Fisica dell atmosfera. Gaetano Festa

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1 Fisica dell atmosfera Lezione III Gaetano Festa

2 Riferimento sferico ( r, θ, ϕ) Radiale Meridionale (N) Zonale (E) Sistema di riferimento locale : x (E), (N), z (U); dx = r cos φdλ; d = rdφ; dz = dr φ λ

3 Equazioni della dinamica ρ v + t ρ = ρ Φ ρ Ω + ν v v P ( v) v Geopotenziale F. di Coriolis F. di attrito In assenza di forze esterne, l unico contributo che conta è la forza di Coriolis: dv ( ) dt = Ω v Accelerazione ortogonale alla velocità Moto circolare uniforme

4 Forza di Coriolis Ω φ f dv dt r v0 = = Ωv0 sinφ r v0 = Ω sinφ Se la velocità è diretta nel piano tangente alla superficie della Terra, la componente di Ωche conta è quella ortogonale: f = ( Ω e ) e = Ωsinφe Per v 0 = 5 m/s, r=45 km alle medie latitudini, 130 km a 15 r r r Il periodo è indipendente dalla velocità e vale 19h alle latitudini intermedie.

5 Moti orizzontali Lungo la direzione verticale la variazione dell accelerazione di gravità è bilanciata dalla diminuzione di pressione (distribuzione delle masse): equilibrio idrostatico I moti orizzontali dei venti sono due ordini di grandezza più importanti dei moti verticali Supponiamo di trascurare l attrito (h > 1000 m) Studiamo il comportamento dei venti stazionari orizzontali in quota (approssimazione geostrofica)

6 Venti geostrofici Condizione di stazionarietà dv P ρ Φ ρ Ω + ν = ρ = dt Moti orizzontali in assenza di attrito P + ρ( f v ) = 0 H Per componenti ( v) v 0 g ρ fv ρ fv g g x P = x P = v g = 1 ρ f P P x

7 Venti geostrofici P = ρ( f v ) = ρ( v f ) H g g Si ha dunque che v g, fe H P sono ortogonali. Poiché f è diretto lungo z, Nel piano orizzontale si ha che v g è ortogonale a H P. Minimo di pressione Massimo di pressione L v g P H H H P v g Ciclone Anticiclone

8 Approssimazione Geostrofica E una buona approssimazione dei venti di alta quota; I venti non possono ridurre differenze di pressione perché H P v Quando si muovono in una regione con differenti gradienti di pressione, non sono in equilibrio, essi accelerano nella direzione in cui il gradiente decresce (da alta a bassa pressione) g

9 Vento termico Approssimazione geostrofica fv g 1 P RT P log P = = = RT ρ x P x x P g 1 P log P ρ g = = = z RT P z z Derivando la prima equazione rispetto a z e la seconda rispetto a x fvg log P = z RT x z g log P = x RT x z

10 Vento termico Trascurando la variazione verticale di T si ha v f g g g T = = T z x T T x vg g T f = z T x E analogamente per l altra componente si ha che vgx g T f = z T

11 Vento termico Supponiamo Poiché dt dx = T 0; dt = T ( ); < 0 d si ha v g costante lungo z e le isoterme sono dirette lungo x. Dall altra equazione si ha che f vgx g T = > z T 0 e dunque la velocità orizzontale cresce lungo z, producendo una rotazione. Se la rotazione è anti-oraria della direzione del vento e soffia lungo le isoterme dal lato freddo al caldo. Viceversa se la rotazione è oraria.

12 Effetto dell attrito P ρ Ω + ν = ( v) v 0 L attrito è la rappresentazione a grande scala della resistenza sulle correnti orizzontali prodotte da ostacoli (alberi, colline, edifici) che localmente generano resistenza e turbolenza. Lo strato che interessa l attrito prende il nome di PLB (planetar boundar laer) L effetto dominante dell attrito dipende principalmente dalle derivate seconde verticali P vx + ρ fv + ν = x z v P ρ fvx + ν = z 0 0

13 Soluzioni con attrito (1) Assumiamo che in superficie (z=0) la velocità è nulla, e che all infinito il vento è geostrofico. Per semplicità assumiamo che la direzione del vento geostroficosia fissa e diretta lungo x. v( z = 0) = 0 v( z ) = ( v,0) g Sia dunque la soluzione del tipo v = v g + v ' v ' x ρ fv ' + ν = 0 z v ' ρ fv ' x + ν = 0 z Equazioni armoniche, soluzioni del tipo: v ' = ( A, B) e α z

14 Soluzioni con attrito () Sostituiamo: Be α z να ρ f α z + Ae = να ρ f α z α z Ae + Be = Con: K = ρ ν f 0 0 Soluzioni non banali se il determinante è nullo : α + = 1 0 K α = ±ik Re( α ) > 0 α B + A = 0 K α A + B = 0 K α = α = α = α = e e e e iπ /4 K iπ /4 i3 π /4 i5 π /4 K K K

15 Soluzioni con attrito (3) Otteniamo K K α = ± i B = ± ia Con: γ ' Re( (1, ) z iγ z v = A i e e ) γ = ρ f ν γ z Otteniamo v ' = Ce (cos γ z, sin γ z) γ z v = v + Ce cosγ z x g γ z v = Ce sin γ z v ( z = 0) = 0 C = v x g γ z v = v (1 e cos γ z) x g γ z v = v e sin γ z g

16 Spirale di Eckman

17 QUOTE A 500 mb Luglio Gennaio

18 Moti orizzontali dipendenti dal tempo Equazione del moto in quota (attrito trascurabile) dv ρ dt = P ρ( f v) Per componenti dv ρ dt dv ρ dt x P ρ fv = x P + ρ fvx = Dalla conservazione della massa, assumendo che la densità non dipenda dal tempo v v x H v = 0 + = 0 x

19 Equazione barotropica della vorticità Deriviamo la prima rispetto a, la seconda rispetto a x e sottraiamo la seconda alla prima: dv ρ dt dv ρ dt x ρ fv P = x P + ρ fv x = d v v f f dt x x d v v dt x x + vx + v = v x + v H f = 0 0 Osservando che f non dipende espressamente dal tempo e ponendo la vorticità: v ϕ = x v x d dt ( ϕ + f ) = 0

20 Soluzioni di Rossb dv ρ dt dv ρ dt x ρ fv ρ P = x P + fvx = Cerchiamo soluzioni sotto la forma v = 0; v = Ve ; P = P ( ) e x ik ( x ct ) ik ( x ct) 0 ρ f ρ( f0 + β ) ρ fv = ikp 0 P 0 = V = V ik ik dp0 ikcρv = ρβ d ikcρv = V ik β c = k Poiché f cresce al crescere della latitudine la velocità di fase delle onde di Rossbè negativa: le onde si propagano verso ovest.

21 Velocità caratteristiche Supponiamo di trovarci ad una latitudine di 45 f 0 df df dφ Ω cos 45 = Ω sin 45 = Ω ; β = = 45 = d dφ d R 45 Ω = s; R = c = ( ) L L = 10 km c = 0.41 m / s 4 L = 10 km c = 41 m / s m Le onde di Rossbhanno velocità significative soltanto per grandi (molto grandi) lunghezze d onda.

22 Onde di Rossb Quando l onda trasversatende a produrre un moto verso l alto, f cresce, la vorticitàdeve diminuire, la curvatura diviene anticiclonica. Quando succede il contrario la curvatura diviene ciclonica.

23 Pressione in superficie

24 Modelli di circolazione ad una cella

25 Immagine generale dei venti

26 Circolazione generale

27 Modello a tre celle Ingredienti Temperature elevate all equatore Temperature basse ai poli Distorsione dovuta alla F. di Coriolis Cella di Hadle Circolazione di Ferrel Cella polare

28 Cella di Hadle 1-risalita di aria per riscaldamento all EQ -deflessione dovuta alla forza di Coriolis 3- Formazione del Jetstream subtropicale 4-Discesa della aria a 30 5-Formazione del maxdi pressione sub-tropicale 6-Movimento dell aria quasi meridionale alla superficie

29 Cella polare 1-Corrisponde a trasporto di aria, che si raffredda ai poli Meccanismo inverso rispetto all equatore Cella di Ferrel 1-Esiste come cella intermedia tra le altre due -H si forma nei subtropicie L al fronte polare. H è zona di discesa di aria, L di risalita. 3- La cella si dice termicamente indiretta Patterns.swf %0Circulation%0and%0Winds