Lezione 20 del 20/05/2015 Modelli Matematici Ambientali

Transcript

1 Lezione 20 del 20/05/2015 Modelli Matematici Ambientali Lorenzo Cioni - SNS 1 Introduzione I cicli di materia definiscono i meccanismi mediante i quali i nutrienti e altri elementi necessari alla vita sono messi a disposizione degli organismi viventi. I cicli di materia sono implementati mediante modelli caratterizzati da tanti livelli quanti sono gli stati distinti in cui si può pensare che si trovi un elemento di cui si vuole studiare l evoluzione ciclica. In questi modelli si trascura sia l apporto di nuova materia dal mondo esterno sia la scomparsa di tale materia verso il mondo esterno. I livelli presenti nei modelli, inoltre, sono collegati da legami sia di tipo informativo sia di tipo conservativo secondo paradigmi che verranno descritti in qualche dettaglio a breve. In questa lezione esamineremo con un certo dettaglio il ciclo del fosforo di cui esamineremo il flusso attraverso differenti stati. Il fosforo è un nutriente indispensabile sia per le piante sia per gli animali. Altri elementi di cui è possibile e significativo descrivere l evoluzione attraverso diversi stati sono i seguenti: - carbonio, - azoto, - zolfo. - ozono. Un altro ciclo molto importante e significativo è quello dell acqua. Nel caso del ciclo del fosforo vedremo di descrivere un ciclo all equilibrio per poi introdurre delle perturbazioni tendenti a valutare il possibile impatto di ruscellamenti di fosforo a seguito di attività antropiche. L eccesso di fosforo, in genere, si traduce in una accresciuta crescita delle alghe in un lago, ad esempio, crescita che causa sia una riduzione dell ossigeno disciolto in acqua sia un aumento della torbidità dell acqua che, a loro volta, possono causare 1

2 problemi sia agli animali acquatici sia alle piante che vivono sui fondali. Per ulteriori dettagli si rimanda alla Lezione I cicli di materia I cicli di materia rappresentano i meccanismi mediante i quali i nutrienti e altri composti o elementi chimici circolano all interno di un ecosistema. Gli ecosistemi prosperi dipendono da questi cicli di materia che mettono a disposizione degli esseri viventi i nutrienti necessari alla vita. Questi cicli di materia sono guidati da svariati processi quali l energia solare, la forza di gravità e la catena o rete di connessioni produttore consumatore dcecompositore. Per quanto segue faremo riferimento alla Figura 1. Figura 1: La catena o rete di connessioni produttore consumatore dcecompositore 2

3 Il sole fornisce energia alle piante (i produttori) che usano questa energia nei processi di fotosintesi in modo da combinare l energia che ricavano dalla luce con il biossido di carbonio e altri nutrienti inorganici per formare composti del carbonio più complessi che sono usati per immagazzinare l energia necessaria per la crescita. Gli animali (i consumatori) si cibano dei produttori così da scomporre i composti complessi formati dai produttori in modo da derivare l energia e i nutrienti a loro necessari. Quando sia i produttori sia i consumatori muoiono entrano in gioco i decompositori. La principale funzione di questi ultimi è quella di decomporre sia i produttori sia i consumatori nei nutrienti e negli elementi base che sono rilasciati nell ambiente. Una volta che che la decomposizione è avvenuta i suoi prodotti sono di nuovo disponibili per i produttori. La forza di gravità influenza questo ciclo dato che guida fisicamente i flussi di materia portando la materia dove si trovano i decompositori che, pertanto, sono in grado di svolgere la loro funzione. Nella Figura 1 viene presentata la catena o rete di connessioni produttore consumatore dcecompositore per un ecosistema semplificato. In questa figura le frecce individuano i flussi di materia fra quattro livelli distinti, ciascuno dei quali rappresenta una popolazione di organismi viventi. Due di questi livelli sono racchiusi in un rettangolo dal momento che, nell analisi del ciclo del fosforo, li vedremo come un livello unico. I principali cicli di materia che sono presenti in un ambiente sono quelli che abbiamo già elencato. Questi cicli hanno, in genere, notevole complessità perché contengono flussi che descrivono il passaggio della materia attraverso diversi stati fisici e chimici. Ad esempio la materia può essere in uno degli stati liquido, solido o gassoso e si può trovare in diversi composti ovvero può essere coinvolta in diversi legami per cui, ad esempio, si può avere lo zolfo nella forma H 2 S o SO 2 e l azoto nella forma N 2 (in atmosfera) o NO 3 o NH + 4 (nel suolo). Nel caso del ciclo dell azoto, ad esempio, si hanno quattro livelli/luoghi di accumulo ovvero l atmosfera, il suolo, gli organismi viventi e quelli morti. L azoto presente in atmosfera deve essere fissato nel suolo per essere disponibile agli esseri viventi che, quando muoiono, lo rendono accessibile ai processi di decomposizione che di nuovo fissano l azoto nel suolo rendendolo di nuovo disponibile. L azoto è in parte restituito all atmosfera da processi di deazotazione. Nel caso del ciclo del fosforosi hache il fosforo passa dal suolo (dove èpresente sotto forma di fosforo inorganico) agli organismi viventi (dove è presente sotto forma di fosforo organico) per passare di nuovo al suolo tramite la decomposizione degli organismi viventi una volta che questi muoiono. Tutti questi cicli dei nutrienti hanno in comune uno o più livelli in cui un 3

4 nutriente è nello stesso stato. In modo simile ognuno di questi cicli ha un processo di morte che porta la materia da uno stato vivente ad uno stato in cui è morta o inerte. Tale processo di morte è seguito da un processo di decomposizione in cui i batteri o altri agenti simili decompongono la materia nei suoi componenti elementari che sono reimmessi nella catena, di nuovo disponibili per i diversi tipi di consumatori. 3 Un paradigma descrittivo generale In questa sezione faremo riferimento alla Figura 2 per descrivere il tipo di relazioni che, in genere, possono essere usate per descrivere un sistema in cui si ha un ciclo di materia. Queste relazioni ci danno informazioni su come (in termini di quantità e velocità) la materia transita fra i vari livelli presenti nel modello, ciascuno dei quali rappresenta uno stato significativo nel contesto dato. Figura 2: I tre tipi di flusso In tutti i casi in cui la materia di cui si descrive l evoluzione nel tempo fra stati differenti è conservata (in modo che la quantità totale di materia nel sistema sia costante) i livelli devono essere connessi fra di loro da flussi in ingresso e in uscita in modo che, dato un livello, un suo flusso in ingresso 4

5 sia un flusso in uscita da un altro livello e, in modo duale, un suo livello in uscita sia un flusso in ingresso ad un altro livello. Nel caso di tre livelli la Figura 2 contiene una possibile configurazione nel caso di un tipo generico di materia che si può trovare in tre stati distinti (ovvero M1, M2 e M3). Figura 3: Il modello di Figura 2 in modalità simulatore di volo In tale figura sono anche presentati i tre possibili tipi di flusso ovvero: (1) di tipo push o controllati da un donatore ovvero da un livello che cede materia; (2) ditipopull ocontrollatidaunrecettoreovvero daunlivello cheaccetta materia; (3) di tipo misto o push & pull. Un flusso del primo tipo è quello in uscita dal livello M1 che è espresso dalla seguente relazione: (13) push=m1*k1 Units: unit/month nella quale compare la costante esogena k1: 5

6 (03) k1=0.5 Units: 1/Month [0,1,0.1] Un flusso del secondo tipo è quello in ingresso al livello M3 che è espresso dalla seguente relazione: (12) pull=m3*k2 Units: unit/month nella quale compare la costante esogena k2: (04) k2=0.5 Units: 1/Month [0,1,0.1] un flusso del terzo tipo, infine. è quello dal livello M3 al livello M1 che è espresso dalla seguente relazione: (14) pushandpull=k3*m1*m3 Units: unit/month che tiene conto delle interazioni fra i due livelli e nella quale compare la costante esogena k3: (05) k3=0.4 Units: 1/(Month*unit) [0,1,0.1] Le relazioni caratteristiche del modello di figura 3 sono riportate qui di seguito. (01) FINAL TIME = 100 Units: Month [10,200,1] The final time for the simulation. (02) INITIAL TIME = 0 Units: Month The initial time for the simulation. (03) k1=0.5 Units: 1/Month [0,1,0.1] (04) k2=0.5 Units: 1/Month [0,1,0.1] (05) k3=0.4 Units: 1/(Month*unit) [0,1,0.1] (06) M1= INTEG (pushandpull-push,m10) Units: unit (07) M10=10 6

7 Units: unit [0,100,1] (08) M2= INTEG (push-pull,m20) Units: unit (09) M20=10 Units: unit [0,100,1] (10) M3= INTEG (pull-pushandpull,m30) Units: unit (11) M30=10 Units: unit [0,100,1] (12) pull=m3*k2 Units: unit/month (13) push=m1*k1 Units: unit/month (14) pushandpull=k3*m1*m3 Units: unit/month (15) SAVEPER = TIME STEP Units: Month [0,?] The frequency with which output is stored. (16) TIME STEP = 1 Units: Month [ ,1, ] The time step for the simulation. Figura 4: Gli andamenti delle variabili del modello di Figura 3 La Figura 4 mostra gli andamenti delle variabili del modello di Figura 3. Come è evidente dalle relazioni che abbiamo presentato ai flussi di tipo push e a quelli di tipo pull sono associate equazioni relativamente facili da scrivere 7

8 dal momento che in entrambi i casi si deve tenere conto dell azione di un solo livello. Un esempio di un flusso di tipo push è quello fra la materia vivente e quella morta o inanimata. In questo caso il flusso dipende dalla disponibilità di materia vivente ed è proporzionale alla disponibilità di questa secondo una costante di solito assunta come esogena. Nel caso di un flusso di tipo pull si ha una proporzionalità con la quantità di materia presente nel livello recettore. Nel caso di flussi di tipo misto o di tipo push & pull è necessario tenere conto di due livelli L 1 e L 2 interagenti in modo che siano soddisfatti i vincoli seguenti: - se i livelli sono entrambi vuoti il flusso fra i due è nullo; - se i livelli hanno valori elevati il flusso fra i due è di notevole intensità. Queste specifiche sono soddisfatte dalle seguenti espressioni che definiscono il flusso fra i due livelli: flusso = k L 1 L 2 (1) flusso = k 1 L 1 +k 2 L 2 (2) Se, tuttavia, si vuole imporre il requisito che la presenza di materia in entrambi i livelli è necessaria perché si abbia un flusso non nullo fra tali livelli l unica forma utilizzabile è la prima ovvero la seguente: flusso = k L 1 L 2 (3) dato che nella seconda avremmo un valore non nullo del flusso anche nel caso in cui uno dei due livelli fosse vuoto, cosa che, almeno in certi casi, vogliamo non accada. 4 Il ciclo del fosforo Per applicare quanto visto finora ad un caso pratico quale la descrizione modellistica del ciclo del fosforo è necessario rispondere, in via preliminare, alle seguenti domande: - quanti sono gli stati/livelli presenti in un sistema? - quale è il tipo del flusso fra coppie di livelli? - che valori assumono le costanti esogene? 8

9 Per poter rispondere alla prima domanda è necessario avere una piena comprensione degli stati significativi in cui si può trovare la materia di cui stiamo descrivendo la dinamica. Per rispondere alla seconda domanda è necessario avere una piena comprensione delle modalità di trasferimento della materia nel caso del sistema che si sta analizzando. Dato un flusso la materia che questo trasferisce viene spinta da un livello (flusso di tipo push) o viene tirata da un altro (flusso di tipo pull) oppure il trasferimento è di tipo misto? Per poter dare una risposta a questa domanda si possono usare alcune regole pratiche quali le seguenti. (1) I flussi di materia da uno stato vivente ad uno morto sono di solito di tipo push dato che è la quantità di materia vivente presente che controlla il flusso di trasformazione in materia morta. (2) I flussi di materia che descrivono l assorbimento di materia sotto forma di nutrienti inorganici da parte di esseri viventi sono di solito di tipo misto dato che sia la quantità di materia disponibile sia la quantità di esseri viventi che la assorbono determinano il flusso di materia. (3) I flussi di materia da uno stato di materia morta ad uno di materia inorganica sono di solito di tipo push dato che ci si aspetta che il flusso sia determinato dalla quantità di materia che si decompone e non dalla materia che si è già decomposta. Per un esempio di flussi di tipo pull si rimanda al modello di Figura 2. Per quanto riguarda i valori delle costanti esogene questi devono rappresentare accuratamente la velocità di trasformazione da uno stato/livello al successivo. I loro valori, in genere, discendono da stime empiriche che si possono giovare delle considerazioni seguenti: - per i flussi da materia vivente a materia morta si possono usare le aspettative di vita degli organismi viventi; - per i flussi da materia inorganica a materia vivente si possono usare i tassi di crescita della materia vivente; - per i flussi da materia morta a materia inorganica si possono usare le velocità alle quali la materia si decompone in varie condizioni. A questo punto si può affrontare la definizione di un modello che descrive il passaggio del fosforo da uno stato ovvero da un livello ad un altro. Per questo modello faremo uso di tre livelli in modo da descrivere - il fosforo nello stato di materia organica vivente L; 9

10 - il fosforo nello stato di materia inorganica I; - il fosforo nello stato di materia morta D. Una volta definiti i livelli è necessario capire di che tipo sono i flussi fra le varie coppie di livelli. In base alle regole empiriche che abbiamo elencato in precedenza si ha che (se a, b, c sono costanti strettamente positive): - il flusso dal livello L al livello D è di tipo push ovvero è definito dalla seguente relazione a L; - il flusso dal livello D al livello I è di tipo push ovvero è definito dalla seguente relazione b D; - il flusso fra il livello I e il livello L è di tipo misto per cui è definito dalla seguente relazione c I L. Sulla base di tali considerazioni è facile ricavare il modello di Figura 5. Figura 5: Il ciclo del fosforo, primo modello La Figura 6 riporta, invece, gli andamenti nel tempo dei livelli in una delle possibili condizioni di equilibrio. Le relazioni caratteristiche di tale modello sono riportate qui di seguito. 10

11 Figura 6: Gli andamenti dei livelli per il modello di Figura 5 (01) a=0.25 Units: 1/Minute [0.01,1,0.01] (02) assorbimento=c*i*l Units: moli/minute (03) b=0.05 Units: 1/Minute [0,1,0.01] (04) c=2.5 Units: 1/(Minute*moli) [0,5,0.1] (05) D= INTEG (morte-decomposizione,d0) Units: moli (06) D0=1 Units: moli [0,3,0.1] (07) decomposizione=b*d Units: moli/minute (08) FINAL TIME = 100 Units: Minute [10,100,1] The final time for the simulation. (09) I= INTEG (decomposizione-assorbimento,i0) Units: moli (10) I0=0.1 Units: moli [0,1,0.1] (11) INITIAL TIME = 0 Units: Minute 11

12 The initial time for the simulation. (12) L= INTEG (assorbimento-morte,l0) Units: moli (13) L0=0.2 Units: moli [0,1,0.1] (14) morte=a*l Units: moli/minute (15) SAVEPER = TIME STEP Units: Minute [0,?] The frequency with which output is stored. (16) TIME STEP = 1 Units: Minute [ ,1, ] The time step for the simulation. Si fa notare che, invece che in termini assoluti (ovvero in termini di moli), è possibile ragionare in termini di concentrazioni ovvero in termini di moli/l. Le modifiche da fare sono banali e sono lasciate come esercizio. In modo analogo si può facilmente sostituire l unità di misura moli con un suo multiplo per valutare cosa succede per ordini di grandezza superiori. L unico vincolo da mantenere è quello del rapporto fra i valori iniziali dei livelli. Considerazioni analoghe valgono per l unità di tempo. Nei modelli presentati si è usato il minuto (ovvero Minute) ma è possibile pensare altre scale temporali con possibili conseguenti eventuali variazioni dei valori delle variabili esogene in modo da poter tenere conto, se fosse necessario, di dati ricavabili da considerazioni teoriche o da rilevazioni sul campo. Al modello di Figura 5 corrispondono le seguenti equazioni differenziali: L = cli al = L(cI a) (4) I = bd cli (5) Ḋ = al bd (6) Le condizioni di equilibro per questo modello si ottengono facilmente risolvendo le seguenti equazioni: L(cI a) = 0 (7) bd cli = 0 (8) al bd = 0 (9) Dalla(7)siricavaL = 0e,diconseguenza, dalla(9),d = 0mentre, perla(8), I può assume il valore I(0), conformemente alla (5) all equilibrio. In questo 12

13 caso si hanno, pertanto, infiniti equilibri, ciascuno dei quali corrisponde alla terna: (L,D,I) = (0,0,I(0)) (10) Il significato fisico di questa condizione di equilibrio è facilmente comprensibile: se non si ha fosforo negli organismi viventi né il quelli morti allora il fosforo presente nel nostro sistema sotto forma di fosforo inorganico rimane al valore iniziale costante dato che tutti i processi di trasformazione del fosforo del nostro sistema sono inattivi. Dalla (7) si ha anche la seguente condizione di equilibrio: I = a c (11) in modo che la (8) e la (9) assumono la forma seguente: bd al = 0 (12) ovvero: D = a b L (13) Anche in questo caso si hanno gli infiniti punti di equilibri rappresentati dalla seguente terna di valori: (L,D,I) = ( a c, a L(0),L(0)) (14) b L analisi della tipologia delle suddette condizioni di equilibrioè lasciata per esercizio. Si fa solo notare che, dal momento che la somma I(0)+L(0)+D(0) ha un valore finito e il sistema è chiuso, nessuna delle variabili associate ai livelli del modello può assumere valori maggiori di tale somma. Considerazioni analoghe valgono per le variabili che descrivono i flussi presenti nel modello. 5 Usi ed estensioni del modello Una volta sviluppato il modello di Figura 5, che possiamo definire come modello base, è possibile esaminare come possono evolvere i tre livelli al varare dei valori delle variabili esogene e dei valori iniziali dei livelli stessi. Come è facilmente intuibile, tuttavia, data l assenza di processi che causano l immissione di nuovo fosforo nel sistema o che ne causano la definitiva distruzione, i tre livelli mostrano andamenti nel tempo che variano ma in modo che la loro somma, definita dalla seguente relazione (17) total=d+i+l Units: moli 13

14 non varia nel tempo. A questo punto si può usare il modello per valutare: - l effetto di un afflusso di fosforo inorganico nel sistema a causa della costruzione di un qualche impianto industriale o di depurazione; - l effetto di un incremento del fosforo contenuto in organismi morti a seguito di un qualche evento catastrofico che non si ha interesse ad esaminare in maggiore dettaglio; - l effetto di un incremento del fosforo contenuto in organismi vivi a causa di fenomeni che non si ha interesse ad esaminare in maggiore dettaglio. Dei tre suddetti scenari, che possono essere pensati verificarsi anche simultaneamente in tutte le possibili combinazioni, esamineremo in qualche dettaglio solo il primo. Gli altri due sono lasciati come esercizi. Per descrivere l afflusso di fosforo inorganico nel nostro sistema è sufficiente aggiungere un flusso in ingresso al livello I su cui applicare un segnale di test quale il treno di impulsi che, agendo in modo opportuno sui parametri che lo definiscono, ci permette di simulare sia il gradino unitario sia un solo impulso di ampiezza e durata a piacere. Il modello risultante è quello mostrato in Figura 7. Figura 7: Il ciclo del fosforo, secondo modello Le relazioni caratteristiche del modello di Figura 7 sono riportate qui di seguito. 14

15 (01) a=0.25 Units: 1/Minute [0.01,1,0.01] (02) assorbimento=c*i*l Units: moli/minute (03) b=0.05 Units: 1/Minute [0,1,0.01] (04) c=2.5 Units: 1/(Minute*moli) [0,5,0.1] (05) D= INTEG (morte-decomposizione,d0) Units: moli (06) D0=1 Units: moli [0,3,0.1] (07) decomposizione=b*d Units: moli/minute (08) e=10 Units: Minute [10,100,1] (09) FINAL TIME = 100 Units: Minute [10,100,1] The final time for the simulation. (10) I= INTEG (decomposizione+immissione-assorbimento,i0) Units: moli (11) I0=0.1 Units: moli [0,1,0.1] (12) immissione=q*trigger Units: moli/minute (13) INITIAL TIME = 0 Units: Minute The initial time for the simulation. (14) L= INTEG (assorbimento-morte,l0) Units: moli (15) L0=0.2 Units: moli [0,1,0.1] (16) morte=a*l Units: moli/minute (17) p=1 Units: Minute [1,10,1] (18) q=2 Units: moli/minute [0,10,0.1] (19) s=0 Units: Minute [0,100,1] (20) SAVEPER = TIME STEP 15

16 Units: Minute [0,?] The frequency with which output is stored. (21) TIME STEP = 1 Units: Minute [ ,1, ] The time step for the simulation. (22) total=d+i+l Units: moli (23) trigger=pulse TRAIN(s, w, p, e ) Units: Dmnl (24) w=1 Units: Minute [1,10,1] Le relazioni che definiscono l immissione del fosforo inorganico sono le seguenti: (08) e=10 Units: Minute [10,100,1] (12) immissione=q*trigger Units: moli/minute (17) p=1 Units: Minute [1,10,1] (18) q=2 Units: moli/minute [0,10,0.1] (19) s=0 Units: Minute [0,100,1] (23) trigger=pulse TRAIN(s, w, p, e ) Units: Dmnl (24) w=1 Units: Minute [1,10,1] Si noti che l ampiezza dell impulso (che ha durata pari a dieci unità di tempo) q = 2 è pari al doppio del contenuto iniziale di fosforo nella materia morta (dato dal valore D0 = 1) e venti volte il contenuto iniziale del fosforo inorganico (dato dal valore I0 = 0.1). La Figura 8 mostra gli andamenti delle variabili per il modello di Figura 7. Una analisi di tali andamenti è lasciata come esercizio. L analisi di tale modello (come dei modelli che possono essere creati per descrivere gli altri scenari che abbiamo delineato) dovrebbe rispondere alle seguenti domande: - quale è il livello che più risente dell immissione di nuovo fosforo dall esterno? - come si riflette tale immissione nei livelli e nei flussi? 16

17 Figura 8: Gli andamenti delle variabili per il modello di Figura 7 - il sistema recupera uno stato di equilibrio e con che tempi? La velocità con cui un sistema si riporta in uno stato di equilibrio si definisce, di solito, resilienza. Tanto minore è tale tempo tanto più velocemente un sistema riesce ad assorbire le perturbazioni a cui è sottoposto dal mondo esterno. Le analisi suddette dovrebbero essere condotte agendo sia sui parametri che definiscono la perturbazione sia sui valori delle altre costanti esogene del modello. Una analisi alternativa potrebbe essere condotta, sia su questo sia su altri modelli, utilizzando, come segnale di test, un segnale a rampa di cui si può far variare: - l istante di inizio, - l istante di fine, - la pendenza, in modo da valutare come reagisce il sistema a variazioni graduali della quantità di fosforo immesso dall esterno in uno o più livelli. 17