L algoritmo di ricerca binaria. Daniele Varin LS Ing. Informatica Corso di Informatica teorica Docente: prof. Paolo Sipala

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1 L algoritmo di ricerca binaria Daniele Varin LS Ing. Informatica Corso di Informatica teorica Docente: prof. Paolo Sipala

2 L algoritmo di ricerca binaria (o dicotomica) In informatica,, la ricerca dicotomica (o ricerca binaria) è un algoritmo di ricerca per individuare un determinato valore all'interno di un insieme ordinato di dati. La ricerca dicotomica richiede un accesso casuale (random access) ) ai dati in cui si va ad effettuare la ricerca (tipicamente arrays). 2

3 L algoritmo di ricerca binaria (o dicotomica) Questo algoritmo permette di trovare rapidamente un elemento all'interno di un array ordinato. Esso non è molto diverso dal metodo che un uomo utilizza per trovare una parola sul dizionario. 3

4 L algoritmo di ricerca binaria Esempio del vocabolario Sapendo che il vocabolario è ordinato alfabeticamente, l'idea è quella di cominciare la ricerca non dal primo nome, ma da quello centrale, cioè a metà del dizionario. A questo punto si confronta l'elemento con l oggetto l della nostra ricerca. Se dobbiamo cercare un nome che sta nella seconda metà della lista, si elimina dalla ricerca in maniera automatica la prima metà (e viceversa). La ricerca continua poi nello stesso modo, eliminando di volta in volta metà dell elenco elenco rimasto, fino all ultimo confronto che ci darà l'informazione richiesta, oppure fino a scoprire che l'elemento con si trova nel dizionario. 4

5 L algoritmo di ricerca binaria Allo stesso modo funziona l algoritmo della ricerca dicotomica: 1) si prende il valore in posizione intermedia nell array e lo si confronta con il valore da cercare; 2) si elimina la metà dell array in cui non cade il valore da cercare; 3) si ripetono i passi 1 e 2 fino a trovare una corrispondenza o ad esaurire l array. 5

6 Esempio pratico (1) 24 è minore di 28, quindi elimino la parte inferiore dell array 30 è maggiore di 28, quindi elimino la parte superiore dell array 6

7 Esempio pratico (2) 26 è minore di 28, quindi elimino la parte inferiore dell array 29 è maggiore di 28, quindi elimino la parte superiore dell array 7

8 Esempio pratico (3) Esito negativo: elemento non trovato 8

9 L algoritmo della ricerca binaria nel linguaggio Scheme L algoritmo in Scheme che propongo si divide in 2 parti: La funzione ricerca che effettua la ricerca sull array Un main (corpo del programma) che prepara l input e richiama la procedura ricerca Andiamo a vedere 9

10 L algoritmo in Scheme Programma principale (main) (define DIM 100) (define vettore (make-vector DIM)) (define x 0) (define i 0) (define z 0) (display "Inserire la quantità di elementi; ") (display DIM) (display " al massimo: ") (set! z (read)) (newline) (if (> z DIM) (set! z DIM) ) (display "Inserire i valori del vettore (in modo ordinato).") (newline) (do ( (i 0 (+ i 1)) ) ( (>= i z) ) (display "elemento ") (display i) (display " ") (vector-set! vettore i (read)) (newline) ) (display "Inserire il valore da cercare: ") (set! x (read)) (newline) (set! i (ricerca vettore x 0 (- z 1))) (display "Il valore cercato si trova nell'elemento ") (display i) (newline) 10

11 L algoritmo in Scheme ; ====================================================================== ; (ricerca <vettore> <x> <ele-inf> <ele-sup>) ; (define (ricerca vettore x a z) (define m (truncate (/ (+ a z) 2))) (if (or (< m a) (> m z)) ; Non restano elementi da controllare: l'elemento cercato non c è -1 (if (< x (vector-ref vettore m)) ; Si ripete la ricerca nella parte inferiore (ricerca vettore x a (- m 1)) (if (> x (vector-ref vettore m)) ; Si ripete la ricerca nella parte superiore (ricerca vettore x (+ m 1) z) Funzione ricerca ) ) ) ; Se x è uguale a vettore[m], l'obiettivo è stato trovato m ) 11

12 L algoritmo in Scheme Main (define DIM 100) (define vettore (make-vector DIM)) (define x 0) (define i 0) (define z 0) Nell ordine, definisco: La dimensione massima dell array (DIM) L array ( vettore ) Le variabili di appoggio x, i e z 12

13 L algoritmo in Scheme Main (display "Inserire la quantità di elementi; ") (display DIM) (display " al massimo: ") (set! z (read)) (newline) (if (> z DIM) (set! z DIM) ) (display "Inserire i valori del vettore (in modo ordinato).") (newline) (do ( (i 0 (+ i 1)) ) ( (>= i z) ) (display "elemento ") (display i) (display " ") (vector-set! vettore i (read)) (newline) ) Qui faccio l input dei dati, chiedendo prima il numero di elementi che conterrà l array, quindi i singoli elementi da inserire. 13

14 L algoritmo in Scheme Main (display "Inserire il valore da cercare: ") (set! x (read)) (newline) (set! i (ricerca vettore x 0 (- z 1))) (display "Il valore cercato si trova nell'elemento ") (display i) (newline) Infine chiedo all utente l elemento da ricercare e richiamo la funzione di ricerca; dopo l esecuzione della funzione, ne visualizzo il risultato. 14

15 L algoritmo in Scheme Ricerca ; ====================================================================== ; (ricerca <vettore> <x> <ele-inf> <ele-sup>) ; (define (ricerca vettore x a z) Qui definisco una funzione ricerca che prende in input un vettore su cui effettua la ricerca binaria dell elemento x partendo dall elemento di posto a fino all elemento di posto z. (define m (truncate (/ (+ a z) 2))) Qui calcolo il valore di m, ovvero l elemento centrale dell array in cui sto facendo la ricerca; questo elemento è dato dalla metà della dimensione dell array che sto gestendo. a m z 15

16 L algoritmo in Scheme Ricerca (if (or (< m a) (> m z)) ; Non restano elementi da controllare: l'elemento cercato non c è -1 Se uno degli indici a o z hanno scavalcato l indice m significa che non ho trovato l elemento richiesto: ritorno il valore standard -1. (if (< x (vector-ref vettore m)) ; Si ripete la ricerca nella parte inferiore (ricerca vettore x a (- m 1)) (if (> x (vector-ref vettore m)) ; Si ripete la ricerca nella parte superiore (ricerca vettore x (+ m 1) z) ) ; Se x è uguale a vettore[m], l'obiettivo è stato trovato m ) Se il valore di m è più grande di quello che cerco, ricerco nella metà superiore dell array, altrimenti in quella inferiore; quando il valore che cerco è uguale al valore di m, allora ho trovato l elemento e lo ritorno al main. 16

17 L algoritmo in Scheme Andiamo a vedere l algoritmol implementato con DrScheme.. 17

18 Quanti passi in media sono necessari? Da un minimo di 1 ad un massimo di k = log 2 N con k = ½ log 2 N per ricerca con successo k = log 2 N per ricerca senza successo Es. : con un array di 2048 (2 11 ) 11 passi per ricerca senza successo. 18

19 E con la ricerca sequenziale? Se andassimo a ricercare l elemento sequenzialmente, cioè scorrendo tutto il contenuto dell array, sarebbero necessari da un minimo di 1 passo ad un massimo di N passi N/2 passi in media, per ricerca con successo N passi per ricerca senza successo 19

20 Complessità degli algoritmi Vediamo ora qualche dettaglio tecnico sulla complessità degli algoritmi. Ci sono diverse misure per valutare la bontà di un algoritmo. Normalmente siamo interessati al costo dell'esecuzione dell'algoritmo, o in termini del tempo impiegato dall'esecuzione, o dallo spazio di memoria occupato dalla varie strutture dati necessarie per l'esecuzione. 20

21 Complessità degli algoritmi La complessità sarà espressa come una funzione della dimensione del problema. La dimensione può essere costituita dal numero degli input,, dal numero degli output,, dal numero degli archi o dal numero dei vertici in un grafo, dal numero di elementi non zero di una matrice, etc. 21

22 Complessità degli algoritmi Di solito ci basta avere una stima della complessità e non un valore dettagliato. In tal caso è utile avere una notazione che permetta di studiare il tasso di crescita della funzione T(n),, tralasciando i dettagli. O(g(n)) La notazione O(g(n)) è usata quando si vogliono stabilire dei limiti superiori per il tasso di crescita di una funzione. 22

23 Raffronto tra ricerca binaria e ricerca sequenziale L algoritmo di ricerca binaria si dimostra nettamente meno complesso rispetto a quello di ricerca sequenziale f(n) = O(n) ( Ricerca sequenziale ) N/2 passi in media se ricerca con successo N passi se ricerca senza successo g(n) = O(log n) ( Ricerca binaria ) k = ½ log2n se ricerca con successo k = log2n se ricerca senza successo 23

24 Raffronto tra ricerca binaria e ricerca sequenziale L algoritmo di ricerca binaria è pressoché equivalente a quello di ricerca sequenziale se abbiamo pochi valori nell array array,, ma per array molto grandi la ricerca binaria è molto più performante 24

25 L algoritmo di ricerca binaria implementato in Java int ricercabinaria(int lista[], int x, int a, int z ) { int m = ( a + z ) / 2; // Determina l'elemento centrale } if ( m < a ) { // l'elemento cercato non c'è return -1; } else if ( x < lista[m] ) { // Si ripete la ricerca nella parte inferiore return ricercabinaria( lista, x, a, m-1 ); } else if ( x > lista[m] ) { // Si ripete la ricerca nella parte superiore return ricercabinaria( lista, x, m+1, z ); } else { // m rappresenta l'indice dell'elemento cercato return m; } Il richiamo della funzione ricercabinaria nel main avrà a = 0 z = numero degli elementi della lista 1 I valori della lista e x non devono necessariamente essere numeri ma possono anche essere stringhe. 25

26 L algoritmo in Java Andiamo a vedere l algoritmol implementato con Java.. 26

27 Animazione dell algoritmo Per l animazione l dell algoritmo ho scelto di implementare una piccola applet in Java, di cui ora vediamo brevemente il codice.. 27

28 Java applet Una Java applet è una componente scritta in codice Java caricata da un browser come parte di una pagina HTML In particolare, le applet sono applicazioni Java costruite in una forma caratteristica che permette di eseguire mediante la JVM (Java Virtual Machine) ) integrata nei browser web 28

29 Java applet Una applet è costruita implementando una sottoclasse della classe di libreria java.applet.applet Il tag HTML <applet< applet> > permette di specificare dove e come una certa applet deve essere visualizzata all interno di una pagina web 29

30 Java applet Schema di funzionamento 30

31 Java applet La classe java.applet.applet La classe java.applet.applet esporta i seguenti metodi pubblici: public void init() invocato dal browser quando la pagina che contiene l appletl viene aperta per la prima volta public void start() invocato dal browser ogni volta che l appletl viene eseguita public void stop() invocato dal browser quando termina l esecuzione l della applet public void destroy() Invocato dal browser quando la pagina che contiene la applet viene chiusa Questi metodi possono essere ridefiniti dal programmatore nelle sottoclassi (overload( overload) ) per attribuire alle proprie applet il comportamento desiderato 31

32 L algoritmo animato mediante applet Java Andiamo a vedere l animazione l dell algoritmo implementato con una Java applet.. 32

33 Conclusione Il materiale presentato è scaricabile dal sito web: Per qualsiasi dubbio o necessità scrivetemi su 33

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