Capitolo 4. Quarta lezione. 4.1 Introduzione

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1 Capitolo 4 Quarta lezione 4.1 Introduzione In questa lezione esamineremo il caso dei due livelli X e Y interagenti in parallelo che non abbiamo stato esaminato nel capitolo 3. In questo caso i due livelli sono detti interagire in parallelo dal momento che non si ha un passaggio di materia da un livello all altro come avviene di norma nel caso delle interazioni in cascata che abbiamo visto nel capitolo 3. Nel caso presente un livello può mostrare una sua dinamica (sia pure priva di plausibilità fisica data la particolare situazione di interazione) anche qualora l altro livello assuma costantemente valori nulli mentre questo non può accadere, in genere, nel caso dei modelli che descrivono le interazioni in cascata. Questa modalità di interazione sarà applicata al caso di due popolazioni che interagiscono secondo varie modalità. Nella sezione 5.4 vedremo come sia possibile estendere un modello basato su due popolazioni mediante l inserimento di una terza popolazione. Per quanto riguarda il caso di due popolazioni interagenti vedremo quattro modelli. Nel primo modello esamineremo il caso di due popolazioni che si influenzano a vicenda mediante interazioni di tipo indiretto o senza aggressività. In questo caso l interazione (indiretta) è dovuta al fatto che entrambe le popolazioni coesistono nello stesso ambiente e non nel fatto che una specie, che diremo dei predatori, preda attivamente l altra, che diremo delle prede. Nel caso dei modelli basati sulla presenza di prede e predatori diremo, infatti, che fra le due popolazioni si ha una interazione di tipo diretto o basata sull aggressività. Nei successivi tre modelli, pertanto, tale tipo di interazione sarà l elemento chiave di ognuno dei modelli che si differenzia dagli altri solo nel modo in 135

2 4.2 Capitolo 4 cui tale interazione viene realizzata sia nei confronti dell altra specie sia per quanto riguarda l influenza esercitata da una specie sulla specie stessa. Un elemento comune ai tre modelli di tipo prede predatori è rappresentato dalle seguenti ipotesi: - i predatori si nutrono solo di quel tipo di prede; - le prede sono predate solo da quel tipo di predatori. Per i modelli che vedremo nel presente capitolo ci porremo nella seguente situazione semplificata: - si usa un livello per descrivere l evoluzione nel tempo di una popolazione per cui i modelli sono caratterizzati da due livelli; - si considerano due soli flussi per popolazione, uno in ingresso (legato alla natalità) e uno in uscita (legato alla mortalità); - si assume che tali flussi interagiscono con i livelli nel modo più semplice possibile. Si ricorda che, in caso di assenza di interazioni fra flussi, sarebbe possibile studiare le evoluzioni delle popolazioni una indipendentemente dall altra. Come dovrebbe essere evidente da quanto visto nel capitolo 3 è possibile descrivere ciascuna delle due popolazioni usando più livelli in modo da poter prendere in considerazione i possibili stadi di sviluppo delle singole popolazioni, come è richiesto in alcuni degli esercizi della sezione 4.6. Torneremo su questi concetti nel capitolo 5. Riassumendo si ha che: - i modelli contengono due livelli rappresentati con le variabili X e Y, uno per ciascuna delle popolazioni descritte dal modello; - ciascun livello è associato ad una equazione differenziale del tipo: Ẋ = φ in φ out (4.1) nella quale φ in rappresenta il solo flusso in ingresso e φ out il solo flusso in uscita sebbene nella implementazione si possano introdurre, per aumentare la leggibilità di un modello, un certo numero di variabili ausiliarie; - si hanno interazioni fra flussi e livelli che traducono le influenze reciproche fra le popolazioni e che caratterizzano ciascun modello. 136

3 4.2 Capitolo Due popolazioni interagenti senza aggressività Presentazione del modello e analisi formale Nel caso di questo primo modello si hanno due popolazioni, rappresentate con le variabili X e Y, che interagiscono in modo indiretto attraverso un ambiente comune in cui entrambe vivono. In questo caso si può pensare che ciascuna popolazione sia caratterizzata da: - una natalità che dipende dalla popolazione stessa, - una mortalità che dipende dall affollamento causato dalla specie stessa e dall altra specie con cui coesiste nello stesso ambiente. In base a tali ipotesi possiamo rappresentare la mortalità come proporzionale, tramite un coefficiente strettamente positivo, sia alla numerosità di ciascuna popolazione sia ad un termine (X +Y) che indica la numerosità totale delle due popolazioni. La natalità di una popolazione, d altro lato, è assunta dipendere dalla sola numerosità della popolazione ovvero dalla variabile, rispettivamente, X o Y moltiplicata per un coefficiente strettamente positivo che rappresenta il tasso di natalità per quella popolazione. Date queste ipotesi le equazioni differenziali descrittive delle evoluzioni nel tempo delle due popolazioni hanno la forma seguente: Ẋ = ax α(x +Y)X (4.2) Ẏ = by β(x +Y)Y (4.3) con i valori iniziali X(0) = X 0 e Y(0) = Y 0 e con il vincolo che i coefficienti a e b (tassi di natalità) e α e β (che possono essere visti come tassi di mortalità per unità di popolazione, vedi oltre) assumano valori strettamente positivi. In tali equazioni sono facilmente individuabili i cicli di retroazione positivi e negativi. Nelle relazioni (4.2) e (4.3) il termine (X + Y) definisce l elemento di simmetria fra le due popolazioni che si influenzano reciprocamente secondo una modalità che viene rappresentata mediante questo termine. In questo modo ogni popolazione influenza la propria mortalità ma anche la mortalità dell altra popolazione. Nel caso della popolazione X la prima influenza è rappresentata dal termine αx mentre la seconda è rappresentata dal termine βx. In modo duale si ragiona sulla popolazione Y con i termini αy e βy. Nei modelli del tipo prede e predatori che esamineremo dalla sezione 4.3 in 137

4 4.2 Capitolo 4 poi vedremo come le due popolazioni si influenzano in modo asimmetrico dato che tali interazioni influenzano la mortalità delle prede e la natalità dei predatori. È possibile riscrivere le equazioni differenziali del modello nella forma seguente: Ẋ = (a αx)x αxy (4.4) oppure nella forma seguente: Ẏ = (b βy)y βxy (4.5) Ẋ = (a αx αy)x (4.6) Ẏ = (b βy βx)y (4.7) A questo punto, se si considera la (4.4) (ma considerazioni analoghe valgono per la (4.5)), si ha che, in assenza dell altra specie (ovvero se Y = 0, condizione che rappresenta una condizione di equilibrio per la (4.5)), tale equazione può essere riscritta nella forma seguente: dove si è posto: λ 0X = a m X = a/α Ẋ = λ 0X (1 X m X )X (4.8) Se si ha X 0 < m X /2 la (4.8) ha come soluzione una curva crescente da X 0 a m X con un punto di flesso (con cambio di concavità) in m X /2. Si noti che si hanno le seguenti relazioni dimensionali 1 : [X] = unit [a] = 1/t [α] = 1/(t unit) [m X ] = unit In modo duale se X = 0 si può riscrivere la (4.5) come segue: se si pone: Ẏ = λ 0Y (1 Y m Y )Y (4.9) 1 Si ricorda che il carattere viene usato nelle espressioni matematiche per indicare l operazione prodotto in tutti i casi in cui la sua omissione può dare luogo ad ambiguità. 138

5 4.2 Capitolo 4 λ 0Y = b m Y = b/β Per questa relazione possono essere svolte considerazioni analoghe a quelle fatte per la (4.8). Si fa notare che nella (4.8) e nella (4.9), come risulta anche dall analisi dimensionale svolta, i termini m X e m Y individuano la massima crescita di una popolazione in assenza dell altra. A questo punto ci si propone di: (a) determinare gli equilibri delle (4.6) e (4.7) (b) analizzare, nei limiti del possibile, la tipologia di ciascun equilibrio; (c) determinare una qualche soluzione di tali equazioni differenziali. In merito al punto (c) si fa notare come si possa considerare di avere una soluzione anche qualora si riesca ad esprimere in qualche modo l andamento delle perturbazioni delle variabili X e Y da una condizione di equilibrio, come sarà chiarito nel caso del modello di Samuelson (che vedremo nella sezione 4.3) e del modello di Lotka-Volterra semplificato (che vedremo nella sezione 4.5). In merito al punto (a) per determinare le condizioni di equilibrio si impone Ẋ = 0 e Ẏ = 0. Da un esame delle (4.6) e (4.7) si vede subito come si hanno quattro condizioni di equilibrio. (1) X 1 = 0 e Y 1 = 0 (2) X 2 = 0 e Y 2 = m Y dato che, se la specie X è assente, la specie Y si espande fino al valore m Y. (3) X 3 = m X e Y 3 = 0 dato che, se la specie Y è assente, la specie X si espande fino al valore m X. (4) ovvero: a α(x 4 +Y 4 ) = 0 (4.10) b β(x 4 +Y 4 ) = 0 (4.11) X 4 +Y 4 = a α = m X (4.12) X 4 +Y 4 = b β = m Y (4.13) Da queste relazioni si vede subito come, affinché questo equilibrio sia possibile, debba essere: 139

6 4.2 Capitolo 4 m X = m Y = m In questo caso il segmento X + Y = m (con i vincoli X [0,m] e Y [0, m]) individua il luogo geometrico degli infiniti punti di equilibrio del sistema delle due equazioni differenziali. Noti gli equilibri se ne vuole studiare la tipologia (punto (b)). A questo scopo si riscrivono le (4.6) e (4.7) come: Ẋ = F 1 (X,Y) = (a αx αy)x (4.14) Ẏ = F 1 (X,Y) = ((b βy βx)y (4.15) Se con X,Y si denota uno dei quattro punti di equilibrio e si indicano con w e z due perturbazioni da una condizione di equilibrio si possono definire i seguenti punti di non equilibrio: X = X +w ovvero w = X X e ẇ = Ẋ Y = Y +z ovvero z = Y Y e ż = Ẏ Dalle (4.14) e (4.15) si ricavano, sviluppandole in serie di Taylor fino al primo ordine, le seguenti equazioni: ẇ = F 1 (X +w,y +z) = F 1 (X,Y )+w F 1 X X,Y +z F 1 Y X,Y (4.16) ż = F 2 (X +w,y +z) = F 2 (X,Y )+w F 2 X X,Y +z F 2 Y X,Y (4.17) Se considero che, per definizione di punto di equilibrio, si ha F 1 (X,Y ) = 0 e F 2 (X,Y ) = 0 e se si considerano le espressioni della F 1 e della F 2 con semplici calcoli (e un po di manipolazioni il cui scopo sarà chiaro nel caso della quarta condizione di equilibrio) si ricavano le seguenti relazioni: ẇ = w(a α(x +Y) αx) αzx (4.18) ż = βwy +z(b β(x +Y) βy) (4.19) che devono essere valutate in ciascuno dei quattro punti di equilibrio. (1) Nel caso del primo equilibrio (ovvero nel caso di X 1 = 0 e Y 1 = 0) si ha sia ẇ = aw sia ż = bz per cui (essendo a > 0 e b > 0) si ha: w + per t + z + per t + 140

7 4.2 Capitolo 4 Questo equilibrio è di tipo instabile dal momento che, una volta perturbato dalla condizione di equilibrio X1 = 0 e Y 1 = 0, il sistema tende ad allontanarsi sempre più da questa condizione. (2) Nel caso del secondo equilibrio X 2 = 0 e Y 2 = m Y = b β è possibile riscrivere la (4.18) e la (4.19) nelle forme seguenti: ẇ = w(a α b β ) = wa(1 m Y m X ) (4.20) ż = bw bz (4.21) Nella (4.20) si sono usate le seguenti definizioni già introdotte a suo tempo: m X = a (4.22) α m Y = b β (4.23) Dalla (4.20) si ricava, con tecniche note: con: w(t) = w(0)e kt (4.24) k = a(1 m Y m X ) (4.25) per cui si ha stabilità solo se k < 0 ovvero solo se m Y > m X. Se si usa la (4.24) nella (4.21) si può utilizzare il termine e bt come fattore integrale in modo da riscrivere la (4.21) come: dalla quale, con semplici passaggi, si ottiene: że bt +bze bt = bw(0)e kt e bt (4.26) z(t) = z(0)e bt + bw(0) k +b (ekt e bt ) (4.27) per cui anche in questo caso si ha stabilità solo se k < 0 ovvero solo se m Y > m X. (3) Nel caso del terzo equilibrio X3 = m X e Y3 l analisi fatta per il secondo equilibrio. = 0 è possibile ripetere 141

8 4.2 Capitolo 4 (4) Nel caso del quarto equilibrio si ha: a α(x 4 +Y 4 ) = 0 (4.28) b β(x 4 +Y 4 ) = 0 (4.29) per cui è possibile riscrivere la (4.18) e la (4.19) nelle forme seguenti: ẇ = αx 4 w αx 4 z (4.30) ż = βy 4 w βy 4 z (4.31) Se si pone αx4 = k > 0 e βy4 = h > 0 si ottiene il seguente sistema di due equazioni differenziali del primo ordine nelle incognite w e z: ( ẇ ż ) = ( k k h h )( w z ) (4.32) che può essere riscritto nella forma seguente, con le ovvie corrispondenze: Ẇ = AW (4.33) Come sarà spiegato in dettaglio nel capitolo 6 per risolvere il sistema (4.33) è necessario: - determinare due valori (detti autovalori) di un parametro λ tale che det(a λi) = 0, - per ogni valore del parametro λ (ovvero per ogni autovalore) determinare un vettore V (detto autovettore) tale che sia soddisfatta la seguente uguaglianza; AV = λv (4.34) La matrice I è la matrice identità i cui elementi sono tutti uguali a 0 tranne quelli della diagonale principale che sono uguali a 1. Con semplici calcoli, dai dati in nostro possesso si ottiene la seguente equazione di secondo grado nell incognita λ (tale equazione costituisce la cosiddetta equazione caratteristica): ovvero: dalla quale si hanno i seguenti autovalori: (k +λ)(h+λ) hk = 0 (4.35) λ(λ+k +h) = 0 (4.36) 142

9 4.2 Capitolo 4 λ 1 = 0 λ 2 = (k +h) < 0 Al primo autovalore λ 1 = 0 corrisponde il seguente autovettore (ottenibile risolvendo la (4.34) con λ = λ 1 ): ( ) 1 V 1 = (4.37) 1 Al secondo autovalore λ 2 = (k +h) < 0 corrisponde un autovettore V 2 che, con semplici calcoli (ovvero risolvendo la (4.34) con λ = λ 2 ), si scopre avere la forma seguente: ( ) 1 V 2 = h (4.38) k Come sarà mostrato in dettaglio nel capitolo 6, la soluzione del nostro sistema di equazioni differenziali ha la forma seguente: W = C 1 V 1 +C 2 V 2 e λ 2t (4.39) nella quale i valori delle costanti C 1 e C 2 dipendono da due condizioni iniziali. Dal momento che si ha λ 2 = (k +h) < 0 si ha che per t + si ha: W C 1 V 1 (4.40) In questo caso si parla di stabilità non asintotica in modo che questo equilibrio possa essere definito come indifferente. Esercizio Ripetere per il terzo equilibrio l analisi svolta nel caso del secondo equilibrio. L ultimo passo da compiere è quello di individuare almeno la struttura delle soluzioni (punto (c)) delle equazioni differenziali date che vengono riscritte qui di seguito per comodità. Ẋ = ax α(x +Y)X (4.41) Ẏ = by β(x +Y)Y (4.42) Per procedere nella determinazione di una soluzione è possibile sfruttare la presenza del fattore (X +Y) in comune alle due equazioni. In questo modo è possibile riscrivere le equazioni date come: Ẋ ax αx = (X +Y) (4.43) 143

10 4.2 Capitolo 4 Ẏ by βy = (X +Y) (4.44) dalle quali si ottiene, utilizzando le definizioni (4.22) e (4.23): Ẋ αx Ẏ βy = m X m Y = m (4.45) Utilizzando la tecnica delle variabili separabili è possibile riscrivere la (4.45) come: dx αx dy = mdt (4.46) βy dalla quale, integrando membro membro e con semplici calcoli, si ottiene: con: ln X 1 α Y 1 β = mt+k (4.47) k = ln X(0) 1 α Y(0) 1 β Sostituendo la (4.48) nella (4.47) si ottiene: ovvero: ln ( X X(0) ) 1 α ( Y Y(0) ) 1 β ( X X(0) ) 1 α ( Y Y(0) ) 1 β (4.48) = mt (4.49) = e mt (4.50) È possibile arrivare allo stesso risultato per altra via se si integra la (4.45) fra gli estremi X 0 e X, Y 0 e Y e 0 e t in modo da scriverla nella forma seguente: 1 α X X 0 ds s 1 β Y Y 0 ds s = dalla quale con semplici passaggi è facile ricavare la (4.50). Per la (4.50) si considerano i casi seguenti. t 0 Mds (4.51) (1) Se si hanno due specie simmetriche ovvero due specie caratterizzate da valori identici per m X e m Y si ha m = m X m Y = 0 per cui la (4.50) si trasforma nella: ( X X(0) ) 1 Y α = ( Y(0) ) 1 β (4.52) A questo punto si hanno i due sottocasi seguenti: 144

11 4.2 Capitolo 4 (1a) α = β (1b) α β Se α = β si ha che la compresenza delle due popolazioni ne influenza la mortalità nella stessa misura per cui dalla (4.52) si ottiene la seguente relazione lineare fra le due popolazioni: Se invece è α β la (4.50) si trasforma nella: X(t) = X(0) Y(t) (4.53) Y(0) X(t) = X(0)( Y(t) Y(0) )α β (4.54) Se si ha α > β si ha α/β > 1 per cui se Y cresce (ovvero se Y(t) > Y(0)) anche X cresce (ovvero si ha X(t) > X(0)) mentre se Y decresce (ovvero se Y(t) < Y(0)) anche X decresce (ovvero si ha X(t) < X(0)). Se si ha α < β si ha α/β < 1 si possono ripetere gli stessi ragionamenti scambiando il ruolo delle due variabili X e Y ovvero utilizzando la seguente relazione: Y(t) = Y(0)( X(t) X(0) )β α (4.55) (2) Se, invece, si ha m 0 ovvero si ha m X m Y si devono considerare i due sottocasi seguenti: (a) m > 0 ovvero si ha m X > m Y (b) m < 0 ovvero si ha m X < m Y Nel caso (a) dalla (4.50) si ottiene: ( X X(0) ) 1 α ( Y Y(0) ) 1 β + (4.56) per t +. Da questo fatto si deduce che, siccome la X(t) assume valori finiti nel tempo, deve necessariamente essere Y(t) 0 per t + ovvero la popolazione con il valore più basso del parametro capacità di carico si estingue. In modo del tutto analogo dal fatto che, nel caso (b), dalla (4.50) si ottiene: ( X ) 1 α X(0) ( Y Y(0) ) 1 β (4.57)

12 4.2 Capitolo 4 per t + discende che, dato che la Y(t) assume valori finiti nel tempo, deve necessariamente essere X(t) 0 per t + ovvero, anche in questo caso, la popolazione con il valore più basso del parametro capacità di carico si estingue Implementazione del modello con Vensim Il modello Vensim viene realizzato partendo dalle equazioni differenziali seguenti: Ẋ = ax α(x +Y)X (4.58) Ẏ = by β(x +Y)Y (4.59) Da tali equazioni, come già noto, si derivano per i parametri (tutti assunti a valori strettamente positivi) le seguenti relazioni dimensionali: [a] = 1/t [α] = 1/(t unit) [b] = 1/t [β] = 1/(t unit) Per ragioni chiarite nella sezione (e sulla scorta delle suddette relazioni dimensionali) si capisce come sia preferibile caratterizzare il modello utilizzando i parametri α e β insieme ai parametri seguenti che definiscono le capacità di carico delle due popolazioni quando ciascuna è considerata in assenza dell altra: m X = a (4.60) α m Y = b β (4.61) Le relazioni caratteristiche del modello rappresentato in figura 4.1 sono riportate qui di seguito. (01) a=mx*alpha Units: 1/Month (02) alpha=0 Units: 1/(Month*unit) [0,1,0.001] (03) b=my*beta Units: 1/Month (04) beta=0 Units: 1/(Month*unit) [0,1,0.001] 146

13 4.2 Capitolo 4 (05) FINAL TIME = 18 Units: Month [2,100,1] The final time for the simulation. (06) INITIAL TIME = 0 Units: Month The initial time for the simulation. (07) inx=a*x (08) iny=b*y (09) mx=100 [100,1000,1] (10) my=100 [100,1000,1] (11) outx=alpha*tot*x (12) outy=beta*tot*y (13) SAVEPER = TIME STEP Units: Month [0,?] The frequency with which output is stored. (14) TIME STEP= Units: Month [ ,1, ] The time step for the simulation. (15) Tot=X+Y (16) X= INTEG (inx-outx,x0) (17) X0=10 [0,1000,1] (18) Y= INTEG (iny-outy,y0) (19) Y0=10 [0,1000,1] Come si deduce da una analisi delle suddette relazioni e, in particolare, delle relazioni evidenziate qui di seguito, in casi come questi si assume che le popolazioni che siamo interessati a descrivere sono caratterizzate da valori numerici della numerosità non molto dissimili fra loro. Nel caso dei modelli in cui si ha una popolazione di prede e una di predatori vedremo, invece, come la popolazione delle prede sia, in genere, molto più numerosa di quella 147

14 4.2 Capitolo 4 dei predatori. (09) mx=100 [100,1000,1] (10) my=100 [100,1000,1] (17) X0=10 [0,1000,1] (19) Y0=10 [0,1000,1] Figura 4.1: Modello Vensim per due popolazioni senza aggressività Dalla figura 4.1 è possibile vedere come le variabili esogene del modello sono state fissate ai valori seguenti: (02) alpha=0.012 Units: 1/(Month*unit) [0,1,0.001] (04) beta=0.012 Units: 1/(Month*unit) [0,1,0.001] (09) mx=235 [100,1000,1] (10) my=

15 4.2 Capitolo 4 [100,1000,1] (17) X0=10 [0,1000,1] (19) Y0=10 [0,1000,1] Essendo α = β e m X > m Y dalla analisi svolta al termine della sezione si deduce che: - la popolazione Y si deve estinguere; - la popolazione X si deve stabilizzare ad un valore di equilibrio pari a m X. Queste previsioni, dati i valori correnti delle variabili esogene, sono confermate dall andamento dei due livelli illustrato in figura 4.2. Figura 4.2: Possibile andamento dei livelli per il modello Vensim di figura 4.1 A questo punto si ritiene utile presentare in figura 4.3 il diagramma causale del modello Vensim di figura 4.1 in modo da evidenziare i legami causali fra le diverse variabili con i relativi segni e gli anelli di retroazione con i relativi segni ma senza i versi di percorrenza, peraltro facilmente ricavabili per ciascuno di tali anelli di retroazione. Si ricorda come un diagramma causale possa essere utilizzato: 149

16 4.2 Capitolo 4 Figura 4.3: Diagramma causale del modello Vensim di figura come strumento di analisi preliminare come ausilio per la creazione di un diagramma di flusso per la individuazione delle variabili di interesse e delle loro relazioni reciproche; - come strumento per la chiarificazione delle relazioni che esistono fra determinate variabili in un sistema che sono state quantificate in un diagramma di flusso. In merito ai diagrammi causali si fa notare come, almeno in teoria, niente vieti un loro utilizzo per l esecuzione di simulazioni a patto che in un diagramma causale vengano compiuti i passi necessari ovvero che: - tutte le variabili abbiano la loro unità di misura; - le varie relazioni matematiche fra le variabili siano definite; - tutte le costanti siano inizializzate in modo opportuno. In genere, tuttavia, non si segue questa strada ma si preferisce usare i diagrammi causali per gli aspetti qualitativi dell analisi e i diagrammi di flusso per gli aspetti quantitativi. Il motivo, oltre che in ragioni storiche legate allo sviluppo di questa metodologia, è da ricercarsi essenzialmente nella mancanza, nei diagrammi causali, degli elementi pittorici che sono presenti nei diagrammi di flusso. 150

17 4.2 Capitolo 4 Si ricorda, infine, come il passaggio da un diagramma di flusso al corrispondente diagramma causale sia, in genere, una operazione di tipo meccanico mentre, a corollario di quanto detto in precedenza, il passaggio inverso (oltre a richiedere, in genere, la definizione di ulteriori variabili che non sono state individuate nella definizione del diagramma causale) richiede sia la tipizzazione delle variabili sia la definizione delle relazioni matematiche fra le varie variabili per ciascuna delle quali è necessario fissare l unità di misura oltre al valore iniziale e all intervallo di variabilità (se si tratta di una variabile di tipo costante). Come noto dalla analisi svolta nella sezione il presente modello presenta quattro condizioni di equilibrio. Nella figura 4.4 viene presentato un modello Vensim che consente di visualizzare dinamicamente tali condizioni con l avvertenza che, nell analizzare la quarta condizione di equilibrio, si deve avere l accortezza di imporre manualmente la condizione m X = m Y, condizione necessaria perché tale equilibrio si realizzi. Le relazioni caratteristiche di questo modello sono riportate qui di seguito. (01) a=mx*alpha Units: 1/Month (02) alpha=0 Units: 1/(Month*unit) [0,1,0.001] (03) b=my*beta Units: 1/Month (04) beta=0 Units: 1/(Month*unit) [0,1,0.001] (05) FINAL TIME = 100 Units: Month [2,100,1] The final time for the simulation. (06) INITIAL TIME = 0 Units: Month The initial time for the simulation. (07) inx=a*x (08) iny=b*y (09) mx=100 [100,1000,1] (10) my=100 [100,1000,1] (11) outx=alpha*tot*x 151

18 4.2 Capitolo 4 Figura 4.4: Condizioni di equilibrio per il modello Vensim di figura 4.1 (12) outy=beta*tot*y (13) phi=0 Units: 1/Month [0,1,0.01] (14) SAVEPER = TIME STEP Units: Month [0,?] The frequency with which output is stored. (15) switch=1 Units: Dmnl [1,4,1] (16) switch1=(2-switch)*(3-switch)*(4-switch)/6 Units: Dmnl (17) switch2=-(1-switch)*(3-switch)*(4-switch)/2 Units: Dmnl 152

19 4.2 Capitolo 4 (18) switch3=(1-switch)*(2-switch)*(4-switch)/2 Units: Dmnl (19) swithc4=-(1-switch)*(2-switch)*(3-switch)/6 Units: Dmnl (20) TIME STEP=1 Units: Month [ ,1, ] The time step for the simulation. (21) Tot=X+Y (22) X= INTEG (inx-outx,x0) (23) X0="X1*"*switch1+"X2*"*switch2+"X3*"*switch3+"X4*"*swithc4 (24) "X1*"=0 (25) "X2*"=0 (26) "X3*"=mX (27) "X4*"=mY*phi [1,1000,1] (28) Y= INTEG (iny-outy,y0) (29) Y0="Y1*"*switch1+"Y2*"*switch2+"Y3*"*switch3+"Y4*"*swithc4 [0,1000,1] (30) "Y1*"=0 (31) "Y2*"=mY (32) "Y3*"=0 (33) "Y4*"=mY-"X4*" Le relazioni precedenti coincidono con quelle del modello Vensim di figura 4.1 tranne che per le seguenti: (13) phi=0 Units: 1/Month [0,1,0.01] (15) switch=1 Units: Dmnl [1,4,1] (16) switch1=(2-switch)*(3-switch)*(4-switch)/6 153

20 4.2 Capitolo 4 Units: Dmnl (17) switch2=-(1-switch)*(3-switch)*(4-switch)/2 Units: Dmnl (18) switch3=(1-switch)*(2-switch)*(4-switch)/2 Units: Dmnl (19) swithc4=-(1-switch)*(2-switch)*(3-switch)/6 Units: Dmnl (23) X0="X1*"*switch1+"X2*"*switch2+"X3*"*switch3+"X4*"*swithc4 (24) "X1*"=0 (25) "X2*"=0 (26) "X3*"=mX (27) "X4*"=mY*phi [1,1000,1] (28) Y= INTEG (iny-outy,y0) (29) Y0="Y1*"*switch1+"Y2*"*switch2+"Y3*"*switch3+"Y4*"*swithc4 [0,1000,1] (30) "Y1*"=0 (31) "Y2*"=mY (32) "Y3*"=0 (33) "Y4*"=mY-"X4*" Di tali relazioni, a parte quelle che realizzano la struttura di controllo basata sulle variabili switch e che discuteremo a breve, si ritengono degne di nota le seguenti: (13) phi=0 Units: 1/Month [0,1,0.01] (27) "X4*"=mY*phi [1,1000,1] (33) "Y4*"=mY-"X4*" 154

21 4.2 Capitolo 4 Queste relazioni implementano la rappresentazione parametrizzata secondo il parametro φ [0, 1] (rappresentato come phi nelle relazioni di Vensim) della retta X4 +Y4 = m fatta usando le seguenti equazioni: X 4 = φ m Y 4 = (1 φ)m D altro lato le relazioni dalla (15) alla (19) con la (23) e la (29) violano il paradigma di base dei diagrammi causali e permettono di definire una struttura di controllo in base alla quale: - quando la variabile switch assume un valore i [1,4] assegna il valore 1 alla variabile switchi e il valore 0 a tutte le altre; - la variabile switchi che assume il valore 1 fa si che le variabili X0 e Y0 siano inizializzate con la i esima coppia di valori Xi e Yi che corrisponde alla i esima condizione di equilibrio. Esercizio Spiegare perché le relazioni dalla (15) alla (19) con la (23) e la (29) violano il paradigma di base dei diagrammi causali. Come si è visto nella analisi svolta nella sezione un caso particolare si ha quando le due popolazioni sono simmetriche ovvero quando si ha m X = m Y = m. Questa situazione è implementata con il modello in figura 4.5 nel quale la simmetria è realizzata utilizzando le seguenti relazioni: (09) mx=100 [100,1000,1] (10) my=mx Come si è anticipato in quella sede le due popolazioni mostrano andamenti analoghi. Se, come si vede dalla figura 4.5, si ha: e: X 0 < m X Y 0 < m Y α = < = β (4.62) 155

22 4.3 Capitolo 4 Figura 4.5: Modello Vensim nel caso simmetrico allora, come mostrato dalla figura 4.6, si ha che la popolazione Y (di valore iniziale Y0 = 10) cresce più della popolazione X (di valore iniziale X0 = 10). In più si ha che all equilibrio stabile le due popolazioni assumono i valori X e Y tali che si abbia: X +Y = m (4.63) con: Y > X (4.64) 4.3 Primo modello con prede e predatori: Samuelson Presentazione del modello e analisi formale Il modello di Samuelson è il primo dei modelli che esamineremo in queste note che mira a descrivere le interazioni fra una popolazione X di prede (di numerosità iniziale X(0)) e una popolazione Y di predatori (di numerosità iniziale Y(0)). In questo modello faremo l ipotesi che le prede, da un lato, vivano in un ambiente che, in assenza di predatori, pone limitazioni alla loro crescita e, 156

23 4.3 Capitolo 4 Figura 4.6: Andamento dei livelli nel modello Vensim di figura 4.5 dall altro, rappresentino l ambiente per i predatori. Cosa questo significhi sarà reso chiaro dalle ipotesi che stanno alla base di questo modello. Il modello di Samuelson, infatti, si basa sulle seguenti ipotesi: - per le prede la mortalità dipende dagli incontri con i predatori e da una mortalità legata all affollamento delle prede mentre la natalità dipende solo dalla numerosità delle prede; - per i predatori la mortalità dipende dalla numerosità dei predatori mentre la natalità dipende dagli incontri con le prede. In più si vuole che il modello soddisfi i seguenti requisiti: - in assenza di prede la popolazione dei predatori decresce in modo esponenziale; - in assenza di predatori la popolazione delle prede cresce secondo una curva logistica classica. Se si assume che: - il numero degli incontri fra le prede e i predatori sia rappresentato mediante il termine prodotto XY, - l affollamento delle prede ne determina la mortalità sotto forma di un termine quadratico X 2, 157

24 4.3 Capitolo 4 l equazione descrittiva dell evoluzione nel tempo del numero delle prede ha la struttura seguente: Ẋ = φ inx φ outx = ax αx 2 γxy (4.65) con i parametri a (tasso di natalità), α (effetto dell affollamento delle prede) e γ (letalità degli incontri con i predatori) che assumono valori strettamente positivi. D altro lato, l equazione descrittiva dei predatori ha la struttura seguente: Ẏ = φ iny φ outy = bxy βy (4.66) con b (beneficio da ogni incontro con le prede) e β (tasso di mortalità) che assumono valori strettamente positivi. Da un esame della (4.65) e della (4.66) si vede che le due popolazioni sono in una relazione di tipo asimmetrico dal momento che gli incontri fra le due popolazioni influenzano, da un lato, la mortalità delle prede e, dall altro, la natalità dei predatori. Le equazioni differenziali descrittive del modello di Samuelson sono, pertanto, le seguenti: Ẋ = (a αx γy)x (4.67) Ẏ = (bx β)y (4.68) per le quali si hanno le classiche condizioni iniziali (ovvero i valori X(0) e Y(0)) e le seguenti relazioni dimensionali: [a] = 1/t [α] = 1/(t unit) [γ] = 1/(t unit) [b] = 1/(t unit) [β] = 1/t Si fa notare come sarebbe, ad esempio, il termine αx ad avere l unità di misura che ci si può aspettare da un tasso di mortalità: [αx] = 1 t ma questo termine non rappresenta né un termine esogeno del modello (perché dipende da X) né, per lo stesso motivo, un termine costante. Per prima cosa si deve verificare se il modello così definito verifica i requisiti richiesti. 158

25 4.3 Capitolo 4 Se siamo in assenza di predatori si ha Y(t) = 0 t in modo che la (4.68) sia all equilibrio mentre la (4.67) possa essere riscritta come: se si pone: Ẋ = λ 0 (1 X m X )X (4.69) λ 0 = a (4.70) come tasso di natalità intrinseco (ovvero in assenza di limitazioni esterne) e: m X = a α (4.71) come capacità di carico dell ambiente in relazione alla sola popolazione delle prede. È immediato vedere come la (4.69) soddisfi il secondo dei nostri requisiti. Se siamo in assenza di prede si ha X(t) = 0 t in modo che la (4.67) sia all equilibrio mentre la (4.68) possa essere riscritta come: la cui soluzione: Ẏ = βy (4.72) Y(t) = Y(0)e βt (4.73) soddisfa il primo dei nostri requisiti. A questo punto si procede anche per questo modello con i passi seguenti: (1) determinazione degli equilibri; (2) analisi della tipologia di ciascun equilibrio; (3) possibili caratterizzazioni delle soluzioni. La determinazione degli equilibri (passo (1)) richiede che si trovino i valori delle variabili X e Y per i quali si ha Ẋ = 0 e Ẏ = 0 nelle due equazioni differenziali del modello che riportiamo qui di seguito per comodità. Ẋ = (a αx γy)x (4.74) Ẏ = (bx β)y (4.75) Da un esame della (4.74) e della (4.75) si può dedurre facilmente che si hanno i tre casi seguenti. (1a) X 1 = 0,Y 2 = 0 (4.76) 159

26 4.3 Capitolo 4 (1b) (1c) che, se si definisce: X 1 = a α = m X,Y 2 = 0 (4.77) X3 = β b,y 3 = 1 γ (ab αβ ) (4.78) b m Y = β b (4.79) e si ricorda la definizione del parametro m X, equivale alla seguente condizione: X3 = m Y,Y3 = α γ (m X m Y ) (4.80) sulla quale si deve imporre il vincolo che sia m X m Y dal momento che, per definizione, Y3 non può assumere valori negativi. Dalla struttura della(4.75) è immediato capire come la(4.79) non possa definire una capacità di carico per i predatori ma piuttosto definisca un valore della numerosità delle prede che rappresenta un equilibrio per i predatori. A questo punto per analizzare la tipologia di ciascuno di questi equilibri (passo (2)) si riscrivono le equazioni (4.74) e (4.75) nella forma seguente: Ẋ = F 1 (X,Y) = (a αx γy)x (4.81) Ẏ = F 2 (X,Y) = (bx β)y (4.82) Se si indica con X,Y un generico punto di equilibrio per svolgere l analisi di stabilità si definisce un punto di non equilibrio in funzione di due perturbazioni w e z: X = X +w Y = Y +z dove w = X X rappresenta la perturbazione delle prede dal valore di equilibrio ez = Y Y rappresenta lasimultanea perturbazione dei predatori dal valore di equilibrio. In questo modo si ha: Ẋ = ẇ Ẏ = ż 160

27 4.3 Capitolo 4 Se si applica uno sviluppo in serie di Taylor arrestato al primo ordine ai secondi membri della (4.81) e della (4.82) si ottengono le seguenti relazioni: Ẋ = ẇ = F 1 (X +w,y +z) = F 1 (X,Y )+w F 1(X,Y) +z F 1(X,Y) X X,Y Y (4.83) Ẏ = ż = F 2 (X +w,y +z) = F 2 (X,Y )+w F 1(X,Y) +z F 1(X,Y) X X,Y Y (4.84) Se si tiene conto del fatto che dalla definizione di equilibrio si ha: F 1 (X,Y ) = 0 F 2 (X,Y ) = 0 calcolando le derivate che compaiono nella (4.83) e nella (4.84) con pochi semplici passaggi si possono determinare le relazioni seguenti: ẇ = w(a 2αX γy ) γx z (4.85) ż = by w +z(bx β) (4.86) Tali relazioni devono essere valutate nei tre punti di equilibrio in modo da definire la tipologia di ciascuno di essi. (2a) Nel caso del punto X1 = 0,Y 1 = 0 si ha: ẇ = aw (4.87) ż = βz (4.88) per cui l equilibrio è instabile. In questo caso la perturbazione delle prede dal valore di equilibrio ne causa l aumento e questo fatto, in presenza di un certo numero di predatori dovuti alla perturbazione iniziale z(0) = Y(0) Y, innesca la dinamica del modello e questa dinamica ci allontana da questa condizione di equilibrio. (2b) Nel caso del punto X2 = a/α,y 2 = 0 si ha: ẇ = aw γ a α z (4.89) X,Y X,Y ż = z(b a α β) (4.90) Per la soluzione di tali equazioni si parte dalla (4.90) che, usando la (4.71) e la (4.79), può essere riscritta nella forma seguente: ż = zb( a α β b ) = zb(m X m Y ) = Mz (4.91) 161

28 4.3 Capitolo 4 se si pone M = b(m X m Y ). La (4.91) ha la seguente soluzione: z(t) = z(0)e Mt (4.92) per la quale, in astratto, si hanno le seguenti possibilità: - stabilità se è M < 0 ovvero m X < m Y - instabilità se è M > 0 ovvero m X > m Y - indifferenza se è M = 0 ovvero m X = m Y Dal momento che si è imposto il vincolo che sia m X m Y la condizione di stabilità non si può mai verificare per cui per la z(t) si ha instabilità o indifferenza. Con questo risultato a disposizione si può riscrivere la (4.89) nella forma seguente: ẇ = aw γ a α z(0)emt = aw Ae Mt (4.93) se si pone: A = γ a z(0) > 0 (4.94) α Utilizzando il metodo del fattore integrale (posto pari a e at ) con alcuni semplici passaggi si arriva alla seguente soluzione: w(t) = w(0)e at A a+m (emt e at ) (4.95) per la quale valgono le considerazioni precedenti ovvero per la quale si ha, in astratto: - stabilità se è M < 0 ovvero m X < m Y - instabilità se è M > 0 ovvero m X > m Y - indifferenza se è M = 0 ovvero m X = m Y Di nuovo, stante il vincolo che sia m X m Y la condizione di stabilità non si può mai verificare per cui per la z(t) si ha instabilità o indifferenza. Ricapitolando (e tendendo conto del vincolo m X m Y ) si ha che il punto di equilibrio X2 = a/α,y2 = 0 è di tipo: - instabile se è m X > m Y - indifferente se è m X = m Y 162

29 4.3 Capitolo 4 (2c) Per quanto riguarda la terza e ultima condizione di equilibrio: X 3 = β b = m Y (4.96) si ottengono le seguenti relazioni: Y 3 = α γ (m X m Y ) (4.97) ẇ = αm Y w γm Y z (4.98) ż = αb γ (m X m Y )w (4.99) A questo punto si possono definire i seguenti parametri, tutti di sicuro non negativi per come sono definiti i parametri nella (4.98) e nella (4.99) e per il vincolo m X m Y : h = αm Y > 0 k = γm Y > 0 m = αb γ (m X m Y ) 0 in modo che la(4.98) e la(4.99) possano essere riscritte nella forma matriciale seguente: ( ) ( )( ) ( ) ẇ h k w w = = A (4.100) ż m 0 z z con le ovvie corrispondenze. Per la soluzione di queste equazioni si devono calcolare le soluzioni della seguente equazione: det(a λi) = 0 (4.101) nella quale la matrice I è una matrice quadrata di ordine due ed è detta essere una matrice unitaria dal momento che i suoi termini sulla diagonale principale sono uguali a 1 mentre tutti gli altri sono uguali a 0. Risolvendo la (4.101) si ottiene la seguente equazione del secondo grado nell incognita λ: λ(h+λ)+km = 0 (4.102) ovvero: λ 2 +hλ+km = 0 (4.103) Come vedremo meglio nel capitolo 6, se con λ 1 e λ 2 si indicano le due radici della (4.103), si ha: 163

30 4.3 Capitolo 4 λ 1 +λ 2 = h < 0 λ 1 λ 2 = km 0 Da tali condizioni derivano le seguenti possibilità: - se λ 1 λ 2 = 0 si ha λ 1 = h < 0 e λ 2 = 0 per cui si parla di stabilità in un caso di equilibrio indifferente; - se λ 1 λ 2 > 0 e le radici sono reali allora sono entrambe negative per cui si parla di stabilità e di stabilità asintotica; - se λ 1 λ 2 > 0 e le radici sono complesse coniugate allora hanno la forma seguente: λ 1 = σ +iω λ 1 = σ iω in modo che sia: λ 1 +λ 2 = 2σ = h < 0 λ 1 λ 2 = σ 2 +ω 2 > 0 Dalla prima di tali condizioni si ricava σ = h/2 < 0 per cui le espressioni per w(t) e z(t) sono caratterizzate dal prodotto di un esponenziale decrescente per una oscillazione di tipo sinusoidale o cosinusoidale ovvero sono caratterizzate da delle oscillazioni smorzate. Anche in questo caso si parla di stabilità e di stabilità asintotica, concetti che saranno formalmente definiti nel capitolo 6. Per il momento ci si limita ad osservare che la stabilità asintotica presuppone una riduzione progressiva fino all annullamento degli scostamenti da una condizione di equilibrio e pertanto implica la stabilità. In merito alla caratterizzazione delle soluzioni (passo (3)) in questo caso la struttura delle equazioni differenziali (4.74) e (4.75) non ci consente di ricavare né una soluzione né una relazione fra le variabili X e Y contrariamente a quanto abbiamo fatto per il modello esaminato nella sezione 4.2. In questo caso l unica via percorribile è quella della simulazione, ovvero della soluzione per via numerica, che vedremo nella sezione

31 4.3 Capitolo Implementazione del modello con Vensim Per implementare il modello con Vensim sarebbe possibile utilizzare le seguenti equazioni differenziali: Ẋ = (a αx)x γxy (4.104) Ẏ = (bx β)y (4.105) In queste equazioni si sono utilizzati i parametri a, α γ, b e β. Se si ricorda l analisi svolta a proposito delle condizioni di equilibrio è facile capire come abbia senso introdurre i parametri m X e m Y definiti in base alle relazioni seguenti: m X = a (4.106) α m Y = β b (4.107) in modo da scrivere: a = αm X (4.108) b = β m Y (4.109) In questo modo il modello viene ridefinito in base ai parametri α, m X, β e m Y che ci permettono di riscrivere le equazioni date nella forma seguente: Ẋ = αm X X X 2 γxy (4.110) Ẏ = β m Y XY βy (4.111) La figura 4.7 mostra il modello Vensim che implementa tali equazioni differenziali mentre le relative relazioni caratteristiche sono riportate qui di seguito. (01) a=alpha*mx Units: 1/Month (02) alpha= Units: 1/(unit*Month) [0,1,0.0001] (03) b=beta/my Units: 1/(unit*Month) (04) beta= Units: 1/Month [0,1,0.0001] (05) FINAL TIME = 100 Units: Month [10,100,1] 165

32 4.3 Capitolo 4 Figura 4.7: Implementazione in Vensim del modello di Samuelson The final time for the simulation. (06) gamma= Units: 1/(unit*Month) [0,1,0.0001] (07) INITIAL TIME = 0 Units: Month The initial time for the simulation. (08) inx=a*x (09) iny=b*matches (10) matches=x*y *unit (11) mx=

33 4.3 Capitolo 4 [10,10000,1] (12) my=10 [1,1000,1] (13) outx=outx1+outx2 (14) outx1=alpha*x^2 (15) outx2=matches*gamma (16) outy=beta*y (17) SAVEPER = TIME STEP Units: Month [0,?] The frequency with which output is stored. (18) TIME STEP = Units: Month [ ,1, ] The time step for the simulation. (19) X= INTEG (inx-outx,x0) (20) X0=100 [0,10000,1] (21) Y= INTEG (iny-outy,y0) (22) Y0=10 [0,1000,1] Da un esame di tali relazioni si vede come i parametri sono stati inizializzati ai seguenti valori iniziali: (02) alpha= Units: 1/(unit*Month) [0,1,0.0001] (04) beta= Units: 1/Month [0,1,0.0001] (06) gamma= Units: 1/(unit*Month) [0,1,0.0001] (11) mx=1259 [10,10000,1] (12) my=10 [1,1000,1] (20) X0=100 [0,10000,1] (21) Y= INTEG (iny-outy,y0) 167

34 4.3 Capitolo 4 (22) Y0=10 [0,1000,1] Da tali equazioni si vede come: - le prede sono, almeno inizialmente, più numerose dei predatori; - il valore di equilibrio delle prede in assenza di predatori (m X ) sia molto maggiore del valore di equilibrio dei predatori in presenza di prede (m Y ). In questo modo il modello produce, per le due popolazioni di prede X e di predatori Y, gli andamenti mostrati in figura 4.8. Figura 4.8: Evoluzione delle popolazioni per il modello di figura 4.7 Da tale figura si vede come le due popolazioni varino secondo due andamenti oscillatori leggermente sfasati fra di loro in modo che: - quando il numero dei predatori è al suo massimo il numero delle prede è in diminuzione prossime al suo minimo; - quando le prede scarseggiano i predatori diminuiscono; 168

35 4.3 Capitolo 4 - quando il numero dei predatori è in decrescita prossimo al minimo il numero delle prede inizia a crescere di nuovo. Sebbene la figura non lo mostri si può vedere come, allungando di molto la durata della simulazione, le prede e i predatori mostrano un andamento oscillatorio smorzato che si adagia, per entrambe le popolazioni, su un valore pari a m Y. In figura 4.9 si riporta il diagramma causale corrispondente al diagramma di flusso di figura 4.7. L analisi di tale diagramma ci consente di capire meglio le relazioni fra le variabili del modello che sono rappresentate, in modo sintetico, nelle equazioni differenziali (4.110) e (4.111). Figura 4.9: Diagramma causale del modello di figura 4.7 Come noto dalla sezione il modello di Samuelson prevede tre condizioni di equilibrio. La figura 4.10 presenta una estensione del modello di figura 4.7 progettata allo scopo di facilitare l analisi di tali condizioni di equilibrio. Le relazioni caratteristiche di questo modello sono riportate qui di seguito. (01) a=alpha*mx Units: 1/Month (02) alpha= Units: 1/(unit*Month) [0,1,0.0001] (03) b=beta/my 169

36 4.3 Capitolo 4 Figura 4.10: Test degli equilibri per il modello di Samuelson Units: 1/(unit*Month) (04) beta= Units: 1/Month [0,1,0.001] (05) FINAL TIME = 100 Units: Month [10,100,1] The final time for the simulation. (06) gamma= Units: 1/(unit*Month) [0.001,1,0.001] (07) INITIAL TIME = 0 Units: Month The initial time for the simulation. (08) inx=a*x (09) iny=b*matches (10) matches=x*y *unit (11) mx=

37 4.3 Capitolo 4 [10,10000,1] (12) my=10 [1,1000,1] (13) outx=outx1+outx2 (14) outx1=alpha*x^2 (15) outx2=matches*gamma (16) outy=beta*y (17) SAVEPER = TIME STEP Units: Month [0,?] The frequency with which output is stored. (18) switch=1 Units: Dmnl [1,3,1] (19) switch1=(2-switch)*(3-switch)/2 Units: Dmnl (20) switch2=-(1-switch)*(3-switch) Units: Dmnl (21) switch3=(1-switch)*(2-switch)/2 Units: Dmnl (22) TIME STEP = 1 Units: Month [ ,1, ] The time step for the simulation. (23) X= INTEG (inx-outx,x0) (24) X0="X1*"*switch1+"X2*"*switch2+"X3*"*switch3 [0,1000,1] (25) "X1*"=0 [0,100,1] (26) "X2*"=mX (27) "X3*"=mY (28) Y= INTEG (iny-outy,y0) (29) Y0="Y1*"*switch1+"Y2*"*switch2+"Y3*"*switch3 [0,1000,1] (30) "Y1*"=0 [0,100,1] 171

38 4.4 Capitolo 4 (31) "Y2*"=0 [0,100,1] (32) "Y3*"=alpha*(mX-mY)/gamma Anche in questo caso si fa uso di una struttura di controllo analoga a quella vista nella sezione e basata sull uso di una variabile swithch (definita dalla (18) che assume un valore intero nell insieme {1,2,3} e che, per ciascuno di tali valori, fa in modo che solo una delle variabili switchi (definite dalle relazioni dalla (19) alla (21)) assuma un valore non nullo. In questo modo i valori iniziali dei due livelli sono inizializzati con il valore corretto corrispondente a ciascuna delle condizioni di equilibrio che si vuole analizzare per questo modello. 4.4 Secondo modello con prede e predatori: Lotka-Volterra completo Commenti introduttivi Il modello di Samuelson che abbiamo analizzato nella sezione 4.3 si basa su una sostanziale asimmetria fra le prede e i predatori. Secondo questa asimmetria le prede vivono in un ambiente che, in assenza di predatori, ne limita la crescita ad un livello di equilibrio pari al valore della capacità di carico m X mentre l ambiente dei predatori è rappresentato dalle prede per cui, in assenza di prede, i predatori si estinguono, a partire da un valore iniziale, in modo che la loro numerosità nel tempo sia descrivibile utilizzando una funzione di tipo esponenziale decrescente in cui compare il tasso di mortalità dei predatori. In questo caso la natalità dei predatori, dipendendo dagli incontri con le prede, è ovviamente nulla. Nel modello di Lotka-Volterra completo che esaminiamo in questa sezione si estende la asimmetria fra le due specie dato che si assume una influenza di tipo negativo delle prede su se stesse, come nel modello di Samuelson, e una influenza di tipo positivo dei predatori su se stessi che, invece, nel modello di Samuelson è assente. Tali influenze saranno trascurate nel modello di Lotka-Volterra semplificato che presenteremo nella sezione Presentazione del modello e analisi formale Il primo dei due modelli della famiglia Lotka-Volterra che presentiamo in queste note è detto essere completo perché estende la suddetta asimmetria fra le prede X e i predatori Y in modo che: 172

39 4.4 Capitolo 4 - la variazione Ẋ delle prede dipende da una natalità e da due mortalità, - la variazione mortalità. Ẏ dei predatori dipende da due natalità e da una Per le prede si può scrivere la seguente equazione di bilancio: Ẋ = φ in φ out1 φ out2 (4.112) Nella (4.112) si ha che φ in individua la natalità propria delle prede, φ out1 individua la mortalità legata all affollamento delle prede mentre φ out2 individua la mortalità legata agli incontri fra le prede e i predatori. In modo formale si ha che valgono se seguenti relazioni: Nelle suddette relazioni si ha che: a rappresenta il tasso di natalità delle prede, φ in = ax (4.113) φ out1 = αx 2 (4.114) φ out2 = γxy (4.115) α rappresenta il tasso di mortalità per preda legato all affollamento delle prede, γ rappresenta, per ogni preda, la letalità degli incontri con i predatori. Si ritiene degno di nota il fatto che i termini αx e γy hanno l unità di misura di una frequenza (come ci si aspetterebbe da una costante esogena definita come un tasso di mortalità) se non che tali termini non sono né di tipo esogeno né costanti. In modo duale per i predatori si può scrivere: Ẏ = φ in1 +φ in2 φ out (4.116) Nella (4.116) si ha che φ in1 individua la natalità propria dei predatori, φ in2 individua la natalità legata agli incontri fra le prede e i predatori mentre φ out individua la mortalità dei predatori. In modo formale si ha che valgono le seguenti relazioni: φ in1 = βy 2 (4.117) Nelle suddette relazioni si ha che: φ in2 = δxy (4.118) φ out = by (4.119) 173

40 4.4 Capitolo 4 b rappresenta il tasso di mortalità dei predatori, β rappresenta il tasso di natalità per predatore legato agli incontri fra i predatori, δ rappresenta, per ogni predatore, il beneficio degli incontri con le prede. Sulla scorta delle suddette relazioni si derivano le seguenti equazioni differenziali descrittive del modello di Lotka-Volterra completo: Ẋ = ax αx 2 γxy (4.120) Ẏ = βy 2 +δxy by (4.121) Tali equazioni possono essere scritte anche nella forma seguente: oppure nella forma seguente: Ẋ = (a αx γy)x (4.122) Ẏ = (βy +δx b)y (4.123) Ẋ = (a αx)x γxy (4.124) Ẏ = (βy b)y +δxy (4.125) Le equazioni (4.124) e (4.125) consentono di analizzare le condizioni particolari in cui: (a) si hanno prede ma non predatori, (b) si hanno predatori ma non prede. Nel caso (a) si ha Y(t) = 0 t 0 per cui la (4.125) è all equilibrio mentre dalla (4.124) si ha: Ẋ = a(1 α X)X (4.126) a Se si nota che si hanno le seguenti relazioni dimensionali: [a] = 1 t (4.127) in modo che sia: [α] = 1 t unit (4.128) [ a ] = unit (4.129) α si possono introdurre i seguenti parametri: 174

41 4.4 Capitolo 4 λ 0X = a m X = a/α in modo da riscrivere la (4.126) nella forma seguente: Ẋ = λ 0X (1 X m X )X (4.130) la cui soluzione ha l ormai noto andamento della curva da noi definita come curva logistica (sotto l ipotesi che sia X 0 < m X ). Si fa notare che la (4.130) descrive l andamento richiesto per le prede in assenza di predatori. Nel caso (b) si ha X(t) = 0 t 0 per cui la (4.124) è all equilibrio mentre dalla (4.125) si ha: Ẏ = b( β Y 1)Y (4.131) b Se si nota che si hanno le seguenti relazioni dimensionali: [b] = 1 t (4.132) in modo che sia: [β] = 1 t unit (4.133) [ b ] = unit (4.134) β si possono introdurre i seguenti parametri: λ 0Y = b m Y = b/β in modo da riscrivere la (4.131) nella forma seguente: Ẏ = λ 0Y ( Y 1)Y (4.135) m Y Dalla (4.135) si vede facilmente come sia: Ẏ < 0 per Y < m Y Ẏ = 0 per Y = m Y Ẏ > 0 per Y > m Y 175

42 4.4 Capitolo 4 Già da questo andamento dei segni della derivata si vede come alla (4.135) non corrisponda come soluzione una curva di tipo logistico. Per approfondire l analisi si può derivare ancora una volta la (4.135) rispetto al tempo in modo da ottenere, utilizzando la (4.131), la seguente espressione: Dalla (4.136) si vede facilmente come sia: Ÿ > 0 per Y < m Y /2 Ÿ = 0 per Y = m Y /2 Ÿ < 0 per m Y /2 < Y < m Y Ÿ = 0 per Y = m Y Ÿ > 0 per Y > m Y Ÿ = λ 2 0Y ( 2 m Y Y 1)( Y m Y 1)Y (4.136) Dall analisi combinata dei segni di Ẏ e di Ÿ si deriva immediatamente come: - per Y < m Y /2 la Y(t) varia nel tempo con un andamento del tipo e t dal momento che si ha Ẏ < 0 e Ÿ > 0, - per m Y /2 < Y < m Y varia nel tempo con un andamento del tipo e t dal momento che si ha Ẏ < 0 e Ÿ < 0, - pery > m Y varianeltempoconunandamentodeltipoe t dalmomento che si ha Ẏ > 0 e Ÿ > 0. Tali considerazioni confermano come la Y(t) soluzione della(4.135) non possa assolutamente avere la forma di una logistica classica. Al limite, per 0 < Y < m Y, la si può vedere come una sorta di logistica ribaltata per simmetria attorno al valore t per il quale si ha Y = m Y /2. Tale analogia è esatta solo se si ha Y(0) m Y per la (4.135) e Y(0) 0 per l equazione differenziale associata alla logistica classica. Se, come ultimo passo, si risolve l equazione differenziale (4.135) usando il metodo delle variabili separabili insieme al metodo delle frazioni parziali si ottiene la seguente espressione: Y(t) = m ( m Y Y(0) 1)eλ 0Y t +1 (4.137) 176