Note su. dimensioni fisiche

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1 Note su dimensioni fisiche e sistemi di unità di misura

2 Punto di vista operazionale: La definizione di una Grandezza Fisica (GF) è data soltanto quando vengono stabiliti i procedimenti necessari per misurare la grandezza stessa. Questi procedimenti sono l insieme di operazioni di laboratorio e di calcoli matematici che conducono alla determinazione di un numero riferito a una unità di misura. Si parla di GF Fondamentali e GF Derivate. Per assegnare una misura ad una GF serve definire l unitl unità di misura (u) della GF. Una unità fondamentale ideale deve possedere almeno le seguenti caratteristiche: a) Precisione; b) Accessibilità; c) Riproducibilità; d) Invariabilità.

3 Ad ogni GF si deve, almeno in linea di principio, poter associare un valore numerico in modo univoco ed oggettivo, riproducibile nelle stesse condizioni da parte di qualsiasi osservatore. Il valore numerico e ottenuto tramite il rapporto tra la GF e l unita di misura (u) utilizzata per essa. G.F. u Valore Numerico = GF / u 3

4 Nel caso delle misure indirette di GF non si misura specificatamente la grandezza che interessa, ma si misurano direttamente altre GF che sono pero legate a quella che ci interessa tramite una specifica relazione funzionale (equazione, formula,...). la misura indiretta viene anche denominata misura assoluta in quanto non richiede di fissare un campione di misura della grandezza da misurare poiche l unità di misura dipende dalle unità scelte per le grandezze misurate direttamente.... La velocita di una automobile si puo valutare sia direttamente tramite un tachimetro, sia indirettamente misurando gli spazi percorsi ed i relativi tempi impiegati, dai quali si risale alla velocita media con una operazione matematica. 4

5 Per tutte le grandezze geometriche o meccaniche sarebbe possibile scegliere arbitrariamente una corrispondente unità di misura, senza tenere conto delle relazioni che legano le varie grandezze tra di loro. Le formule sarebbero meno chiare dovendovi comparire anche dei fattori numerici. La condizione essenziale alla quale una qualunque unità di misura scelta deve soddisfare è quella di rimanere costante in ogni luogo e in ogni tempo. L insieme delle unità di misura scelte forma un sistema di unità. Tra tutti i possibili sistemi di unità di misura conviene preferire quello che fa dipendere le unità delle varie grandezze dal minor numero di unità arbitrarie indipendenti possibili. Infatti, il sistema metrico decimale fa dipendere dalla unità lineare metro le altre per la misura delle superfici e dei volumi. Al contrario, il sistema di unità usato dai Romani era basato sulle unità piede, jugero e anfora per lunghezza, superficie e volume. 5

6 Lunghezza piede = m sistema di unità usato dai Romani Superfice jugero = 0 piedi x 0 piedi = 6400 piedi = m Volume anfora = piede 3 = m 3 = 5.86 litri [ m 3 =0 3 litri] S jugero = k x a piede x b piede = = (/6400) x x jugeri = = x 0-6 jugeri = = m S m m = a m x b m = = x x x m = = m b = piedi a = piedi 6

7 Le equazioni dimensionali discendono da una notazione dovuta a Maxwell. Esse mostrano la dipendenza di una qualunque unità derivata dalle unità fondamentali. Per esempio, la grandezza velocità è legata alle grandezze lunghezza e tempo dalla relazione v = ds/dt dt e quindi l espressione della grandezza velocità [v] è funzione omogenea di grado + rispetto alla grandezza lunghezza [L] ed è funzione omogenea di grado - rispetto alla grandezza tempo [T]. [v] = [L]/[T] = [L] [T] - Definendo come fondamentali le grandezze lunghezza e tempo è possibile dedurre da esse l unità velocità, come quella di un mobile che percorra l unità di lunghezza nell unità di tempo. 7

8 Dal principio di omogeneità discende che le equazioni dimensionali permettono di verificare se una Qualunque equazione sia fisicamente corretta. Non ha alcun significato confrontare due grandezze che non possiedono le stesse dimensioni fisiche, ovvero che non siano omogenee. T = f(l,g) =?? [T] = [L] a x [g] b = [L] a x [L x T - ] b = [L] (a+b a+b) x [T] (-b) [T] : =-b b=-/ [L] : 0=a+b a=-b=+/ T = K (l/g) / con k numero puro ( k = π) 8

9 Verificare la correttezza dimensionale della seguente equazione: sv = s 3 0 at + v 0 t + at Ove s, s sono lunghezze; v, v 0 0 velocita`; t tempo, a accelerazione. [sv] = [L] [LT - ] = [L] [T] - [s 0 at] = [L] [LT - ] [T] = [L] [T] - [v t] = [L T - ] [T] = [L] [T] - [(/) a t 3 ] =[L] [T] - [T] 3 = [L] [T] NO! 9

10 Riflessioni sui cambiamenti delle unità per le misure di grandezze derivate (caso di misure indirette o misure assolute) note le leggi e le procedure di misura CUBO: misura relativa per il volume V e per lo spigolo L cubo n. V ; L cubo n. V ; L sperimentalmente ( V / V ) = ( L / L ) 3 paragonando tra loro grandezze omogenee, i rapporti saranno indipendenti dalla scelta fatta delle unità di misura per volumi e per spigoli ( V / (L) 3 ) = ( V / (L) 3 ) Vcubo = Kc x L 3 Kc dipenderà dalla scelta delle unità di misura 0

11 CUBO: ( V / (L) 3 ) = ( V / (L) 3 ) Vcubo = Kc x L 3 Kc costante sperimentale per tutti i cubi Kc dipenderà dalla scelta arbitraria fatta per le unità di misura di volume e di spigolo TRADIZIONALMENTE la lunghezza viene considerata come una delle Grandezze Fondamentali e conseguentemente la Unità di Volume dei CUBI potrebbe essere scelta liberamente,, per consuetudine Kc = Vcubo = L 3

12 SFERA: misura relativa per il volume V e per il diametro D sfera n. V ; D sfera n. V ; D sperimentalmente ( V / V ) = ( D / D ) 3 paragonando tra loro grandezze omogenee, i rapporti saranno indipendenti dalla scelta fatta delle unità di misura per volumi e per diametri ( V / (D) 3 ) = ( V / (D) 3 ) V = Ks x D 3 Ks dipenderà dalla scelta delle unità di misura

13 Alcuni dei possibili criteri di scelta per la costante Ks: ) Stessa unità per le misure relative dei volumi (cubo, sfera) e mantenimento della scelta Kc = in modo che Vc = L 3. dall esperienza Ks = π / 6 in modo che: Vs = Ks x D 3 = (π( / 6) x ( x R) 3 = (4 π / 3) x R 3 ) Diverse unità per le misure relative dei volumi (cubo, sfera) con Kc = in modo che Vc = L 3 Ks = in modo che Vs = D 3 3) 3

14 Sistema di unità di misura: n Grandezze Fondamentali x, x,, x n n Unità di misura per le n GF u, u,, u n G = Grandezza derivata dalle n GF (legge fisica) n = 3 [ G] = [ u α ][ u α ]...[ u α n n x = lunghezza, x = massa, x 3 = tempo ] u = m u = kg u 3 = s a = accelerazione u a = m/s [ a] 0 = [ l ][ m ][ t ] u = km u = kg u 3 = h a = accelerazione u a = km/h = 7.7 x 0-5 m/s 4

15 Cambiamento delle Grandezze Fondamentali tra sistemi di unità di misura Sistema di Unita di misura n Sistema di Unita di misura m GF GF GF GF FONDAMENTALI DERIVATA,[ G] = [ x FONDAMENTALI DERIVATA,[ G] = [ y ][ x ][ y,..., ]...[ y le GF x k, fondamentali nel sistema di Unità di misura, in generale saranno GF derivate nel sistema di Unità di misura. x, α y, x y,..., α x n ]...[ x y m α n n m m ] ] 5

16 6 ( ) ( ) ( ) ] ]...[ ][ [ ] ]...[ ][...[ ] ]...[ ][ [ ] ]...[ ][ [ ] ]...[ ][ [ ] [ ] ]...[ ][ [ ] [... ] ]...[ ][ [ ] [ ] ]...[ ][ [ ] [ n n m m m n n n n n n m n n m m n n m n n m m m m m m n m n m m y y y y y y y y y y y y x x x G y y y x y y y x y y y x α α α α α α α α α α α α α α α = = = = = = = =

17 Esempio: p = pressione Sistema di Unitò di misura GFF: l ; m ; t [p] = [F] / [S] = [m l t - ] / [l ] = [l - ] [m] [t - ] Sistema di Unitò di misura GFF: l ; f ; t [p] = [F] / [S] = [f] / [l ] = [l - ] [f] [t 0 ] [l] = [l] [f 0 ] [t 0 ] [m] = [f] / [l t - ] = [l - ] [f] [t ] [t] = [l 0 ] [f 0 ] [t] [p] = [l - ] [m] [t - ] = 7 = [([l] [f 0 ] [t 0 ]) - ] [([l - ] [f] [t ])] [([l 0 ] [f 0 ] [t]) - ] = [l - ] [f] [t 0 ]

18 SI 8

19 In rosso gli unici tre stati in cui il Sistema Internazionale non è stato adottato come principale o unico sistema di misurazione: gli Stati Uniti d'america, la Liberia e la Birmania 9

20 BIPM NBS NIST ISO Bureau International des Poids et Mesures National Bureau of Standards sostituito da National Institute of Standards and Technology International Organization of Standardization Istituto Elettrotecnico Nazionale G. Ferraris Istituto di Metrologia G. Colonnetti Ufficio Metrico Ministero Industria Commercio e Artigianato (Torino) (Roma) 0

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26 Sistema di unita di misura internazionale (SI) - grandezze fondamentali - unita di misura - dimensioni fisiche - lunghezza - massa - tempo - intensita di corrente elettrica - temperatura - intensita luminosa - quantita di materia metro (m) kilogrammo (kg) secondo (s) Ampere (A) Kelvin (K) candela (cd) mole (mol) [L] [M] [T] [I] [Θ] [J] [N]... Le unita per la misura delle grandezze derivate sono univocamente determinate dalle relazioni algebriche che le legano alle grandezze fondamentali. 6

27 Grandezze fondamentali per il S.I. [/] grandezza Simbolo nelle formule Simbolo dimensionale Unità Simbolo unità definizione Campione primario Campione conservato in Italia lunghezza l [ L] metro m è la distanza percorsa dalla luce nel vuoto in un intervallo di tempo pari a / secondi, pari a lunghezze d onda (λ), nel vuoto della radiazione corrispondente alla transizione fra i livelli p 0 e 5d s dello atomo di cripto 86 Lampada campione al cripto 86 e interferometro con incertezza 4 x 0-9 Istituto Metrologico Gustavo Colonnetti del CNR Torino massa m [ M ] kilogrammo kg è la massa del prototipo n. conservato al BIPM Cilindro a sezione quadrata di lato 39 mm di platino iridio e bilancia di taratura con i incertezza di x0-9 Ufficio Metrico Ministero Industria Commercio e Artigianato Roma Istituto Metrologico Gustavo Colonnetti del CNR Torino intervallo di tempo Δt [ T ] secondo s è l intervallo di tempo pari a periodi (T) della radiazione corrispondente alla transizione tra i due livelli iperfini dello stato fondamentale dell atomo di cesio 33 Orologio atomico al cesio con incertezza di 0 - / 00 s Istituto Elettrotecnico Nazionale Galileo Ferraris Torino 7

28 Grandezze fondamentali per il S.I. [/] grandezza Simbolo nelle formule Simbolo dimensionale Unità Simbolo unità definizione Campione primario Campione conservato in Italia intensità di corrente elettrica I, i [ I ] Ampere A èl intensitàdi corrente elettrica che scorre in due conduttori rettilinei paralleli di lunghezza infinita posti alla distanza di m nel vuoto, che produce tra di essi una forza di x 0-7 N/ m Bilancia elettromagnetica con incertezza 4x0-6 Istituto Elettrotecnico Nazionale Galileo Ferraris Torino intervallo di temperatura ΔT [ Θ ] Kelvin K èpari a / 73.6 dell intervallo di temperatura tra lo zero assoluto e il punto triplo dell acqua Vaso di Dewar contenente l acqua alla pressione di 600 Pa presente negli stati liquido, vapore e solido con incertezza 4x0-7 Istituto Metrologico Gustavo Colonnetti del CNR Torino intensità luminosa I ν [ J ] candela cd è l intensità luminosa di una superficie pari a ( / ) m del corpo nero alla temperatura di solidificazione del platino emessa in direzione perpendicolare alla pressione di 0 35 Pa Cilindro con foro immerso nel platino a temperatura di solidificazione con incertezza 0 - Istituto Elettrotecnico Nazionale Galileo Ferraris Torino quantità di sostanza n [ N ] mole mol è la quantità di sostanza pari al numero di atomi contenuti in 0,0 kg di carbonio Mole di carbonio pari a 6,0 4 99x 0 3 atomi di carbonio 8

29 Il Sistema Internazionale, oltre a utilizzare le sette unità di misura fondamentali, fa uso anche di due unità di misura supplementari. radiante : angolo piano definito come rapporto fra la lunghezza dell arco sotteso ed il raggio θ = l / R θ R l 9

30 La misura in steradianti dell'angolo solido Ω è definita come A / r, dove A è l'area della porzione di superficie sferica di raggio r vista sotto l'angolo Ω. L intera sfera sottende un angolo solido pari a 4π sr. m Ω = A / r m Il nome steradiante deriva dal greco stereos per solido e dal latino radius per raggio. 30

31 Velocita media di un corpo in movimento: v = Δs/ s/δt u SI (lunghezza) = metro u SI (tempo) = secondo u SI (v)=metro =metro/secondo [v] = [L]/[T] = [L] [T] - u(lunghezza) = kilometro = 000 x u SI (lunghezza) u(tempo) = ora = 3600 x u SI (tempo) u(v)=(kilometro/ora)= =((000 x metro)/(3600 x secondo))=(/3.6) x u SI (v) u SI (v)=3.6 x u(v) (00 km/h)/(3.6) ~ 8 m/s (8 m/s) ) x 3.6 ~ 00 km/h 3

32 Definendo come fondamentali le grandezze lunghezza, tempo e massa F=m a [F] = [M][a] = [M][L][T] - U(F) SI =Newton (N) N = kg m s - L=F s cos(α) [L] = [F] [s] [cos(α)] = s F α U(L) SI =Joule = [M][L][T] - [L] [MLT] 0 = J = N m = [M] [L] [T] - 3

33 GRANDEZZA FISICA Unità di misura nel S.I. DIMENSIONI 33

34 34

35 CGS 35

36 Sistema di unita di misura CGS: Proposto su suggerimento di Lord Kelvin dall Associazione Britannica per il Progresso delle Scienze nel 873 e adottato nel grandezze - unita di misura - dimensioni fondamentali fisiche - lunghezza - massa - tempo centimetro (cm) grammo (g) secondo (s) [L] [M] [T] Il CGS è incompleto, mancando sia le GF elettriche sia le GF magnetiche. L estensione ai fenomeni elettromagnetici e stata fatta con i sistemi cgs es (elettrostatico) e cgs em (elettromagnetico). I sistemi CGS e SI hanno in comune le stesse grandezze fondamentali per la meccanica: lunghezza, massa e tempo. 36

37 ... Le unita cgs per la misura delle grandezze derivate sono univocamente determinate dalle relazioni algebriche che le legano alle grandezze fondamentali (analogamente al SI). v = Δs/ s/δt cgs (v) = cm/s u cgs [v] = [L] [T] - cm/s = 0 - m/s a = Δv/Δt cgs (a) = Gal = cm/s u cgs [a] = [L] [T] - cm/s = 0 - m/s F = m x a cgs (F) = dyn = g x cm/s [F] = [M] [L] [T] - u cgs dyn = 0-3 kg x 0 - m/s = 0-5 N 37

38 ... L = F s cos(α) u(l) cgs = erg = dyn x cm [L] = [M] [L] [T] - erg = 0-5 N x 0 - m = 0-7 J P = F / S u(p) cgs = baria = dyn / cm [P] = [M] [L] - [T] - baria = 0-5 N / 0-4 m = 0 - Pa ρ = m / V u(ρ) cgs = g / cm 3 [ρ]] = [M] [L] -3 g/cm 3 = 0-3 kg / 0-6 m 3 = 0 3 kg/m 3 38

39 ST 39

40 Sistema Tecnico (o degli ingegneri) di unita di misura:. - grandezze - unita di misura - dimensioni fondamentali fisiche - lunghezza - forza - tempo metro (m) chilogrammo-peso (kg( p ) secondo (s) [L] [F] [T] I sistemi ST e SI hanno diverse grandezze fondamentali per la meccanica. Campione di massa al BIPM: U(M) SI = kg g U(F) ST = kg p 40

41 U(F) SI / U(F) ST =? SI: M = kg g = m/s F = kg x m/s = N 0 N M g F = M x g ST: F = kg f U(F) SI / U(F) ST = N / kg f = / / 0 U(M) SI / U(M) ST =? ST: [M] = [F] / [a] = [F] [L] - [T] U(M) ST = kg f x m - x s U(M) SI / U(M) ST = kg / (kg( f x m - x s ) = = N / kg f = / / 0 4

42 U(Lavoro) SI / U(Lavoro) ST =? ST: [Lavoro] = [F] [L] U(Lavoro) ST = kgm = kg f x m U(Lavoro) SI / U(Lavoro) ST = J / (kg( f x m) = = (N x m) / (kg( f x m) = = N / kg f = / / 0 4

43 Esempio di conversione di unita di misura non standard Da a rpm = rivoluzioni al minuto f rot = frequenza di rotazione 43

44 ..se si fanno pasticci con le unità di misura 5 milioni di dollari Possono finire nella polvere marziana! compagnia Lockheed-Martin 44

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47 t( C) / 00 = (t( F)-3) / 80 t( C) = (t( F) 3) /.8 t( F) ) = t( C) x t(k) = t( C) t( C) = t(k)

48 Strumenti di misura tarati 48

49 In generale abbiamo visto vari tipi di misure: - Misura di G.F. fondamentale x confronto diretto con il campione della unita di misura della G.F. stessa o una sua copia. - Misura di G.F. Derivata y misuro le G.F. fondamentali x, x,,... da cui dipende la G.F. derivata y tramite la legge fisica y = y(x,x,...) che la regola. - Misura di G.F. tramite apparecchio tarato di misura sia per G.F. Fondamentale che per G.F. Derivata. taratura di un meccanismo interno. 49

50 Apparecchio tarato g Trasduttore elettrico Apparato elettronico Strumento d uscita u(g) - In generale, l inserzione l di uno strumento di misura qualunque in un sistema per fare una misura, perturba inevitabilmente il sistema stesso sotto studio. g 0 g g 0 - Sensibilità Precisione / Δu Δg g = costante u ± Δu misurabile 50

51 Sensibilità S della scala di uno strumento: Δu g u s = Δg per esempio: DIV / V DIV / mv u u Δu Δu Δg g Δg g 5

52 Scala lineare: u(g) = a g S = du/dg dg = a sensibilità S costante vs. g 0 8 Scala quadratica: u(g) = a g S = du/dg dg = a g sensibilità S crescente vs. g 0 3 Scala iperbolica: u(g) = a / g S = du/dg dg = -a a / g sensibilità S decrescente vs. g 5

53 Incertezza di misura o incertezza sperimentale: Possibili cause: - Qualità dello strumento di misura ( sensibilità,, precisione) - Natura della G.F. da misurare che può essere (anche nella fisica classica) non ben definita ( dimensioni di una stanza con pareti non perfettamente a squadro) 53