. Da un esame della (1.15) è immediato vedere come entrambi i membri della (1) sino dimensionalmente congruenti. Infine si hanno le relazioni (2), (3), (5) e (6) riportate qui di seguito: (2) FINAL TIME = 100 Units: Month The final time for the simulation. (3) INITIAL TIME = 0 Units: Month The initial time for the simulation. (5) SAVEPER = TIME STEP Units: Month [0,?] The frequency with which output is stored. (6) TIME STEP = 1 Units: Month [0,?] The time step for the simulation. Tali relazioni definiscono le cosiddette variabili di sistema ovvero, nell ordine: - l istante di fine di una simulazione, - l istante di inizio di una simulazione, - la frequenza con cui i dati prodotti da una simulazione sono memorizzati per essere visualizzati, - il passo con cui vengono discretizzate e risolte le equazioni differenziali associate ad ogni modello. Torneremo ancora su tali variabili, sul loro significato e sul loro utilizzo. Per il momento ci si limita a notare che: - in genere si pone SAVEPER=TIME STEP dato che si vogliono salvare e visualizzare tutti i valori che vengono calcolati in una simulazione mentre se si impone SAVEPER > TIME STEP si considera solo un sottoinsieme di tali valori e se si impone SAVEPER < TIME STEP non si possono che visualizzare i valori effettivamente calcolati in base al valore della variabile TIME STEP; - l output di una simulazione dipende dal valore della variabile TIME STEP nel senso che, in generale ma non sempre, si ha che l accuratezza cresce al ridursi del valore di tale variabile. 44

12 1.4 Capitolo 1 Il valore della variabile TIME STEP definisce ogni quanto tempo vengono presi in considerazione i valori assunti dai flussi e dalle altre variabili che non sono livelli per valutare le relazioni che definiscono i livelli quali la (7). Torneremo di nuovo su queste problematiche sia negli esempi sia che nelle parti teoriche. 1.4 Il modello matematico, primo esempio Il modello che abbiamo introdotto nella sezione 1.3 rappresenta un modello di tipo generale nel quale un livello dipende da un flusso bidirezionale. È possibile adattare tale modello ai casi seguenti: - un livello con un solo flusso in uscita, - un livello con un solo flusso in ingresso, - un livello con un flusso ingresso e uno in uscita. Torneremo sulla struttura dei modelli di questo tipo nella sezione 1.7. Nella presente sezione esamineremo un esempio di modello del primo tipo. I modelli del secondo tipo sono ricavabili facilmente semplicemente cambiando il segno del flusso da a + nella relazione (7) qui di seguito e, ma la cosa non è obbligatoria, invertendo la direzione della freccia del flusso nella rappresentazione grafica. Si fa notare, infatti, come la direzione della freccia su un flusso sia solo un artificio grafico e come la reale direzione di un flusso dipenda solo dalla forma della relazione che lo definisce e dal segno delle variabili coinvolte nella sua definizione oltre che a come quel flusso viene considerato nella relazione che definisce il livello al quale quel flusso è associato. Con questo si vuole dire che gli artifici grafici non impongono vincoli sui valori dei flussi per cui l effettiva direzione di un flusso relativamente ad un livello a cui esso è associato dipende dal segno del flusso e non dalla direzione della freccia sull arco che lo rappresenta graficamente. Il modello che si vuole implementare si propone di descrivere il fenomeno di decadimento di una sostanza radioattiva la cui velocità di variazione dipende dalla quantità di sostanza presente e dal periodo di decadimento T. Il tempo di decadimento T o vita media indica il tempo necessario perché la quantità di sostanza si sia ridotta allo 0.36 della quantità iniziale ovvero ad 1/edella quantità iniziale. L inverso di talevita media lo si indica con λ(vedi la relazione (1.16)) e rappresenta la costante di decadimento caratteristica di ogni sostanza. λ = 1 T 45 (1.16)

13 1.4 Capitolo 1 Nel fenomeno che si vuole descrivere si ha una grandezza X che denota la quantità di una certa sostanza che decade nel tempo a partire da un valore inizialex0econuntempodivitamediapariat. Lavelocitàdidecadimento (ovvero Ẋ a cui nel modello di Figura 1.3 corrisponde la variabile dotx) è tale che: (a) tanto maggiore o minore è X tanto più alta o più bassa è la velocità di decadimento; (b) tanto maggiore è T tanto minore è la velocità di decadimento; (b) tanto minore è T tanto maggiore è la velocità di decadimento. I due fattori suddetti sono considerati singolarmente ([10]) nel senso che, nel gergo della System Dynamics, si considera un solo fattore alla volta assumendo gli altri costanti. Nel caso della (a) si assume T costante adun valore dato e nel caso delle (b) si assume X costante ad un valore dato. Una relazione che sia semplice e soddisfi le specifiche (a) e (b) è la relazione(1.17). Ẋ = X T (1.17) A tale relazione corrisponde il modello di Figura 1.3 le cui relazioni descrittive sono elencate dalla numero (1) alla numero (8). (1) dotx=x/t Units: unit/month (2) FINAL TIME = 100 Units: Month [20,100,1] The final time for the simulation. (3) INITIAL TIME = 0 Units: Month [0,20,1] The initial time for the simulation. (4) SAVEPER = TIME STEP Units: Month [0,?] The frequency with which output is stored. (5 T=7 Units: Month [1,10,1] (6) TIME STEP = Units: Month [ ,1, ] The time step for the simulation. (7) X= INTEG (-dotx,x0) Units: unit (8) X0=1 Units: unit [0,10,0.1] 46

14 1.4 Capitolo 1 Figura 1.3: Decadimento di una sostanza Di tali relazioni si ritengono degne di nota le seguenti: (1) dotx=x/t Units: unit/month (7) X= INTEG (-dotx,x0) Units: unit La (1) definisce il valore della variabile flusso mentre il segno della (1.17) (che definisce la direzione del flusso) viene introdotto nella (7) all interno del segno di integrale. È facile capire come le suddette relazioni siano del tutto equivalenti alle seguenti: (1 ) dotx=-x/t Units: unit/month (7 ) X= INTEG (dotx,x0) Units: unit In Figura 1.3 sono mostrati gli andamenti nel tempo delle variabili dotx (nel grafico di sinistra) e X (nel grafico di destra). Gli andamenti mostrati sono congruenti con quanto detto nei paragrafi precedenti ovvero: - la quantità di sostanza decresce nel tempo con una legge che, nel capitolo 2, vedremo essere di tipo esponenziale decrescente; 47

15 1.4 Capitolo 1 - la velocità di decadimento della sostanza decresce nel tempo con una legge che, nel capitolo 2, vedremo essere di tipo esponenziale decrescente; - i grafici e i valori assunti dalle variabili sono congruenti con la relazione (1). La Figura 1.4 mostra la relazione che esiste fra la variabile X (i cui valori sono sull asse delle ascisse) e la variabile dotx (i cui valori sono sull asse delle ordinate). Figura 1.4: Relazione fra X e dotx Da un punto di vista formale il passaggio dai grafici: X = f(t) dotx = g(t) al grafico di dotx = F(X) può non essere immediato 5 per cui eviteremo di entrare in dettaglio. A questo livello ci si limita a far notare come, una volta 5 In ogni caso la trattazione di queste tecniche esula dall ambito sia delle presenti note sia del corso. 48

16 1.5 Capitolo 1 individuata una coppia di variabili, sia possibile usare Vensim per definire una delle due come indipendente ovvero come una sostituta della variabile tempo (sull asse delle ascisse) e l altra come la variabile di cui si vogliono rappresentare i valori sull asse delle ordinate in funzione dei valori della variabile indipendente. Dalla Figura 1.4 si vede come ad un valore della variabile X corrisponda un solo valore della variabile dotx e come al decrescere della prima (a partire dal valore iniziale X0 = 1) si abbia una decrescita anche della seconda. Si fa notare come dal grafico della Figura 1.4 non sia evidente la direzione dell evoluzione del fenomeno per cui si potrebbe pensare ad un fenomeno di formazione della sostanza che, partendo da un valore iniziale X0 = 0, compare dal nulla fino ad arrivare al valore finale X = 1. La conoscenza del fenomeno e dei grafici della Figura 1.3 ci consente di dare una interpretazione corretta al grafico di Figura Il modello matematico, secondo esempio Il passo successivo è quello di introdurre, nel modello di Figura 1.4, un flusso in ingresso il cui valore non dipende dal valore del livello ma rappresenta la descrizione di un evento esterno al modello stesso. Il modello viene modificato come mostrato dalla Figura 1.5 e può essere usato, ad esempio, per descrivere un fenomeno di sversamento e diffusione di un inquinante nel tempo. Il relazione alla Figura 1.5 si ha che: - il livello X rappresenta, al variare del tempo, la quantità di inquinante presente nel terreno; - la variabile X0 rappresenta la quantità di inquinante presente nel terreno al tempo t = INITIALTIME; - il flusso in in ingresso al livello rappresenta lo sversamento di una certa quantità di inquinante ad un certo istante di tempo t INITIALTIME; - il flusso out in uscita dal livello rappresenta la trasformazione dell inquinante X in qualcosa d altro Y (la cui descrizione non rientra fra i nostri interessi per cui non compare nel nostro modello) per t > INITIALTIME; - il parametro T rappresenta la vita media dell inquinante ovvero il tempo medio che una unità di X impiega per trasformarsi in una unità di Y. 49

17 1.5 Capitolo 1 Figura 1.5: Sversamento e diffusione di un inquinante Le relazioni descrittive del modello sono le seguenti: (01) duration=1.6 Units: Month [1,2,0.1] (02) FINAL TIME = 20 Units: Month [20,100,1] The final time for the simulation. (03) h=1 Units: unit/month [1,4,0.2] (04) in=h*pulse(start, duration) Units: unit/month (05) INITIAL TIME = 0 Units: Month [0,20,1] The initial time for the simulation. (06) out=x/t Units: unit/month (07) SAVEPER = TIME STEP Units: Month [0,?] The frequency with which output is stored. (08) start=2.2 50

18 1.5 Capitolo 1 Units: Month [0,4,0.2] (09) T=7 Units: Month [1,10,1] (10) TIME STEP = Units: Month [ ,1, ] The time step for the simulation. (11) X= INTEG (in-out,x0) Units: unit (12) X0=1 Units: unit [0,10,0.1] Di tali relazioni si ritengono degne di nota le seguenti: (01) duration=1.6 Units: Month [1,2,0.1] (03) h=1 Units: unit/month [1,4,0.2] (04) in=h*pulse(start, duration) Units: unit/month (08) start=2.2 Units: Month [0,4,0.2] Tali relazioni definiscono il flusso in ovvero l impulso visibile nel grafico di sinistra della Figura 1.5 e in Figura 1.6. Figura 1.6: Gli andamenti dei flussi in e out La forma matematica di un impulso in Vensim è la seguente: (04) in=h*pulse(start, duration) Units: unit/month 51

19 1.6 Capitolo 1 In questo modo si definisce una variabile che: - prima dell istante start assume il valore 0, - all istante start assume il valore h e lo mantiene per un tempo pari al valore di duration, - dall istante start + duration in poi riassume il valore 0. Le relazioni suddette sono tali che: - la (1) definisce la durata dell impulso, - la (3) ne definisce l intensità o altezza, - la (8) ne definisce l istante di inizio. A volte può essere necessario ripetere il verificarsi di un impulso con una certa periodicità. In questi casi si può usare l istruzione seguente: PULSE TRAIN(start,duration,tbetween,end) In questo modo si produce una successione di impulsi di altezza unitaria e durata pari al valore della variabile duration i cui istanti di inizio si ripetono alla distanza di tbetween istanti di tempo fino all istante specificato dal valore della variabile end. Il grafico a destra della Figura 1.5 mostra l andamento nel tempo della variabile X (il livello). Da tale grafico si vede come: - il valore della variabile X all inizio decresca (a partire dal valore iniziale X0 > 0) a causa del decadimento e dell assenza del flusso in ingresso; - quando si ha il flusso di sversamento in ingresso la variabile X ha un brusco incremento per poi decrescere di nuovo a partire da un valore maggiore quando il flusso di sversamento si esaurisce. Gli andamenti dei flussi mostrati nel grafico di sinistra della Figura 1.5 e in Figura 1.6 sono congruenti con le definizioni (04) e (06). Si ritiene degno di nota il fatto che né i flussi né il livello raggiungano il valore di equilibrio 0 a causadelfattocheilvaloredelparametrofinal TIME èstatoimpostatoad un valore inferiore al minimo necessario perché tale condizione di equilibrio venga raggiunta. 52

20 1.6 Capitolo Il modello matematico, terzo esempio Un ulteriore passo nella direzione di una maggiore complessità è quello di avere un flusso in ingresso e uno in uscita entrambi dipendenti dal valore corrente del livello. Un modello di questo tipo è mostrato in Figura 1.7 (vedi anche la sezione 0.6.1) e può essere usato come modello di una popolazione di animali caratterizzata da: - un tasso di natalità TdN come numero di individui nati per individuo della popolazione per unità di tempo (nel nostro caso Month) da cui l unità di misura Units : 1/Month. - un tasso di mortalità TdM come numero di individui morti per individuo della popolazione per unità di tempo (nel nostro caso Month) da cui l unità di misura Units : 1/Month Figura 1.7: Modello di una popolazione La popolazione è descritta dal livello Pop con valore iniziale Pop0 mentre le relazioni del modello sono riportate qui di seguito. (01) FINAL TIME = 44 53

21 1.6 Capitolo 1 Units: Month [20,100,1] The final time for the simulation. (02) INITIAL TIME = 0 Units: Month [0,20,1] The initial time for the simulation. (03) mortalita=pop*tdm Units: unit/month (04) natalita=pop*tdn Units: unit/month (05) Pop= INTEG (natalita-mortalita, Pop0) Units: unit (06) Pop0=8 Units: unit [0,10,0.1] (07) SAVEPER = TIME STEP Units: Month [0,?] The frequency with which output is stored. (08) TdM=0.019 Units: 1/Month [0.01,0.05,0.001] (09) TdN=0.027 Units: 1/Month [0.01,0.05,0.001] (10) TIME STEP = Units: Month [ ,1, ] The time step for the simulation. Di tali relazioni si ritengono di nota le seguenti: (03) mortalita=pop*tdm Units: unit/month (04) natalita=pop*tdn Units: unit/month (05) Pop= INTEG (natalita-mortalita, Pop0) Units: unit La (03) definisce il flusso mortalita in uscita dal livello Pop che si annulla se Pop = 0. La (04) definisce il flusso natalita in ingresso al livello Pop che si annulla se Pop = 0. La (05) definisce la relazione di conservazione della materia per la variabile Pop nel senso che questa accumula (o integra) la differenza fra ciò che entra e ciò che esce dal livello. Da tali relazioni si vede che: 54

22 1.7 Capitolo 1 - se TdN > TdM si ha natalita > mortalita per cui il valore del livello tende a crescere a partire dal valore iniziale Pop0, - se TdN = TdM si ha natalita = mortalita per cui il valore del livello rimane al valore iniziale P op0 che diremo di equilibrio, - se TdN < TdM si ha natalita < mortalita per cui il valore del livello tende a decrescere a 0 a partire dal valore iniziale Pop0. Dal momento che si ha TdN > TdM (vedi le relazioni (08) e (09)) i grafici riportati in Figura 1.7 sono di facile interpretazione. (08) TdM=0.019 Units: 1/Month [0.01,0.05,0.001] (09) TdN=0.027 Units: 1/Month [0.01,0.05,0.001]. 1.7 Il modello matematico, un approccio unitario Da una analisi di questi primi tre esempi non è facile capire come dietro una apparente varietà ci sia uno schema di base molto semplice. Questa presenza non dovrebbe stupire dato che i tre modelli hanno in comune il fatto di avere un solo livello e uno o due flussi ad esso associati. Resta solo da capire come sia possibile formalizzarla. Essenzialmente i modi per farlo sono due (vedi Figura 1.8). Nel primo modo (vedi il modello (a) nella Figura 1.8) si rappresenta il livello con un flusso in ingresso flussoin e uno in uscita flussoout che dipendono da due insiemi di parametri e da due funzioni F1 e F2 da specificare caso per caso nelle relazioni (01) e (02). (01) flussoin=f1(parametriin) (02) flussoout=f2(parametriout) (03) Livello= INTEG (flussoin-flussoout,l0) (04) parametriin=g1(livello, altri parametri) (05) parametriout=g2(livello, altri parametri) La relazione (03) rappresenta una definizione classica di un livello con due flussi, uno in ingresso e uno in uscita. È facile vedere che: - se F1 = 0 e F2 0 si ha un livello con il solo flusso in uscita, 55

23 1.7 Capitolo 1 Figura 1.8: Visione astratta del modello con un solo livello - se F1 0 e F2 = 0 si ha un livello con il solo flusso in ingresso, - se F1 0 e F2 0 si ha un livello con il flusso in ingresso e il flusso in uscita. Nelle relazioni suddette si ha che: - il flusso in ingresso f lussoin dipende dai parametri in ingresso parametriin che a loro volta dipendono dal Livello e da altri parametri che devono essere specificati di volta in volta; - il flusso in uscita f lussoout dipende dai parametri in uscita parametriout che a loro volta dipendono dal Livello e da altri parametri che devono essere specificati di volta in volta; - la presenza dei legami con il Livello permette di definire le necessarie catene causali di retroazione; - il comportamento del modello dipende dalle funzioni F1,F2,G1 e G2. Nel secondo modo(vedi il modello(b) nella Figura 1.8) si rappresenta il livello con un flusso in ingresso/uscita f lussoinout che dipende da un insiemi di parametri parametriinout e da una funzione F da specificare caso per caso nella relazione (01) mentre la relazione (03) definisce parametriinout come funzione del Livello e di altri parametri che devono essere specificati caso per caso. 56

24 1.7 Capitolo 1 (01) flussoinout=f(parametriinout) (02) Livello= INTEG (flussoinout,l0) (03) parametriinout=g(livello, altri parametri) La (03) del primo blocco coincide con la (02) del secondo blocco se si pone: flussoinout=flussoin-flussoout e se i parametri accessori e le funzioni sono settati in modo opportuno. La differenza principale fra i due approcci è la seguente: - nel caso (a) i due flussi sono messi in evidenza separati in modo che nelle simulazioni del modello li si possa variare uno indipendentemente dall altro; - nel caso (b) si può agire solo sulla composizione dei due flussi con una minore flessibilità nella definizione delle possibili relazioni fra le immissioni e le decurtazioni dal livello. Nel seguito faremo riferimento al caso (a) anche in quei casi in cui il Livello non descrive una popolazione e parleremo di natalità per indicare un flusso in accrescimento e di mortalità per indicare un flusso in decremento ad un dato livello che si assume denotare una popolazione. In base a questo approccio vedremo un modello con un unico livello come caratterizzato da due flussi oppure da un solo flusso ottenuto dalla composizione dei due flussi suddetti. La giustificazione di questa equivalenza risiede nel fatto che una relazione come la seguente: (03) Livello= INTEG (flussoin-flussoout,l0) equivale alla seguente: (02) Livello= INTEG (flussoinout,l0) se si pone: flussoinout=flussoin-flussoout La differenza principale fra le due relazioni consiste nella maggiore o minore flessibilità di un modello rispetto all altro. Nel seguito vedremo come un modello con un solo flusso sia equivalente, nel senso visto prima, ad uno con due flussi e come la riduzione sia ottenibile: - scrivendo l equazione di bilancio del primo modello, - scrivendo l equazione di bilancio del secondo modello, 57

25 1.8 Capitolo 1 - eguagliando i secondi membri delle suddette equazioni di bilancio ovvero, in base al principio di equivalenza dei polinomi, eguagliando i coefficienti delle potenze di stesso grado in modo di ottenere i coefficienti incogniti di un modello in base a quelli noti dell altro. Se, ad esempio, si ha la seguente equazione di bilancio in forma differenziale (con λ > 0 e µ > 0): Ẋ = λx µx (1.18) la si può ridurre alla forma: semplicemente ponendo: Ẋ = λ 1 X (1.19) λ 1 = λ µ (1.20) Si fa notare che la (1.18) descrive un livello X con due flussi unidirezionali, uno in ingresso e uno in uscita, mentre la (1.19) descrive un livello, di nuovo X, con un solo flusso bidirezionale associato. Un flusso si dice unidirezionale se assume valori o solo positivi (se in ingresso) o solo negativi (se in uscita) mentre si dice bidirezionale se può assumere valori sia positivi sia negativi in modo da poter essere, al variare del tempo, sia un flusso in ingresso sia un flusso in uscita. 1.8 I diagrammi causali e i diagrammi di flusso I modelli che abbiamo visto finora sono caratterizzati dalle seguenti tipologie di variabili: - livelli come X o Pop e simili; - flussi come dotx, in, out e simili; - costanti come TdN, TdM e simili; - variabili ausiliarie come parametriin, parametriout e simili. Come regola generale si ha che: - una costante è una variabile con archi in uscita ma senza archi in ingresso, - una variabile ausiliaria è una variabile con archi sia in ingresso sia in uscita ma che non è né un flusso né un livello. 58

26 1.8 Capitolo 1 Mentre livelli e flussi sono la chiave di questo tipo di modelli, detti diagrammi di flusso, le variabili ausiliarie non sono, in genere, strettamente necessarie ma sono, di solito, usate perché aumentano la leggibilità di un modello mentre le costanti svolgono il duplice ruolo: - di rappresentare l influenza del mondo esterno sul nostro modello, - di consentirci di modificare l evoluzione della dinamica del modello. Si ricorda che il mondo esterno, per definizione, contiene tutto ciò che influenza il modello ma non è influenzato dal modello stesso. Nel caso dei diagrammi di flusso il mondo esterno è, pertanto, rappresentato dalle costanti e dalle nuvolette (ovvero i pozzi e le sorgenti) alle estremità dei flussi. Nel caso del modello visto nella sezione 1.6, ad esempio, si ha che le costanti TdN e TdM non dipendono affatto dal modello, sono pertanto di tipo esogeno al modello, e rappresentano i parametri la cui conoscenza deve derivare da fonti indipendenti ma i cui valori influenzano le possibili evoluzioni nel tempo delle variabili proprie, ovvero endogene, del modello. Un altro possibile approccio per la definizione dei modelli si basa sulla individuazione delle relazioni causali fra le variabili che compaiono nella descrizione di un problema e che rappresentano gli elementi chiave dei nostri modelli. Nella sezione 1.3 abbiamo già parlato di relazioni causali. Una relazione causale (vedi la Figura 1.9) lega due grandezze o variabili A e B in una relazione di causa effetto nel senso che: - A può essere la causa e B l effetto in modo che fra A e B ci sia un arco orientato da A a B; - B può essere la causa e A l effetto in modo che fra B e A ci sia un arco orientato da B ad A. Le relazioni causali oltre ad avere una direzione hanno anche un segno che può essere o + o. Si hanno i due casi seguenti: (1) il segno è + in modo che sia, ad esempio, A + B, (2) il segno è in modo che sia, ad esempio, A B. Nel caso (1) fra A e B si ha o una relazione di proporzionalità diretta (nel senso che se A cresce o decresce lo stesso vale per B) o una relazione di accumulo (nel senso che A si accumula in B). Nel caso (2) fra A e B si ha o una relazione di proporzionalità inversa (nel senso che se A cresce o decresce l opposto accade per B) o una relazione di 59

27 1.8 Capitolo 1 svuotamento (nel senso che A causa il decremento di B). Più relazioni causali possono essere utilizzate fra due o più variabili in modo che sia possibile definire i cosiddetti diagrammi causali (vedi la Figura 1.9) contenenti catene semplici (nel senso che attraversano ogni variabile tranne al più una una sola volta) chiuse (nel senso che hanno una sola variabile con una freccia in uscita e una in entrata che appartengono alla stessa catena) di relazioni causali e tali catene sono dette cicli o anelli di retroazione. Figura 1.9: Diagramma causale con tre variabili e due cicli Il diagramma causale di Figura 1.9 è caratterizzato da: - un ciclo o anello di retroazione A + B + A, - un ciclo o anello di retroazione A + B + C A. Il primo anello è di tipo positivo (come è testimoniato dal simbolo al suo interno) perché non contiene relazioni causali di tipo e lo sarebbe anche se contenesse un numero pari di relazioni causali di tipo. Il secondo anello è di tipo negativo (come è testimoniato dal simbolo al suo interno) perché contiene un numero dispari di relazioni causali di tipo. Dal diagramma causale di Figura 1.9 si deduce che: - se Acresce lo stesso vale per B la cui crescita si traduce in una ulteriore crescita per A, - se A decresce lo stesso vale per B la cui decrescita si traduce in una ulteriore decrescita per A, 60

28 1.8 Capitolo 1 - se A cresce lo stesso vale per B la cui crescita si traduce in una crescita per C la cui crescita causa una decrescita di A, - se A decresce lo stesso vale per B la cui decrescita si traduce in una decrescita per C la cui decrescita causa una crescita di A. Da tali ragionamenti si traggono le giustificazioni per il segno dei due cicli di retroazione. Per loro natura i diagrammi causali sono più adatti allo sviluppo di ragionamenti di tipo qualitativo ed hanno in genere uno dei due utilizzi seguenti: (A) come propedeutici per la definizione di un diagramma di flusso, (B) come un mezzo per spiegare la struttura e il funzionamento di un diagramma di flusso. Nel caso (A) dato un problema di cui si vuole determinare un modello su cui eseguire delle simulazioni si devono compiere i passi seguenti: - si individuano le variabili necessarie alla descrizione del problema; - si stabiliscono le relazioni di causa effetto fra le varie variabili; - si traccia in diagramma causale corrispondente al sistema di cui si sta definendo un modello. Una volta definito il diagramma causale come quello di Figura 1.10 è possibile usarlo per svolgere considerazioni di tipo qualitativo. Se si vogliono svolgere considerazioni di tipo quantitativo è necessario ricavare il diagramma di flusso corrispondente al diagramma causale ovvero è necessario passare, ad esempio, dal diagramma causale di Figura 1.10 al diagramma di flusso di Figura 1.7. Per poter eseguire questo passaggio è necessario: - assegnare un tipo (flusso, livello, costante, ausiliaria) a ciascuna delle variabili del diagramma causale; - definire altre variabili dei tipi opportuni che risultassero necessarie perché sia possibile eseguire la trasformazione; - definire le relazioni matematiche associate alle varie variabili, inizializzare le costanti e assegnare a tutte le variabili di ogni tipo le necessarie unità di misura. 61

29 1.8 Capitolo 1 Figura 1.10: Il diagramma causale del modello di Figura 1.7 Il secondo punto è un punto chiave e la sua esecuzione può non essere banale. Se, ad esempio, nel diagramma causale di Figura 1.9 si ha che sia A sia B individuano due livelli, dal momento che un livello pò variare solo per l azione dei flussi, è necessario definire in modo opportuno due flussi, uno in ingresso a ciascun livello, e le relazioni fra tali flussi in modo che siano rispettate le relazioni che esistono fra i livelli di partenza. Secondo questo approccio si parte, ad esempio, dal diagramma causale di Figura 1.10 per arrivare al diagramma di flusso di Figura 1.7. Nel caso (B) si suppone di avere determinato direttamente dalla descrizione del nostro problema (come abbiamo visto, anche per altri modelli, nelle sezioni precedenti di questo stesso capitolo) il diagramma di flusso di Figura 1.7 e da questo si vuole ricavare il corrispondente diagramma causale di Figura 1.10 allo scopo di chiarire il modello sia a noi stessi sia ad altri. I diagrammi causali sono, quindi, utilizzabili da un punto di vista qualitativo come supporto delle scelte fatte al momento della definizione del diagramma di flusso a partire da una descrizione, spesso di tipo qualitativo, di un dato problema. In questo caso la traduzione è più agevole e consiste nei passi seguenti: - si tracciano tanti nodi quante sono le variabili nel diagramma di flusso; - per ogni coppia di variabili che sono inrelazione fra di loro nel diagramma di flusso si traccia un arco orientato dalla variabile che rappresenta la causa a quella che rappresenta l effetto; 62

30 1.8 Capitolo 1 - si determina il segno da associare ad ogni arco in base a considerazioni sul legame fra gli andamenti delle variabili connesse da ogni arco; - si determina il segno da associare ad ogni ciclo sulla base del numero degli archi di tipo che sono contenuti in ciascun ciclo. I diagrammi delle Figure 1.7 e 1.10 costituiscono quella che potremmo definire una coppia duale sebbene in generale ([10], [18]) sia possibile affermare che: - ad un diagramma di flusso corrisponde un solo diagramma causale; - ad un diagramma causale possono corrispondere più diagrammi di flusso in funzione del tipo assegnato alle varie variabili presenti nel diagramma causale e alle variabili aggiunte durante la definizione del corrispondente diagramma di flusso. Nel caso del diagramma causale di Figura 1.9 si hanno le due possibili traduzioni in un diagramma di flusso mostrate in Figura La traduzione (a) assume che: - A sia una variabile di tipo flusso, B sia una variabile di tipo livello e C sia una variabile ausiliaria; - le costanti T ed fc sono state aggiunte per motivi di congruenza dimensionale e per aumentare la leggibilità e la flessibilità del diagramma di flusso stesso e non sono necessarie nel diagramma causale in cui non si scrivono, in genere, le relazioni matematiche fra le varie variabili. Le relazioni significative che sono state definite per questo diagramma di flusso sono riportate qui di seguito: (01) A=B*fc-C Units: unit/month (02) B= INTEG (A,1) Units: unit (03) C=B/T Units: unit/month (04) fc=1 Units: 1/Month [1,1,1] (05) T=1 Units: Month [1,10,0.1] In questo caso si ha che: 63

31 1.8 Capitolo 1 Figura 1.11: Diagrammi di flusso corrispondenti al diagramma causale di Figura la relazione (01) soddisfa le specifiche dei legami causali fra B ed A e fra C ed A; - la relazione (02) soddisfa le specifiche del legame causale fra A e B; - la relazione (03) soddisfa le specifiche del legame causale fra B e C; - la relazione (04) definisce la prima variabile aggiunta ovvero f c; - la relazione (05) definisce la seconda variabile aggiunta ovvero T. La traduzione (b) assume che: - A sia una variabile di tipo livello, B e C siano variabili di tipo flusso; - le costanti T (e la corrispondente < T > in figura 1.11) e k sono state aggiunte per motivi di congruenza dimensionale e per aumentare la leggibilità e la flessibilità del diagramma di flusso stesso e non sono necessarie nel diagramma causale in cui non si scrivono, in genere, le relazioni matematiche fra le varie variabili. Le relazioni significative che sono state definite per questo diagramma di flusso sono riportate qui di seguito: 64

32 1.9 Capitolo 1 (01) A= INTEG (B-C,1) Units: unit (02) B=A/T Units: unit/month (03) C=B*k Units: unit/month (04) k=0.1 Units: Dmnl [0,1,0.01] (05) T=1 Units: Month [1,10,0.1] In questo caso si ha che: - la relazione (01) soddisfa le specifiche dei legami causali fra B ed A e fra C ed A; - la relazione (02) soddisfa le specifiche del legame causale fra A ed B; - la relazione (03) soddisfa le specifiche del legame causale fra B e C; - la relazione (04) definisce la prima variabile aggiunta ovvero k; - la relazione (05) definisce la seconda variabile aggiunta ovvero T. 1.9 Esercizi proposti La presente sezione, come altre similari contenute alla fine di altri capitoli, contiene alcuni esercizi la cui soluzione consiste nella definizione di un modello Vensim che soddisfa certe specifiche e che si basa sull applicazione, in certi casi creativa, dei concetti esposti nel presente capitolo. Esercizio Si consideri di avere una variabile caratterizzata dalla seguente evoluzione nel tempo: L(t) = R(1 e t/r ) (1.21) Si definisca un possibile modello Vensim in cui una delle variabili sia un livello che nel tempo mostra il suddetto andamento. Suggerimento: si analizzi, come passo preliminare, l andamento nel tempo della L(t) sull intervallo [0, + ] della variabile tempo t e sotto l ipotesi che sia R > 0. 65

33 1.9 Capitolo 1 Esercizio Si definisca un modello Vensim che descrive la seguente situazione. A partire da un capitale X di valore iniziale X(0) = che cresce con un tasso di interesse annuo dello 0.05 si valuti con che frequenza e in che entità è possibile effettuare prelievi in modo che il capitale non diminuisca. Si determini una condizione di equilibrio ovvero una combinazione di frequenza ed entità tali che la variabile X mantiene il valore iniziale. Suggerimento: nella definizione dei prelievi si parta da un prelievo costante e poi si usi la funzione pulse train ([17]) che definisce una successione regolare di impulsi dei quali si può variare l altezza, la durata e la frequenza di ripetizione. Esercizio Si definisca un modello Vensim che descrive la seguente situazione. Dato un bacino artificiale che contiene C = C(t) metri cubi di acqua, caratterizzato da affluenti che hanno una portata non nulla solo per 4 mesi all anno si determini l entità del prelievo medio tale che il contenuto del bacino non scende mai al di sotto di un valore C min = 0.1 C max se C max ne definisce la capacità massima. Si assuma la portata non nulla (misurata in migliaia di metri cubi al mese e di almeno tre ordini di grandezza inferiore 6 a C(0)) come costante ad una valore P da determinare e si imposti il problema assegnando un valore arbitrario (in migliaia di metri cubi) alla variabile C(0). L entità del prelievo deve, in più, impedire che si superi la capacità massima C max del bacino. Esercizio Si definisca un modello Vensim che descrive la seguente situazione. Sia data una popolazione P (con valore iniziale 7 P(0) 0) caratterizzata da un tasso di natalità TdN e da un tasso di mortalità TdM identici. Nel corso dell anno, con cadenza semestrale, questa popolazione viene colpita da epidemie periodiche di durata pari a un mese che hanno un duplice effetto: - causano, in quel mese, la morte di una frazione di individui pari allo 0.2 del totale degli individui presenti in quel momento; - causano, in quel mese, un incremento dello del tasso di natalità TdN. 6 Con questo si vuole dire che se C(0) è misurata in milioni (ovveromigliaia di migliaia) di metri cubi le portate sono, al più, misurate in migliaia di metri cubi. 7 Il simbolo significa molto maggiore di. 66