Blow Down CALCOLO ADIABATICO PERDITE DI CARICO IN FASE GASSOSA 1- Premessa sul dimensionamento di una tubazione per un flusso di gas Nel loro libro :

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1 Blow Down CALCOLO ADIABATICO PERDITE DI CARICO IN FASE GASSOSA 1- Premessa sul dimensionamento di una tubazione per un flusso di gas Nel loro libro : CHEMICAL PROCESS PRINCIPLES Part II: THERMODYNAMICS Hougen e Watson affermano che in generale il flusso del gas in un tubo risente oltre che dalle perdite per attrito anche dallo scambio di calore con l esterno, perciò il moto non è né adiabatico né isotermo. Ma in molti casi lo scambio di calore con l esterno, specialmente quando il tubo è coibentato, è trascurabile rispetto alla resistenza per attrito e al carico cinetico del flusso, pertanto il metodo adiabatico si avvicina di più alla realtà. Ai nostri fini è necessario individuare un metodo preciso che ci consenta un dimensionamento cautelativo della tubazione, ma anche un calcolo short cut, che consenta una esecuzione più rapida. Per questo nei successivi paragrafi abbiamo illustrato il metodo di calcolo adiabatico e un metodo short cut al fine di precisare quale errore si possa commettere usando quest ultimo rispetto all adiabatico. 2- Teoria del dimensionamento per un flusso adiabatico Il flusso di gas, che segue la legge adiabatica (cioè senza scambio di calore con l esterno) secondo Hougen Watson è regolato dalla seguente equazione : 4fL/D = (1/2k)*((2+(k-1)*Ma 1^2)/Ma 1^2)*(1- (ρ 2 /ρ 1 )^2) + ((k+1)/k)*ln((ρ 2 /ρ 1 )^2) (1) L equazione fornisce le condizioni operative del flusso tra due punti del condotto: il punto 1 a monte e il punto 2 a valle. In particolare essa dà la relazione fra le densità ρ 1 e ρ 2 e quindi la relazione fra i valori di temperatura di pressione e il numero di Mach nei due punti del condotto in base al fattore di attrito, alle grandezze geometriche del collettore e alle proprietà del gas (fattore k = C p /C v, peso molecolare). Quindi noti o fissati tentativamente o calcolati per altra via i valori di tre delle quattro grandezze: pressioni e temperatura nei due punti P 1, P 2, T 1, T 2 si può trovare il quarto L equazione è un uguaglianza tra due termini adimensionali, quindi può essere usata con le unità di qualsiasi sistema, purché ogni grandezza sia espressa nella stessa unità ( ad esempio se L è espresso in metri anche D deve essere in metri). La numerazione dei punti 1 e 2 è generica, perché è riferibile ai due punti estremi di un qualsiasi tratto di tubazione. Se ad esempio prendiamo in esame un tratto di tubazione, il punto 1 è quello d inizio, il punto 2 è quello finale. I simboli riportati nell equazione sono: f = fattore d attrito di Fanning k = coefficiente adiabatico = C p /C v M = peso molecolare del gas D= Diametro collettore L= lunghezza equivalente del tratto di collettore considerato. Ma 1 = numero di Mach nel punto a monte del tratto di collettore ( rapporto tra la velocità del gas e la velocità del suono nel punto del condotto preso in considerazione). ρ 1 = densità del gas nel punto a monte ρ 2 = densità nel punto a valle T 1 e P 1 = temperature e pressione assolute all inizio del tratto generico considerato T 2 e P 2 = temperature e pressione assolute alla fine del tratto generico considerato Ci sono poi le seguenti equazioni complementari usate per trovare le temperature assolute nei due punti:

2 T 2 /T 1 = 1+ ((k-1)/2)*ma 1^2)*(1-(ρ 1 /ρ 2 )^2) (2) Questa equazione rappresenta il rapporto tra le temperature assolute a valle e a monte per un flusso adiabatico gassoso in un condotto. Si usa insieme alla (1) per determinare la temperatura nel punto 2. T s /T 1s = (P s /P 1s )^((k-1)/k) (3) Questa equazione rappresenta il rapporto tra le temperature assolute nel passaggio di un gas attraverso un ugello in espansione adiabatica. Essendo: T s = temperatura a monte dell ugello T 1s = temperatura a valle dell ugello P s = pressione a monte dell ugello P 1s = pressione a valle dell ugello U so = radq(krzt/m) equazione della velocità del suono. Dove R è la costante dei gas = 8314 joule/kmoli K. T è espressa in K, k =C p /C v, M è il peso molecolare del gas, U so è la velocità sonica in m/sec. La (2) viene usata per trovare il rapporto T 2 /T 1 tra le temperature assolute nel punto 2 e nel punto 1 e la (3) per trovare il rapporto T s /T 1s ; T s e P s sono di solito conosciute. Se l ugello viene identificato con una valvola di sicurezza, il diametro della tubazione si trova di solito partendo dalla pressione P d nel recipiente di blow down a valle che è conosciuta, poi risalendo a monte del tratto in modo da trovare la pressione P 1s. cioè la contropressione della valvola. Il procedimento avviene per tentativi fissando prima un valore della P 1s, calcolando poi ρ 1 e ρ 2 e verificando che questi valori di densità siano congruenti coi valori di pressione e di temperatura nei due punti. Invece nel caso di una tubazione che collega due recipienti a pressioni differenti si calcola il diametro in base alla portata che si ha e al numero di Mach a bassa pressione, il quale deve essere al più 0, Un metodo short cut Per determinare le perdite di carico di una tubazione esiste un metodo short cut, il quale utilizza espressioni molto più semplici. Infatti parte dall equazione di Fanning, valida per trovare le perdite di carico per un flusso liquido. Tale equazione è: P = 4fL/D*(U^2/2g)*γ/10200 (4) NB:il P è dato in bar Tutte le grandezze sono espresse in unità metriche. E γ è il peso specifico del fluido in kg/m 3, che nel caso dei gas dipende sia dalla pressione che dalla temperatura. Allora è evidente che la (4) può essere applicata solo per tratti brevi, quando la variazione della temperatura e della pressione è molto piccola; quindi per utilizzarla occorre procedere alla perdita di carico per brevi tratti, cosa che può essere laboriosa. Si può ovviare a questo introducendo un metodo short cut, che utilizza la media logaritmica della pressione e della temperatura. Il procedimento si attua per tentativi analogamente a quanto applicato per il calcolo adiabatico, precedentemente descritto nel caso sai necessario calcolare la contropressione di una PSV. Cioè: T 1 è dato, P 1 viene fissato per tentativi. P 2 è noto, T 2 viene calcolato adoperando la solita espressione: T 2 /T 1 = (P 2 /P 1 )^((k-1)/k), cosa possibile essendo P 1 fissato per tentativi.

3 Di seguito viene determinata la pressione media logaritmica P m con l espressione: P/ln(P 1 /P 2 ) e poi la media logaritmica della temperatura T m con un analoga espressione: T/ln(T 1 /T 2 ). Il peso specifico medio γ m in kg/m 3 viene dato dall espressione: γ m = (PM/22,414)*(273/T m )*(P m /1,013) (5) essendo PM il peso molecolare e 1,013 la pressione atmosferica in barabs Calcolato poi il P con la (4), lo si addiziona alla P 2 per avere il nuovo P 1, se questo è molto vicino al P 1 fissato, il calcolo è finito, altrimenti si reimposta il calcolo, partendo da un nuovo P 1.Si procede così fino a quando il valore calcolato è molto vicino al prefissato. 4.0 Esempi di calcolo 4.1 Determinazione della contropressione di una valvola di sicurezza In un impianto le valvole di sicurezza scaricano in un collettore generale (una tubazione) che raccoglie gli scarichi di emergenza e che va dimensionato in modo che la portata prevista dal calcolo delle varie emergenze possa fluire nella tubazione senza generare eccessive contropressioni a monte e scorrere con velocità del gas accettabili per evitare erosioni del metallo e rumorosità eccessiva. In questo calcolo presentiamo il dimensionamento di un collettore nel caso che non si disponga di un simulatore adatto con un programma inserito ad hoc e si debba quindi procedere con un calcolo manuale anche supportato da un semplice foglio elettronico (come Excel).. Lo sketch indicato in figura 1 rappresenta una tubazione che raccoglie gli scarichi di n valvole di sicurezza, Le valvole sono numerate in crescendo partendo da quella con scarico più vicino al separatore gas-liquido D101. Il flusso dal collettore attraversa il separatore, avente la funzione di separare il liquido prodotto nel collettore per trascinamenti o per eventuali condensazioni. In tal modo si evita che il liquido eventualmente presente raggiunga al torcia creando la cosiddetta pioggia di fuoco. Via via che si accumula il liquido il livello cresce e allora scatta un allarme e si apre automaticamente la valvola sulla linea a slop azionata da un LSH, in tal modo il recipiente viene svuotato; a questo punto interviene un LSL che chiude la valvola a slop. Allo scopo di illustrare il procedimento di calcolo con esempi numerici prendiamo in esame un caso semplice: la valvola critica, cioè quella con il minimo rapporto tra pressione di scatto e contropressione (almeno 2 in unità relative per evitare l installazione di una valvola pilotata) sia la PSV-1, il cui stacco sbocca proprio nel punto 1 del collettore più vicino al recipiente BD. Per dimensionare il collettore bisogna rifarsi a una emergenza generale durante la quale tutte le PSV scaricano contemporaneamente ad esempio incendio o mancanza di E.E. che sono i due classici casi di dimensionamento di un collettore di B.D. Ovviamente l assunzione della valvola PSV-1 come quella più critica dovrà essere supportata dalla verifica che tutte le valvole a monte abbiano il rapporto pressione di scatto/contropressione maggiore di quello della PSV-1. Si deve procedere tratto per tratto fino ad arrivare nel punto immediatamente a valle delle PSV per verificare che lì la pressione sia inferiore al 50% della P s nel caso di valvole bilanciate solitamente adoperate in un sistema chiuso di B.D. I tratti da percorrere sono tutti quelli del collettore compresi tra il recipiente di blow down e lo sbocco dello stacco della valvola sul collettore stesso più lo stacco stesso. Di ogni tratto sarà conosciuta la portata e la temperatura del flusso, che potranno essere diverse da un tratto all altro, inoltre saranno conosciute tutte le lunghezze equivalenti. Ad esempio riferendoci alla Fig.1, i tratti distinguibili per arrivare dal recipiente di blow down alla valvola ennesima PSV-n sono: il tratto dal recipiente BD al punto 1 del collettore, il tratto dal punto 1 al

4 punto 2 e così via fino ad arrivare all ultimo tratto da (n-1) a (n), infine vi è lo stacco della valvola dal punto (n) fino alla flangia di uscita della PSV-n. Nel caso in cui le valvole di sicurezza scarichino in sub collettori prima del collettore principale si intende che i vari punti del collettore 1,2 n rappresentano i punti sbocco dei vari sub collettori e per essi va effettuato un calcolo ad hoc sempre con i metodi sopra enunciati. Il dimensionamento del collettore si fa per tentativi, fissando il diametro del collettore, essendo note le lunghezze equivalenti, la temperatura, la pressione e tutte le grandezze chimico-fisiche degli scarichi. Si comincia a cercare il diametro limite, cioè quello che determina la velocità del suono allo sbocco ( con Ma 2 =1) nel recipiente BD, in tal caso la P 2 coincide con la P d ; per diametri inferiori avremo a monte dello sbocco una pressione maggiore della P d e quindi tutto il collettore sarà in pressione e lo scarico allo sbocco violento con velocità uguale a quella del suono, situazione non certo accettabile perché il collettore inoltre non riesce a scaricare tutta la portata desiderata; quindi si deve proseguire il calcolo aumentando progressivamente il diametro finché si trova un Ma 2 < 0,50, che è la velocità massima che conviene adottare nei collettori di B.D. Il calcolo qui spiegato risulta molto laborioso se le valvole sono molte, per cui è preferibile disporre di un elaboratore elettronico munito di un apposito programma reti di B.D Esecuzione del calcolo col metodo adiabatico L obiettivo del calcolo è trovare il diametro del tratto di collettore, supponendo conosciuto il diametro dello stacco valvola posto uguale a quello della flangia di uscita aumentato di un size. Per semplificare il calcolo si trascura la perdita di carico nel subcollettore della PSV-1, essendo esso corto e di diametro superiore di un size al bocchello di uscita della PSV-1; si assume in tal modo che la contropressione della valvola sia quella del collettore nel punto 1. Siano disponibili i seguenti dati per la PSV-1: T s = temperatura allo scatto della valvola di sicurezza =250 C= 523 K T 1s = temperatura a valle della valvola calcolata con l equazione (3) del par.2 T 2s = temperatura allo sbocco del subcollettore di scarico = T 1s valvola nel collettore BD. T 1 = temperatura all inizio del tratto finale nel collettore BD, si pone = T 1s P s = pressione allo scatto della valvola di sicurezza = 5 barg o 6 barabs (normalmente relativa ma assoluta in alcune relazioni seguenti). Si devono calcolare le seguenti grandezze: P 1s = pressione assoluta a valle della valvola di sicurezza( è detta anche contropressione e in questo caso è espressa in valori relativi). P 2s = la pressione assoluta allo sbocco del subcollettore della valvola si pone = P 1s P 2 = pressione assoluta allo sbocco del collettore BD nel recipiente BD T 2 = temperatura assoluta allo sbocco nel recipiente BD. La portata di scarico della PSV-1 sia Kg/h Sia inoltre data la portata complessiva di scarico contemporaneo delle valvole a valle del punto Calcoliamo con la (3) del par. 2 la temperatura alla flangia di uscita della valvola, cioè la T 1s nel tratto dello stacco. Dobbiamo assumere come primo tentativo il valore di P 1s =2,5 bar abs Si trova T 1s = 409 K = 136 C. Inoltre sia nota la portata di scarico delle altre PSV pari a kg/h con una T=210 C Pertanto nel punto 1 del collettore si avrà, mediando, uno scarico con le seguenti caratteristiche: Fluido: Azoto Portata = kg/h Peso molecolare =28 Kg/Kmole

5 k= 1,39; Z=1 nota (a) T= 473 K = 197 C (considerando che a monte del punto 1 il flusso sia adiabatico) Calore specifico = 0,6 kcal/kg C Pressione nel recipiente BD P d = 0,3 barg. Nota (a) - Assumendo Z=1 si assume che il gas sia ideale come detto nella premessa; diversamente occorrerà introdurre un valore correttivo nel calcolo delle densità. Se ci riferiamo all ultimo tratto del collettore compreso tra il punto 1 e il recipiente di Blow down, il calcolo della P 1 si può fare per tentativi, assumendo il fattore di attrito f=0,003. Assumendo una P 1 di tentativo, con la T 1 =197 C, è possibile calcolare l Ma 1, e anche ρ 1. In seguito si adopera la (1) del par.2 per determinare il rapporto ρ 1 /ρ 2 e quindi ρ 2 e Ma 2. Il calcolo è stato effettuato adoperando il foglio elettronico e dà il seguente risultato: -il diametro limite per cui si ha l Ma 2 = 1 è 14,5 inches -il diametro ottimale che dà l Ma 2 =0,47 è 22 inches -la P 1 è 1,15 barg -la T 2 è 187 C -velocità allo sbocco nel recipiente BD = 178 m/sec -la velocità sonica allo sbocco del BD è U so = 436 m/sec -numero di Mach Ma 2 = 0,41 Avendo posto P 1s = P 1 = 1,15 barg si ha : P 1s = 1,15 barg, tale valore della contropressione della valvola, quindi è accettabile poiché la contropressione massima è 2,5 barg. Essendo P 1s = 2,15 barbs in realtà la T 1s è uguale a 120 C non a 136 C come prima assunto; poiché lo scarico della PSV-1 è piccolo rispetto a quello delle altre valvole possiamo accettare l approssimazione nell avere assunto come tentativi T 1s = 136 C. Con l ausilio del foglio elettronico i calcoli arrivano rapidamente a convergenza. Naturalmente il procedimento può essere esteso a tutta la rete di blow down, assumendo come nota la pressione al termine di ogni tratto Esecuzione del calcolo col metodo short cut I risultati del metodo short cut trovati sono: P = 0,865 bar; P 1 = 1,167 barg. La T 1 viene assunta uguale a 197 C, come nel calcolo adiabatico, ma la T 2 viene calcolata mediante l espressione (3) e non con la (2), come vuole il testo Hougen-Watson. Perciò la T 2 calcolata è 134 C Tabella riassuntiva dei risultati e conclusione Nella seguente tabella sono riportati i risultati effettuati nei precedenti paragrafi coi due metodi considerati. Metodi adiabatico Short cut P perdita carico collettore 0,85 bar 0,865 bar P 1s press a monte collettore 1,15 barg 1,167 barg T 1 temp. a monte collettore 197 C 197 C T 2 temp. a valle collettore 187 C 134 C Ma 2 nr di Mach al punto 2 0,41 0,36

6 Dai dati su riportati risulta che: - Il valore di P 1 è più alto dell 1,5 % circa nel metodo short cut; - Le perdite di carico P sono più alte nel metodo schort cut del 2%. Lo scostamento maggiore nei due metodi riguarda la temperatura T 2, per le ragioni sopraddette e quindi il nr di Mach allo sbocco del collettore, inferiore nel calcolo short cut. Questo fatto potrebbe comportare un grande errore nella determinazione del diametro limite, necessario per evitare di raggiungere la velocità del suono a monte dello sbocco. 4.2 Determinazione della portata in una tubazione che collega due recipienti a pressione controllata. Siano dati due recipienti D 1 e D 2 entrambi a pressione controllata, il primo a 40 barabs e il secondo a 31 barabs. Sono uniti da una tubazione di 6 con una lunghezza equivalente di 300 metri. Si vuole conoscere la portata in kg/h che si ha nella tubazione quando i due recipienti restano alle pressioni suddette e la portata massima quando il secondo recipiente viene sfiatato a blowdown e la sua pressione scende a 2 barabs. Le caratteristiche del fluido sono quelle dell esempio di calcolo precedente. Nel primo caso si ottengono i valori dati nella seguente tabella. CONFRONTO RISULTATI METODI ADIABATICO e SHORT CUT: P DATO Valori delle grandezze Metodo adiabatico Metodo Short cut P 1 pressione a monte barabs P assegnato bar T 1 temperatura a monte C T 2 temperatura a valle C Portata trovata in kg/h Mach2 0,16 0,17 Nota: La divergenza dei due metodi si rileva nei valori della portata e della temperatura T2; tali divergenze si traducono in un errore di cica l 8% per la portata e dell 11% per la temperatura a valle.passando alla seconda parte del calcolo, occorre rilevare che è stato condotto imponendo che a valle il nr di Mach sia uguale a 1, ciò significa imporre la velocità del suono in quel punto. Inoltre si trova che tale velocità non si trova allo sbocco del secondo recipiente, dove la pressione è 2 barabs, ma in un punto della tubazione dove la pressione è maggiore ( vedi tabella seguente). E evidente che tale punto non può essere che all imbocco del 2 recipiente. CONFRONTO RISULTATI METODI ADIABATICO e SHORT CUT: MACH 2 = 1 Valori delle grandezze Metodo adiabatico Metodo Short cut P 1 pressione a monte barabs P 2 all imbocco 2 rec. barabs 7, P trovato bar 32,83 33,96 T 1 temperatura a monte C T 2 temperatura a valle C Portata trovata in kg/h Mach2 1,00 1,00 Nota: La divergenza dei due metodi si rileva nei valori della portata, della pressione P 2 e della temperatura T 2 ; tali divergenze si traducono in un errore di circa il 3,7% per la portata, dell 15,7% per la pressione a valle e del 14,6% per la temperatura a valle.

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