MODELLO DI LOTKA-VOLTERRA Logistico. La risorsa (preda) in assenza di consumatori (predatore) si accresce in modo logistico.

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1 MODELLO DI LOTA-VOLTERRA Logistico La risorsa (preda) in assenza di consumatori (predatore) si accresce in modo logistico dp A* p( t) diventa: dp mp 1 p dp mp 1 p pq dq Dq pq

2 Stati di equilibrio e diagramma delle fasi del modello Lotka-Volterra logistico dp mp p 1 pq dq Dq pq m dp p 1 q p isocline della preda p m q 1 p

3 dq isocline del predatore q p D ( D p) q q m m q 1 p P 1 (,) D P, 2 m Dm P 2 P 3 (,) P 1 P 3 D p

4 P 1 (,) Corrisponde all estinzione, cioè all assenza simultanea delle prede e dei predatori P3 (,) Corrisponde all assenza dei predatori la risorsa (preda) ha come equilibrio la capacità portante D P, 2 m Dm Corrisponde alla coesistenza contemporanea di prede e di predatori. P2 esiste solo se: D (dal grafico) Cioè se il predatore è sufficientemente efficace nell interagire con la preda (D mortalità da fame: piccola, coefficiente di predazione: grande)

5 dp I m q 1 dq dp p dq II III dp dq IV D dp m p 1 q p ( D p) zona f 1 f 2 I < < II > < III > > IV < >

6 dp I dq IV La isocline della preda viene attraversata verticalmente dx dp, dq, dq II III il verso dipende dal segno di dq La isocline del predatore viene attraversata orizzontalmente: dx dp, dq dp, il verso dipende dal segno di dp zona dp/ dq/ I < < II > < III > > IV < >

7 I IV P 2 II P1 III P3 zona dp/ dq/ I < < II > < III > > IV < >

8 In assenza di prede (p=), P1 è attrattivo i predatori si estinguono In assenza di predatori (q=), P3 è attrattivo le prede crescono raggiungendo la capacità portante Se prede e predatori coesistono P1 e P3 sono instabili P2 è stabile

9 popolazioni Piano delle fasi Soluzioni corrispondenti a diversi valori iniziali 16 Soluzioni del problema di Lotka-Volterra preda predatore Lucia 3.5 Della 4Croce Matematica applicata tempo alla Biologia

10 Predatori Prede-Predatori - Modello Logistico 11 Prede e Predatori P() = 6 Q() = Prede

11 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Modello preda-predatore % Lotka-Volterra Logistico % % P'(t) = m* P(t)* (1-P(t)/) - alpha * P(t)*Q(t) Prede % Q'(t) = - D Q(t) + Beta P(t)*Q(t) Predatori % P() = p Q() = q % % m tasso di crescita della preda % alpha coefficiente di predazione della preda % D tasso di mortalità dei predatori % Beta coefficiente di predazione del predatore % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% clear all; global m alpha D Beta m=1; alpha=.1; D=1; Beta=.2; =1; p=6; q=15; X=[p,q]', options = odeset('outputfcn',@odephas2); [t,x] = ode23s(@volt,[,1],x,options);

12 figure(2) subplot(2,1,1),plot(t,x) title('soluzioni del problema di Lotka-Volterra') xlabel('tempo'); ylabel('popolazioni') legend('preda','predatore') subplot(2,1,2), plot(x(:,1),x(:,2),'b',d/beta,m/alpha,'o') %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Sistema Lotka-Volterra Logistico %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% function F=Volt(t,z) global m alpha D Beta F=[m*z(1)*(1-z(1)/ )- alpha*z(2)*z(1); -D*z(2) + Beta*z(1)*z(2)]; return

13 Prede e predatori nella Comunità montana dell Oltrepò Pavese La processionaria è un lepidottero che allo stato larvale si nutre delle foglie del pino causando anche ingenti defogliazioni; ma il problema forse più grave legato alla processionaria è rappresentato dai peli urticanti delle larve che possono creare problemi alle persone che frequentano i boschi di pino particolarmente infestati. Processionaria

14 Già a partire dagli anni 5 si è tentato di contenere la diffusione della processionaria del pino con sistemi di lotta biologica introducendo la formica rufa, un insetto predatore che si nutre anche delle larve di processionaria.

15 Esempio di applicazione del modello Lotka-Volterra (paradosso di Volterra) PREDA Processionaria P PREDATORE Formica rufa F Parametri delle due popolazioni: m D Capacità portante dell insetto nocivo Tasso di crescita della processionaria Mortalità dell insetto predatore (formica) Tasso di predazione delle prede Tasso di predazione dei predatori

16 Equazioni di Lotka-Volterra (Logistico) dp df mp 1 DF P PF PF processionaria formica dp df 5P 1 1F P.1PF 1.2PF Equazioni del modello

17 Si vuole determinare l equilibrio stabile Calcolo dello isocline: P 5P 1.1PF 1 Isocline della preda 1F.2PF Isocline dei predatori F P 5 1 P.1 1 P F 1.2 Isocline della preda Isocline dei predatori

18 F La situazione di equilibrio stabile corrisponde ad un elevato numero di processionarie (5 prede) contro 25 formiche -predatori P 2 P 1 P 3 P 1 P, P 2,25 P 1, instabile stabile instabile

19 Si supponga di intervenire con un insetticida letale tanto per le prede quanto per i predatori. d1 d 2 Mortalità indotta dall insetticida dp mp 1 P PF d 1 P df DF PF d 2 F

20 I nuovi punti di equilibrio saranno: mp P 1 PF d P 1 Isocline della preda DF PF d 2 F Isocline dei predatori F P m 1 P d 1 P F D d 2 Isocline della preda in presenza di insetticida Isocline del predatore in presenza di insetticida

21 Il nuovo punto di equilibrio stabile è: D d P 2 P 5 5d 2 m P d 25 1d d F 1 2 F L insetticida riduce i predatori e aumenta le prede nocive!

22 formica 45 Piano delle fasi in assenza di insetticida processionaria In assenza di insetticida le due popolazioni raggiungono l equilibrio (5, 25)

23 densità Problema della processionaria e della Formica rufa in assenza di insetticida processionaria formica tempo Dopo un iniziale incremento della preda, l intervento del predatore porta ad una diminuizione della preda che si assesta all equilibrio (5)

24 formica 25 Piano delle fasi 2 15 in presenza di insetticida processionaria Applicando l insetticida il numero dei predatori diminuisce Nel lungo periodo si assiste ad un aumento della preda nociva

25 densità Problema della processionaria e della Formica rufa in presenza di insetticida processionaria formica tempo Nel breve periodo l insetticida sembra efficace e capace di eliminare rapidamente la preda infestante. Il crollo parallelo del predatore permette alla popolazione preda di riprendersi, superando la densità iniziale. Efficacia iniziale Valutazione errata sull utilità dell insetticida

26 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Sistema % Lotka Volterrra Logistico %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% function F=Proc(t,z) global m alpha D Beta d1 d2 F(1)=m*z(1)*(1-z(1)/ )- alpha*z(2)*z(1)-d1*z(1); F(2)=-D*z(2) + Beta*z(1)*z(2)-d2*z(2); F=F'; return

27 ARGOMENTI A SCELTA DELLA COMMISSIONE Modelli lineari continui: applicazioni della legge di crescita esponenziale Lez5.pdf Modello di diffusione di malattie infettive: modello di Bernoulli Lez5.pdf Modello logistico discreto Lez7.pdf Applicazioni del modello logistico continuo Lez1.pdf Modello di Lotka-Volterra Lez12.pdf

28 ARRIVEDERCI E ALL ESAME BUONA MATEMATICA