ANALISI MATEMATICA II, Corso di laurea triennale in Matematica SINTESI DELLE LEZIONI aa 2012/13, canale I-Z. Bibliograa:

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1 ANALISI MATEMATICA II, Corso di laurea triennale in Matematica SINTESI DELLE LEZIONI aa 2012/13, canale I-Z Bibliograa: PaS1 : Pagani D., Salsa S.: Analisi Matematica, vol.1, Ed. Masson, PaS2 : Pagani D., Salsa S.: Analisi Matematica, vol.2, Ed. Masson, MS1: Marcellini P., Sbordone C.: Analisi Matematica uno, Ed. Liguori, MFS: Marcellini P., Fusco N., Sbordone C.: Analisi Matematica due, Ed. Liguori, Lezioni del 1/10/2012: Funzioni reali di due variabili reali (f : D R 2 R): si sono deniti graco e curve di livello e per alcuni esempi si sono determinati l'insieme di denizione, le curve di livello e si è accennato un graco (vedi MS1). Avendo trattato funzioni reali di due variabili il graco è un sottinsieme di R 3. Si sono inoltre denite le funzioni lineari e le funzioni ani (somma di una funzione lineare con una costante) e si è osservato che il loro graco risulta essere un piano, quindi un sottospazio vettoriale di dimensione 2 se la funzione è lineare, un suo traslato se è ane (per funzioni lineari, quindi, se un vettore giace sul piano, ogni suo multiplo giace su di esso e somme di vettori sul piano appartengono al piano). Lezioni del 3/10/2012: Denizione di limite per funzioni reali di due variabili reali, f : D R 2 R, o piú in generale per f : D R n R m per x x 0, se x 0 è punto di accumulazione di D. Denizione di funzione continua e formulazioni equivalenti (limite che coincide con il valore nel punto se il punto è di accumulazione e con limiti di successioni). Proprietà dei limiti (valgono i risutati già visti per funzioni di una variabile). Continuità di polinomi, di funzioni razionali quando il polinomio a denominatore non è nullo, di funzioni composte di funzioni continue. Come determiare se funzioni di piú variabili hanno limite, nel caso di forme indeterminate. Esempio per il quale si è potuto individuare un possibile limite e si è dimostrato che la denizione di limite è soddisfatta ed esempio di funzione per la quale il limite non esiste. Lezioni del 4/10/2012: Estensione dei Teoremi di Weierstrass, dell'uniforme continuità (Heine Cantor) e dell'esistenza dei valori intermedi nel caso di funzioni reali di due variabili reali (quest'ultimo con dimostrazione). Per questo scopo si sono utilizzati le denizioni di segmento, di poligonale, di insieme compatto e di aperto connesso per poligonali. Esempio di una funzione che in un punto non ha limite, sebbene lungo tutte le rette passanti per quel punto tenda allo stesso valore: ha curve di livello che sono parabole e si intersecano in quel punto. Lezioni dell'8/10/2012: Le funzioni lineari da R 2 (o da R N ) in R. Derivate parziali e derivate direzionali di funzioni di due o piú variabili. Per funzioni di una variabile la derivabilità implica la continuità e l'esistenza di una retta tangente, in particolare l'esistenza di una funzione lineare dell'incremento che approssima l'incremento della funzione a meno di innitesimi di ordine superiore al modulo dell'incremento stesso. Una funzione di due o piú variabili si denisce dierenziabile in un punto del suo dominio se il suo incremento f( x) f( x 0 ) è approssimato

2 da una funzione lineare a meno di innitesimi di ordine superiore alla distanza x x 0 (norma euclidea). Si è dimostrato che la dierenziabilità in un punto implica la continuità della funzione e l'esistenza delle derivate parziali in quel punto. Tuttavia, per funzioni di due o piú variabili, la sola derivabilità, cioé esistenza delle derivate parziali, non implica la continuitaà (invece per funzioni di una variabile derivabilità e dierenziabilità coincidono). Formula per il calcolo delle derivate direzionali per funzioni dierenziabili. Lezioni del 10/10/2012: Motivazione della scelta di aperti come domini in cui denire la derivabilità o dierenziabilità di una funzione. Discussione della derivabilità e dierenziabilità di una funzione presa come esempio. Enunciato del teorema del dierenziale. Determinazione del piano tangente al graco di una funzione in un punto. Proiezione di alcuni graci 3 dimensionali di funzioni di due variabili dierenziabili o con un punto di discontinuità o di non-dierenziabilità. Lezioni dell'11/10/2012: Dimostrazione del teorema del dierenziale. Esempio di funzione che, pur avendo entrambe le derivate parziali discontinue in un punto, è dierenziabile in quel punto. Derivate parziali seconde: alcuni esempi, osservazione dell'indipendenza delle derivate dall'ordine di derivazione per alcune funzioni regolari. Teorema di Schwarz per lo scambio dell'ordine di derivazione delle derivate parziali seconde e contresempio per una funzione con derivate parziali seconde non continue in un punto. Lezioni del 15/10/2012: Dimostrazione del Teorema di Schwarz per lo scambio dell'ordine di derivazione delle derivate parziali seconde. Dimostrazione della formula di derivazione delle funzioni composte (nel caso di una funzione di variabile reale a valori vettoriali, in R N, derivabile, composta con una funzione di N variabili dierenziabile). Funzioni omogenee e teorema di Eulero con dimostrazione. Lezioni del 17/10/2012: Formula di Lagrange per funzioni di piú variabili. Sua utilizzazione per dimostrare la costanza di funzioni a gradiente nullo su aperti connessi. Formula di Taylor con resto in forma di Lagrange con dimostrazione. Esempi. Lezioni del 18/10/2012: Formula di Taylor con resto di Peano per funzioni di piú variabili. Esempi. Denizione di funzione convessa su un aperto convesso e relative proprietà (senza dimostrazioni). Inoltre Teorema 1. Sia f : A R N R dierenziabile in A aperto convesso. Allora f è (debolmente) convessa in A (ST) x, y A si ha f( y) f( x) + f( x), ( y x). Teorema 2. Sia f : A R N R dierenziabile due volte in A aperto convesso. Allora f è (debolmente) convessa in A x A la matrice Hessiana H f ( x) è semidenita positiva. Teorema 3. Sia f : A R N R dierenziabile due volte in A aperto convesso. Allora se x A la matrice Hessiana H f ( x) è denita positiva f è strettamente convessa in A. Non si sono dimostrati tutti i teoremi precedenti, ma si è utilizzata la formula di Taylor con resto in forma di Lagrange (del secondo ordine) per dimostrare il Teorema 3 e l'implicazione del Teorema 2, mostrando che vale la condizione (ST) equivalente alla convessità e che indica che in tutto A il graco della funzione è al di sopra del piano tangente in un suo qualunque punto. Lezioni del 22/10/2012: Denizione di punto di massimo (o minimo) relativo (proprio), quindi di estremo locale, e di punto critico o stazionario (cioé a gradiente nullo) e relazioni tra questi.

3 Condizione necessaria perché un punto sia di estremo locale se f è dierenziabile una volta e poi se è dierenziabile due volte nel punto di estremo relativo (con dimostrazione che deriva dagli analoghi risultati per funzioni di una variabile). Denizione di matrice denita positiva, semidenita positiva, denita negativa, semidenita negativa. Riconoscimento di una matrice denita o semidenita positiva nel caso di matrici quadrate di ordine N = 2. Lezioni del 24/10/2012: Denizione di matrice denita positiva, semidenita positiva, denita negativa, semidenita negativa, indenita e proprietà equivalenti sul segno degli autovalori e sul segno dei determinanti dei minori principali (cioé di quelli ottenuti scegliendo righe e colonne con gli stessi indici), in particolare di tutti i minori principali per la semidenitezza, dei soli minori principali di NORD OVEST (cioé quelli ottenuti scegliendo le PRIME k righe e le PRIME k colonne, per k = 1,..., N) per ottenere matrici denite in segno. Condizioni sucienti perché una funzione dierenziabile due volte abbia in un punto stazionario un massimo o minimo proprio. Esempio: studiare il carattere (si tratta di massimi o minimi realtivi o punti di sella?) di tutti i punti stazionari della funzione f(x, y) = y 4 yx 2 + x 4 in R 2 e determinare se esistono massimo e/o minimo assoluti. Lezioni del 25/10/2012: Forme quadratiche e loro proprietà, con la dimostrazione analitica che una forma quadratica è limitata dal basso [dall'alto] dal prodotto del minimo [rispettivamente massimo] autovalore per il quadrato della norma del vettore su cui si calcola la forma stessa ([MFS] cap.3, Ÿ40, Teorema 2, facoltativa la dimostrazione che le costanti che intervengono nella diseguaglianza sono proprio gli autovalori minimo e massimo). Studio dei massimi e minimi relativi di funzioni di due e di tre variabili. Analisi di qualche caso in cui la matrice Hessiana è semidenita ma è comunque possibile capire se si tratta di un estremo relativo o di una sella. Lezioni del 29/10/2012: Esempi di equazioni F (x, y) = 0 che deniscono implicitamente una funzione y = f(x) o x = h(y), quindi le cui soluzioni sono il graco di una o piú funzioni del tipo suddetto o di entrambi i tipi. Teorema del Dini(o delle funzioni implicite): enunciato e dimostrazione. Lezioni del 31/10/2012: Esempi in cui si applica il Teorema del Dini, casi in cui il teorema, sebbene dia un risultato locale, ci permette comunque di dedurre un risultato globale. Sviluppo di Taylor della funzione denita implicitamente da un'equazione. Esempi in cui non si applica il Teorema del Dini e perché. Esempio di un sistema di equazioni che denisce implicitamente una funzione vettoriale e discussione delle condizioni che assicurano ciò. Matrice Jacobiana. Lezioni del 5/11/2012: Teorema delle Contrazioni (o di Banach Caccioppoli): enunciato e dimostrazione. Teorema del Dini generale (per un sistema di m equazioni in n + m incognite): esempi, enunciato e dimostrazione (si dimostra l'esistenza e unicità della funzione denita implicitamente dal sistema in un intorno di un punto in cui il sistema è vericato; la continuità e dierenziabilità non sono state dimostrate)[mfs, cap. 11, pp ]. Lezioni del 7/11/2012: Utilizzazione del Teorema delle funzioni implicite (Dini) per ottenere una condizione necessaria per l'esistenza di massimi o minimi relativi vincolati, nel caso di punti regolari del vincolo: Teorema dei moltiplicatori di Lagrange. Esempio di applicazione del Teorema dei moltiplicatori di Lagrange. Invertibilità di sistemi lineari e corrispondenti condizioni di invertibilità locale per sistemi nonlineari, dimostrabile utilizzando il Teorema delle funzioni implicite (Dini).

4 Lezioni del 8/11/2012: Applicazione del Teorema di invertibilità locale al cambiamento di coordinate da polari a cartesiane. Cenno al teorema di invertibilità globale ([MFS] cap.11, Ÿ103) e sua interpretazione nel caso delle coordinate polari. Massimi e minimi vincolati nel caso di una funzione di tre variabili con due vincoli: metodo generale ([PS2] Cap. 2, Ÿ2.2 Teorema 2.4) e una applicazione. Lezioni del 19/11/2012: Denizione di curva, curva semplice, curva regolare, curva regolare a tratti, sostegno di una curva. Curve regolari o regolari a tratti equivalenti e con stessa orientazione. Come denire la lunghezza di una curva. Teorema di retticabilita' delle curve C 1 ([a, b]): enunciato e dimostrazione della prima parte.(vedere [PS2] Cap. 1, Ÿ1.2e seguenti) Lezioni del 21/11/2012: Completamento della dimostrazione del Teorema di retticabilita' delle curve C 1 ([a, b]) e conseguente retticabilità delle curve regolari e regolari a tratti. Esempio di funzione continua con lunghezza innita (non retticabile). Ascissa curvilinea e osservazione che la derivata della parametrizzazione con l'ascissa curvilinea è un versore e quindi (avendo norma costantemente uguale ad 1) ha derivata seconda ortogonale alla sua derivata prima. Rappresentazione di una circonferenza con l'ascissa curvilinea e osservazione di quali siano i vettori derivata prima e seconda: la derivata seconda ha come norma il reciproco del raggio, detto, anche per una curva qualsiasi, il modulo della curvatura. In caso di curvatura non nulla, denendo il raggio di curvatura come il reciproco del modulo della curvatura, deniamo il cerchio osculatore (quello che approssima la curva nell'intorno del punto considerato, a meno di innitesimi di ordine superiore al secondo). Lezioni del 22/11/2012: Il piano osculatore passante per un punto di una curva e parallelo ai vettori tangente e normale alla curva nel punto e il cerchio osculatore approssimano la curva a meno di innitesimi di ordine superiore al secondo. Integrale di una funzione continua denita su una curva (integrale curvilineo di prima specie) e suo signicato geometrico. Proprietà dell'integrale curvilineo e sua invarianza rispetto alla parametrizzazione scelta per la curva (anche per parametrizzazioni aventi diversa orientazione). Calcolo del baricentro di una curva. Lezioni del 26/11/2012: Lavoro di una forza lungo una curva e quindi denizione di integrale curvilineo di seconda specie. Esempio. Proprietà dell'integrale curvilineo di seconda specie e sua dipendenza dall'orientazione della curva ma non dalla parametrizzazione. Nel caso di esistenza di una funzione potenziale l'integrale lungo una curva coincide con l'incremento della funzione potenziale tra gli estremi della curva. Quindi l'esistenza della funzione potenziale implica che l'integrale lungo curve chiuse è nullo e, lungo curve qualsiasi, dipende solo dal punto iniziale e da quello nale. Conservazione dell'energia (cinetica sommata a quella potenziale), per un corpo soggetto a una forza dotata di funzione potenziale. Lezioni del 28/11/2012: Condizione necessaria per l'esistenza di una funzione potenziale V ( x) per un campo di forze F ( x) C 1, cioé di una funzione tale che F = V (equivalentemente per una forma dierenziale lineare ω = F 1 dx , F N dx N una funzione tale che ω = dv ): J F è simmetrica (equivalentemente F deve essere irrotazionale, cioé rot F = 0, se N = 2, 3). Se J F è simmetrica diremo anche che ω è chiusa. Teorema di esistenza della funzione potenziale per F se J F è simmetrica e se l'insieme è uno stellato.

5 Lezioni del 29/11/2012: Dimostrazione dell'equivalenza tra l'esistenza di una funzione potenziale di un campo vettoriale e la dipendenza del lavoro del campo, lungo una curva, dai soli punti iniziale e nale e non dalla curva stessa; equivalenza anche con l'essere nullo il lavoro del campo su ogni curva chiusa contenuta nel suo dominio. Esempio di un campo irrotazionale in un convesso e calcolo della sua funzione potenziale. Esempio di un campo irrotazionale denito in R 2 \ {(0, 0)} che non ammette funzione potenziale in tutto l'insieme di denizione, ma solo negli stellati in esso contenuti (a meno di costanti si è ottenuta la funzione potenziale che associa ad ogni punto l'argomento principale della sua rappresentazione polare). Lezioni del 3/12/2012: Osservazione che se si ha un campo irrotazionale denito su R 2 \ { x 0 } l'integrale su una curva chiusa che si avvolge una volta intorno ad x 0, non dipende dalla curva scelta e coincide con il salto che la funzione potenziale fa dopo un giro intorno al punto. Denizione di curve omotope in un insieme. Denizione di insieme semplicemente connesso. Esempi di insiemi semplicemente connessi o non semplicemente connessi in R 2 ed in R 3. Enunciato del teorema sulla esattezza di forme dierenziali chiuse nei semplicemente connessi. Calcolo della funzione potenziale, utilizzando l'integrazione su poligonali costituite da segmenti paralleli agli assi coordinati, oppure, equivalentemente, determinando la primitiva della prima (ad esempio) componente del campo rispetto alla prima variabile a meno di costanti rispetto alla stessa variabile e quindi a meno di funzioni delle rimanenti variabili (che vengono poi determinate imponendo che la funzione potenziale abbia come gradiente il campo, anche per la altre componenti). Esempio di campo irrotazionale in un insieme non semplicemente connesso: come riconoscere se esso è dotato di funzione potenziale. Lezioni del 5/12/2012: Integrali dipedenti da un parametro: condizioni per la continuità e derivabilità (PaS1, cap. 8, Ÿ1.8, teoremi con dimostrazione). Denizione di funzione Riemann integrabile su un rettangolo. Signicato dell'integrale come volume nel caso di funzioni nonnegative (PaS2, cap. 5). Riemann integrabilità delle funzioni continue. Esempio di funzione che non è Riemann integrabile (la funzione di Dirichlet). Lezioni del 6/12/2012: Formule di riduzione per gli integrali su un rettangolo: dimostrazione e applicazioni. Denizione di insiemi misurabili secondo PeanoJordan, attraverso la Riemann integrabilità della loro funzione caratteristica. Lezioni del 10/12/2012: Esempio di insieme non misurabile. Caratterizzazione degli insiemi misurabili con misura nulla. Caratterizzazione degli degli insiemi misurabili attraverso la loro frontiera. Denizione di dominio normale rispetto ad un asse coordinato, misurabilità di tali insiemi (se le funzioni che li delimitano sono R-integrabili) e calcolo della loro misura utilizzando le formule di riduzione (si ottiene la dierenza tra le misure dei sottograci, come già visto con l'integrale di Riemann per funzioni di una variabile). Lezioni del 12/12/2012: Proprietà della misura di PeanoJordan. Riemann integrabilità delle funzioni generalmente continue (cioé continue a meno di un insieme di misura nulla) e limitate su un rettangolo. Denizione di funzione Riemann integrabile su un insieme misurabile. Proprietà dell'integrale di Riemann (linearità, additività, monotonia, media integrale e relativo teorema).

6 Lezioni del 13/12/2012: Cambiamenti di variabili che deformano le aree in 2 dimensioni, i volumi in 3 dimensioni, ecc.. Teorema del cambiamento di variabile in integrali multipli. Esempio: le coordinate polari. Lezioni del 17/12/2012: Esempi di calcolo degli integrali utilizzando un cambiamento di variabili e formule di riduzione. Osservazione che se una funzione è Riemann integrabile, anche il suo modulo lo è, ma non vale il viceversa. Denizione di integrale improprio per funzioni illimitate denite su un insieme limitato misurabile (si osservi che la condizione di limitatezza del limite degli integrali della funzione modulo, richiesta nella denizione, permette di dar senso all'integrale improprio della funzione stessa). Lezioni del 19/12/2012: Esempio di calcolo di integrale in coordinate cilindriche (cioé polari in due variabili e lasciando la terza invariata) e in cordinate sferiche. Denizione di integrale improprio per funzioni denite su un insieme illimitato. Indipendenza della denizione dalla scelta della successione di insiemi approssimanti. Lezioni del 20/12/2012: Osservazione sulla strada scelta per denire gli insiemi misurabili come integrale della funzione caratteristica, equivalente a costruire insiemi approssimanti l'area (o il volume, a seconda della dimensione), dall'interno (per difetto) e dall'esterno (per eccesso). Cenno al fatto che la misura di Peano Jordan e la Riemannintegrabilità saranno estese dalla misura e integrale di Lebesgue che saranno studiate in corsi successivi. Integrali impropri della funzione 1/ x α in 2 e 3 dimensioni spaziali (e in R N ), sia su un cerchio con centro nell'origine, sia nel suo complementare: determinazione dei valori di α per cui l'integrale converge. ATTENZIONE: si è osservato che la convergenza dell'integrale 1 dx dy, arcsin(x 2 + y 2 ) B 1 ((0,0)) si ottiene confrontando questa funzione con quella di cui si sa calcolare l'integrale 1/( x 2 + y 2 ) α 1 [ho il dubbio di aver scritto sulla lavagna, invece della funzione la funzione arcsin( 1 ) arcsin(x 2 +y 2 ) (x 2 +y 2 ) che in quell'insieme non sarebbe neanche denita!] Lezioni del 07/01/2013: Studio della convergenza di integrali impropri su insiemi limitati e illimitati. Coordinate ellittiche: attenzione, nel caso di cambiamento in coordinate ellittiche { x = aρ cos θ y = bρ sin θ, ρ > 0, θ [0, 2π], il determinante della matrice Jacobiana della trasformazione è: a b ρ. Lezioni del 09/01/2013: Misurabilità di insiemi illimitati di misura nita o innita ( ). Formule di GaussGreen con la dimostrazione del caso piú semplice (vedere [PaS2], cap. 6 Ÿ3.1, 3.2). Teorema di Stokes nel piano e sua applicazione per ritrovare risultati già noti sul lavoro di campi irrotazionali. ( ) Ricordiamo che, se A R N è limitato, si dice che A è un insieme Peano Jordan misurabile se la funzione { 1 x A χ A ( x) := 0 x A,

7 è Riemann integrabile in Q (iper)rettangolo con lati paralleli agli assi con A Q. Utilizzando tale denizione anche nel caso in cui A sia illimitato, si deve parlare di integrabilità in senso improprio di χ A su R N, e, in caso di convergenza dell'integrale, si dice che l'insieme A illimitato è misurabile in senso improprio e si pone A := R N χ A ( x) d x. (Nel caso in cui l'insieme A sia illimitato e la sua intersezione con ogni insieme limitato misurabile sia misurabile, ma χ A non sia Rintegrabile su R N, si dice che A è misurabile ma la sua misura è innita). Lezioni del 10/01/2013: [L'ultima parte del corso corrisponde a PaS2, cap. 6 Ÿ3, eccettuato sottoparagrafo 3.4. Si richiede la dimostrazione delle formule di GaussGreen nel piano (corrispondente, su MFS al caso piú semplice) e di quelle che da queste si deducono, ma sono facoltative le dimostrazioni delle formule nello spazio, arontate nelle ultime lezioni] Dalle formule di Gauss Green al Teorema di Gauss Green o della Divergenza. Interpretazione della divergenza come densità di usso di un campo vettoriale. Utilizzo del Teorema di Stokes nel piano per interpretare la componente del rotore del campo, verticale al piano stesso, come misura della densità di circuitazione del campo. Utilizzazione delle formule di GaussGreen per scrivere formule di integrazioni per parti in due dimensioni. Utilizzazione delle formule di GaussGreen per il calcolo di aree. Lezioni del 14/01/2013: [PaS2, cap. 6 Ÿ1, eccettuato sottoparagrafo 1.8, (il sottoparagrafo 1.7 mostra alcune applicazioni, non sono richieste le Formule di Guldino] Denizione di supercie regolare. Esempi di superci. Piano tangente a una supercie, vettore normale, orientabilità di una supercie. Supercie non orientabile: il nastro di Moebius. Area di una supercie: ipotesi perché una supercie sia misurabile e calcolo dell'area (senza dimostrazioni, ma illustrando l'idea intuitiva del signicato geometrico del modulo del vettore normale e mostrando anche un secondo modo per calcolarlo). Verica che il calcolo di un integrale di supercie non varia scegliendo diverse parametrizzazioni tra loro equivalenti della supercie. Lezioni del 16/01/2013: Calcolo delle aree di alcune superci. Integrale di una funzione su una supercie. Teorema di Gauss Green o della Divergenza in R 3. Interpretazione della divergenza come densità di usso di un campo vettoriale per unità di volume. Applicazione di tale teorema per mostrare che in un campo C 1 a divergenza nulla il usso del campo attraverso una supercie chiusa non cambia se variamo la supercie chiusa nel dominio in cui la divergenza è nulla (PaS2, cap. 6, Ÿ3.6, Proposizione 3.10). Lezioni del 17/01/2013: Teorema di Stokes nello spazio. Esercizi.