INTRODUZIONE ALL ANALISI DEI SISTEMI

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1 INTRODUZIONE ALL ANALISI DEI SISTEMI Università

2 Sistemi dinamici Il concetto di sistema u(t) x(t) x(t) Un sistema è un entità caratterizzata da alcune grandezze interne x(t), supposte osservabili, la cui evoluzione è regolata da alcune grandezze esterne u(t) mediante una equazione differenziale del tipo: dx(t) = f(x(t),u(t)) dt Modello Dinamico

3 Modelli matematici Modelli dinamici dx(t) = f(x(t),u(t)) dt in grado di descrivere il comportamento degli oggetti o dei fenomeni considerati anche quando le variabili in gioco non sono tutte costanti nel tempo x R n variabili di stato u R m variabili di ingresso n = ordine del sistema

4 Sistemi del I ordine esempi

5 Serbatoio a efflusso forzato q i h q o h = livello S = area della sezione (costante) q i = portata volumetrica d ingresso (imposta) q o = portata volumetrica d uscita (imposta) S Equazione di bilancio di massa dh(t) = 1 dt S (q i (t) à q o (t))

6 Serbatoio a efflusso libero h q i S q o h = livello S = area della sezione (costante) q i = portata volumetrica d ingresso k = area sezione efflusso Dall equazione di Bernoulli p q o (t) =k 2gh(t) Equazione di bilancio di massa dh(t) = 1 dt S (q i (t) à q o (t))

7 Serbatoio a efflusso libero h q i S q o h = livello S = area della sezione (costante) q i = portata volumetrica d ingresso k = area sezione efflusso Dall equazione di Bernoulli p q o (t) =k 2gh(t) Equazione di bilancio di massa p dh(t) = 1 dt S (q i (t) à k 2gh(t) )

8 Siano: Economia nazionale un modello keynesiano - I Y = prodotto nazionale lordo C = consumi delle famiglie I = investimenti delle imprese, della pubblica amministrazione, al netto delle imposte, le esportazioni al netto delle importazioni Risulta Y = C + I

9 Economia nazionale un modello keynesiano - II I consumi delle famiglie aumentano all aumentare del prodotto nazionale lordo dc(t) = à ac(t)+by(t) =(b à a)c(t)+bi(t) dt a e b sono opportuni coefficienti positivi. Aumentando gli investimenti aumentano anche i consumi e cresce il prodotto nazionale lordo Fu la ricetta per uscire dalla grande depressione dopo il 29. Infatti, secondo le teorie keynesiane,il livello di occupazione è dettato dal prodotto nazionale lordo

10 Temperatura media della terra A.C. Fowler (1997) Mathematical Models in the Applied Sciences, Cambridge University Press c dt dt = Ra(T) à Re(T) Ra(T) =radiazione assorbita Re(T) =radiazione emessa c = calore specifico dell atmosfera

11 Ra(T) =Q(1 à ë(t)) Q = radiazione solare ë(t) =radiattivita 0 della terra (albedo) Inversamente proporzionale a T, direttamente proporzionale all estensione dei ghiacci (ë l >ë u ) ë(t) =ë l, T 6 T l TàT ë(t) =(ë u à ë l ) l Tu àt l + ë l, T l 6 T 6 T u ë(t) =ë u, T>T u

12 Re(T) =g(t)ût 4 ût 4 = radiazione del corpo nero g(t) ="grado di grigio del sistema"

13 Modello c dt dt = Ra(T) à Re(T) c dt dt Q 4 1 T g( T ) T

14 Modelli di crescita delle popolazioni Modello di Malthus (1798) - crescita esponenziale dx(t) = Rx(t) x(t) =e Rt x(0) dt x = numero degli individui (concentrazione) R = tasso di crescita Modello di Verhulst (1848) - logistic growth - crescita limitata dx(t) = Rx(t)[1 à x(t) dt K ] K = capacità della popolazione dovuta a limiti nella disponibilità di alimento (substrato), a limiti di spazio, ad altri fattori che impediscono la crescita

15 Logistic growth Inserire figura x/k R= t

16 Sistemi del II ordine esempi

17 Carrello M F x Supponendo che ci sia una forza di attrito proporzionale alla posizione e una proporzionale alla velocità risulta M x( t) kx( t) hx ( t) F( t) Posto x1 x, x2 x, u F, il modello è x 1( t) x2( t) 1 x 2( t) kx1 ( t) hx2( t) u( t) M

18 Pendolo u l Supponendo che ci siano una coppia motrice u e una coppia di attrito proporzionale alla velocità angolare, risulta M Ml 2 ( t) glmsin( ( t)) k ( t) u( t) Posto x 1, x il modello è 2 x ( t) x x ( t) g ( t) l sin( x 1 ( t)) k Ml 2 x 2 ( t) 1 Ml 2 u( t)

19 Cinetica batterica dinamica delle colonie batteriche (alghe, lieviti, batteri, protozoi) utilizzate per la produzione di enzimi Reattore a volume costante d biomassa d substrato x = concentrazione della biomassa S = concentrazione del substrato d = portata specifica alimentazione substrato

20 Modello di Monod (1914) (o o di Michaelis-Menten Menten) Il tasso di crescita R dipende dalla concentrazione S dell alimento (substrato) ö R = R(S) = 0 S Ks +S ö 0 = valore limite di R per S K s = cost. uguale a S per cui R =0.5ö curva di Monod R / m o S/Ks

21 Cinetica batterica modello matematico dx(t) ö = 0 S(t) dt Ks x(t) à dx(t) +S(t) ds(t) ö = à k 0 S(t) dt 1 Ks x(t)+d(s +S(t) i à S(t)) S i k 1 = concentrazione dell 0 alimentazione del substrato = fattore di resa

22 Modello preda-predatore predatore Lotka - Volterra In un ecosistema a due specie, siano x 1 (t) = numero di prede al tempo t x 2 (t) = numero di predatori al tempo t u(t) = immissione di prede al tempo t 1 = tasso di crescita delle prede 2 = tasso di decrescita dei predatori k = capacità della popolazione delle prede = coefficiente = coefficiente x ( ) ( ) ( ) 1 1 t x 1 t 1x1 t x1 ( t) x2( t) u( t) k x t) x ( t) x ( t) x ( ) 2( t

23 Sistemi dinamici e modelli matematici serbatoio a efflusso forzato serbatoio a efflusso libero economia nazionale, modello keynesiano temperatura della terra crescita delle popolazioni carrello pendolo cinetica batterica preda-predatore

24 Utilità dei modelli dinamici Comprensione dei fenomeni Analisi Simulazione Progetto e ottimizzazione Diagnostica dei malfunzionamenti Progetto del controllore Addestramento operatore Prototipazione rapida...

25 u(t) Sistemi dinamici Il concetto di stato dx(t) = f(x(t),u(t)) dt x(t) Il vettore x(t) raccoglie quelle grandezze che, nel modello adottato, descrivono completamente la situazione interna dell entità considerata. Una configurazione x(t 0 )=x 0 può essere raggiunta a seguito di diverse forme di ingresso per i tempi t < t 0. Lo stato memorizza in qualche modo la storia del sistema

26 Sistemi dinamici classificazione Sistemi monovariabili, o multivariabili SISO: una sola variabile di ingresso, una sola variabile di uscita MIMO: più variabili di ingresso, più variabili di uscita Sistemi propri e strettamente propri Sia y = g(x(t),u(t)) la trasformazione di uscita (equazione algebrica). Il sistema si dice strettamente proprio (puramente dinamico) se y = g(x(t)) Se l uscita dipende anche dall ingresso il sistema è detto proprio

27 Sistemi dinamici classificazione Sistemi non dinamico y = g(u(t)) Sistemi invarianti e varianti nel tempo Un sistema è detto variante nel tempo se f e/o g dipendono esplicitamente dal tempo dx(t) = f(x(t),u(t),t) dt y = g(x(t),u(t),t) Se sia f che g non dipendono esplicitamente da t il sistema è detto tempo invariante o stazionario

28 Esempio sistema variante M F M x( t) k( t) x( t) hx ( t) F( t) x k ( t ) k to e ( tto) Si suppone che la costante elastica diminuisca esponenzialmente nel tempo.

29 Sistemi liberi, o autonomi Sistemi dinamici classificazione dx(t) = f(x(t)) dt L evoluzione dello stato dipende solo dalle condizioni iniziali Sistemi lineari dx(t) = Ax(t)+Bu(t) dt La dipendenza dallo stato e dall ingresso è lineare tramite le matrici dei coefficienti A R n,n, B R n,m

30 Serbatoio a efflusso forzato Posto x = h (livello) u 1 = q i (portata d ingresso) u 2 = q o (portata d uscita) xç(t) = S 1 (u 1 (t) à u 2 (t)) E un sistema lineare e forzato x ( t) 0 x t 1 S 1 S u u 1 2 t t X A X B U

31 Serbatoio a efflusso libero Posto x = h (livello) u = q i (portata d ingresso) xç(t) = S 1 (u(t) à k p 2gx(t) ) E un sistema non lineare e forzato

32 Economia nazionale Posto x = C (consumi delle famiglie) u = I (investimenti) xç(t) =(b à a)x(t)+bu(t) Sistema lineare e forzato

33 Temperatura media della terra Posto x = T (temperatura media della terra) u = Q (radiazione solare) xç(t) = c 1 n o u(t) [ 1à ë(x(t)) ]à ûx(t) [ ] 4 g(x(t)) Sistema non lineare e forzato

34 Modelli di crescita della popolazione x ( t) Rx( t) xç(t) =Rx(t)[1 à x(t) K ] Sistema lineare e libero Sistema non lineare e libero

35 Pendolo x ( t) x x ( t) g ( t) l sin( x 1 ( t)) k Ml 2 x 2 ( t) 1 Ml 2 u( t) Sistema non lineare e forzato

36 Cinetica batterica Posto x 1 = x (concentrazione biomassa) x 2 = S (concentrazione substrato) u 1 = d (portata specifica alimentazione substrato) = S i (concentrazione alimentazione substrato) u 2 ö xç 1 (t) = 0 x 2 (t) Ks +x 2 x (t) 1 (t) à u 1 x 1 (t) ö xç 2 (t) =à k 0 x 2 (t) 1 Ks +x 2 x (t) 1 (t)+d(u 2 (t) à x 2 (t)) Sistema non lineare e forzato

37 Movimento dello stato Dato l istante iniziale t 0, la funzione d ingresso u(t), t t 0, lo stato iniziale x 0, la soluzione x(t) del sistema di equazioni differenziali è il movimento dello stato. dx(t) = f(x(t),u(t)) dt x()=þ(t, t t 0,x(t 0 ),u()),t>t á 0

38 Traiettoria dello stato Definisco traiettoria dello stato la proiezione del movimento sullo spazio di stato.

39 Movimento dello stato sistemi lineari Nei sistemi lineari il movimento è dato dalla formula di Lagrange x(t) =e A(tàt 0) x(t 0 )+ Movimento libero t t 0 e A(tàü) Bu(ü)dü Movimento forzato Nei sistemi lineari il movimento dello stato è determinato dalla composizione (somma) del movimento libero (stato iniziale) con quello forzato (ingresso lungo tutto l intervallo temporale). Nel calcolo del movimento i due contributi possono essere calcolati in maniera indipendente (sovrapposizione degli effetti)

40 Principio di sovrapposizione degli effetti dx(t) 0 = Ax 0 (t)+bu 0 (t), t>t dt 0, x 0 (t 0 )=x 0 t 0 dx(t) 00 = Ax 00 (t)+bu 00 (t), t>t 0, x 00 (t 0 )=x 00 dt Si consideri ora il caso in cui l ingresso e lo stato iniziale siano costituiti dalla stessa combinazione lineare degli ingressi e degli stati iniziali precedenti u 000 (t) =ëu 0 (t)+ìu 00 (t) Allora x 000 t 0 = ëx 0 t 0 + ìx 00 t 0 x 000 (t) =ëx 0 (t)+ìx 00 (t), t > t 0 t 0

41 Dato un ingresso costante Sistemi dinamici equilibrio si definiscono stati di equilibrio quegli stati per cui u(t) =u x(t) =x 0=f(x,u) Gli stati di equilibrio sono quindi stati in cui il sistema, soggetto all ingresso costante corrispondente, permane indefinitamente.

42 Per i sistemi lineari u =0 Sistemi lineari equilibrio dx(t) = Ax(t)+Bu(t) dt posto, l origine è un punto di equilibrio. Per un generico ingresso u, se A è invertibile lo stato di equilibrio è x = à A à1 Bu

43 Economia nazionale equilibrio 0 ac by ( b a) C Y C I bi Si noti che all equilibrio b/a = consumi/prodotto nazionale lordo Inoltre all equilibrio risulta prodotto nazionale lordo a = investimenti aàb = k k è il moltiplicatore di Keynes

44 Temperatura della terra punti di equilibrio R a ( T ) R ( T e ) [1 ( x)] u x 4 g( x) Risolubile solo numericamente

45 Equilibrio ë l =0.85, ë u =0.15, Q n =1, T 0n =0.75, m= punti di equilibrio 1.4 Re R a R ē O Ra O O T N.B. Le temperature e le radiazioni sono normalizzate (ecco perché il pedice n). Il coefficiente m indica la copertura gassosa del pianeta.

46 al variare di Q punti di equilibrio R a R ē O O O Q=1.1 Q=1 Q= T

47 effetto serra 1.6 punti di equilibrio m=.6 m=.65 R a R ē O O O m= T

48 Carrello punti di equilibrio 0 0 x2 1 M kx 1 hx 2 u 0 kx 1 x 2 u La forza elastica equilibra la forza esterna imposta

49 Cinetica batterica punti di equilibrio ö 0= 0 S Ks +S x à dx ö 0=àk 0 S 1 Ks +S x + d(s i à S) x =0 S = S i k x = d(s i à S) s +S ö0 k 1 S dk S = s ö0 àd

50 Cinetica batterica punti di equilibrio k s =0.4, k 1 =0.35, S i =0.2 d =0.1, ö 0 =0.4 x =0 x = S =0.2 S =0.1333

51 Pendolo punti di equilibrio 0 x 2 g k 0 sin( x1 ) l Ml 2 x 2 1 Ml 2 u u 0 Equilibrio stabile x k 1 Come formalizzare il concetto di stabilità dell equilibrio? Equilibrio instabile

52 Sistemi dinamici stabilità dell equilibrio - I Uno stato di equilibrio x è asintoticamente stabile se tutti i movimenti perturbati generati da stati iniziali x 0 sufficientemente prossimi a x rimangono in vicinanza di x e tendono asintoticamente a x. Quindi, tale che, per tutti gli stati iniziali x 0 che soddisfano la relazione risulta e kx 0 à xk <î kx(t) à xk <ï, t >0 lim t kx(t) à xk =0

53 Sistemi dinamici stabilità dell equilibrio - II Uno stato di equilibrio x è (semplicemente) stabile se tutti i movimenti perturbati generati da stati iniziali x 0 sufficientemente prossimi a x rimangono in vicinanza di x. Uno stato di equilibrio x è instabile se non è stabile

54 Asintotica stabilità definisce la regione di attrazione x x 0 Se è l intero spazio, il punto di equilibrio è globalmente asintoticamente stabile può anche essere molto piccolo

55 Temperatura della terra stabilità dell equilibrio

56 Stabilità dell equilibrio c n =1 Punto di equilibrio B Comunque perturbi il sistema mi allontano dall equilibrio Equilibrio Instabile Punti di equilibrio A e C x 0 <x x 0 >x dx > 0 x() t crescente dt dx < 0 x() t decrescente dt Equilibrio Stabile

57 Pendolo stabilità dell equilibrio

58 piano di fase M=g=l=1 equilibrio as. stabile equilibrio instabile u(t)=0

59 Cinetica batterica stabilità dell equilibrio

60 piano di fase equilibrio instabile equilibrio as. stabile k s =0.4, k 1 =0.35, S i =0.2, d =0.1, ö 0 =0.4

61 Stabilità dell equilibrio sistemi lineari Movimento di equilibrio Movimento perturbato x = e At x + x(t) =e At x 0 + t 0e A(tàü) Budü t 0e A(tàü) Budü x(t) à x = e At (x 0 à x) La stabilità asintotica dipende dalla matrice A ed è una proprietà del sistema

62 Sistemi lineari del I ordine stabilità dx(t) = ax(t) dt La matrice A = a coincide con il suo autovalore 3 x/x(0) a>0 a > 0 sistema instabile a = 0 sistema stabile a=0 a<0 a < 0 sistema asintoticamente stabile t

63 Economia nazionale un modello keynesiano dc(t) = à ac(t)+by(t) =(b à a)c(t)+bi(t) dt Y(t) =C(t)+I(t) La stabilità asintotica si ha per b < a cioè se all equilibrio i consumi sono inferiori al prodotto nazionale lordo

64 Sistemi lineari del II ordine stabilità x(t) à x = e At (x 0 à x) Come valutare il movimento dello stato e la stabilità quando il sistema non è di primo ordine?

65 Sistemi lineari del II ordine stabilità Ipotesi La matrice A ha autovalori reali o complessi coniugati ma distinti det(õi à A) =0 Le n soluzioni i dell equazione caratteristica si dicono autovalori di A.

66 Sistemi lineari del II ordine stabilità Agli autovalori a 1 e a 2 corrispondono gli autovettori v 1 e v 2 AT 1 Av i = a i v i, i =1, 2 T 1 1~ posto x( t) T x ( t) risulta: a1 0 0, a 2 dx t dx ~ t a 0 1 A x t TAT ~ 1 x t ~ x dt dt 0 a 2 N.B. La corrispondenza tra x ed x~ è biunivoca. T 1 v 1 v 2 t

67 dt Sistemi lineari del II ordine stabilità dxà 1 (t) = a 1 xà 1 (t) xà 1 (t) =e a1t xà 1 (0) dxà 2 (t) = a 2 xà 2 (t) xà 2 (t) =e a2t xà 2 (0) dt x ~ a e 0 t 0 ~ t T x t T x0 T Tx0 e a t 1 a e 0 t e 0 a t 1 Il movimento libero dello stato è combinazione lineare di termini esponenziali detti modi.

68 Sistemi lineari del II ordine stabilità Condizione necessaria e sufficiente perché il sistema sia asintoticamente stabile è che Re(a 1 )<0 e Re(a 2 )<0

69 Sistemi lineari stabilità I risultati precedenti possono essere estesi anche al caso di sistemi del secondo ordine con autovalori coincidenti o a sistemi di ordine più elevato Condizione necessaria e sufficiente affinché un sistema lineare sia asintoticamente stabile è che tutti i suoi autovalori abbiano parte reale minore di zero Condizione sufficiente affinché un sistema lineare sia instabile è che almeno un autovalore abbia parte reale maggiore di zero Se tutti gli autovalori hanno parte reale minore o uguale a zero, il sistema può essere stabile o instabile, ma non asintoticamente stabile

70 Carrello Carrello stabilità stabilità ) ( 1 0 ) ( ) ( 1 0 ) ( ) ( t u M t x t x M h M k t x t x ,2 M k M h M h a Re(a 1,2 )<0 per h,k>0 asintotica stabilità

71 Sistemi non lineari linearizzazione - I Dato il sistema dx(t) = f(x(t),u(t)) dt e l equilibrio 0=f(x,u) si ponga îx(t) =x(t) à x îu(t) =u(t) à u

72 Sistemi non lineari linearizzazione - II Sviluppando il sistema in serie di Taylor attorno a e arrestando lo sviluppo al I termine si ottiene (x,u) d (x + îx(t)) = f(x,u)+ dt f(x,u)ì dx x,u îx(t)+ f(x,u)ì du x,u îu(t) f(x,u) cioè, posto A = ì f(x,u) x x,u, B = ì u x,u dîx(t) = Aîx(t)+Bîu(t) dt che è chiamato sistema linearizzato

73 Sistemi non lineari stabilità dell equilibrio Lo stato di equilibrio (x,u) è asintoticamente stabile se tutti gli autovalori del sistema linearizzato corrispondente hanno parte reale minore di zero Lo stato di equilibrio (x,u) è instabile se almeno uno degli autovalori del sistema linearizzato corrispondente ha parte reale maggiore di zero Si osservi che per la stabilità asintotica si ha in questo caso solo una condizione sufficiente, per cui nel caso di autovalori con parte reale minore o uguale a zero non si può concludere nulla. Sono necessarie altre tecniche di analisi

74 Pendolo Pendolo sistema sistema linearizzato linearizzato ) ( 1 0 ) ( ) ( ) cos( 1 0 ) ( ) ( t u Ml t x t x Ml k x l g t x t x 0, x x 0, 2 1 x x equilibri ,2 l g Ml k Ml k a ,2 l g Ml k Ml k a Re(a 1,2 )<0 eq. as. stab. Re(a 1 )<0, Re(a 2 )>0 eq. instab.

75 d(îx(t)) dt d(îs(t)) dt = Cinetica batterica sistema linearizzato 0s 0k à d s x k s+s (k s +s) 2 k à 1 ö 0 s k s +s k à ( 1 ö 0 s x (k s + d) +s) 2 îx(t) + îs(t) " # 0 îs i (t) d x =0 S = S i equilibri k x = d(s i à S) s +S ö0 k 1 S dk S = s ö0 àd a 1 = 0.1, a 2 =0.033 equilibrio instabile a1, j0.022 equilibrio asintoticamente stabile

76 piano di fase x ' = ((mu y)/(ks + y)) x - d x y ' = - ((k1 mu y)/(ks + y)) x + d (0.2 - y) mu = 0.4 ks = 0.4 d = 0.1 k1 = equilibrio instabile 0.2 y equilibrio as. stabile x

77 Dato il sistema Il problema del controllo dx(t) = f(x(t),u(t)) dt il problema del controllo consiste nell agire sulla variabile di ingresso (o di controllo) u in modo da far assumere alle variabili di stato, o a loro combinazioni (dette variabili di uscita) un dato andamento nel tempo o un dato valore costante

78 Dato il sistema Sistemi del I ordine controllo in anello aperto - I dx(t) = ax(t)+bu(t) dt supponendo a<0 (sistema asintoticamente stabile), per far assumere a x un dato valore (almeno a transitorio esaurito) si può porre x u( t) u b 1 ax che corrisponde al valore di regime di u(t) compatibile con l equilibrio richiesto x Regolatore u Sistema x 1 u b ax dx(t) = ax(t)+bu(t) dt

79 Sistemi del I ordine controllo in anello aperto - II Sostituendo l equazione del regolatore in quella del sistema si ottiene dx(t) = ax(t)+à bb à1 ax = ax(t) à ax dt x(t) =e at x(0) + t 0e a(tàü) (à ax)dü e, poiché e at 0 per t x(t) =e at x(0) + x à e at x x(t) x per t

80 Sistemi del I ordine controllo in anello aperto - III nel caso di sistemi non asintoticamente stabili (a0) la legge di controllo precedente non può essere utilizzata se il sistema vero è (errore di modello) dx(t) = ëx(t)+bu(t) dt, ë < 0, ë6=a e si utilizza la legge di controllo si ottiene u(t) =u = à b 1 ax x(t) ë a x per t Errore a transitorio esaurito

81 Dato il sistema Sistemi del I ordine controllo in anello chiuso - I dx(t) = ax(t)+bu(t), aq0 dt si consideri il seguente schema di controllo in anello chiuso x Regolatore proporzionale Sistema e = x x u x u(t) =k dx(t) p e(t) = ax(t)+bu(t) dt in cui la legge di controllo è u(t) =k p e(t) =k p x à k p x(t)

82 Sistemi del I ordine controllo in anello chiuso - II Utilizzando l equazione del regolatore in quella del sistema si ottiene dx(t) =(aàbk dt p )x(t)+bk p x E sempre possibile scegliere k p in modo da rendere asintoticamente stabile il sistema in anello chiuso ( a bk 0 ) p Il movimento dello stato del sistema retroazionato è x(t) =e (aàbk p)t x(0) + t 0e (aàbk p)(tàü) bk p xdü

83 Sistemi del I ordine controllo in anello chiuso - III x(t) =e (aàbkp)t bk x(0) à p aàbkp e x + (aàbk p)t aàbkp bk p x Per l asintotica stabilità del sistema retroazionato àbk x(t) p aàbkp x per t cioè x(t) x per k p (con il segno opportuno per avere l asintotica stabilità) Tuttavia, per k p u(0) = k p (x à x(0)) ç fisicamente poco realistico

84 Sistemi del I ordine controllo in anello chiuso - IV Si consideri il regolatore più complesso Regolatore proporzionale k p e(t) x e = x x u Sistema x dx(t) = ax(t)+bu(t) Regolatore integrale t k i e(ü)dü 0 dt Equazioni del regolatore dv(t) = e(t) dt u(t) =k p e(t)+k i v(t)

85 Sistemi del I ordine controllo in anello chiuso - V Sistema in anello chiuso dx ( t ) dv dt ( t ) dt a bk 1 p bk 0 condizione di stabilità asintotica: autovalori della matrice A con parte reale minore di zero bk p à a>0 bk i > 0 i x ( t ) v ( t ) bk 1 p x

86 Sistemi del I ordine controllo in anello chiuso - VI Movimento dello stato x t) v t ( ) e, per la asintotica stabilità e x(0) v (0) A bk 1 ( At 1 p 1 x A e At bk 1 p x x t ( ) 1 v ( t ) A bk 1 p x a x bk i x per t errore a transitorio esaurito nullo il controllo si assesta automaticamente sul valore richiesto

87 Controllo in anello chiuso prestazioni a=1 (sistema instabile), b=1 1.8 x =1 1.6 x k p = k i =2 ( blu ) k p = k i =4 (rosso) k p = k i =8 (verde) t

88 Il problema del controllo conclusioni se il sistema in anello aperto è asintoticamente stabile e perfettamente noto, il controllo in anello aperto consente di ottenere le prestazioni desiderate in controllo in anello chiuso consente di stabilizzare sistemi instabili, di ottenere stabilità, errore a transitorio esaurito nullo, e le prestazioni dinamiche desiderate esiste una teoria generale che consenta di trattare in modo sistematico sistemi di ordine superiore al primo