Istituzioni ed Esercitazioni di Matematica 2

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1 Università degli Studi di Cagliari Dipartimento di Matematica e Informatica Corso di Laurea in Chimica Istituzioni ed Esercitazioni di Matematica 2 01 Marzo 2017 Schema Prima Lezione

2 Outline Cosa è un equazione differenziale? Terminologia. Classificazione delle equazioni differenziali (per tipo, per ordine, lineare vs nonlineare). Obiettivo. MOTIVAZIONI: perchè le ODEs sono importanti? Un primo esempio di integrazione: l equazione y = f (x). slide 2 di 8

3 Equazioni differenziali Un equazione differenziale è un equazione in cui appaiono legate fra loro la funzione incognita e le sue derivate, cioè: F (t, y, y,..., y (n) ) = 0. Terminologia: Ordine di un equazione differenziale, soluzione, etc. Esercizio 1. Individuare variabile indipendente e funzione incognita nei seguenti esempi: d 3 y dx 3 = e y + x + d 2 y dx 2 dx dt = x 2 + t 3 Esercizio 2. Stabilire l ordine delle equazioni proposte nell esempio precedente. slide 3 di 8

4 Equazioni differenziali lineari Quando un equazione differenziale è lineare? F (t, y, y,..., y (n) ) = 0, l equazione differenziale è lineare se F è una funzione lineare delle variabili y, y, y, y,..., y (n). Esercizio 3. Scrivere in modo esplicito la forma di un equazione differenziale di ordine n. Esercizio 4. Stabilire quali delle seguenti equazioni differenziali sono lineari. y + e t y + yy = t 2 y + e t y + y = t 2 y + e y = 0 y + 2y = 3 slide 4 di 8

5 Obiettivo di queste ore di lezione sulle ODEs. In queste (poche) lezioni cercheremo di imparare alcune tecniche che consentono di risolvere alcuni semplici tipi di equazioni differenziali (del primo e secondo ordine). Esempio 1 Consideriamo l equazione y = y. Sappiamo indovinare una soluzione? Quante sono le soluzioni? Esempio 2 Consideriamo invece l equazione y = 2xy. Indovinare sembra più difficile... Occorre trovare metodi che ci consentano di procedere spediti...le soluzioni dipendono da una costante: famiglie di soluzioni Esercizio 5 Consideriamo l equazione differenziale nonlineare y = y 2. Verificare che la famiglia di soluzioni y(x) = (C x) 1 soddisfa la data equazione per ogni valore di C e determinare il valore di C se è data la condizione y(1) = 2. slide 5 di 8

6 Importanza delle ODEs Esempi di modelli differenziali: dt Newton s law of cooling. = k(t A), k > 0 dt Dinamica delle popolazioni (natalità e mortalità costanti). dp = kp, k R, P(t) > 0 dt Legge di Newton Moto unidimensionale. my = F (t, y, y ) Caduta libera dei gravi...secondo ordine: coming soon in questa stessa lezione. slide 6 di 8

7 Integrazione Diretta La forma più generale per le equazioni del primo ordine in forma normale è: y = f (t, y). Un caso particolarmente semplice si verifica si verifica quando la funzione f è nota: y = f (t). Soluzione Generale: y(t) = f (t)dt + C. Esercizio 6. Risolvere il seguente problema a valori iniziali (cioè data una condizione iniziale che consente di determinare il valore della costante): y = 1, y(2) = 5. t2 Soluzione: y(t) = 1 t slide 7 di 8

8 Integrazione Diretta 2 L equazione (del secondo ordine) y = g(x) si tratta allo stesso modo. Esercizio 7. Risolvere l equazione differenziale sopra proposta. Quante costanti appaiono nella soluzione generale? Esercizio 8. Risolvere la seguente equazione differenziale (caduta libera nel vuoto): y = g dove g è l accelerazione di gravità. Quale è il significato fisico di tali costanti? slide 8 di 8