Casi di studio per fogli di calcolo: la richiesta di un mutuo

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1 Casi di studio per fogli di calcolo: la richiesta di un mutuo Marco Corazza, Stefania Funari, Raffaele Pesenti DMA Dipartimento di Matematica Applicata, Università Ca Foscari Venezia. 1 Introduzione In questo documento sono presentate delle tipiche condizioni economiche dell operazione o del servizio legate a un erogazione di un mutuo. Vengono quindi proposti degli esercizi in cui è richiesto di utilizzare le funzioni e gli strumenti dei fogli elettronici al fine di calcolare i costi, i tassi di interesse e gli altri valori caratteristici dei mutui. 2 Ripasso matematico e definizioni Un mutuo è un contratto con il quale il mutuante consegna in un dato istante temporale al mutuatario un determinato ammontare di denaro A, avendo quest ultimo l obbligo di restituire l ammontare stesso (quote capitale) insieme agli interessi (quote interessi) entro una certa data successiva. La restituzione avviene attraverso n rate pagate periodicamente agli istanti k = 1, 2,..., n. Il mutuatario, oltre a dovere pagare gli interessi, è soggetto a ulteriori oneri sia al momento dell erogazione del mutuo (spese di istruttoria, di apertura credito,... ), che al pagamento delle rate. Un mutuo è caratterizzato da un Tasso Annuo Nominale (TAN) 1 a da un Indicatore Sintetico di Costo (ISC) come descritto nel seguente paragrafo tratto dal sito della Banca d Italia 2. Il costo complessivo di un operazione di finanziamento è influenzato da diversi parametri, e quindi è di norma superiore rispetto al mero tasso d interesse richiesto dal soggetto finanziatore, e cioè il TAN. Per consentire ai clienti una più rapida e agevole comparabilità del costo complessivo di diverse operazioni di finanziamento, deve essere comunicato alla clientela un indicatore di costo (ISC o TAEG) delle operazioni stesse. Le categorie di operazioni per le quali deve essere riportato l ISC sono: 1. mutui; 2. anticipazioni bancarie (escluse quelle regolate in c/c); 3. altri finanziamenti (ad esempio: prestiti personali e finalizzati). Per le operazioni di credito al consumo, il parametro di riferimento individuato dalla legge è invece il TAEG (Tasso Annuale Effettivo Globale). Le modalità di calcolo sono analoghe per i due indicatori. Corresponding author, This work is licensed under the Creative Commons Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 Unported License. To view a copy of this license, visit or send a letter to Creative Commons, 171 Second Street, Suite 300, San Francisco, California, 94105, USA. The information contained in this document and in the database associated was generated randomly and is entirely fictitious, any reference to any person or business whether living or dead is purely coincidental. The authors make no warranty, either implied or express, for the information contained in this document, neither do it assume any legal liability or responsibility for the accuracy, completeness or usefulness of this information. 1 Il TAN è il tasso interno di costo di un operazione di finanziamento senza considerare le eventuali spese aggiuntive previste dal contratto quali, ad esempio, commissione e spese di apertura della pratica 2 pubbl/conoscere/trasparenza/info. 1

2 Nella formula di calcolo dell ISC e del TAEG rientrano parametri ulteriori rispetto al solo rimborso del capitale e degli interessi. Ad esempio, oltre agli oneri relativi al rimborso del capitale, sono presi in considerazione quelli relativi a: 1. spese d istruttoria; 2. spese di revisione del finanziamento; 3. spese d apertura e chiusura della pratica di credito; 4. spese di riscossione dei rimborsi e d incasso delle rate (se previste contrattualmente); 5. spese di assicurazione o garanzia, imposte dal creditore intese ad assicurare il rimborso totale o parziale del credito; 6. costo dell attività di mediazione svolta da un terzo (se necessaria per l ottenimento del credito); 7. ogni altra spesa, contrattualmente prevista, connessa con l operazione di finanziamento. La normativa consente in ogni caso alcuni spazi di discrezionalità nel calcolo degli indicatori di costo. Ad esempio, le spese assicurative, se facoltative, e non imposte quindi dal creditore, possono essere escluse dal calcolo dell ISC e del TAEG. L ISC e il TAEG devono essere inseriti nel contratto e nel documento di sintesi che devono essere consegnati al cliente. Gli indicatori, espressi in percentuale sull ammontare del prestito concesso, vanno indicati in relazione alla durata del finanziamento e alla diversa periodicità delle rate di rimborso del finanziamento. In realtà non tutte le spese sono considerate nel calcolo dell ISC. Ad esempio, a volte non sono inclusi gli interessi che maturano durante il preammortamento tecnico 3 e in genere non sono inclusi: le polizze facoltative, la perizia esterna, le spese di tenuta conto, oltre che la parcella del notaio. Il TAN è utilizzato per determinare l ammontare delle rate pagate dal mutuatario attraverso il Principio di Equivalenza Finanziaria (PEF). Il PEF impone che i valori delle prestazioni (prestiti) e controprestazioni (rimborsi/pagamenti) delle parti si equivalgano se riferiti a uno stesso istante. La seguente relazione esprime il PEF, espresso rispetto all istante iniziale k = 0, per mutuo di ammontare A rimborsato con rate R k periodiche posticipate n A = R k (1 + i) k. (1) k=1 In (1) il tasso di interesse i coincide con il T AN nel caso di singoli pagamenti annuali mentre, seguendo la prassi operativa, diventa i = T AN/r nel caso di r pagamenti annuali. Nel caso di rate R costanti posticipate la (1) diventa n A = R (1 + i) k 1 1 (1 + i) n 1 (1 + i) n = R(1 + i) = R. (2) 1 (1 + i) 1 i k=1 La relazione (1) può non apparire equa al mutuatario. Egli riceve effettivamente un ammontare di denaro A K, dove K rappresenta l importo complessivo delle spese iniziali, e paga periodicamente un importo R k +s k, dove s k rappresenta le spese sostenute al pagamento della rata k. Dal punto di vista del mutuatario il PEF va riscritto come n A K = (R k + s k )(1 + î) k. (3) k=1 Il tasso di interesse î percepito dal mutuatario della (3) è maggiore del tasso i della (1). Infatti, il mutuatario riceve meno di A, poiché A K < A, e paga più che l ammontare della rata, poiché R k + s k > R k. L ISC è una misura dell interesse percepito dal mutuatario. La normativa infatti definisce l ISC come il valore effettivo (annuo) del tasso percepito dal mutuatario e quindi ISC = (1+î) r 1 dove r è il numero dei pagamenti annuali. Si noti che, seguendo la terminologia della prassi operativa, l ISC è un tasso effettivo e quindi nel suo calcolo si tiene conto della composizione degli interessi negli r periodi di capitalizzazione per anno. Differentemente, il TAN è un tasso nominale e quindi nel suo calcolo non si tiene conto della composizione degli interessi. Ne consegue che anche in assenza di spese, cioè î = i, l ISC è maggiore del TAN nel caso di r > 1 pagamenti annuali poiché (1 + i) r 1 > ri. In generale il tasso effettivo di un TAN è uguale a (1 + T AN/r) r 1 > T AN. 3 Il preammortamento tecnico è il periodo di tempo che intercorre dalla data di erogazione del mutuo e la data in cui si paga la prima rata di ammortamento. 2

3 Durata anni min Durata anni max Costi lordi 0 5 1, , , , ,60 Tabella 1: Tassi lordi per ogni 1.000,00 Euro per polizza assicurativa immobile, imposte comprese 3 Condizioni economiche dell operazione o del servizio: Mutuo a tasso fisso In questa e nella seguente sezione sono riportate delle tipiche condizioni di un operazione di mutuo. 3.1 Caratteristiche generali Destinazione: Acquisto di immobile ad uso abitativo. Massimale finanziabile: Prima casa fino al 90%, seconda casa fino al 70% del valore dell immobile. Durata: anni. Periodicità rate: Mensile, trimestrale, semestrale. Condizioni di accesso: Apertura conto corrente e età massima 55 anni. Garanzie richieste: Ipoteca di primo grado sull immobile oggetto del finanziamento pari al 250% del valore del mutuo. Polizza assicurazione incendio, rischi accessori e responsabilità civile sul bene oggetto di garanzia (vedi Tab. 1). Polizza da pagare una sola volta all accensione del mutuo. 3.2 Tassi di interesse Tasso annuo nominale applicato: Interest Rate Swap (IRS) di durata del mutuo a tasso fisso, oppure Tasso Ufficiale di Riferimento (TUR), rilevato il primo del mese più spread annuo. Spread annuo massimo applicato: 1,60% per IRS, 2,60% per TUR. Interessi di mora: Maggiorazione 3,15% dalla data di scadenza della rata. Tipologia piano di ammortamento: Francese con rate posticipate comprensive di capitale e di interessi. Criterio di calcolo interessi: Anno civile (365 giorni). 3.3 Spese e Commissioni Spese di istruttoria: da corrispondere all atto dell erogazione 0,30% dell importo del mutuo. Commissione per estinzione anticipata 1,50% sul capitale residuo i primi 5 anni, 1,00% sul capitale residuo per gli anni seguenti, 0,00% sul capitale residuo per gli ultimi tre anni. Spese di cancellazione ipoteca: Non previste Spese di accollo mutuo: Euro 232,41 fisse. Spese per invio avviso di scadenza rata: Con addebito in conto Euro 2,00 mensili indipendentemente dal numero di rate pagate. 3.4 Altre spese Invio delle comunicazioni di certificazioni interessi: Euro 5,00 annuali Invio altre comunicazioni: Gratuite. 3

4 3.5 Altri oneri a carico del cliente Imposta sostitutiva: Nella misura stabilita dalla legge: 0,25% dell importo del mutuo per la prima casa, 2,00% dell importo del mutuo per altri immobili. Perizia dell immobile: minimo Euro 300,00 Oneri notarili: minimo euro 100,00 Tenuta conto: minimo euro 40,00 trimestrali comprensive di bollo e altri oneri. 4 Condizioni economiche dell operazione o del servizio: Mutuo a tasso variabile 4.1 Caratteristiche generali Destinazione: Acquisto di immobile ad uso abitativo. Massimale finanziabile: Fino al 75% del valore dell immobile. Durata: anni. Periodicità rate: Mensile, trimestrale. Condizioni di accesso: Apertura conto corrente e età massima 45 anni. Garanzie richieste: Ipoteca di primo grado sull immobile oggetto del finanziamento pari al 200% del valore del mutuo. Polizza assicurazione incendio e scoppio pari al valore del mutuo (vedi Tab. 1). Polizza da pagare una sola volta all accensione del mutuo. 4.2 Tassi di interesse Tasso annuo nominale applicato: Euribor a 1 o 3 mesi, oppure TUR, più spread. Spread annuo massimo applicato: 2,00% per Euribor, 3,00% per TUR. Indicizzazione: Parametrizzata alla media Euribor a 1 o 3 mesi oppure al TUR della Banca Centrale Europea. L indicizzazione avviene ogni mese o ogni trimestre, rispettivamente per i mutui con rata mensile o con rata trimestrale. Ad ogni variazione del tasso indice, il piano d ammortamento viene ricalcolato in funzione del nuovo tasso e mantenendo la durata residua. Interessi di mora: Maggiorazione 3,15% dalla data di scadenza della rata. Tipologia piano di ammortamento: Francese con rate posticipate comprensive di capitale e di interessi. Criterio di calcolo interessi: Anno civile. 4.3 Spese e Commissioni Spese di istruttoria: da corrispondere all atto dell erogazione 0,30% dell importo del mutuo. Commissione per estinzione anticipata 1,50% sul capitale residuo i primi 5 anni, 1,00% sul capitale residuo per gli anni seguenti, 0,00% sul capitale residuo per gli ultimi tre anni. Spese di cancellazione ipoteca: Non previste Spese di accollo mutuo: Euro 232,41 fisse. Spese per invio avviso di scadenza rata: Con addebito in conto Euro 2,00 mensili indipendentemente dal numero di rate pagate. 4

5 Calcolo da eseguire Funzione da utilizzare Formula matematica Calcolare l ammontare A k pagato (debito estinto) fino alla rata k. CAP.CUM A k = A (1+i)k 1 (1+i) n 1 Dato i nom, calcolare i eff. Calcolare l ammontare dell interesse I k pagato fino alla rata k. Calcolare la quota interessi pagata alla rata k. Dato i eff, calcolare i nom. Dato l ammontare della rata R, oltre a A e i, calcolare in numero di rate n. Calcolare la quota capitale pagata alla rata k. Calcolare la rata R del mutuo. Dato l ammontare della rata R, oltre a A e n, calcolare il tasso i. Dato l ammontare della rata R, oltre a i e n, calcolare il valore attuale della totalità delle rate. Dato l ammontare della rata R, oltre a i e n, calcolare il valore futuro della totalità delle rate. Tabella 2: Tabella da completare per Es Altre spese Invio delle comunicazioni di certificazioni interessi: Euro 5,00 annuali Invio altre comunicazioni: Gratuite. 4.5 Altri oneri a carico del cliente Imposta sostitutiva: Nella misura stabilita dalla legge: 0,25% dell importo del mutuo per la prima casa, 2,00% dell importo del mutuo per altri immobili. Perizia dell immobile: minimo Euro 300,00 Oneri notarili: minimo euro 100,00 Tenuta conto: minimo euro 40,00 trimestrali comprensive di bollo e altri oneri. 5 Esercizi Possibili soluzioni degli esercizi proposti in questa sezione si trovano nella cartella (di fogli di calcolo) soluzione allegata a questo documento. Il lettore deve svolgere gli esercizi nel seguente modo: osservi la struttura dei fogli di calcolo proposti nella cartella soluzione senza guardare le funzioni utilizzate; cerchi quindi di realizzare dei fogli di calcolo che abbiano la stessa struttura e restituiscano gli stessi valori dei fogli soluzione. Gli esercizi proposti hanno lo scopo di fare familiarizzare il lettore con le funzioni finanziarie. Alcuni esercizi potrebbero forse essere risolti più facilmente con delle macro. Questi esercizi sono però rivolti a utilizzatori di fogli elettronici e non a programmatori. Infatti, le soluzioni proposte per questi esercizi dimostrano che con le funzioni e gli strumenti dei fogli di calcolo è possibile ottenere molti dei risultati di interesse senza la necessità di sapere programmare. Negli esercizi seguenti, quando non specificato diversamente, si supporrà che si voglia contrarre un mutuo a tasso fisso per prima casa con le seguenti caratteristiche: importo ,00 Euro, durata ventennale, periodicità 12 rate annuali costanti posticipate, IRS uguale a 5,090%, spread e altri costi uguali a quelli riportati nella Sezione 3. In particolare lo spread applicato è quello massimo, mentre gli altri costi applicati sono quelli minimi. 1. Siano detti: A l ammontare del mutuo, i nom il tasso nominale annuo, r il numero delle rate pagate annualmente, i eff il tasso effettivo annuo di i nom date r rate, i il tasso di interesse per periodo (i = i nom /r), n il numero complessivo delle rate, k l ultima rata pagata. Si completi la Tab. 2 a partire dall equazione (2). 2. Si supponga di volere contrarre un mutuo a tasso fisso alle condizioni riportate nella Sezione 3. Si realizzi un foglio elettronico che abbia come dati: destinazione (una tra le parole PrimaCasa, SecondaCasa), importo del mutuo, durata in anni, numero di rate annuali, IRS, spread annuo applicato, percentuale per spese di istruttoria, tassi lordi per ogni 1.000,00 Euro per polizza assicurativa immobile (una tabella strutturata come Tab. 1); 5

6 calcoli: TAN, numero di rate totali, rata a regime, spese di istruttoria, imposta sostitutiva, costo dell assicurazione, importo effettivamente erogato, ISC (nell ipotesi che tale indice tenga conto solo delle seguenti spese che vengono pagate al momento dell erogazione del mutuo: spese di istruttoria, costo dell assicurazione, imposta sostitutiva), il totale del capitale e degli interessi pagati al momento dell estinzione del mutuo. Si verifichi quindi che, per una prima casa, un mutuo ventennale di 12 rate annuali e di un importo di ,00 Euro ha una rata a regime di 756,80 Euro e un ISC uguale al 7,062%. 3. Si modifichi il foglio elettronico realizzato per rispondere all esercizio precedente in modo da tenere conto di tutti gli oneri, spese e costi a carico del cliente previsti nella Sezione 3. Si verifichi quindi che se nell ISC vengono considerati tutti i costi, spese, commissioni e oneri, esso risulta essere uguale al 7,443%. Si verifichi inoltre che, se si tiene conto di tutte le spese iniziali, l importo erogato risulta essere di ,59 Euro. Si verifichi, infine, che il valore attuale del mutuo risulta essere di ,79 Euro se si conteggiano anche le altre spese periodiche che si dovranno sostenere per tutta la durata del mutuo stesso. 4. A partire dal foglio elettronico realizzato per rispondere all esercizio precedente e utilizzando lo strumento ricerca obiettivo, si determini l importo che si deve richiedere affinché vengano effettivamente erogati ,00 Euro alle condizioni della Sezione A partire dal foglio elettronico realizzato per rispondere all Es. 3 e utilizzando lo strumento tabella dati, si realizzi una tabella che visualizzi l importo della rata a regime per valori dell IRS che variano dal 3,00% all 8,00% con una passo di 0,50%. Si aggiunga quindi alla tabella appena realizzata una colonna che riporti anche il valore dell ISC in funzione dei differenti valori dell IRS. 6. A partire dal foglio elettronico realizzato per rispondere all Es. 3 e utilizzando lo strumento tabella dati, si determini l importo della rata a regime per valori del TAN che variano dal 4,00% all 8,00% con una passo di 0,50% e per durate del mutuo uguali a anni. Si realizzi quindi una seconda tabella di struttura analoga alla precedente ma che riporti il totale degli interessi. 7. A partire dal foglio elettronico realizzato per rispondere all Es. 3, si determini quanto si dovrà pagare se si vuole estinguere anticipatamente il mutuo alla fine di ogni dato anno. Il foglio deve restituire anche il totale del capitale rimborsato e degli interessi pagati fino al momento dell estinzione del mutuo. Si verifichi che dopo 10 anni si sarà ripagato poco più di un terzo del capitale. Si giustifichi il perché la quota del capitale ripagato dopo 10 anni decresce all aumentare del TAN. 8. Si realizzi un piano di ammortamento con un foglio elettronico come in Fig. 1. Si indichi come sono stati calcolati i contenuti delle celle B9, B10 e B12. Nelle celle da B14 a B19 si visualizzino il tasso per periodo, il tasso effettivo, il tasso nominale, il numero delle rate, il valore attuale delle rate e il valore futuro delle rate usando le funzioni indicate nelle celle da A14 a A19. Si dimostri che le formule presenti nelle celle da E4 a I4 e da E5 a I5 determinano veramente quanto indicato nelle celle da E2 a I2. Si copino le formule da E5 a I5 nelle celle sottostanti per ottenere i dati indicati nelle celle da E2 a I2 per tutte le 120 rate del mutuo. Infine, nelle celle da J4 a M4 e in tutte le rimanenti celle sottostanti, si usino le funzioni indicate nelle celle da J2 a M2 al fine di ottenere gli stessi valori riportati nelle celle da E4 a H4 e sottostanti. 9. Si modifichi il foglio elettronico realizzato per rispondere all Es. 2 esprimendo l ammontare del mutuo in funzione della rata e non viceversa. Si usi quindi lo strumento tabella dati per determinare l importo effettivamente erogato per valori della rata che variano da 600,00 a 1000,00 Euro con una passo di 50,00 Euro e per durate del mutuo uguali a anni. Si realizzino quindi due grafici a dispersione. Il primo grafico consideri un mutuo con rata di 900,00 Euro e visualizzi come varia l importo effettivamente erogato in funzione degli anni di durata. Il secondo grafico consideri un mutuo di durata decennale e visualizzi come varia l importo effettivamente erogato in funzione dell ammontare della rata. Si osservi che nel primo grafico l importo erogato è meno che proporzionale alla durata del mutuo mentre, nel secondo grafico, l importo erogato è proporzionale alla rata. Si utilizzi la formula (2) per verificare che l ammontare del mutuo per una rata fissata a 900,00 Euro (e tutte le altre condizioni come in Sezione 3) non può superare i ,00 Euro, qualunque sia la durata del mutuo stesso. 10. Si ripeta l Es. 2 applicando un piano di ammortamento italiano (ovvero rate con quota capitale costante e quota interessi variabili). Essendo le rate variabili, si calcoli la rata media al posto della rata a regime. Si realizzi inoltre una tabella come quella delle colonne da E a I dell Es. 8 della Fig. 1; si aggiunga poi una colonna che riporti l ammontare complessivo della rata periodo per periodo. Si commenti perché la rata 6

7 Figura 1: Dati per Es. 8 Calcolo da eseguire Calcolare l ammontare A k pagato (debito estinto) fino alla rata k. Calcolare l ammontare dell interesse I k pagato fino alla rata k. Calcolare la quota interessi pagata alla rata k. Dato l ammontare della rata media R, oltre a A e i, calcolare in numero di rate n. Calcolare la quota capitale pagata alla rata k. Calcolare la rata R del mutuo. Calcolare la rata media R del mutuo. Calcolare il tasso i. Formula matematica A k = A k n Tabella 3: Tabella da completare per Es. 12 media e il totale degli interessi pagati con un ammortamento all italiana sono inferiori rispettivamente alla rata a regime e al totale degli interessi pagati con un ammortamento alla francese. 11. Si ripeta l Es. 7 per il mutuo dell esercizio precedente. 12. Si completi la Tab. 3 per un mutuo con ammortamento all italiana. 13. Si supponga di contrarre un mutuo il primo di gennaio e che in tale anno si abbia un dato stipendio netto mensile (ad esempio di 2000,00 Euro). Si supponga che il reddito aumenti di una data percentuale all anno (ad esempio il 3.0%). Utilizzando lo strumento tabella si realizzi la seguente tabella a due colonne e con tante righe quanti sono gli anni di durata del mutuo. Per ogni anno, la prima colonna della tabella deve riportare il rapporto percentuale tra l ammontare della prima rata dell anno del mutuo con ammortamento francese considerato nell Es. 2 e lo stipendio mensile; la seconda colonna deve riportare il rapporto percentuale tra l ammontare della prima rata dell anno del mutuo con ammortamento italiano dell Es. 8 e lo stipendio mensile. Applicando la funzione CONFRONTA sui dati della tabella si determini all inizio di quale anno tali percentuali saranno inferiori a una data soglia. Analogamente si determini all inizio di che anno il rapporto percentuale tra rata e stipendio nell ammortamento italiano sarà inferiore al corrispondente rapporto percentuale tra rata e stipendio nell ammortamento francese. 14. Si determini la quotazione odierna dell indice IRS (detto anche Eurirs) che trovate nell Osservatorio Tassi de Il Sole 24 Ore. 15. Si determini la quotazione media del Euribor a un mese e a tre mesi utilizzando le serie storiche disponibili sul Statistical Data Warehouse dell European Central Bank all url (selezionate Money, Banking and Financial Markets, quindi Market Indices). Si determini inoltre il valore corrente del Tasso Ufficiale di Riferimento. 16. Il 1 gennaio 1999 si è contratto un mutuo di ,00 Euro con le seguenti caratteristiche: durata decennale, periodicità 12 rate annuali posticipate a tasso variabile, spread e altri costi uguali a quelli riportati nella Sezione 4. In particolare lo spread applicato è quello massimo, mentre gli altri costi applicati sono quelli minimi. Si realizzi una tabella che riporti l ammortamento realizzato. In particolare la tabella deve riportare i seguenti dati in corrispondenza di ogni rata: tasso Euribor utilizzato nel calcolo degli interessi, TAN, ammontare rata, quota interessi, quota capitale, debito estinto, totale interessi pagati, debito residuo. 7

8 1999 1,58% ,56% ,67% ,44% ,45% ,99% ,71% ,00% ,72% ,40% Tabella 4: Tassi di inflazione per Es ,08% ,15% ,10% ,56% ,00% ,70% ,41% ,67% ,62% ,34% ,41% ,44% ,37% ,99% ,20% ,45% ,44% ,58% ,94% ,99% ,17% ,60% ,35% ,71% ,52% ,10% ,90% ,00% ,10% ,62% ,73% ,72% ,45% ,96% ,80% ,40% ,74% ,61% ,58% Tabella 5: Indici FOI per Es Si modifichi il foglio soluzione dell esercizio precedente in modo da determinare il valore attuale di ognuna delle rate. Si determini inoltre il valore attuale complessivo delle rate e si verifichi che esso è uguale all ammontare del mutuo erogato. Si commenti perché non si può utilizzare la funzione VA per rispondere a questo esercizio. 18. Utilizzando la funzione TIR.COST si determini il tasso di sconto annuo costante equivalente (TAN equivalente) per il mutuo dell esercizio precedente. Si ricordi che un tasso equivalente è un tasso che se fosse stato utilizzato per attualizzare il valore delle rate avrebbe prodotto lo stesso valore attuale complessivo delle rate. 19. Si determini, usando lo strumento ricerca obiettivo, quale TAN fisso avrebbe condotto a pagare gli stessi interessi totali che si sono pagati per il mutuo all Es. 16. Si commentino le differenze tra tale valore e il TAN equivalente determinato nell Es. 18. Si determini inoltre la rata corrispondente al TAN fisso e si conti quante volte tale rata sarebbe stata superiore alla rata del mutuo a tasso variabile. 20. Si modifichi il foglio soluzione dell esercizio precedente per confrontare le rate di due mutui: il mutuo a tasso variabile dell Es. 18 e un mutuo con caratteristiche analoghe ma a tasso fisso con TAN uguale all Euribor medio del gennaio 1999 più il 2,50%. In particolare si confrontino i due mutui rispetto al totale degli interessi e al valore attuale delle rate calcolate al tasso di aumento reale dei redditi del mutuatario nel 1999 (e non al TAN imposto dal mutuante). Si definisca il tasso di aumento reale dei redditi del mutuatario come la differenza tra il tasso di incremento annuale dei redditi del mutuatario (come riportato nel foglio elettronico) e il tasso di inflazione. Un simile tasso serve a misurare il peso che ha avuto l ammontare delle rate sui redditi del mutuatario durante gli anni in cui ha pagato il mutuo. Si supponga che i tassi di inflazione siano stati quelli riportati nella Tab. 4 e che il tasso di incremento annuale dei redditi del mutuatario sia rimasto costante nel tempo. 21. L 1 gennaio 1970 un mutuatario contrasse un mutuo di ,00 Euro con le seguenti caratteristiche: durata trentennale, periodicità annuale con rata posticipata, tasso variabile con indicizzazione rispetto agli indici nazionali dei prezzi al consumo per le famiglie di operai e impiegati (FOI) riportati nella Tab. 5 (alternativamente si sarebbe potuto usare il tasso unitario di sconto, in ogni caso all epoca l Euribor non esisteva), spread e altri costi uguali a quelli usati nell Es. 16. Si realizzi una tabella che riporti i seguenti dati in corrispondenza di ogni rata: tasso utilizzato nel calcolo degli interessi, TAN, ammontare della rata, quota interessi, quota capitale, debito estinto, totale interessi pagati, debito residuo. Si determini quindi di quanto aumentò al massimo la rata rispetto alla rata iniziale. Il mutuatario, dopo avere svolto gli esercizi precedenti, si era convinto che il tasso variabile fosse più conveniente rispetto a quello fisso e aveva scartato l ipotesi di un mutuo a tasso fisso con TAN uguale all indice FOI del 1970 più uno spread del 4,00%. Determinate quanti interessi in più ha pagato il mutuatario scegliendo il mutuo a tasso variabile rispetto al mutuo a tasso fisso. 8

9 22. La Fig. 2 riporta parte di un volantino pubblicitario di una finanziaria. Si determino i TAN dei prestiti personali e dei mutui proposti nel volantino. Si verifichi, usando i dati in Fig. 3, se il TAEG massimo supera la soglia del tasso d usura valido all epoca del volantino, ovvero gennaio Si ricalcolino le rate dei prestiti utilizzando i seguenti tassi: la soglia di usura (solo per i prestiti superiori ai 5000,00 euro), il TAEG minimo e il TAEG massimo indicati dal volantino. Si determini inoltre la variazione percentuale dell ammontare di queste ultime rate rispetto a quelle del volantino. Nel caso del mutuo di ,00 euro, si determini di quanto può essere il valore attuale massimo delle spese aggiuntive affinché il TAEG non superi la soglia di usura. Figura 2: Volantino per Es La Fig. 4 riporta parte di un manifesto pubblicitario comparso all inizio del Si determino i TAN dei prestiti personali riportati sul manifesto. Si verifichi se qualcuno di questi TAN coincide con il TAN al 4% indicato nel cuoricino che compare sulla tabella. Si giustifichi il significato della freccia rossa presente sul manifesto a sottolineare le condizioni del prestito di ,00 Euro. Il manifesto pubblicitario non riporta le caratteristiche base del MutuoLight, il mutuo a rate super leggere. Dati i tassi di interesse del 2009 riportati nella Tab. 6, e sapendo che difficilmente le banche applicano spread inferiori allo 0,60%, dedurre: la tipologia del prestito (fisso o variabile), la durata minima in anni del prestito, la periodicità delle rate. Si calcoli la differenza assoluta e percentuale tra l ammontare della rata del MutuoLight del manifesto pubblicitario e di una rata mensile di un mutuo trentennale con TAN al 2,87% (migliore TAN trovato dagli autori). 24. Leggendo i caratteri in piccolo del manifesto pubblicitario dell esercizio precedente si scopre che: 9

10 Tassi anti-usura validi dal 1 Gennaio 2009 al 31 Marzo 2009 CATEGORIE DI OPERAZIONI CLASSI DI IMPORTO (in euro) TASSI MEDI (su base annua) SOGLIA USURA Aperture di credito in conto corrente Anticipi, sconti commerciali e altri finanziamenti alle imprese effettuati dalle banche Factoring Crediti personali e altri finanziamenti alle famiglie effettuati dalle banche Anticipi, sconti commerciali, crediti personali e altri finanziamenti effettuati dagli intermediari non bancari Prestiti contro cessione del quinto dello stipendio Leasing Credito finalizzato all'acquisto rateale Mutui fino a ,270 18,405 oltre ,120 13,680 fino a ,890 10,335 oltre ,220 9,330 fino a ,010 10,515 oltre ,280 9,420 9,930 14,895 fino a ,690 22,035 oltre ,100 16,650 fino a ,330 19,995 oltre ,520 14,280 fino a ,340 18,510 oltre fino a ,070 13,605 oltre fino a ,010 12,015 oltre ,820 10,230 fino a ,290 24,435 oltre fino a ,290 24,435 oltre ,130 15,195 a tasso fisso 5,390 8,085 a tasso variabile 5,450 8,175 Figura 3: Tassi usura per Es. 22 Tasso ufficiale di riferimento 2,00% Euribor 1 mese 1,78% Euribor 3 mesi 2,13% Euribor 6 mesi 2,22% IRS 5 anni 3,03% IRS 10 anni 3,66% IRS 15 anni 3,94% IRS 20 anni 3,92% IRS 25 anni 3,77% IRS 30 anni 3,63% IRS 40 anni 3,43% IRS 50 anni 3,33% Tabella 6: Tassi di interesse del 2009 per Es. 23 le proposte indicate sono esempi di prestito con cessione del quinto dello stipendio comprensivi di coperture assicurative, riferiti ad una dipendente pubblica con 35 anni di età e 15 anni di servizio. TAN 4%, TAEG min 7,26% max 8,20% riferiti agli esempi nella tabella. ; inoltre La rata del MutuoLight è riferita ad un operazione trentennale con maxi rata finale uguale al 27% del capitale erogato. Parametro di indicizzazione IRS a 30 anni più spread dell 1%. TAN = 4.60%, TAEG = 5,00% riferiti all esempio. Si realizzi un foglio di calcolo con cui: per quanto riguarda i prestiti personali, si determini il costo annuale dell assicurazione, se il TAN del prestito è uguale al 4,00% pubblicizzato; per quanto riguarda il mutuo, si determini l ammontare della maxi rata finale, il valore della rata con il TAN dichiarato, il TAN del prestito alla rata pubblicizzata sul manifesto, il TAN se la maxi rata fosse pagata all inizio. Con lo stesso foglio di calcolo, dato un tasso nominale di interesse a cui si suppone di potere fare fruttare i propri risparmi annualmente, si determini quanto si deve risparmiare mensilmente per potere pagare la maxi rata finale. Si commenti quante sono le dipendenti pubbliche di 35 anni con 15 anni di anzianità. A tal fine si contino quante tra le proprie conoscenti di 20 anni sono dipendenti pubbliche. Le dipendenti pubbliche in tali condizioni alla data della pubblicità potevano ottenere prestiti con cessione del quinto dello stipendio presso l INPDAP (l ente assistenziale dei dipendenti pubblici) ad un TAEG al 4,50%. Si commentino infine i rischi associati a mutuo con una maxi rata finale. Nel fare ciò si tenga presente il decreto Tremonti appena convertito in legge n.185/2009 alla data della pubblicità recita che il limite di importo di cui all articolo 76, 10

11 Figura 4: Pubblicità per Es. 23 comma 1, del decreto del Presidente della Repubblica 29 settembre 1973, n. 602, è ridotto a cinquemila euro. In quel decreto del 73, c era scritto così: Il concessionario può procedere all espropriazione immobiliare se l importo complessivo del credito per cui si procede supera complessivamente ottomila euro. Tale limite può essere aggiornato con decreto del ministero delle Finanze. 6 Commenti alle soluzioni di alcuni degli esercizi In questa sezione vengono riportate le soluzioni degli esercizi teorici e vengono commentati alcuni fogli di calcolo presenti nella cartella soluzione. (1) La Tab. 7 indica come doveva essere completata la Tab. 2. (2) Nel foglio Domanda02 vengono usate le funzioni RATA, TASSO, EFFETTIVO, CAP.CUM, INT.CUMUL, CERCA.VERT. La funzione RATA determina l ammontare di pagamenti periodici costanti a un tasso di interesse costante, secondo uno schema di ammortamento alla francese. Si noti che il tasso di interesse applicato deve essere quello periodico, ovvero T AN/r dove r è il numero di pagamenti annui. La funzione TASSO viene utilizzata per determinare il tasso di interesse periodico i di un mutuo fittizio il cui ammontare è uguale all importo effettivamente erogato dal mutuante e la cui rata corrisponde all ammontare effettivamente pagato periodicamente dal mutuatario. Noto i si può calcolare il valore dell ISC. Poiché l ISC è un tasso effettivo vale la condizione ISC = (1 + i) r 1 e non ISC = ri. L ISC è quindi calcolato attraverso la funzione EFFETTIVO che trasforma un tasso nominale annuo, nel caso ri, nel corrispondente tasso effettivo annuo, l ISC. 11

12 Calcolo da eseguire Funzione da utilizzare Formula matematica Calcolare l ammontare A k pagato (debito estinto) fino alla rata k. CAP.CUM A k = A (1+i)k 1 (1+i) n 1 Dato i nom, calcolare i eff. EFFETTIVO i eff = (1 + inom ) r r 1 = (1 + i) r 1 Calcolare l ammontare dell interesse I k pagato fino alla rata k. INT.CUMUL I k = A 1+ki(1+i)n (1+i) k (1+i) n 1 Calcolare la quota interessi pagata alla rata k. INTERESSI QI k = ia (1+i)n (1+i) k 1 (1+i) n 1 Dato i eff, calcolare i nom. NOMINALE i nom = ((1 + i eff ) r 1 1)r = ir ( ) R ia Data la rata R, oltre a A e i, calcolare il numero di rate n. NUM.RATE n = log R log(i+1) Calcolare la quota capitale pagata alla rata k. P.RATA QC k = ia (1+i)k 1 (1+i) n = R(1 + i)k 1 n 1 Calcolare la rata R del mutuo. RATA R = ia (1+i)n (1+i) n 1 Dato l ammontare della rata R, oltre a A e n, calcolare il tasso i. TASSO i : R((1 + i) n 1) = ia(1 + i) n Dato l ammontare della rata R, oltre a i e n, VA V A = R n k=1 (1 + i) k = calcolare il valore attuale della totalità delle rate. = R (1+i)n 1 i(1+i) n Dato l ammontare della rata R, oltre a i e n, VAL.FUT V F = n k=1 R k(1 + i) n k = calcolare il valore futuro della totalità delle rate. = V A(1 + i) n = R (1+i)n 1 i Tabella 7: Tabella completa per Es. 1 Le funzioni CAP.CUM e INT.CUMUL determinano gli importi (non attualizzati) complessivi delle quote capitale e delle quote interesse pagate tramite le rate in un determinato intervallo di tempo. In questo contesto si ricordi che le rate pagate periodicamente sono composte da una quota interesse e una quota capitale. La quota interesse serve a coprire gli interessi sul capitale residuo maturati nell intervallo tra due pagamenti successivi delle rate. La quota capitale corrisponde alla parte del capitale restituito con la parte residua della rata. Infine, la funzione CERCA.VERT viene usata per cercare un valore all interno di una tabella organizzata per righe. (3) Nel foglio Domanda03 viene usata la funzione VA. La funzione VA restituisce il valore attuale di una serie di pagamenti periodici futuri costanti a un tasso di interesse costante. La funzione VA è infatti utilizzata per determinare il valore delle spese periodiche per il pagamento delle rate e per la gestione del mutuo. Poiché queste spese avvengono con periodicità diverse, i loro valori attuali devono essere calcolati separatamente da due differenti istanze della funzione VA. (4) Nel foglio Domanda04 viene usato lo strumento ricerca obiettivo. In particolare si deve imporre che il contenuto della cella che contiene l importo effettivamente erogato sia uguale a ,00 facendo variare il valore della cella che contiene l ammontare del mutuo. (5-6) I fogli Domanda05 e Domanda06 mostrano i risultati ottenuti tramite l utilizzo dello strumento tabella dati. Le tabelle permettono di eseguire un analisi di sensibilità dei risultati di una funzione al variare dei valori di uno o due argomenti dei suoi argomenti principali. A sua volta l analisi di sensibilità permette di determinare quali sono gli elementi particolarmente critici che devono essere presi in considerazione nell eseguire una scelta. Ad esempio dalla prima tabella del foglio si può dedurre che la variazione marginale della rata è di circa 60,00 euro per ogni punto percentuale del tasso ISC. (8) Scopo del foglio Domanda08 è mostrare come vengono calcolate le funzioni INTERESSI, P.RATA, CAP.CUM e INT.CUMUL dai fogli elettronici. Esse non fanno altro che eseguire ricorsivamente semplici operazioni. (9) Dal calcolo del lim n R 1 (1+i) n i = R i si deduce che, a rata e a tasso di interesse costanti, l ammontare del mutuo ottenibile non può superare una soglia limite, indipendentemente dagli anni di durata dello stesso. Viceversa, sempre dalla formula (2) si deduce che l ammontare del mutuo ottenibile è proporzionale alla rata che si è disposti a pagare. (10) Nel foglio Domanda10 vengono calcolati i vari termini di un piano di ammortamento all italiana. Si noti che non possono essere usate le funzioni INTERESSI, P.RATA, CAP.CUM e INT.CUMUL poiché esse fanno riferimento a piani di ammortamento alla francese. La rata media e il totale degli interessi pagati con un ammortamento all italiana sono inferiori rispettivamente alla rata a regime e al totale degli interessi pagati con un ammortamento alla francese poiché con l ammortamento all italiana è maggiore la quota capitale pagata nelle rate iniziali. In questo modo una maggior parte di capitale è restituita negli anni iniziali e quindi sono complessivamente pagati meno 12

13 Calcolo da eseguire Calcolare l ammontare A k pagato (debito estinto) fino alla rata k. Calcolare l ammontare dell interesse I k pagato fino alla rata k. Calcolare la quota interessi pagata alla rata k. Dato l ammontare della rata media R, oltre a A e i, calcolare in numero di rate n. Calcolare la quota capitale pagata alla rata k. Calcolare la rata R del mutuo. Calcolare la rata media R del mutuo. Calcolare il tasso i. Formula matematica A k = A k n I k = iak(1 k 1 2n ) QI k = ia(1 k 1 n ) n = A(i+2) 2 R ia QC k = A n R k = A i(n+1 k)+1 n i(n+1)+2 R = A 2n i : 1 = n i(n+1 k)+1 k=1 (1 + i) n k Tabella 8: Tabella completa per Es. 12 interessi. A parità di tasso di interesse, l ammortamento all italiana è finanziariamente vantaggioso anche nel caso in cui si voglia estinguere il mutuo anticipatamente. Infatti si deve pagare un capitale residuo inferiore che nell ammortamento alla francese (vedi Es. 11). Si noti però che nell ammortamento all italiana le rate sono decrescenti e non costanti. L ammontare delle rate iniziali è quindi maggiore che nell ammortamento alla francese. Questa situazione può essere svantaggiosa per il mutuatario che durante l età più giovane ha tipicamente meno disponibilità finanziarie. (12) La Tab. 8 indica come doveva essere completata la Tab. 3. (13) Nel foglio Domanda13 viene usata la funzione CONFRONTA. La funzione CONFRONTA restituisce la posizione in cui si trova l elemento di una matrice che corrisponde a un valore specificato. Si noti la differenza tra CONFRONTA e le funzioni CERCA.VERT e CERCA.ORIZZ, queste ultime funzioni riportano infatti il valore dell elemento invece che la posizione. (16) Nel foglio Domanda16 vengono calcolati i vari termini di un piano di ammortamento in cui i tassi di interesse non sono costanti. Anche in questo caso non possono essere usate le funzioni CAP.CUM e INT.CUMUL poiché esse fanno riferimento tassi di interesse costanti. Differentemente, le funzioni RATA, INTERESSI e P.RATA vengono utilizzate per il calcolo delle rate e delle quote interessi e capitale. Si noti però che, per tenere conto della variabilità degli interessi, ogni rata, assieme alle sue rispettive componenti, viene calcolata come se fosse la prima rata di un muto di ammontare uguale al capitale residuo, di durata uguale al tempo residuo e con tasso di interesse costante uguale al tasso del mese corrente. (17-18) Nel foglio Domanda17&18 vengono calcolati i valori attuali delle rate in presenza di tassi variabili. La variabilità dei tassi impedisce di utilizzare la funzione VA. Si deve quindi attualizzare ogni rata attraverso la formula valore attuale rata = k R. Nel caso di tassi di interesse costanti, (1+i 1 )(1+i 2 ) (1+i k 1 )(1+i k ) la formula precedente si riduce all usuale valore attuale rata = R k. Nel foglio Domanda17&18, l inverso del fattore di attualizzazione (1 + i 1 )(1 + i 2 ) (1 + i k 1 )(1 + i k ) è calcolato ricorsivamente. Se (1+i) k in una cella è calcolato il fattore di attualizzazione al periodo k 1, nella cella sottostante il fattore di attualizzazione al periodo k è calcolato moltiplicando il valore della cella sovrastante per (1 + i k ). La funzione TIR.COST è utilizzata per calcolare il TAN equivalente. La funzione TIR.COST restituisce il tasso di rendimento interno per una serie di flussi di cassa che occorrono a intervalli regolari. Nel caso di un mutuo i flussi di cassa sono l erogazione del mutuo (flusso positivo o in entrata) e i pagamenti delle rate (flussi negativi o in uscita). La funzione TIR.COST determina il proprio risultato per tentativi; è quindi opportuno fornire un valore iniziale da cui iniziare i tentativi. Tale valore deve essere scelto vicino a quello che, a spanne, si ritiene essere il TIR cercato. Nel caso considerato nel foglio di calcolo è stato scelto come valore iniziale il valore medio dei tassi periodici applicati. Il valore iniziale è un argomento facoltativo per la funzione TIR.COST, ma senza di esso la funzione rischia di non riuscire a trovare il valore desiderato. Questa situazione, per esempio, accade per il piano d ammortamento considerato. (19) Nel foglio Domanda19 si utilizzano i risultati degli esercizi precedenti per calcolare gli interessi totali per l ammortamento a tasso variabile. Si usano invece le funzioni RATA e INT.CUMUL per calcolare la rata e gli interessi dell ammortamento a TAN fisso. Per determinare il valore del tasso di interesse fisso, si parte da un valore arbitrario e quindi si applica lo strumento ricerca obiettivo. In particolare, attraverso la ricerca obiettivo si fa variare il valore del TAN fisso fino a quando l ammontare degli interessi totali dell ammortamento a TAN fisso sia uguale a quello degli interessi totali dell ammortamento a tasso variabile. In questo foglio viene utilizzata la funzione CONTA.SE per contare quante volte la rata corrispondente al TAN fisso sarebbe stata superiore alla rata del mutuo a tasso variabile. Si osservi che si deve usare una 13

14 stringa (un testo) per passare alla funzione CONTA.SE la condizione che determina quali celle verranno contate. Nel caso in questione tale condizione viene realizzata usando la funzione CONCATENA. La funzione CONCATENA semplicemente unisce due stringhe o una stringa e un numero in un unica stringa. (20) Nel foglio Domanda20 vengono usate le funzioni ANNO e MATRICE.SOMMA.PRODOTTO. La funzione ANNO restituisce l anno di una determinata data. La funzione MATRICE.SOMMA.PRODOTTO in questo caso è utilizzata per eseguire il prodotto scalare tra due vettori. In particolare, la funzione MATRICE.SOMMA.PRODOTTO viene utilizzata per calcolare il totale dei valori attuali delle rate eseguendo la somma dei singoli prodotti tra i valori delle rate e dei corrispondenti fattori di attualizzazione. (21) Nel foglio Domanda21 viene usata la funzione MIN per determinare l ammontare massimo di una rata. Questo apparente paradosso è giustificato dal fatto che gli importi delle rate sono espressi come valori negativi. (23) Tutti gli esempi di rate proposte dalla pubblicità riportata nella Fig. 4 hanno un TAN superiore al 4%. Non si capisce inoltre cosa la pubblicità intenda sottolineare con la freccia rossa. Infatti, anche il prestito puntato dalla freccia ha un TAN superiore al 4%. (24) Nel foglio Domanda24 viene usata la funzione RATA per determinare l ammontare della rata del mutuo e dell importo da risparmiare mensilmente per pagare la maxi rata finale. In entrambe i casi si deve tenere cono del valore futuro da pagare (maxi rata). Il valore della maxi rata deve essere indicato con un numero negativo in quanto è un flusso in uscita. 14

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