Matematica computazionale con laboratorio di progammazione e calcolo 2

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1 Corso di laurea in scienze ambientali Matematica computazionale con laboratorio di progammazione e calcolo 2 prof.:giulio Giunta prova di laboratorio di : Massimo Di Stefano (sm\119)

2 Sviluppare una function Matlab per determinare la soluzione del sistema di equazioni alle derivate parziali, su un segmento, di avvezione (1D) + diffusione (1D) + predatore - preda di due specie biologiche le cui concentrazione sono: V(x,t) e C(x,t)

3 sistema di equazioni alle derivate parziali : c c c 1 + v 1 = K 1 ac + bc c t x x c c c 2 + v 2 = K 2 + pc rc c t x x

4 Utilizzare la tecnica del metodo delle linee senza splitting, con il metodo upwind per l avvezione e il metodo centrale esplicito per la diffusione. Utilizzare la function per risolvere un problema in cui le condizioni al contorno di inflow sono nulle, le condizioni iniziali delle prede e dei predatori sono degli impulsi di valore massimo 10 e 5 (rispettivamente), centrati vicino all estremo sinistro del dominio (estremo di inflow), la velocità è 0.2, il coefficiente di diffusione è 0.2, i parametri a, b, p, r del sistema prdtore\preda vengono inseriti come parametri di imput unitamente al Tempo di simulazione e alla lunghezza del segmento 1D.

5 Rate function: AvvDiffPredRateVar % avvezione diffusione 1D preda predatore. (metodo delle linee) % % condizioni al contorno costanti (passate in global) % function CVprimo = AvvDiffPredRatevar(t,CV) global n h x C_x_s C_x_d V_x_s V_x_d a b p r CVprimo(1:n) = -0.2/h*(CV(1:n)-[C_x_s; CV(1:(n-1))])+0.2/(h^2)*... ([C_x_s; CV(1:n-1)]-2*CV(1:n)+[CV(2:n); C_x_d])-a*CV(1:n)+b*CV(1:n).*CV((n+1):end); CVprimo(n+1:2*n) = -0.2/h*(CV(n+1:end)-[V_x_s; CV(n+1:end-1)])+0.2/(h^2)*... ([V_x_s; CV(n+1:end-1)]-2*CV(n+1:end)+[CV(n+2:end); V_x_d])+p*CV(n+1:end)-r*CV(1:n).*CV(n+1:end); CVprimo=CVprimo';

6 Risoluzione : % script AvvDiffPredLineeMov % risoluzione dell'equazione di avvezione-diffusione 1D di un predatore e la sua preda % mediante il metodo delle linee (upwind per l avvezione, centrale esplicito per la % diffusione. % usa la function AVVDiffPredRatevar

7 -Dichiarazione delle variabili globali -Istruzioni per acquisire i parametri di imput global n h C_x_s C_x_d V_x_s V_x_d a b p r tmax=input('inserire il tempo finale di simulazione'); x_d=input('inserire il limite destro per il segmento 1D'); C_iniz=input('inserire il numero di predatori presenti all''inizio della simulazione'); V_iniz=input('inserire il numero di prede presenti all''inizio della simulazione'); a=input('inserire la costante per la mortalità dei predatori'); p=input('inserire la costante per la natalità dei prede'); b=input('inserire la costante per la predazione dei predatori'); r=input('inserire la costante per la predazione sulle prede');

8 -Definizione dell estremo di inflow -Costruzione della griglia spaziale x_s = 0; % estremo sin dell'intervallo spaziale n=100; % numero dei nodi interni della griglia spaziale x=linspace(x_s,x_d,n+2); h=(x_d-x_s)/(n+1);

9 -Dichiarazione delle condizioni al contorno e delle condizioni iniziali -Rappresentazione grafica delle condizioni iniziali % condizioni al contorno (costanti) C_x_s = 0; C_x_d = 0; V_x_s = 0; V_x_d = 0; % condizioni iniziali CViniz=zeros(2*n,1); CViniz(1)=C_iniz; CViniz(n+1)=V_iniz; plot(x,[0;cviniz(1:n);0]) title('condizione iniziale dei predatori') pause(5) plot(x,[0;cviniz(n+1:end);0]) title('condizione iniziale delle prede') pause(5)

10 -Risoluzione del sistema di equazioni mediante il solver Matlab ode45 [t,cv] = ode45('avvdiffpredratevar',[0 tmax],cviniz); [X,T]=meshgrid(x,t); e=ones(length(t),1); % si aggiungono le condizioni al contorno su tutta la griglia temporale C = [e*c_x_s CV(:,1:n) e*c_x_d]; V = [e*v_x_s CV(:,n+1:end) e*v_x_d];

11 -Rappresentazione grafica 3D dell evoluzione temporale della popolazione dei predatori surfc(x,t,c) shading interp xlabel('spazio') ylabel('tempo') zlabel('numero individui') title('evoluzione temporale della popolazione dei predatori') pause(5)

12 -Rappresentazione grafica 3D dell evoluzione temporale della popolazione delle prede figure(2) surfc(x,t,v) shading interp xlabel('spazio') ylabel('tempo') zlabel('numero individui') title('evoluzione temporale della popolazione delle prede') pause(5)

13 -Rappresentazione grafica delle prede e dei predatori nello spazio delle fasi figure(3) plot(c(:,4),v(:,4)) xlabel('predatori') ylabel('prede') title('spazio delle fasi nel punto x=4')

14 Evoluzione temporale dei predatori Tmax = 400 x = 60 a = 0.9 b = 0.15 p = 0.65 r = 0.1

15 Evoluzione temporale dei predatori Tmax = 400 x = 60 a = 0.9 b = 0.15 p = 0.65 r = 0.1

16 Evoluzione temporale dei predatori Tmax = 400 x = 60 a = 0.9 b = 0.15 p = 0.65 r = 0.1

17 Evoluzione temporale dei predatori Tmax = 400 x = 60 a = 0.9 b = 0.15 p = 0.65 r = 0.1

18 Evoluzione temporale dei predatori Tmax = 150 x = 60 a = 0.9 b = 0.15 p = 0.65 r = 0.1

19 Evoluzione temporale dei predatori Tmax = 150 x = 60 a = 0.9 b = 0.15 p = 0.65 r = 0.1

20 Evoluzione temporale dei predatori Tmax = 150 x = 60 a = 0.9 b = 0.15 p = 0.65 r = 0.1

21 Evoluzione temporale delle prede Tmax = 400 x = 60 a = 0.9 b = 0.15 p = 0.65 r = 0.1

22 Evoluzione temporale delle prede Tmax = 400 x = 60 a = 0.9 b = 0.15 p = 0.65 r = 0.1

23 Evoluzione temporale delle prede Tmax = 400 x = 60 a = 0.9 b = 0.15 p = 0.65 r = 0.1

24 Evoluzione temporale delle prede Tmax = 400 x = 60 a = 0.9 b = 0.15 p = 0.65 r = 0.1

25 Evoluzione temporale delle prede Tmax = 150 x = 60 a = 0.9 b = 0.15 p = 0.65 r = 0.1

26 Evoluzione temporale delle prede Tmax = 150 x = 60 a = 0.9 b = 0.15 p = 0.65 r = 0.1

27 Evoluzione temporale delle prede Tmax = 150 x = 60 a = 0.9 b = 0.15 p = 0.65 r = 0.1

28 Rappresentazione nel piano delle fasi valutata in: x = 4

29 -Istruzioni Matlab allo scopo di ottenere un animazione 2D che descriva l andamento nel tempo delle popolazioni di prede ( rosso ) e predatori ( blu ) % è necessario avviare la function, inserire tutti i parametri di imput, % digitare il comando length(t), dividere il risultato per un numero x che indichi ogni quanti passi % temporali voglio catturare un immagine, nel nostro caso si è scelto x = 3 % (ovvero: visualizza 1 immagine ogni 3 passi temporali). % con i = 1: (length(t)/x ). a=1 for i= 1:625 figure(i); plot(x,c(a,:),x,v(a,:),'r'); axis([ ]); M(i)=getframe(i); close a=a+3; end movie(m) comando matlab per convertire l animazione in.avi : movie2avi(m, nomefile )

30 Rappresentazione video 2D (num. individui) prede predatori (tempo)