Curriculum vitae et studiorum di Valentino Magnani (aggiornato al 2013/06/27)

Transcript

1 Curriculum vitae et studiorum di Valentino Magnani (aggiornato al 2013/06/27) Dipartimento di Matematica, Ufficio 119: (+39) Università di Pisa, Fax: (+39) Largo Pontecorvo 5, I-56127, Pisa Titoli di studio - Perfezionamento in Matematica, S.N.S., Pisa, tesi Elements of Geometric Measure Theory on sub-riemannian groups, relatore Prof. Luigi Ambrosio, Laurea in Matematica, Università di Bologna, tesi Risultati di regolarità per equazioni ellittiche fortemente nonlineari, relatore Prof. Bruno Franchi, Posizioni assunte - Dal 2004 ad oggi. Ricercatore Universitario, MAT/05, Dipartimento di Matematica, Università di Pisa - Dall Ottobre 2003 al Dicembre Contratto di Ricerca, S.I.S.S.A., Trieste - Dal Dicembre 2001 al Settembre Contratto di Ricerca, S.N.S., Pisa Corsi tenuti in Italia - Corso di Teoria Geometrica della Misura, nel corso di laurea Magistrale in Matematica, Università di Pisa, a.a. 2012/ Corso di Elementi di Calcolo in Gruppi Omogenei, nel corso di laurea Magistrale in Matematica, Università di Pisa, a.a. 2011/ Corso di Analisi 4, nel corso di laurea triennale in Fisica, Università di Pisa, a.a. 2009/ Corso di Analisi Superiore 2, nel corso di laurea Specialistica in Matematica, Università di Pisa, a.a. 2007/2008 Corsi tenuti all estero - Mini corso di dottorato, 10 ore, 30 Gennaio-10 Febbraio, 2012 Introduction to the geometry of Heisenberg groups, Dipartimento di Matematica e Statistica, Cincinnati University, US - Mini corso di dottorato, 5 ore, 31 Maggio-3 Giugno, 2011 Measure of submanifolds in Carnot groups, Dipartimento di Analisi Matematica, Università di Siviglia, Spagna - Mini corso di dottorato, 6 ore, Aprile, 2009, Tangent distributions and Sobolev surfaces, Dipartimento di Matematica, Università di Praga, (Progetto Erasmus) organizzatore Prof. Jan Malỳ - Corso di dottorato, 30 ore, comprendenti 10 ore di esercitazioni, 6-18 Giugno, 2008 Sub-Riemannian distance on Stratified Groups, Dipartimento di Matematica e Statistica, Università di Jyväskylä, invito del Prof. Pekka Koskela 1

2 Principali visite presso Università e Istituti di Ricerca all estero - Institute of Pure and Applied Mathematics (I.P.A.M.), Los Angeles, U.S. 28 Aprile - 4 Maggio 2013, Prof. Jeremy Tyson - Jyväskylä University, Dep. of Mathematics and Statistics, Dicembre 2012, Dr. Tapio Rajala, Prof. Pekka Koskela - Department of Mathematics, University of Illinois at Urbana-Champaign, Ottobre 2012, Prof. Jeremy Tyson - Cincinnati University, Department of Mathematics and Statistics, dal 30 Gennaio 2012 al 3 Febbraio 2012 e dall 8 Febbraio 2012 al 10 Febbraio 2012, Prof. Nages Shanmugalingam - Purdue University, Department of Mathematics, 6-7 Febbraio 2012, Prof. Nicola Garofalo, - Sevilla University, Department of Mathematical Analysis, dal 29 Maggio 2011 al 4 Giugno 2011, Prof. Rafael Espinola - Warsaw University, Department of Mathematics, dal 15 al 27 Febbraio 2010, Prof. Agnieszka Kalamajska - Stefan Banach International Mathematical Center, Varsavia, Settembre 2009, Prof. Pawe l Strzelecki - Praha University, Department of Mathematical Analysis, dal 27 al 30 Aprile 2009, Prof. Jan Malỳ - Jyväskylä University, Department of Mathematics and Statistics, 6-18 Giugno 2008, Prof. Pekka Koskela - Cincinnati University, Department of Mathematical Sciences, dall 8 al 9 Maggio 2008, Prof. Nages Shanmugalingam - Yale Department of Mathematics, dal 14 al 16 Novembre 2007, Prof. Bruce Kleiner - Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach, dal 24 al 30 Luglio 2005, Prof. Neil Trudinger - Banff International Research Station, Alberta, Canada, dal 26 al 31 Luglio 2003 Prof. Tatiana Toro - Arkansas University, Department of Mathematics, dal 28 Febbraio al 10 Marzo 2003, Prof. Luca Capogna - Università di Berna, Svizzera, dal 3 al 21 Dicembre 2001, Prof. Zoltan Balogh - Max Planck Institut für Mathematik in den Naturwissenschaften, dal 20 Novembre al 4 Dicembre 2000, Prof. Bernd Kirchheim - University of Michigan, Department of Mathematics, Ann Arbor, Michigan, U.S., dal 10 al 13 Aprile 2000, Prof. Juha Heinonen - Rice University, Department of Mathematics, Houston, Texas, U.S., dal 3 al 6 Aprile 2000, Prof. Stephen Semmes 2

3 Progetti di ricerca - Partecipazione al progetto PRIN dal titolo: Calcolo delle Variazioni. Coordinatore: Prof. Gianni Dal Maso. Durata 36 mesi con decorrenza 01/02/ Partecipazione al progetto PRIN 2008 dal titolo: Teoria del trasporto ottimo, disuguaglianze geometriche e funzionali: applicazioni all ottimizzazione geometrica ed allo studio di fenomeni di congestione e di ramificazione. Coordinatore: Prof. Luigi Ambrosio. Durata: 24 mesi con decorrenza 22/03/ Membro del progetto quinquennale ERC Advanced Grant Geometric Measure Theory in non-euclidean spaces, dal Novembre 2009, Principal Investigator: Prof. Luigi Ambrosio - Coordinatore progetto GNAMPA, Mappe, misure e calcolo nonlineare in gruppi stratificati, 4000 Euro nel periodo di svolgimento: Partecipazione al progetto PRIN 2006 dal titolo: Metodi Variazionali nel Trasporto di Massa e nella Teoria Geometrica della Misura: Reti Ottime di Trasporto e Ottimizzazione Geometrica. Coordinatore: Prof. Luigi Ambrosio. Durata: 24 mesi con decorrenza 09/02/ Partecipazione al progetto PRIN 2004 dal titolo: Calcolo delle Variazioni: applicazioni all ottimizzazione di forma, al trasporto ottimo ed a problemi geometrici. Coordinatore: Prof. Luigi Ambrosio. Durata 24 mesi con decorrenza 30/11/ Responsabile del progetto di ricerca Giovani Ricercatori, titolo Problemi di teoria geometrica della misura in gruppi stratificati, 5000 Euro nel periodo di svolgimento: 15 Maggio Maggio Partecipazione al progetto PRIN 2002 dal titolo: Teoria Geometrica della Misura e Calcolo delle Variazioni. Coordinatore: Prof. Luigi Ambrosio. Durata: 24 mesi con decorrenza 16/12/2002. Attività organizzative - Seminari di Calcolo delle Variazioni e Analisi Geometrica al Dipartimento di Matematica dell Università di Pisa tenuti negli anni accademici 2012/2013 e 2011/2012, - One day workshop on Symmetry, Subharmonicity and Nonsmooth vector fields, 22 Febbraio 2012, Dipartimento di Matematica, Universit di Pisa - ERC School on Analysis in Metric Spaces and Geometric Measure Theory, dal 10 al 14 Gennaio 2011, organizzata con Luigi Ambrosio e Stefan Wenger - ERC Workshop on Geometric Analysis on sub-riemannian and metric spaces, dal 10 al 14 Ottobre 2011, organizzato con Luigi Ambrosio e Pekka Koskela - Seminari di Calcolo delle Variazioni e Analisi Geometrica al Dipartimento di Matematica dell Università di Pisa, tenuti nell anno accademico 2010/ Seminari di Calcolo delle Variazioni al Dipartimento di Matematica dell Università di Pisa, tenuti negli anni accademici 2007/2008, 2006/2007 e 2005/

4 Seminari su invito tenuti presso conferenze all estero - Maggio Interactions Between Analysis and Geometry. Workshop III: Non-Smooth Geometry, I.P.A.M., Los Angeles, California, U.S. Exterior differentiation through blow-up and some applications in sub-riemannian Geometry. - Marzo Geometric and Singular Analysis, Potsdam, Germania Exterior differentiation through blow-up and some applications in sub-riemannian geometry, - Maggio Workshop on Non-Riemannian mapping theory and geometry, Berna, Svizzera, Sobolev surfaces and contact equations - Settembre Analysis on metric spaces and quasiconformal structures, Banach International Mathematical Center, Varsavia, Tangent distributions and Sobolev surfaces - Gennaio Geometric Analysis and its Applications Berna, Svizzera, Contact equations and the geometry of mappings - Giugno Geometric Analysis and Nonlinear PDEs, Bedlewo, Polonia, Contact equations and Lipschitz extension - Luglio Geometric Analysis and applications, Illinois University, Urbana-Champaign, Intrinsic blow-up of submanifolds in stratified groups - Luglio Partielle Differentialgleichungen, Oberwolfach, Convexity in Carnot groups - Marzo Minimal surfaces, Subelliptic PDEs and Geometric Analysis, Dartmouth College, Hanover, New Hampshire, U.S., Intrinsic measure of submanifolds in the Heisenberg group and applications - Ottobre American Mathematical Society, New Mexico University, Albuquerque, New Mexico, U.S.A., Blow-up and coarea formula in Heisenberg groups - Luglio 2004, Analysis on Metric Measure Spaces, Banach Center, Bedlewo, Polonia, Blow-up and transverse mass of submanifolds in the Heisenberg group - Luglio Analysis and Geometric Measure Theory, Banff Research Station, Alberta, Canada, Some results and open questions on coarea formula in stratified groups - Marzo Analysis and Geometry in Carnot-Carathéodory spaces, Department of Mathematics, Arkansas University, Fayetteville, U.S., Perimeter and Hausdorff measure on stratified groups - Marzo Colloquia series, Department of Mathematics, Arkansas University, Fayetteville, U.S., The inverse mapping theorem on stratified groups - Aprile AMS Meeting Special Session della American Mathematical Society, Notre Dame University, Indiana, U.S.A., Area formula and differentiability on stratified Lie groups Monografie scientifiche Elements of Geometric Measure Theory on Sub-Riemannian groups, Scuola Normale Superiore, Pisa, viii+195 pp. ISBN:

5 Seminari su invito tenuti per visite di Università e Istituti di Ricerca all estero - Dicembre 2012: Analysis Seminar, Department of Mathematics and Statistics, Jyväskylä Universyty, Exterior differentiation through blow-up and some applications in sub-riemannian Geometry - Dicembre 2012: Geometry Seminar, Department of Mathematics and Statistics, Jyväskylä Universyty, On the sub-riemannian measure of submanifolds - Ottobre Analysis seminar della Illinois University ad Urbana-Champaign On the sub-riemannian measure of submanifolds - Febbraio Colloquium del Dipartimento di Matematica dell Universit di Purdue, Some aspects of Rademacher s theorem in different contexts - Febbraio Seminario di Analisi Funzionale, Banach Center, Varsavia, Tangent distributions and Sobolev surfaces - Febbraio Colloquio per gli studenti di dottorato, Banach Center, Varsavia, On surface measure in stratified groups - Febbraio Seminario del gruppo di Equazioni della Fisica Matematica, Dipartimento di Matematica, Università di Varsavia, Elements of sub-riemannian Geometry and convexity - Marzo Geometry Seminar, Department of Mathematics, ETH, Zurich. Characterization of sub-riemannian Lipschitz continuity and some applications - Gennaio Department of Mathematics and Statistics, Helsinki University, Lipschitz extensions, differential inclusions and isoperimetric inequalities - Maggio Colloquim talk, Department of Mathematical Sciences. Cincinnati University, Surface measure in stratified groups - Maggio Analysis talk, Department of Mathematical Sciences. Cincinnati University, Contact equations and the geometry of mappings - Novembre Topology-Geometry Seminars. Yale Department of Mathematics, New Haven, Connecticut, US, Contact equations and the geometry of mappings - Dicembre 2001, Universität Bern, Svizzera, Weak differentiability of BV functions on stratified groups - Novembre 2000, Max Planck Institut für Mathematik in den Naturwissenschaften, Lipsia, Germania, Area and Coarea formulas on Carnot groups: recent results and open problems - Aprile Department of Mathematics, Rice University, Houston, Texas, US, Area formula and differentiability on stratified Lie groups Comunicazioni espositive - Aprile Dipartimento di Matematica, Pisa, Rectifiable sets and currents in Heisenberg groups - Dicembre S.I.S.S.A., Trieste Differentiability problems in metric spaces 5

6 Seminari su invito tenuti presso convegni in Italia - Febbraio XXIII Convegno Nazionale di Calcolo delle Variazioni, Levico Terme, Differenzazione esterna tramite blow-up e applicazioni in Geometria Subriemanniana - Luglio Sub-Riemannian Geometry and PDEs, Levico Terme, Trento, Regularity estimates for convex functions in Carnot-Carathéodory spaces - Giugno Seventh School on Analysis and Geometry in metric spaces, Levico Terme, Trento, Subdifferentiability and differentiability of h-convex functions - Febbraio XXI Convegno Nazionale di Calcolo delle Variazioni, Levico Terme, Trento, Distribuzioni non integrabili e superifici di Sobolev - Febbraio XVIII Convegno Nazionale di Calcolo delle Variazioni, Levico Terme, Trento, Equazioni di contatto e geometria delle funzioni - Giugno th School on Analysis and Geometry in Metric Spaces, Levico Terme, Trento, Contact equations, Lipschitz extensions and horizontal surfaces - Febbraio Questioni di Teoria Geometrica della Misura e di Calcolo delle Variazioni, Levico Terme, Trento, Pansu differentiability and intrinsic submanifolds in stratified groups - Giugno Meeting on subelliptic PDEs and applicatios to Geometry and Finance, Cortona, On Pansu differentiability - Febbraio 2004, Questioni di Teoria Geometrica della Misura e di Calcolo delle Variazioni, Levico Terme, Trento, Rettificabilità, formula di area e rigidità in gruppi stratificati - Aprile Geometric Measure Theory and Calculus of Variations, Sardagna, Trento, Characteristic points in stratified groups - Febbraio Questioni di Teoria Geometrica della Misura e di Calcolo delle Variazioni, Levico Terme, Trento, Una formula di coarea in gruppi stratificati - Febbraio Questioni di Teoria Geometrica della Misura e di Calcolo delle Variazioni, Levico Terme, Trento, Alcune proprietà delle funzioni BV in gruppi sub-riemanniani - Giugno Second School on Analysis and Geometry on metric spaces, Sardagna, Trento, Currents in Heisenberg groups - Marzo Questioni di Teoria Geometrica della Misura e di Calcolo delle Variazioni, Levico Terme, Trento, Controesempio alla differenziabilità metrica in gruppi omogenei - Febbraio 2001, Scuola di Analisi in spazi di Carnot-Caratheodory, Trento, Metriche invarianti e formula di coarea su gruppi di Carnot - Gennaio Giornate di Lavoro su Calcolo delle Variazioni: Teoria Geometrica della Misura, Rilassamento e Γ-Convergenza, Levico Terme, Trento, Formula dell area in gruppi di Carnot 6

7 Seminari su invito tenuti per visite di Università italiane - Giugno Dipartimento di Matematica, Università di Bologna, Stime di regolarità per funzioni convesse rispetto a campi di Hörmander - Giugno Dipartimento di Matematica, Università di Padova, Stime integrali per funzioni convesse rispetto a campi di Hörmander - Novembre Dipartimento di Matematica. Università di Trento. Formula di coarea e rettificabilità in gruppi di Carnot. - Aprile Ciclo di Seminari di equazioni differenziali e applicazioni Dipartimento di Matematica Pura e Applicata, Università di Padova, Geometria sub-riemanniana, estensioni Lipschitziane e disuguaglianze isoperimetriche - Giugno Dipartimento di Matematica, Università di Lecce, La misura sub-riemanniana indotta su una sottovarietà in un gruppo di Carnot - Maggio Dipartimento di Matematica, Università di Bologna, Misure naturali per sottovarietà in gruppi stratificati - Aprile Dipartimento di Matematica, Università di Bologna, Misure di superficie e punti caratteristici nei gruppi di Carnot - Maggio Centro De Giorgi, Pisa, An intrinsic notion of mass in the Heisenberg group - Gennaio S.I.S.S.A., Trieste, Recent developments of Geometric Measure Theory on sub-riemannian groups - Giugno Dipartimento di Matematica, Pisa, Misure di Hausdorff e mappe Lipschitziane su gruppi stratificati Direzione tesi di dottorato Relatore della tesi di dottorato del dott. Matteo Scienza, intitolata Differentiability properties and characterizations of h-convex functions, discussa il 15/02/2013. Attività di assistenza didattica - Esercitazioni per il corso di Analisi 4, laurea in Fisica, Università di Pisa, a.a. 2009/2010, 2006/2007, 2004/ Esercitazioni per il corso di Analisi 3, laurea in Fisica, Università di Pisa, a.a. 2009/2010, 2006/2007, 2004/ Esercitazioni per i corsi di Analisi 2, laurea in Fisica, Università di Pisa, a.a. 2008/2009, 2007/2008, 2005/2006, - Esercitazioni per i corsi di Analisi 1, laurea in Fisica, Università di Pisa, a.a. 2008/2009, 2007/2008, 2005/2006, - Tutorato per gli allievi del corso di Analisi 1, presso la S.N.S. di Pisa, a.a 1999/2000, 2000/2001, 2001/2002 7

8 Brevi cenni al quadro scientifico internazionale e alle motivazioni in cui si inseriscono le proprie ricerche Le prime radici del progetto di sviluppare l Analisi Matematica classica in strutture più generali sono già presenti nella relazione di Elias M. Stein, al Congresso Internazionale di Matematica tenutosi a Nizza nel Tale progetto si riferisce inizialmente all Analisi Armonica, ove lo spazio ambiente viene esteso a frontiere di gruppi semisemplici non compatti o frontiere di spazi simmetrici. In particolare, Stein fa riferimento ad una speciale classe di gruppi di Lie nilpotenti, la cui caratteristica principale è quella di possedere una famiglia di dilatazioni ed una speciale norma, per la quale tali dilatazioni sono 1-omogenee. L azione di tali dilatazioni è anisotropica, ovvero esse agiscono diversamente nelle diverse direzioni, ma sono anche compatibili con un operazione di gruppo di Lie in generale non commutativa. Tali gruppi, detti stratificati sono stati successivamente studiati da G. B. Folland, per costruire un appropriata teoria subellittica. Lo studio del passaggio allo spazio frontiera si afferma sorprendentemente anche in Geometria Differenziale con il famoso Teorema di Rigidità di G. D. Mostow per varietà iperboliche di dimensione maggiore di due. Probabilmente una non casuale coincidenza vuole che gli sviluppi di tali risultati vengano presentati da Mostow allo stesso Congresso Internazionale di Matematica del Mostow per il suo teorema di rigidità utilizza svariati strumenti di diversi settori della matematica, ove un passaggio importante consiste nell osservare che una mappa quasiconforme della palla aperta n-dimensionale si estende ad una mappa quasiconforme della frontiera. Pertanto tale mappa è quasi ovunque differenziabile e questa differenziabilità è un altro punto saliente del metodo. Successivamente P. Pansu nel 1989 completa lo studio dei teoremi di rigidità di Mostow introducendo la cosiddetta classe dei gruppi di Carnot e provando la differenzibilità quasi ovunque per tutte le mappe quasiconformi in tali gruppi. Un punto tecnico, ma anche sostanziale, è la necessità in questo caso generale di introdurre un opportuna nozione di differenziabilità adattata alla geometria dei gruppi. Non meno sorprendente risulta il fatto che tali gruppi corrispondono esattamente ai già menzionati gruppi stratificati di Folland e Stein, una volta dotati di un opportuna metrica subriemanniana. Nella teoria delle EDP, le strutture subriemanniane appaiono in un fondamentale lavoro di Hörmander del 1967 che ha sviluppato poi un intero settore di ricerche. M. Gromov in un importante lavoro del 1996 ha gettato le basi per un ampio progetto riguardante lo sviluppo di metodi di Geometria Differenziale nel contesto degli spazi di Carnot-Carathéodory, che con diversa terminologia indicano ancora spazi dotati di struttura subriemanniana. L idea di formulare problemi di Analisi e di Teoria Geometrica della Misura in forme più sintetiche o in altri termini puramente metriche è già presente in alcuni lavori di H. Federer e di E. De Giorgi. Citiamo ad esempio nozioni di rettificabilità, teoremi di differenziabilità per misure e la teoria delle correnti metriche, proposta da De Giorgi e sviluppata in un fondamentale lavoro di L. Ambrosio e B. Kirchheim del In questo contesto i gruppi di Carnot, rappresentano un ottimo modello per testare proprietà sufficientemente astratte per poter essere formulate in termini metrici, in particolare all interno di un vasto progetto riguardante lo sviluppo della Teoria Geometrica della misura e più in generale dell Analisi Geometrica in geometrie non-riemanniane, quali sono ad esempio quelle associate ad un gruppo di Carnot non commutativo. Uno speciale impulso allo sviluppo della Teoria Geometrica della misura nei gruppi di Carnot è stato dato dal teorema di rettificabilità di De Giorgi esteso ad alcune classi di 8

9 gruppi di Carnot, dovuto a B. Franchi, R. Serapioni e F. Serra Cassano. Tale teorema in tutti i gruppi di Carnot risulta ancora un importante questione aperta della teoria, assieme allo sviluppo di un opportuna teoria delle superfici generalizzate, ovvero delle correnti. In relazione ad una congettura di informatica teorica, J. Cheeger e B. Kleiner provano la non immergibilità bilipschitziana del gruppo di Heisenberg in L 1 (0, 1). Osserviamo che tale gruppo è uno speciale gruppo di Carnot, con molte proprietà di simmetria. Un punto importante di tale risultato sta ancora una volta nella speciale nozione di differenziabilità introdotta, poichè L 1 (0, 1) non ha la proprietà di Radon-Nikodym e persino una curva lipschitziana a valori in tale spazio potrebbe non essere quasi ovunque differenziabile rispetto la nozione classica di differenziabilità in spazi di Banach. L utilizzo di tale nuova nozione di differenziabilità richiede in modo inaspettato il teorema di rettificabilità per insiemi a perimetro finito nel gruppo di Heisenberg, dando un ulteriore conferma dell importanza dello sviluppo della Teoria Geometrica della Misura in contesti astratti, anche per ottenere importanti informazioni sul comportamento di geometrie non-riemanniane. I gruppi di Carnot rappresentano infiniti modelli di diverse geometrie, tutte diverse tra loro e che in particolare includono anche quella euclidea, ovvero il caso commutativo. Sebbene tali gruppi abbiano alcune patologie metriche tipiche della geometria frattale, sono ancora ricchi di struttura, avendo come già detto delle dilatazioni e operazione di gruppo compatibili con la cosiddetta distanza subriemanniana. Altri settori della Matematica che interessano i gruppi di Carnot potrebbero essere citati, ma il punto di questa breve e necessariamente incompleta descrizione è quello di descrivere come tali gruppi rappresentino il punto di incontro di diverse linee di ricerca e consequentemente portino sia a problematiche interamente nuove, ma anche a nuovi punti di vista con cui guardare alcune tematiche classiche dell Analisi. Descrizione sintetica delle principali linee di ricerca sviluppate Formule di area. Come già menzionato, nei contesti non-riemanniani dei gruppi di Carnot, la lipschitzianità e la differenziabilità hanno un senso più generale, rispetto a quello normalmente inteso in spazi euclidei. Si pone quindi la questione naturale della validità di un opportuna formula di trasformazione della misura di Hausdorff rispetto la distanza del gruppo. In altre parole, è vero che la misura di Hausdorff dell immagine di una mappa lipschitziana ammette una formula analitica? Tale formula nel contesto euclideo è nota come formula di area. La risposta alla domanda esposta è positiva, in quanto è possibile avere una più generale formula di area che vale per ogni scelta di gruppi di Carnot nel dominio e codominio, [34]. Si può inoltre osservare che la formula di area ammette una formulazione puramente assiomatica nel contesto astratto degli spazi metrici, ovvero può vedersi come il risultato di generali teoremi di differenziabilità di misure, [11]. Tale formulazione è stata recentemente usata in [6], per avere tale formula nel caso di codomini modellati su spazi di Banach aventi una struttura di gruppo di Lie (di dimensione infinita). Una naturale applicazione della formula di area si ha nel caso finito dimensionale per teoremi di rigidità tra gruppi di Carnot [27], inoltre in [6] sono stati ottenuti nuovi teoremi di non immersione bilipschitiziana in gruppi di Lie modellati su speciali spazi di Banachi. Il caso degli spazi di Banach era già stato studiato da Cheeger e Kleiner, come già menzionato nella precedente sezione introduttiva. 9

10 Formule di coarea. Sebbene nel caso euclideo formula di area e di coarea sono legate, in quanto la prima può utilizzarsi come strumento per provare la seconda, nel caso non-riemanniano le due formule sono completamente indipendenti. Le formule di coarea risultano un problema più complesso nella sua formulazione generale ed infatti non è ancora del tutto compreso in molti casi importanti. Tale questione è stata posta in [33], mostrando che una disuguaglianza di tale formula è sempre valida. L uguaglianza è necessariamente pur di ottenere una opportuna rettificabilità intrinseca deli insiemi di livello. Ad esempio, utilizzando la teoria dei perimetri ambientata nei gruppi di Carnot è possibile avere una formula di coarea nel caso di funzioni scalari a variazione limitata, che conduce all effettiva formula di coarea, [26]. L elemento sorprendente di tale formula sta nel fatto che la funzione lipschitziana che si considera rispetto la distanza del gruppo potrebbe non essere differenziabile in senso classico in un insieme di misura positiva, come mostrato nel summenzionato lavoro. Le difficoltà sorgono dalla poca regolarità degli insiemi di livello delle mappe intrinsecamente differenziabili e ciò rende ancor più difficile determinare le proprietà delle intersezioni di tali insiemi, [12]. Questo spiega la difficoltà di estendere la formula di coarea per mappe vettoriali. D altra parte quando si hanno speciali rappresentazioni integrali per la misura di Hausdorff degli insiemi di livello di funzioni intrinsecamente differenziabili con differenziale intrinseco suriettivo, allora è ancora possibile avere una formula di coarea, [15]. Misura intrinseca di sottovarietà. Il problema della formula di coarea ha a sua volta generato la questione della struttura degli insiemi di livello di mappe intrinsecamente regolari e della misura di Hausdorff di tali insiemi. Tali questioni hanno il loro interesse indipendente ed introducono in modo naturale al problema della determinazione di una formula integrale per la misura di Hausdorff di sottovarietà in gruppi di Carnot. Tale problema è ancora lontano dall essere risolto. Recentemente, nella serie di lavori [13], [18], [19], [10] e [4] si è proseguito in codimensione maggiore di uno il progetto iniziato in [30], ove tale formula integrale era determinata per ipersuperfici. Sorprendentemente tale questione si inserisce nella serie di problematiche poste nel già menzionato lavoro di M. Gromov del 1996, il quale ha profondamente influenzato molta della successiva ricerca. In particolare, M. Gromov fornisce una formula generale per la dimensione di Hausdorff di una generica sottovarietà. Tale nozione coincide esattamente con la nozione di grado introdotta in [18], ove si ottiene anche una formula integrale per la misura di Hausdorff sferica della sottovarietà. Una diversa motivazione originaria per tali questioni proviene anche dall esigenza di avere una naturale nozione di massa per correnti su gruppi di Carnot, che purtroppo ancora costituiscono un ambiente di ricerca ben poco conosciuto. Funzioni a variazione limitata e di Sobolev. Un altra linea di ricerca riguarda lo studio delle proprietà di differenziabilità di funzioni regolari rispetto alle direzioni orizontali del gruppo. È ben nota la teoria degli spazi di Sobolev anisotropi, ovvero definiti con derivate distribuzionali date da campi vettoriali. Analogamente si definiscono gli spazi di funzioni a variazione limitata rispetto a campi vettoriali. Quando tali campi generano la distribuzione orizzontale di un gruppo di Carnot, allora è interessante notare che si hanno teoremi di differenziaiblità approssimata rispetto la distanza subriemanniana del gruppo. Tali risultati sono stati ottenuti in [29] ed in [24], dove lo strumento principale è la disuguaglianza di Poincaré, la quale continua a valere in gruppi di Carnot. 10

11 Convessità. La differenziabilità approssimata del secondo ordine per funzioni BV 2 nei gruppi di Carnot, [29], è stata anche utilizzata da alcuni autori per ottenere un teorema di differenziabilità del secondo ordiner per funzioni h-convesse, ovvero funzioni convesse rispetto la struttura subriemanniana del gruppo. In [22] si contribuisce allo studio delle proprietà geometriche delle funzioni h-convesse, ottenendo risultati di regolarità assieme a loro caratterizzazioni in termini di non-negatività dell operatore hessiano in senso viscoso, affrontando anche la caratterizzazione distribuzionale. Successivamente, in collaborazione con M. Scienza, E. Lanconelli ed A. Bonfiglioli si è ottenuta la completa caratterizzazione distribuzionale delle funzioni h-convesse in gruppi di Carnot, utilizzando elementi di teoria del potenziale ed il già menzionato risultato di ipoellitticità dovuto a L. Hörmander, [9]. L utilizzo di tali tecniche ha reso l approccio nuovo anche nel contesto euclideo. Recentemente, in collaborazione con M. Scienza, si sono studiate funzioni convesse rispetto a famiglie di campi vettoriali di Hörmander e per tali funzioni si sono ottenute stime quantitative della lora lipschitzianità intrinseca. Qui il metodo utilizzato non è solo geometrico, ma utilizza anche stime quantitative delle sottosoluzioni di opportuni sublaplaciani di Hörmander, [5]. Queste stime aiutano a superare la difficoltà dovuta al fatto che per campi vettoriali generali non c è più un operazione di gruppo e nemmeno delle dilatazioni globali. Calcolo per mappe tra gruppi. La misura di insiemi intrinsecamente regolari, porta preliminarmente alla determinazione della loro struttura. Insiemi, cosiddetti H-regolari, di codimensione alta sono stati studiati per la prima volta in un lavoro di B. Franchi, R. Serapioni e F. Serra Cassano del 2007, dove il risultato centrale è un teorema della mappa implicita per mappe intrinsecamente differenziabili con differenziale suriettivo. Secondo tale teorema gli insiemi di livello di tali mappe, pur essendo poco regolari da un punto di vista classico, secondo il quale potrebbero avere natura frattale ed in particolare non rettificabile, come mostrato in un lavoro di B. Kirchheim e F. Serra Cassano. D altra parte tali insiemi posso scriversi come grafici rispetto ad una opportuna fattorizzazione algebrica del gruppo di Heisenberg. In [8] si è raggiunto l obiettivo di formulare e dimostrare un teorema della mappa implicita per mappe differenziabili tra gruppi di Carnot, con l ipotesi addizionale che il differenziale desse una buona fattorizzazione algebrica del gruppo sorgente. Questo teorema assieme al teorema del rango costituiscono la base per sviluppare un Calculus adattato alla geometria dei gruppi e formalmente anaologo al calcolo classico, sebbene le dimostrazioni utilizzino proprietà algebriche e geometriche dei gruppi di Lie, assieme alla teoria del grado per mappe continue. Nel caso classico il teorema della mappa implicita ed il teorema del rango sono equivalenti per definire sottovarietà, mentre il fenomeno nuovo che appare nel caso dei gruppi è che gli insiemi regolari come insiemi di livello o come immagini sono in generale classi ben distinte tra loro. Abbiamo quindi definito nuove varietà intrinseche modellate su coppie di gruppi di Lie, le cui proprietà metriche e geometriche sono ancora da investigare. Equazioni di contatto ed applicazioni. In [8], un importante punto di partenza è la caratterizzazione delle mappe intrinsecamente differenziabili con differenziale continuo. Si nota che tali mappe debbono soddisfare un sistema di equazioni differenziali non lineare del primo ordine. Tali equazioni caratterizzano la differenziabilità intrinseca nel caso in cui le derivate orizzontali della mappa definente il sistema siano continue. Determinano inoltre anche la continuità lipschitiziana delle mappe soluzioni, nel caso in cui tali equazioni 11

12 valgano quasi ovunque e originino dei gradienti orizzontali che sono essenzialmente limitati. Le equazioni differenziali associate a tali mappe si possono naturalmente definire di contatto, in quanto garantiscono proprio tale proprietà alla mappa. Classicamente una mappa regolare tra gruppi di Carnot si dice di contatto se il suo differenziale preserva le direzioni orizzontali. L avere un espressione analitica per realizzare mappe di contatto tra gruppi di Carnot consente inoltre di utilizzare tali equazioni per formulare teoremi di esistenza e teoremi di estensione lipschitziana in termini di esistenza di soluzioni di tale sistema, come mostrato in [14]. In tale lavoro si sono inoltre ottenute nuove disuguaglianze isoperimetriche di riempimento orizzontale, applicate a loops lipschitziani rispetto alla metrica subriemanniana. Superfici di Sobolev e distribuzioni non integrabili. Le già menzionate equazioni di contatto, introdotte in [8], risultano utili anche per lo studio di superfici non integrabili di bassa regolarità. Ad esempio, un lavoro di Balogh, Tyson e Hoefer-Isenegger del 2006 solleva la questione riguardante l esistenza nel primo gruppo di Heisenberg di superfici aventi dimensione di Hausdorff intrinseca uguale a due e regolarità in un qualche spazio Sobolev. Gli stessi autori in tale lavoro provano che possono esistere siffatte superfici se viste come grafici di funzioni a variazione limitata, quindi estremamente irregolari. Le equazioni di contatto particolarizzate a questo contesto danno la forma analitica del problema geometrico e così in [16] si risponde a tale questione provando che siffatte superfici non possono esistere quando sono grafici di funzioni di Sobolev. Si prova inoltre lo stesso risultato di non esistenza se le superfici sono viste come immagini di mappe di Sobolev, ma in questo caso occorre assumere una certa integrabilità delle derivate deboli, la quale possa permettere di associare al problema uno jacobiano distribuzionale. Recentemente in un lavoro in collaborazione con J. Malý e S. Mongodi si è data la risposta completa al problema, ammettendo quindi la soglia minima di regolarità, ovvero W 1,1, nei gruppi di Heisenberg di tutte le dimensioni, [2]. L aspetto tecnico rilevante di questo diverso approccio al problema consiste nel fornire un metodo per ottenere una differenziabilità esterna molto debole, quando anche la già debole differenziabilità esterna distribuzionale non è applicabile. References [1] L. Ambrosio, R. Ghezzi, V. Magnani, BV functions and sets of finite perimeters in sub-riemannian manifolds, preprint (2013), sottoposto per pubblicazione. [2] V. Magnani, J. Malý, S. Mongodi, A low rank property and nonexistence of higher dimensional horizontal Sobolev sets, preprint (2013), sottoposto per pubblicazione. [3] V. Magnani, Lipschitz estimates for convex functions with respect to vector fields, Bruno Pini Mathematical Analysis Seminar, 1, 60-71, (2012) [4] V. Magnani, J. T. Tyson, D. Vittone, On transversal submanifolds and their measure, preprint (2012), sottoposto per pubblicazione. [5] V. Magnani, M. Scienza, Regularity estimates for convex functions in Carnot- Carathodory spaces, preprint (2012), sottoposto per pubblicazione. 12

13 [6] V. Magnani, T. Rajala, Radon-Nikodym property and area formula for Banach homogeneous group targets, preprint (2012), sottoposto per pubblicazione. [7] V. Magnani, M. Scienza, Characterizations of differentiability for h-convex functions in stratified groups, in corso di stampa sugli Annali della Scuola Normale Superiore [8] V. Magnani, Towards Differential Calculus in stratified groups, in corso di stampa sul Journal of Australian Mathematical Society [9] A. Bonfiglioli, E. Lanconelli, V. Magnani and M. Scienza, H-convex distributions in stratified groups, in corso di stampa sui Proceedings of American Mathematical Society [10] R. Korte, V. Magnani, Measure of curves in graded groups, in corso di stampa sull Illinois Journal of Mathematics [11] V. Magnani, An area formula in metric spaces, Colloq. Math., 124, , (2011) [12] G.P.Leonardi, V.Magnani, Intersections of intrinsic submanifolds in the Heisenberg group preprint, J. Math. Anal. Appl., 378, n.1, 98108, (2011) [13] V. Magnani, Blow-up estimates at horizontal points and applications, J. Geom. Anal., vol. 20, n.3, , (2010) [14] V. Magnani, Contact equations, Lipschitz extensions and isoperimetric inequalities, Calc. Var. Partial Differential Equations 39, , (2010) [15] V. Magnani, Area implies coarea, Indiana Univ. Math. J., 60, , (2011) [16] V. Magnani, Nonexistence of horizontal Sobolev surfaces in the Heisenberg group, Proc. Amer. Math. Soc., 138, , (2010) [17] E. Le Donne, V.Magnani, Measure of submanifolds in the Engel group, Rev. Mat. Iberoamericana, 26, n.1, , (2010) [18] V. Magnani, D. Vittone, An intrinsic measure for submanifolds in stratified groups, J. Reine Angew. Math., 619, , (2008) [19] V.Magnani, Non-horizontal submanifolds and coarea formula, J. Anal. Math., 106, , (2008) [20] V. Magnani, Spherical Hausdorff measure of submanifolds in Heisenberg groups, Ricerche Mat., vol. 54, n.2, (2006) [21] V. Magnani, Blow-up of regular submanifolds in Heisenberg groups and applications, Cent. Eur. J. Math., vol. 4, n.1, , (2006) [22] V. Magnani, Lipschitz continuity, Aleksandrov theorem and characterizations for H-convex functions, Math. Ann., 334, n.1, , (2006) [23] V. Magnani, Characteristic points, rectifiability and perimeter measure on stratified groups, J. Eur. Math. Soc., vol. 8, n.4, , (2006) 13

14 [24] V. Magnani, Differentiability from representation formula and Sobolev-Poincarè inequality, Studia Math., 168, n.3, , (2005) [25] V. Magnani, Convexity in Carnot groups, Partielle Differentialgleichungen, Oberwolfach, vol. 2., Report 33, p.11-16, (2005) [26] V. Magnani, The coarea formula for real-valued Lipschitz maps on stratified groups, Math. Nachr., 278, n.14, 1-17, (2005) [27] V. Magnani, Unrectifiability and rigidity in stratified groups, Arch. Math., 83, n.6, , (2004) [28] V. Magnani, Note on coarea formulae in the Heisenberg group, Publ. Mat. 48, n.2, , (2004) [29] L. Ambrosio, V. Magnani, Weak differentiability of BV functions on stratified groups, Math. Z., 245, , (2003) [30] V. Magnani, A blow-up theorem for regular hypersurfaces on nilpotent groups, Manuscripta Math., 110, n.1, 55-76, (2003) [31] B.Kirchheim, V.Magnani, A counterexample to metric differentiability, Proc. Ed. Math. Soc., 46, , (2003) [32] V.Magnani, Elements of Geometric Measure Theory on Sub-Riemannian groups, PhD theses series of Scuola Normale Superiore, Pisa (2002) [33] V. Magnani, On a general coarea inequality and applications, Ann. Acad. Sci. Fenn. Math., 27, , (2002) [34] V. Magnani, Differentiability and Area formula on stratified Lie groups, Houston J. Math., 27, n.2, , (2001) 14