STRUTTURA DELLE RETI SOCIALI MATCHING MARKETS. Vincenzo Auletta Università di Salerno

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1 STRUTTURA DELLE RETI SOCIALI MATCHING MARKETS Vincenzo Auletta Università di Salerno

2 MERCATI I mercati sono uno degli esempi più rilevanti di interazioni tra numerosi agenti strutturate come una rete Il mercato crea opportunità per stabilire interazioni tra venditori ed acquirenti Le relazioni tra questi soggetti sono naturalmente codificate tramite una rete Possiamo utilizzare le reti per modellare le interazioni tra i partecipanti al mercato e la teoria dei giochi per prevedere il comportamento dei vari soggetti Gli stessi modelli possono essere utilizzati per studiare le dinamiche sociali all interno di un gruppo di individui 1

3 MATCHING MARKETS I Matching Markets sono una classe di modelli semplici che consentono di descrivere le interazioni tra diversi soggetti che offrono e cercano beni o servizi Modello ampiamente utilizzato e studiato in economia e ricerca operativa In un matching market ci sono vari oggetti che devono essere assegnati ai partecipanti Ogni partecipante ha le sue personali valutazioni (preferenze) sugli oggetti e si vuole calcolare un allocazione degli oggetti ai partecipanti che sia socialmente ottima È possibile fissare dei prezzi per i beni in maniera decentralizzata se questo può servire a trovare allocazioni socialmente migliori 2

4 UNA VERSIONE SEMPLIFICATA DEL PROBLEMA Assumiamo che ogni partecipante può solo specificare quali oggetti gli piacciono Es. Abbiamo la lista degli studenti che hanno diritto ad una stanza nella foresteria del campus Dobiamo decidere l assegnamento delle stanze agli studenti Ogni studente può esprimere le sue preferenze (piano, finestra/ balcone, orientamento, dimensione, ecc.) Vogliamo trovare un allocazione (se esiste) che accontenti tutti gli studenti 3

5 GRAFO DELLE PREFERENZE Le preferenze espresse dai partecipanti possono essere rappresentate tramite un grafo bipartito Studenti da un lato e stanze dall altro Assumiamo stesso numero di studenti e stanze Se a i piace la stanza j allora inseriamo l arco (i, j) Room1 Room2 Vikram Wendy Room3 Xin Room4 Yoram 4 Room5 Zoe

6 ALLOCAZIONI E MATCHING Un allocazione delle stanze agli studenti è un matching sottoinsieme di archi tali che al più un solo arco incide su ogni nodo del grafo Se il matching contiene tanti archi quanti sono gli studenti allora è un perfect matching Room1 Room2 Room3 Vikram Wendy Xin E possibile accontentare tutti gli studenti sse esiste un perfect matching Room4 Yoram 5 Room5 Zoe

7 PERFECT MATCHING ESISTONO SEMPRE? Tutti i grafi bipartiti ammettono un perfect matching? NO Room1 Room2 Room3 Vikram Wendy Xin Room4 Yoram Room5 Quali grafi bipartiti ammettono perfect matching? Zoe 6

8 CARATTERIZZAZIONE DI GRAFI BIPARTITI CON PERFECT MATCHING Il grafo della slide precedente non aveva un perfect matching perché ha un constricted set Insieme di vertici S che ha un insieme di vicini N(S) tali che S < N(S) N(S) Room1 Room2 Room3 Vikram Wendy Xin S MATCHING THEOREM (Konig, 1931) Se un grafo bipartito non ha un perfect matching allora contiene un conscricted set Room4 Yoram 7 Room5 Zoe

9 VALUTAZIONI ED ASSEGNAMENTI OTTIMALI In generale ogni partecipante ha una propria valutazione per ognuno degli oggetti da assegnare v ij = valutazione dello studente i sulla stanza j ( 0) La qualità di un assegnamento è data dalla somma dei pesi assegnati ai suoi archi Assegnamenti con massimo valore sono socialmente ottimale Room1 Xin Valuations 12, 2, 4 Room1 Xin Valuations 12, 2, 4 Room2 Yoram 8, 7, 6 Room2 Yoram 8, 7, 6 Room3 Zoe 7, 5, 2 Room3 L assegnamento vale 23 ed è ottimale Zoe 7, 5, 2 8

10 ASSEGNAMENTI OTTIMALI E PERFECT MATCHING E possibile utilizzare un algoritmo per il calcolo dell assegnamento ottimale per trovare un perfect matching Per ogni studente assegniamo 1 agli archi che lo collegano alle stanze preferite e 0 agli altri Se l allocazione ottimale ha valore n allora è un perfect matching, altrimenti esiste un restricted set Date le valutazioni degli studenti come è fatta un allocazione ottimale? Risposta non banale 9

11 MERCATI Il problema di assegnamento che abbiamo studiato finora era centralizzato Un amministratore deve assegnare le stanze agli studenti date le loro preferenze I mercati non prevedono la presenza di un autorità centrale Ogni acquirente decide autonomamente cosa comprare sulla base delle sue valutazioni e dei prezzi degli oggetti senza conoscere le valutazioni degli altri acquirenti I prezzi devono sostituire il ruolo dell autorità centrale E possibile fissare dei prezzi in modo tale che degli acquirenti razionali ed egoisti, sulla base delle loro valutazioni, esprimano delle preferenze che portino ad assegnamenti ottimali? 10

12 UN ESEMPIO PIÙ CALZANTE Supponiamo che n persone vogliono acquistare una casa e ci sono n case sul mercato v ij è la valutazione di i sulla casa j p j è il prezzo della casa j Se ad i viene assegnata la casa j ha un payoff di u i (j)= v ij p j i seleziona i suoi venditori preferiti Quelli che massmimizzano il suo payoff Se ci sono più venditori preferiti ne sceglie uno a caso Se u i (j) < 0 per ogni venditore allora i rinuncia all aquisto Il venditore della casa j ha un payoff di u j = p j Guadagna il suo payoff solo se la casa viene venduta 11

13 ALLOCAZIONI SOCIALMENTE OTTIMALI Vogliamo trovare un allocazione delle case alle persone che sia socialmente ottimale Massimizzi la somma dei payoff di tutti i partecipanti (sia acquirenti che venditori) Quanto vale un assegnazione? Il payoff dei clienti è dato dalla valutazione della casa acquistata meno il prezzo pagato Il payoff dei venditori è il prezzo a cui ha venduto la casa La somma di tutti i payoff è uguale alla somma delle valutazioni dei clienti che hanno comprato casa Un assegnamento ottimale massimizza la somma delle valutazioni dei clienti I prezzi non influiscono sul valore dell assegnamento ma devono rendere possibile tale assegnamento 12

14 GRAFO DEI VENDITORI PREFERITI Dati i prezzi degli oggetti ogni acquirente prenderà in considerazione solo le offerte dei suoi venditori preferiti Il grafo dei venditori preferiti contiene solo i link tra ogni acquirente ed i suoi venditori preferiti Tutti i link adiacenti ad un acquirente hanno lo stesso payoff Ogni perfect matching nel grafo dei venditori preferiti rappresenta un assegnamento socialmente ottimale 13

15 PREZZI MARKET CLEARING Un insieme di prezzi è market clearing se nel grafo dei venditori preferiti indotto esiste un perfect matching Idea: Se più acquirenti sono in competizione per la stessa casa il prezzo può servire per dissuadere quelli che hanno minori valutazioni e convincerli a fare altre scelte L assegnamento potrebbe richiedere un minimo d coordinamento tra gli acquirenti Ognuno dovrebbe fare un offerta per una casa diversa Ognuno farà comunque un offerta ad un venditore preferito e quindi massimizzerà il suo payoff 14

16 UN ESEMPIO Sellers Buyers Valuations a b c x y z 12, 4, 2 8, 7, 6 7, 5, 2 (a) Buyer Valuations Prices Sellers Buyers Valuations 2 a x 12, 4, 2 Prices Sellers Buyers Valuations a b c x y z 12, 4, 2 8, 7, 6 7, 5, 2 (b) Market-Clearing Prices Prices Sellers Buyers Valuations 3 a x 12, 4, 2 1 b y 8, 7, 6 1 b y 8, 7, 6 0 c z 7, 5, 2 0 c z 7, 5, 2 15 (c) Prices that Don t Clear the Market (d) Market-Clearing Prices (Tie-Breaking Required)

17 PROPRIETÀ DEI PREZZI MARKET CLEARING Nell esempio precedente siamo riusciti a trovare dei prezzi marlet clearing In generale cosa succede? ESISTENZA DEI PREZZI MARKET CLEARING Per ogni insieme di valutazioni degli acquirenti esiste un insieme di prezzi degli oggetti che sono market clearing OTTIMALITA DEI PREZZI MARKET CLEARING Per ogni insieme di prezzi market clearing ogni assegnamento associato ad un perfect matching del grafo dei venditori preferiti è socialmente ottimo 16

18 COME TROVARE PREZZI MARKET CLEARING? La procedura per trovare i prezzi market clearing utilizza un meccanismo di asta Diversa da quelle single-item studiate nella lezione precedente Descritta dagli economisti Demange, Gale e Sotomayor (1986) ma equivalente ad una costruzione ideata da Egervary (1916) Algoritmo: 1. Inizialmente tutti I prezzi sono 0 2. Ad ogni round I prezzi sono scalati in modo che il prezzo minimo sia 0 3. Ogni acquirente sceglie I suoi venditori preferiti 4. Se il grafo dei venditori preferiti non ha un perfect matching deve esistere un constricted set S 1. Insieme di acquirenti che sono interessati alle stesse case 5. I prezzi di tutti gli oggetti in N(S) vengono incrementati di 1 e si torna a (2) 6. Se esiste un perfect matching si restituiscono I prezzi market clearing 17

19 UN ESEMPIO Prices Sellers Buyers Valuations Prices Sellers Buyers Valuations 0 0 a b x y 12, 4, 2 8, 7, a b x y 12, 4, 2 8, 7, 6 0 c z 7, 5, 2 (a) Start of first round Prices Sellers Buyers Valuations 2 a x 12, 4, 2 0 c z 7, 5, 2 (b) Start of second round Prices Sellers Buyers Valuations 3 a x 12, 4, 2 0 b y 8, 7, 6 1 b y 8, 7, 6 0 c z 7, 5, 2 0 c z 7, 5, 2 18 (c) Start of third round (d) Start of fourth round

20 PERCHÈ LA PROCEDURA TERMINA? Usiamo la tecnica del potenziale Per ogni insieme di prezzi definiamo il potenziale del gioco come la somma dei potenziali dei giocatori Potenziale dell acquirente = massimo payoff dati i prezzi Potenziale del venditore = prezzo di vendita Il potenziale del gioco è sempre non-negativo Inizialmente I prezzi sono tutti 0 ed il potenziale del gioco è dato dalla somma dei massimi delle valutazioni degli acquirenti Ad ogni round alcuni prezzi vengono incrementati i payoff degli acquirenti interessati a quegli oggetti diminuiscono della stessa quantità Poiché il numero di prezzi incrementati è superiore a quello degli acquirenti interessati il potenziale del gioco diminuisce Poiché il potenziale è sempre non-negativo dopo un numero finito di iterazioni dobbiamo trovare un insieme di prezzi market clearing 19

21 RELAZIONE TRA PREZZI MARKET CLEARING ED ASTE Che relazione c è tra prezzi market clearing e le aste per singolo-item della lezione precedente? Possiamo rappresentare il problema dell asta come un problema di matching market Il grafo bipartito ha n acquirenti e n oggetti in vendita 1 reale e gli altri n-1 fittizi La valutazione di ogni acquirente per gli oggetti fittizi è 0 La procedura per la ricerca dei prezzi market clearing equivale ad un asta ascendente Il bene è aggiudicato all acquirente con ala valutazione più alta e paga la seconda valutazione più alta 20