METODI E MODELLI MATEMATICI PER LE APPLICAZIONI

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1 PROVA SCRITTA DEL 17 MARZO 2009 ẋ = ( x 4µ 2)( x log( µ + 1) )( x µ + 8 ) al variare del parametro µ R. 2) Studiare la stabilità della soluzione di equilibrio (0, 0, 0) del sistema ẋ = x2 2 (x + z2 ) ẏ = 3 sin y + 2z ż = sin y + (x 3 1) z 2 3) In un sistema di tipo preda-predatore, dove denotiamo con N la biomassa delle prede e con P quella dei predatori, il tasso di crescita delle prede segue la legge 2 2N P, mentre quello dei predatori segue la legge 1 + 4N P. Si chiede di studiare la stabilità delle posizioni di equilibrio biologicamente accettabili. il sistema di partenza attorno alla posizione di equilibrio stabile, supponendo che le biomasse abbiano all istante iniziale lo stesso valore k > 0.

2 PROVA SCRITTA DELL 1 APRILE 2009 ẋ = ( x + 2µ µ 2)( x 2 3(µ + 1)x + 9µ ) al variare del parametro µ R, e disegnare il relativo diagramma di biforcazione. 2) Mediante il metodo di linearizzazione e, dove questo fallisce, mediante il metodo della funzione di Ljapunov, si studi la stabilità della soluzione di equilibrio (0, 0, 0) del sistema ẋ = x 4 (x + z 2 ) + k sin x ẏ = 3y + 2z ż = y + (x 5 1)z al variare di k R. 3) In un lago alpino convivono due specie di pesci: i cavedani, denotati con C, e le trote marmorate, denotate con T, che stanno in competizione tra loro. Il tasso di crescita dei cavedani segue la legge 1 C 3T, mentre quello delle trote segue la legge 1 4C 2T. Si chiede di studiare la stabilità delle posizioni di equilibrio del sistema biologico formato dalle due specie. il sistema di partenza attorno all unica posizione di equilibrio stabile che prevede l estinzione delle trote, supponendo che inizialmente i cavedani abbiano biomassa 1 e le trote biomassa 2.

3 PROVA SCRITTA DEL 14 LUGLIO 2009 ẋ = (x 3 µx)(x + µ 1) al variare del parametro µ R, e disegnare il relativo diagramma di biforcazione. 2) Mediante il metodo di linearizzazione e, dove questo fallisce, mediante il metodo della funzione di Ljapunov, si studi la stabilità della soluzione di equilibrio (0, 0, 0) del sistema ẋ = 2x + 2z ẏ = y 2 (y + z 2 ) + ky ż = sin x + (y 3 1)z al variare di k R. 3) Un modello preda-predatore di Gomatam si presenta nella forma { ẋ = x(3 log x log y) x, y > 0. ẏ = y(2 3 log x log y) Si trovi l unica posizione di equilibrio del sistema. Si trovi poi la traiettoria del sistema uscente dal punto x = e 3, y = 1 e si mostri che tale traiettoria tende alla posizione di equilibrio per t +. [Suggerimento: si usi il cambio di variabili ξ = log x, η = log y.]

4 PROVA SCRITTA DEL 4 SETTEMBRE 2009 ẋ = (µ log(1 + x )(x 2 + µ 2 1)x al variare del parametro µ R e disegnare il relativo diagramma di biforcazione. Nota: è facoltativo lo studio della stabilità dei punti in cui il metodo di linearizzazione fallisce. 2) Si studi la stabilità della soluzione di equilibrio (0, 0, 0) del sistema ẋ = sin y cos y + x(z 5 1) ẏ = 1 2 x5 sin y ż = z(1 + x 6 z 3 ). 3) Un modello biologico di competizione tra due specie x e y è caratterizzato dal sistema differenziale { ẋ = x(1 2x 4y) ẏ = y(1 3x y). Si chiede di studiare la stabilità delle posizioni di equilibrio del sistema biologico formato dalle due specie. il sistema di partenza attorno all unica posizione di equilibrio stabile che prevede l estinzione della specie x, con le condizioni iniziali x(0) = 2 e y(0) = 1.

5 PROVA SCRITTA DEL 22 SETTEMBRE 2009 ẋ = (1 + x µ)( x e µ )x al variare del parametro µ R e disegnare il relativo diagramma di biforcazione. Nota: è facoltativo lo studio della stabilità dei punti in cui il metodo di linearizzazione fallisce. 2) Si studi la stabilità della soluzione di equilibrio (0, 0, 0) del sistema ẋ = x(y 3 x 2 ) ẏ = z 3 y 3 x sin x ż = z 2 (z + y 3 ). 3) Un modello economico sull andamento del prezzo P di un bene in funzione del tempo è caratterizzato dall equazione differenziale del secondo ordine P (t) + a P (t) + bp (t) = 0 dove a, b R e a > 0. Dopo aver trasformato l equazione in un sistema del primo ordine, si chiede di studiare la stabilità delle posizioni di equilibrio al variare dei parametri a e b. Supponendo poi che il tempo sia misurato in giorni e il prezzo in euro, si chiede poi, nel caso a = 3 e b = 2, di determinare il prezzo del bene dopo 3 giorni, sapendo che P (0) = 20 e P (0) = 5/giorno.