STRUTTURA DELLE RETI SOCIALI GAME THEORY E RETI. Vincenzo Auletta Università di Salerno

Dimensione: px

Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "STRUTTURA DELLE RETI SOCIALI GAME THEORY E RETI. Vincenzo Auletta Università di Salerno"

Dorotea Pisano
6 anni fa
Visualizzazioni

1 STRUTTURA DELLE RETI SOCIALI GAME THEORY E RETI Vincenzo Auletta Università di Salerno

2 GAME THEORY E NETWORKS Fino ad ora abbiamo visto La struttura delle reti Game theory classica Evolutionary game theory Proviamo a combinare insieme le reti e la Game Theory Come si sceglie la strada da percorrere in funzione del traffico esistente? Come vengono istradati i pacchetti in una rete di comunicazione in funzione della congestione della rete? 1

3 IL PROBLEMA DEL TRAFFICO Perché il traffico dovrebbe essere descritto utilizzando il ragionamento strategico? Gli individui non scelgono la rotta da percorrere in isolamento Tengono conto delle decisioni degli altri individui e considerano il traffico sui vari percorsi Cosa scopriremo utilizzando la teoria dei giochi? In alcuni casi aggiungendo capacità ad una rete otteniamo un rallentamento complessivo del traffico In ogni caso il rallentamento non è mai drammatico 2

4 ROUTING NETWORKS Il traffico vuole fluire da una sorgente ad una destinazione In questo caso le persone vogliono andare da s a t s / 10 Gli archi hanno una latenza o ritardo Tempo impiegato a percorrere quei collegamenti 1 La latenza può dipendere dalla strada e dalla quantità di altri individui che stanno percorrendo la stessa strada (congestione o traffico) Latenza dell arco superiore dipende dal traffico Latenza dell arco inferiore fissa t 3

5 ROUTING GAMES Tutti gli autisti prendono delle decisioni autonome per scegliere la strada da percorrere I giocatori sono tantissimi ed ognuno vuole minimizzare la latenza del proprio percorso Ognuno di loro ragiona strategicamente cercando di prevedere che strada sceglieranno gli altri autisti 4

6 ROUTING GAMES Definizione di un Routing Game come gioco strategico N giocatori (n molto grande) Ogni giocatore ha come possibili strategie tutti I percorsi che lo portano dalla sua sorgente alla destinazione Il costo di un giocatore è dato dal suo tempo di percorrenza nella rete I routing games sono problemi di costo Ogni giocatore vuole minimizzare il suo tempo di percorrenza

7 ROUTING GAMES Come ragionano gli autisti se ci sono solo 10 auto sulla strada? / 10 s 1 Nella peggiore delle ipotesi il percorso superiore costa 1 e non è mai peggiore di quello inferiore t E se ce ne sono 100? Il percorso superiore conviene solo se lo utilizzano poche auto Proviamo a chiederci Come è fatto il traffico nell Equilibrio Nash? 6

8 UN ALTRO ESEMPIO Due percorsi alternativi per andare da A a B Le latenze sono segnate sugli archi Supponiamo che auto devono andare da A a B Quale sarà il tempo medio di viaggio? 7

9 UN ALTRO ESEMPIO Se tutti prendono il percorso superiore Ogni auto impiega 8 per giungere a destinazione Se tutti prendono il percorso inferiore Ogni auto impiega 8 per giungere a destinazione Se si dividono in parti uguali Ognuno impiegherà 6 Nessun autista è incentivato a cambiare (Equilibrio Nash) Esistono altri Equilibri Nash? 8

10 CARATTERIZZAZIONE DI SOLUZIONI IN EQUILIBRIO NASH Una soluzione è in Equilibrio Nash se e solo se i tempi di attraversamento di tutti i percorsi sorgente-destinazione utilizzati sono uguali Se esistesse un percorso con tempo di attraversamento inferiore ci sarebbe almeno un autista incentivato a cambiare percorso Nell esempio della slide precedente esiste un solo Equilibrio Nash 9

11 PARADOSSO DI BRAESS (1968) Aggiungiamo una nuova velocissima autostrada alla rete Cosa succederà alla rete? È ragionevole supporre che i tempi di percorrenza diminuiranno In realtà... ognuno sceglie il nuovo percorso A-C-D-B e tutti pagheranno 80 L aggiunta di una nuova strada ha peggiorato i tempi di percorrenza di tutti gli autisti!!! 10

12 CONSIDERAZIONI SUL PARADOSSO DI BRAESS Ci sono molte situazioni in cui l aggiunta di nuove alternative provoca una perdita di utilità per tutti i giocatori Nel Dilemma del Prigioniero se tutti i giocatori avessero come unica alternativa di non confessare otterrebbero tutti un beneficio E possibile ridurre o eliminare l effetto del paradosso di Braess disincentivando l utilizzo del link che fa da attrattore Per esempio inserendo dei pedaggi La scoperta del paradosso di Braess ha dato il via a numerose ricerche ad esso collegate Di quanto può può aumentare il tempo di percorrenza in un Equilibrio Nash dopo l inserimento di un nuovo link in una rete arbitraria? Roughgarden e Tardos hanno dimostrato che, se le latenze sono lineari, i tempi di percorrenza possono al massimo aumentare di 4/3. 11

13 PROBLEMI LEGATI AL PARADOSSO DI BRAESS Come si possono costruire reti in cui non si possono verificare equilibri inefficienti? Come devono essere definiti i pedaggi per evitare che si verifichino equilibri inefficienti? Chi è interessato può far riferimento alla tesi di PhD di Tim Roughgarden su modelli di teoria dei giochi per descrivere il traffico di una rete 12

14 COSTO SOCIALE DI UN PATTERN DI TRAFFICO Il paradosso di Braess è un aspetto di un fenomeno più generale Un pattern di traffico è una configurazione di traffico prodotta quando ogni giocatore ha scelto un percorso per andare dalla sua sorgente alla sua destinazione Sorgenti e destinazioni possono differire tra I giocatori Il costo sociale di un pattern di traffico è dato dalla somma dei tempi di percorrenza di tutti i giocatori Il costo sociale di un traffico in equilibrio può essere non ottimale Di quanto il costo sociale di un pattern di traffico in equilibrio può essere peggiore di quello di un traffico definito centralmente da un autorità unica? 13

15 MISURE DI QUALITÀ DELLE SOLUZIONI IN EQUILIBRIO Per descrivere in maniera la qualità delle soluzioni in equilibrio per un dato gioco sono state introdotte due quantità PoA (Price of Anarchy) ma {tutte le soluzioni in equilibrio A} cost(a)/cost(opt) PoS (Price of Stability) min {tutte le soluzioni in equilibrio A} cost(a)/cost(opt) Il PoA misura la massima perdita di efficienza che può essere indotta dalla mancanza di un coordinamento centrale Se PoA è piccolo non è importante avere un autorità centrale Se PoA è grande è opportuo intervenire nel gioco per evitare gli equilibri più cattivi Il PoS misura la perdita di efficienza che dobbiamo mettere in conto per la mancanza di un coordinamento Se PoS è piccolo esistono soluzioni in equilibrio efficienti che, se proposte ai giocatori, sono ritenute accettabili 14

16 UN ESEMPIO A C 0 D Social cost = 28 Pattern socialmente ottimo B A C 0 D Social cost = 32 Pattern in Equilibrio Nash B Per una rete generica Esiste sempre un pattern di traffico in Equilibrio Nash? Come troviamo i pattern di traffico in Equilibrio Nash? Qual è il PoA per questio gioco? 1

17 BEST-RESPONSE DYNAMICS E EQUILIBRI NASH Una best-response dynamics è una procedura che parte da una soluzione arbitraria e Finché esiste un giocatore che ha un alternativa migliore di quella giocata nella soluzione corrente Cambia la strategia giocata da scegliendo la migliore alternativa possibile (date le scelte degli altri giocatori) Quando la best-response dynamics termina la soluzione trovata è un Equilibrio Nash Se riusciamo a dimostrare che la best-response dynamics termina sempre abbiamo provato che il problema ha un Equilibrio Nash puro Abbiamo fornito un algoritmo che permette di trovarne uno 16

18 METODO DEL POTENZIALE Un metodo per provare che best-response dynamics convergono è trovare una funzione Φ definita su tutte le soluzioni del problema tale che Ogni volta che un giocatore cambia la sua strategia migliorando il suo payoff il valore di Φ diminuisce Poiché la funzione Φ può assumere solo un numero finito di valori e non può mai assumere due volte lo stesso valore dopo un numero finito di passi deve necessariamente terminare Una funzione Φ è una funzione potenziale tale che per ogni soluzione e per ogni giocatore i Φ( i, -i ) - Φ( i, -i ) = u i ( i, -i ) - u i ( i, -i ) Ogni volta che un giocatore fa una mossa che incrementa il suo payoff fa diminuire il valore del potenziale 17

19 FUNZIONE POTENZIALE PER IL ROUTING GAME Il costo sociale di un pattern di traffico non è una funzione potenziale Un giocatore può diminuire il suo tempo di attraversamento a spese degli altri (vedi par. Braess) Funzione potenziale Φ() = Σ e Φ e () Φ e () = t e (1)+t e (2)+ t e ( e ) dove t e () è la funzione latenza dell arco e e è il numero di percorsi che in attraversano l arco e La funzione potenziale non ha nessun significato particolare e serve solo a misurare il progrsso della best-response dynamics 18

20 UN ESEMPIO energy = 1+2 energy = + C 0 A B D energy = + energy = 1+2 (a) The initial tra c pattern. (Potential energy is 26.) energy = 1+2 energy = C A 0 D energy = + energy = (b) After one step of best-response dynamics. (Potential energy is 24.) B energy = 1+2 C energy = 0 0 A B D energy = + energy = (c) After two steps. (Potential energy is 23.) energy = C energy = 0 0 A B D energy = energy = (d) After three steps. (Potential energy is 21.) 19

21 BOUND SUL POA Φ e () = t e (1)+t e (2)+ t e ( e ) Tempo complessivo di attraversamento dell arco e è Total-travel-time(e) = e t e ( e ) ½ Total-travel-time(e) Φ e () Total-travel-time(e) Sommando su tutti gli archi abbiamo ½ social-cost() Φ() social-cost() social-cost( ) 2Φ( ) 2Φ() 2 social-cost() Quindi PoA 2 20

Documenti analoghi

1 Inefficienza degli equilibri

1 Inefficienza degli equilibri Strumenti della Teoria dei Giochi per l Informatica A.A. 2009/10 Lecture 8: 9 Aprile 2010 Inefficienza degli equilibri Docente Prof. Vincenzo Auletta Note redatte da: Carmine Giordano Abstract In questa