Charles Darwin che su Alfred Russel Wallace per la formulazione della loro teoria evoluzionista.

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1 MODELLI MATEMATICI IN BIOLOGIA economista e demografo inglese Nel 1798 pubblicò An essay of the principle of the population as it affects the future improvement of society (Saggio sul principio della popolazione e i suoi effetti sullo sviluppo futuro della società), in cui sostenne che l'incremento demografico avrebbe spinto a coltivare terre sempre meno fertili con conseguente penuria di generi di sussistenza per giungere all'arresto dello sviluppo economico, poiché la popolazione tenderebbe a crescere in progressione geometrica, quindi più velocemente della disponibilità di alimenti, che crescono invece in progressione aritmetica (teoria questa che sarà poi ripresa da altri economisti per teorizzare l'esaurimento del carbone prima, e del petrolio dopo). Charles Darwin che su Alfred Russel Wallace per la formulazione della loro teoria evoluzionista. Nel trattato Malthus ipotizzò una popolazione : omogenea (insieme di individui in cui sia trascurabile la loro età, il loro sesso e il loro ceto sociale) isolata ( non vi siano presenti fenomeni di immigrazione e emigrazione e habitat invariante) La variazione nel tempo t del numero di individui di una tale popolazione sarà una funzione N(t) e la sua variazione sarà legata al numero delle nascite e al numero delle morti. Tutto questo si traduce nell'equazione differenziale nell'unità di tempo. abbiamo (Problema di Cauchy) La soluzione dell'equazione differenziale è popolazione) (crescita esponenziale della Esempio

2 Per avere una stima del potenziale biologico della popolazione umana possiamo prendere i dati della popolazione nel 1960 ( N= 3.04 * 10^9) e nel 2000 (N= 6.07 * 10^9) Allora Con questo potenziale si avrebbe nel 2050 una popolazione umana di 14 miliardi di individui ( una catastrofe tenuto conto delle risorse alimentari). (1) Questa stime evidenzia i limiti del modello di Malthus per la specie umana, tuttavia fornisce risultati accettabili per altre "popolazioni" : datazione dei reperti fossili con il metodo del decadimento di nuclei radioattivi, determinazione della

3 velocità in alcune reazioni chimiche. Esempio 1. Decadimento radioattivo Il radio 226 ha un tempo di dimezzamento di 1590 anni. Se la massa iniziale Sapendo che Esempio 2. Evoluzione di una popolazione di protozoi La popolazione iniziale è formata da due individui e il taso di sviluppo giornaliero è di Quanti protozoi ci saranno dopo 6 giorni?

4 circa 235 individui (2) Esempio 3. Reazioni chimiche del 1 ordine Alcuni esperimenti hanno mostrato che a 45 la reazione chimica con una velocità data dalla legge avviene Allora al tempo t (secondi) a partire da una concentrazione iniziale Nel 1846 il matematico belga Verhulst propose un modello matematico per popolazioni biologiche sotto effetto logistico In quegli anni i biologi avevano osservato che l'ipotesi di habitat invariante era poco probabile e che ad alte densità in una popolazione il tasso di mortalità tende ad aumentare e diminuisce significativamente la fertilità. Questo è ciò che si intende per effetto logistico. Egli suppose che il potenziale biologico individui secondo la relazioni non fosse costante ma dipendesse dal numero degli potenziale intrinseco della specie e capacità portante dell'ambiente. Il problema di Cauchy diventa La soluzione avviene per variabili separabili La soluzione è in forma logaritmica

5 Inserendo la condizione Si dimostra che qualunque sia se la capacità portante k è positiva le soluzioni sono tutte asintotiche alla retta y = k come si osserva in figura

6 di batteri ( es. Paramecium caudatum) la curva assume la forma detta di sigmoide logistica tipica in alcune culture In figura si osserva l'evoluzione di una cultura di batteri per 7 giorni. Il grafico della sigmoide è confrontato con i risultati sperimentali (cerchiolini) Esempio di sigmoide logistica in una popolazione animale: la biomassa dei pesci ippoglossi del pacifico Sono pesci molto nutrienti che vengono pescati nell'oceano Pacifico. Detta m(t) la loro biomassa misurata in kg al tempo t (anni) Attraverso dati sperimentali si è dedotto che la capacità portante è Se la biomassa iniziale la variazione in anni sarà :

7 Esempio di sigmoide logistica in una popolazione vegetale : la biomassa delle foglie del castagno europeo ( Castanea Sativa ) Osservando la crescita ( in mm_quadri) delle foglie ogni 3 giorni si è ottenuta la tabella che ha fornito i valori L'equazione di B(t) sarà

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