FILTRI ATTIVI. Cenni teorici:

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1 FILTRI ATTIVI Cenni teorici: Un filtro è un sistema che realizza una funzione di trasferimento determinata, cioè agisce sul segnale di ingresso secondo una curva di risposta ampiezza frequenza di andamento specifico. Esso viene utilizzato per eliminare una porzione indesiderata dello spettro di frequenza di un segnale. Nella classificazione generale individuiamo: - Filtri passivi (realizzati con bipoli passivi del tipo RLC), il cui modulo della funzione di trasferimento è sempre inferiore a uno; ciò significa che tali circuiti non sono in grado di fornire in uscita un segnale di ampiezza maggiore del segnale di ingresso (anzi, di solito vi è sempre una perdita) - Filtri attivi, circuiti realizzati con amplificatori e componenti passivi esterni che consentono di realizzare le funzioni di trasferimento tipiche dei filtri aumentando il guadagno in banda passante. I filtri possono anche essere classificati in base alla loro curva di risposta in frequenza; le tipologie essenziali di filtri da questo punto di vista sono: - LPF (Low Pass Filter, Filtro Passa Basso) - HPF (High Pass Filter, Filtro Passa Alto) - BPF (Band Pass Filter, Filtro Passa Banda) - BRF (Band Reject Filter, Filtro Reiettore di Banda) Ecco i grafici della risposta in frequenza ideale di filtri LPF, HPF, BPF e BRF:

2 Ho definito la risposta in frequenza ideale perché non è possibile realizzare una transizione netta da banda passante a banda attenuata, ma vi è sempre un intervallo tra queste due (banda di transizione). Ad esempio per un filtro passa basso un grafico di risposta in frequenza reale è il seguente : In un filtro reale, la frequenza di taglio è quella frequenza alla quale il modulo della sua funzione di trasferimento subisce un attenuazione di circa 3 db rispetto al suo valore massimo (cioè il modulo assume in corrispondenza della frequenza di taglio valore pari ad Amax/ 2). Ordine di un filtro: In un filtro reale, l attenuazione nell intorno di ft è legata alla struttura del filtro, più propriamente al suo ordine: più è elevato l ordine di un filtro reale, più la sua risposta in frequenza nel tratto in pendenza si avvicina a quella di un filtro ideale. L ordine del filtro coincide con il numero di poli presenti nella funzione di trasferimento del filtro, che a sua volta è funzione del numero di elementi reattivi che costituiscono il circuito filtrante. Questo è lo schema di un semplice filtro attivo passa basso del primo ordine realizzato con un operazionale: C2 R2 vi(t) R1 vu(t)

3 Esso si ottiene da un amplificatore operazionale invertente aggiungendo un elemento reattivo (un condensatore) sulla resistenza di reazione R2, che adesso andrà a costituire insieme a Xc = -ι*ωc1 una reattanza Z2 = R2//Xc. La funzione di trasferimento del circuito sarà data da : Vu(t)/Vi(t) = - Z2/R1 Come si può notare, essendo adesso la Z2 variabile in funzione della frequenza del segnale di ingresso, anche la f.d.t. del circuito sarà variabile al variare della frequenza: per la frequenza che tende a infinito, il condensatore ha reattanza nulla (si può considerare un cortocircuito); la R2 è quindi cortocircuitata da Xc e il rapporto -Z2/R1 sarà uguale a zero (l amplificazione dell a.o. è zero; ciò significa che in uscita non avremo alcun segnale). Invece per la frequenza che tende a zero (componente continua) il condensatore è un circuito aperto, la sua reattanza è infinita e quindi trascurabile rispetto alla resistenza R2; il guadagno sarà dato da A0 = R2/R1. Possiamo ottenere la funzione di trasferimento di questo filtro passando alle trasformate di Laplace, considerando la reattanza del condensatore come 1/sC e con semplici passaggi matematici otteniamo: Vu(s)/Vi(s) = A(s) = -A0*(1/1+sτp) Con A0 guadagno in banda passante, dato dal rapporto R2/R1 (visto che l operazionale è connesso in configurazione invertente, il che giustifica il segno negativo) e τp= R2*C2 (costante di tempo del polo). Come si può notare nella f.d.t. è presente un solo polo reale e negativo, p1 = -1/τp. In regime sinusoidale la funzione di trasferimento diventa: A(ιω) = -A0*(1/1+ιωτ) Si ricava quindi da qui la pulsazione di taglio, per poi trovarci la frequenza di taglio: ωt = -p1 = 1/τp= 1/C2*R2 ft = ωt/2π = 1/2π*C2*R2 Dopo la frequenza di taglio, la f.d.t. del filtro subisce un attenuazione costante, pari a -20db per decade visto che il filtro è del primo ordine (la frequenza o la pulsazione è rappresentata su scala logaritmica; una decade va da 10^1 a 10^2; da 10^2 a 10^3 e cosi via). Un filtro del secondo ordine subisce invece una attenuazione di 40 db per decade; uno di terzo 60 db per decade e cosi via. Per ottenere filtri di ordine superiore è possibile connettere in cascata più filtri del primo ordine, oppure ( per filtri passivi) utilizzare celle filtranti del tipo LC, perché sostituendo la resistenza con un induttanza si da luogo a due poli in una cella senza aumentare il numero degli stadi.

4 Le stesse considerazioni effettuate per il filtro passa basso, valgono per il filtro passa alto, la cui soluzione circuitale per avere un filtro del primo ordine con operazionale è la seguente: R2 vi(t) R1 C1 vu(t) A variare il comportamento in frequenza del circuito è sempre il condensatore C1, sta volta introdotto sul percorso del segnale di ingresso; per la frequenza che tende a zero (componente continua) il condensatore è un circuito aperto e non lascia passare il segnale di ingresso; il segnale in uscita è nullo. Invece per la frequenza che tende a infinito, il condensatore è un cortocircuito, l amplificazione che subisce il segnale è data dal rapporto R2/R1. Anche per il filtro passa alto possiamo scrivere la f.d.t. con l utilizzo delle trasformate di Laplace, sapendo che Z1 = R1+Xc, con Xc = 1/sC e quindi otteniamo: Vu(s)/Vi(s) = A(s) = - A0*( sτz /1+sτp) Con A0 guadagno in banda passante, dato dal rapporto R2/R1, τ = τp = τz = R1*C1 (costante di tempo del polo; in questo caso è presente anche uno zero che ha la medesima costante di tempo del polo). In regime sinusoidale otteniamo: A(ιω) = - A0*[ ιω* τ/(1+ ιω *τ)] Si ricava quindi da qui la pulsazione di taglio, per poi trovarci la frequenza di taglio: ωt =-p1 = 1/τ = 1/C1*R1 ft = ωt/2π = 1/2π*C1*R1 La pendenza del tratto lineare, sta volta crescente, è sempre di 20dB per decade.

5 Per ricavare il filtro passa banda invece, si potrebbero unire un passa alto e un passa basso in cascata; proviamo infatti a sovrapporre i grafici di un passa alto e di un passa basso e vediamo i risultati ottenuti (utilizzo per semplicità i grafici di filtri ideali): Come si può notare dal grafico, unendo un LPF e un HPF in cascata, otteniamo un BPF; la frequenza di taglio del filtro passa basso però deve essere più alta di quella del filtro passa alto: in questo modo in uscita al sistema avremo solo frequenze che lasciano passare entrambi i filtri, perché le frequenze minori di ft1 sono eliminate dal filtro passa alto e le frequenze maggiori di ft2 sono eliminate dal filtro passa basso. Utilizzando questa soluzione però, dei due filtri in cascata, dovremmo utilizzare due operazionali. Invece è possibile, sempre sfruttando questo principio ( utilizzo di HPF e BPF combinati) realizzare un BPF con un solo operazionale.

6 Ciò è possibile realizzando un sistema che abbia per f.d.t. il prodotto della f.d.t. di un filtro passa basso per la f.d.t. di un filtro passa alto. Il circuito è il seguente ( è denominato filtro a sella): C2 R2 vi(t) R1 C1 vu(t) Come al solito ricaviamoci la f.d.t. del filtro (qui il procedimento sarà un po più complicato perché il sistema è del secondo ordine; ma questo lo si poteva già capire senza calcolare la f.d.t. dato che gli elementi reattivi sono 2). Sta volta sia Z1 sia Z2 contengono elementi reattivi: Z1 = R1 + Xc1 = R1 + 1/s*C1 = (s*c1*r1+1)/s*c1 Z2 = R2//Xc2 = R2 // (1/s*C2) = R2/(s*C2*R2 + 1) La f.d.t. è data da: - Z2/ Z1 = - s*c1*r2/[(s*c1*r1 + 1)*(s*C2*R2 + 1)] Al denominatore abbiamo i prodotti dei denominatori rispettivamente del filtro passa alto (s*c1*r1 + 1) e del filtro passa basso (s*c2*r2 + 1). Al numeratore abbiamo incece un prodotto (s*c1*r2). Per ottenere il valore del modulo della f.d.t. in banda passante e per poter esprimere sia al numeratore che al denominatore i prodotti di resistenze e condensatori come costanti di tempo, moltiplichiamo e dividiamo per R1, ottenendo: A(s) = -(R2/R1)*(s*C1*R1)/[(s*C1*R1 + 1)*(s*C2*R2 + 1)] Ponendo R2/R1 = A0 (Guadagno in banda passante) C1*R1 = τz = τp1 C2*R2 = τp2 (Costante di tempo dello zero e di uno dei due poli) (Costante di tempo del secondo polo) Otteniamo: A(s) = -(A0 *s* τz)/[(s* τp1 + 1)*(s* τp2 + 1)] In regime sinusoidale: A(ιω) = -(A0 * ιω * τz)/[( ιω * τp1 + 1)*( ιω * τp2 + 1)]

7 Le due pulsazioni di taglio, dalle quali poi ricaviamo le frequenze di taglio sono quindi : ωt1 = -p1 = 1/ τp1 ωt2 = -p2 = 1/ τp2 ft1 = ωt1/2π = 1/2π*R1*C1 ft2 = ωt2/2π = 1/2π*R2*C2 Anche per questo filtro la pendenza sui due tratti lineari è di 20 db per decade, anche se ha una f.d.t. con due poli e quindi è del secondo ordine; questo perché l altro polo non viene utilizzato per aumentare la pendenza del tratto, ma ha lo scopo di creare un altro tratto in pendenza sempre di 20db per decade. Nella descrizione di queste tipologie di filtri, non ho mai tenuto conto dello sfasamento introdotto da essi; questo perché nelle nostre misure questo parametro non è rilevante dato che non ci è stato richiesto e inoltre in regime sinusoidale non produce disturbi; invece se il segnale di ingresso fosse stato un segnale a ricco contenuto armonico, tipo un onda quadra, il segnale avrebbe sicuramente subito forti distorsioni oltre al fatto che sarebbero state eliminate alcune componenti spettrali, ma anche perché sarebbe stata cambiata la fase di ciascuna componente in maniera diversa (il segnale a frequenza 3f sarebbe stato sfasato in maniera differente dal segnale a frequenza 5f). Progettazione, montaggio e misure su filtri attivi LPF, HPF e BPF Ci è stato chiesto di progettare, montare e effettuare delle misure su queste tre tipologie di filtri attivi del primo ordine da me ampiamente descritti precedentemente. Queste sono le caratteristiche di ciascun filtro: - LPF : Guadagno in banda passante fissato a piacere, frequenza di taglio 50kHz (ft2) - HPF : Guadagno in banda passante fissato a piacere, frequenza di taglio 2kHz (ft1) - BPF : Ottenuto dall accoppiamento dei 2 filtri precedenti Dato che abbiamo la possibilità di fissarci il guadagno a piacere, ci conviene mantenere lo stesso guadagno sia per il filtro passa basso che per quello passa alto, in modo da poter ottenere facilmente il passa banda. Tenendo conto che le resistenze per far lavorare bene l operazionale devono essere comprese in un range da 1kΩ a 100kΩ e i condensatori da 100pF a 1μF, abbiamo prefissato in tutti e tre i tipi di filtri R2 = 6,8kΩ e R1 = 1kΩ, avendo così un guadagno (in valore assoluto) di 6,8. Di questo valore dovremo tener conto quando andremo ad effettuare le misure sui filtri, limitando l ampiezza del segnale di ingresso per non mandare in saturazione l operazionale (altrimenti l onda sinusoidale viene tagliata sui picchi introducendo distorsione di armoniche dispari). Per il filtro passa basso, avendo impostato R2 = 6,8kΩ, ci siamo calcolati la capacità C2: C2 = 1/(2π*ft2*R2) = 1/(2*3,14*50*10^3*6,8*10^3) = 468pF (Approssimiamo al valore commerciale 470pF) Per il filtro passa alto invece, avendo impostato R1 = 1kΩ, ci siamo calcolati la capacità C1: C1 = 1/(2π*ft1*R1) = 1/(2*3,14*2*10^3*1*10^3) = 80nF Non avendo quest ultimo valore di condensatore, abbiamo creato C1 con due condensatori in parallelo da 33nF e 47nF (33 // 47 = = 80nF).

8 Per il filtro passa banda è stato sufficiente mantenere gli stessi valori di resistenze e condensatori calcolati per l LPF e per l HPF, inserendo entrambi i condensatori come nello schema che ho postato precedentemente. Tirando le conclusioni, scriviamo i vari componenti utilizzati per la realizzazione dei tre filtri: - LPF : R1 = 1kΩ R2 = 6,8kΩ C2 = 468pF - HPF : R1 = 1kΩ R2 = 6,8kΩ C1 = 33nF // 47nF = 80nF - BPF : R1 = 1kΩ R2 = 6,8kΩ C1 = 33nF // 47nF = 80nF C2 = 468pF L operazionale da noi utilizzato in tutti e tre i tipi di filtri è l μa741, la cui piedinatura è riportata in figura: Gli ingressi per la regolazione dell offset non sono stati utilizzati; i tre circuiti sono precisamente identici a quelli da me riportati nella trattazione teorica dell argomento. L alimentazione è duale di ±15V. I circuiti sono stati montati su breadbord e abbiamo effettuato le misure mantenendo la tensione picco-picco d ingresso costante Vinpp = 2V per tutti e tre i tipi di filtri (2V*6,8 = 13,6Vpp, non manda in saturazione l operazionale) e variando la frequenza del segnale di ingresso ci siamo trovati con l oscilloscopio la tensione in uscita al filtro. Riporto nelle pagine successive i valori delle misure effettuate (frequenza tensione in uscita).

9 LPF: f [khz] 10 13, , , ,5 50 9,4 60 8,6 70 7,8 80 7,2 90 6, , , , ,7 Vupp [V] HPF: f [khz] , , , , ,5 1,8 10 1,5 9 1,2 8 1,1 7,2 1 6,8 900 Hz 6,4 800 Hz 5,8 700 Hz 5,2 600 Hz 4,4 500 Hz Hz 3,2 300 Hz 2,6 200 Hz 1,8 100 Hz 1,1 Vupp [V]

10 BPF: f [khz] 100 Hz 1,1 200 Hz 1,8 300 Hz 2,6 400 Hz 3,2 500 Hz Hz 4,4 700 Hz 5,2 800 Hz 5,8 900 Hz 6,4 1 6,8 1,1 7,2 1,2 8 1,5 9 1, ,5 2, , , , , ,5 50 9,4 60 8,6 70 7,8 80 7,2 90 6, , , , , , ,5 Vupp [V] Riporto nelle pagine seguenti i grafici ottenuti per ciascun tipo di filtro.

11 V (Volts) Filtro Passa Basso F (Hz)

12 V (Volts) Filtro Passa Alto F (Hz)

13 V (Volts) Filtro Passa Banda F (Hz)