Stabilita'

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1 di equazioni differenziali Consideriamo ora equazioni differenziali o sistemi di equazioni differenziali autonomi. Una equazione differenziale in forma normale del primo ordine e' autonoma se e' della forma x'=f(x) cioe' la funzione F e' indipendente dal tempo t Un sistema di equazioni differenziali e' autonomo se le funzioni f e g sono indipendenti da t Cominciamo dal caso di una equazione differenziale Un punto x 0 tale che F(x 0 )=0 si dice punto stazionario o di equilibrio. Si noti che la soluzione dell'equazione differenziale passante per x 0 e' x(t)=x 0?Cosa succede se perturbo leggermente un sistema che si trova in stato di equilibrio? ci sono due tipi di equilibrio instabile stabile 1 of 7 1/13/05 7:08 PM

2 Equilibrio: Stabile o instabile? Esempio: Modello logistico Per trovare i punti di equilibrio dobbiamo risolvere l'equazione: Le soluzioni sono: N=0 and N=K. Vedremo che uno dei due punti e' di equilibrio stabile, l'altro instabile. Intuitivamente e' un sistema stabile quello tipo il quadro in figura, instabile, tipo la matita. Un punto x 0 si dice punto di equilibrio stabile se il sistema ritorna allo stato di equilibrio dopo una piccola perturbazione. Un punto x 0 si dice punto di equilibrio instabile se il sistema si allontana dallo stato di equilibrio dopo una piccola perturbazione. Nota. Questi due casi si presentano se i punti sono isolati. Se invece i punti sono di accumulazione di punti di equilibrio possono presentarsi altre situazioni piu' complesse (si parla di punti di equilibrio semistabile, metastabile, stabile-metastabile, instabile-metastabile - si veda ad esempio [Antonio C. Capelo, Modelli matematici in biologia, introduzione all'ecologia matematica, Zanichelli Decibel editore, I.6.2]). per i punti di equilibrio di una equazione differenziale Esaminiamo la stabilita' dei 2 punti di equilibrio del modello logistico. Se 0 < N < K, allora dn/dt > 0 e quindi la popolazione cresce (il punto nel grafico si muove verso 2 of 7 1/13/05 7:08 PM

3 destra). Se N < 0 oppure N > K (ovviamente, N < 0 non ha senso dal punto di vista biologico), la popolazione decresce (il punto sul grafico si muove verso sinistra). Le frecce mostrano che il punto di equilibrio N=0 e' instabile, mentre il punto N=K e' stabile. Dal punto di vista naturalistico, questo significa che dopo una piccola variazione dell'entita' di popolazione da N=0 (ad esempio, a causa dell'immigrazione di un piccolo numero di individui), la popolazione non torna mai indietro a questo punto di equilibrio. Invece, la popolazione cresce fino a quando raggiunge (all'infinito) lo stato di equilibrio N=K. Una deviazione dallo stato N=K torna a questo stato di equilibrio. In generale, sia data l'equazione differenziale Cio' che differenzia i punti di equilibrio stabile e instabile e' quindi il coefficiente angolare della retta tangente alla funzione y=f(n) nel punto di equilibrio: se e' positivo, il punto e' di equilibrio instabile; se e' negativo, il punto e' di equilibrio stabile. Nota: potrebbe pero' succedere che il coefficiente angolare nel punto di equilibrio sia nullo (cioe' dn/dt=0). In questo caso e' necessario effettuare lo sviluppo di Taylor della funzione y=f(n) di ordine superiore al primo (quanto fatto prima e' in altre parole uno sviluppo di Taylor del primo ordine). Per maggiori dettagli si veda ad esempio [Antonio C. Capelo, Modelli matematici in biologia, introduzione all'ecologia matematica, Zanichelli Decibel editore, I.6.2]). di modelli matematici discreti Consideriamo ora un sistema tempo-discreto La successione ricorrente e' dunque descritta dalla funzione y=f(x). Il punto p e' un punto fisso della funzione f se f(p) = p. I punti fissi di f sono i punti fissi o di equilibrio del sistema tempo-discreto. Ci chiediamo ora quando i punti fissi o di equilibrio sono stabili o instabili. In questo caso si parla anche di attrattori (punti di equilibrio stabile) repulsori (punti di equilibrio instabile). L'idea e' sempre quella di prendere un punto q vicino ad uno fisso. Consideriamo la successione ricorrente con valore iniziale a 0 =q. Se la successione converge a p (cioe' i valori di a n per n grande si avvicinano sempre piu' a p) il punto p e' un attrattore. Altrimenti se i valori di a n si allontano sempre piu' da p, il punto p e' un repulsore. Esempio: nel caso della crescita logistica ci si puo' rendere conto del diverso comportamento per i 2 punti fissi o di equilibrio usando la seguente Applet oppure anche dalle seguenti figure: 3 of 7 1/13/05 7:08 PM

4 caso del punto fisso p=1 stabile o attrattore (f(x)=x(2-x)) caso del punto fisso p=0 instabile o repulsore Come si possono riconoscere i punti di equilibrio stabile (attrattori) o instabile (repulsori) a partire da proprieta' della funzione f? Si puo' enunciare, analogamente al caso continuo (equazioni differenziali) un semplice criterio in base al coefficinet angolare della setta tangente nel punto fisso. Consideriamo un modello tempo-discreto: 4 of 7 1/13/05 7:08 PM

5 (ora la variabile e' il numero naturale t). Sia N^ un punto fisso. Il punto N^ e' un attrattore se dove e' il coefficiente angolare della retta tangente in N^ alla curva y=f(x). Altrimenti, se e' maggiore di 1 o minore di -1, N^ e' un repulsore. Ad esempio, nel caso della crescita logistica (f(x)=x(2-x)), nel punto 1 il coefficiente angolare della retta tangente e' 0 (<1) e il punto 1 e' effettivamente un attrattore. per i punti di equilibrio di un sistema di equazioni differenziali Analizzare la stabilita' per un sistema di equazioni differenziali e' piu' complesso che nel caso di una sola equazione. Consideriamo un sistema - ad esempio preda-predatore con 2 variabili: il numero di prede P e di predatori H. La dianamica di questo modello e' descritta dal sistema di equazioni differenziali. Le popolazioni di equilibrio H* per il predatore e P* per la preda si determinano risolvendo il seguente sistema: 5 of 7 1/13/05 7:08 PM

6 Per analizzare l'equilibrio si deve linearizzare. Questo e' basato di nuovo su uno sviluppo di Talyor (ora per funzioni di 2 variabili). Si puo' provare che effettuando uno sviluppo del prim ordine si trova un sistema lineare la cui matrice ' la cosiddetta matrice Jacobiana: La stabilita' dipende allora dalla stabilita' del corrispondente sistema lineare e quindi dagli autovalori della matrice A. Gli autovalori sono genericamente complessi Se la parte reale di entrambi gli autovalori e' negativa, l'equilibrio e' stabile; Se almeno un autovalore ha parte reale positiva, l'equilibrio e' instabile Situazioni di equilibrio stabile si hanno per nodi e fuochi Situazioni di equilibrio instabile si hanno per nodi, fuochi e selle 6 of 7 1/13/05 7:08 PM