Che cos'è la congettura di Poincaré (adesso teorema di Perelman)?

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1 Che cos'è la congettura di Poincaré (adesso teorema di Perelman)? Conferenza di Facoltà, Luca Migliorini (Dipartimento di Matematica Università di Bologna) Tra il 2002 e il 2003 appaiono negli archivi dei preprint in Matematica tre lavori di G. Perelman, matematico russo nato nel 1966: Math.DG/ The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications. Math.DG/ Ricci flow with surgery on three-manifolds. Math.DG/ Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain three-manifolds. I lavori contengono la soluzione di una delle congetture più importanti della matematica, la congettura di Poincaré, e di una sua generalizzazione, la congettura di geometrizzazione di Thurston. Fig. 1: Grisha Perelman I lavori di Perelman, estremamente densi e originali, vengono esaminati in dettaglio da vari gruppi di lavoro (cfr. math.dg/ : B. Kleiner, J. Lott: Notes on Perelman's papers, math.dg/ : J. Morgan, G. Tian, Ricci flow and the Poincaré conjecture, arxiv : J. Morgan, G. Tian, Completion of the proof of the geometrization conjecture) e riconosciuti corretti. Per questi

2 lavori Perelman viene premiato nel 2006 con la medaglia Fields, che rifiuta, e in seguito col Clay Millennium Prize, che rifiuta. La congettura di Poincaré era stata proposta da H.Poincaré nel Una prima versione proposta qualche anno prima si era dimostrata non corretta in vista di un esempio costruito da Poincaré stesso (la sfera di Poincaré). Fig 2: H.Poincaré ( ) La congettura afferma che: Una varietà tridimensionale connessa compatta e semplicemente connessa è topologicamente equivalente alla sfera tridimensionale Cerchiamo di spiegare il significato dei termini contenuti in questo enunciato: La nozione di varietà topologica individua la classe di oggetti geometrici che si intende trattare: la definizione tecnica è: Una varietà topologica di dimensione n è uno spazio topologico separabile che soddisfa il secondo assioma di numerabilità localmente omeomorfo a un aperto dello spazio n- dimensionale

3 In termini meno tecnici ma sicuramente più suggestivi, una varietà topologica è uno spazio con la proprietà che vicino a ogni punto si può introdurre un sistema di coordinate che parametrizzano i punti di una regione. Il numero di coordinate caratterizza la dimensione della varietà. Le condizioni di separazione e numerabilità sono condizioni tecniche hanno la funzione di prevenire l'insorgere di patologie poco interessanti in questo ambito. Ad esempio, una curva è una varietà unidimensionale, una superficie è una varietà bidimensionale. Generalmente una varietà si può pensare come un sottoinsieme di uno spazio euclideo definito dalle soluzioni di un sistema di equazioni che verifichino le ipotesi del teorema della funzione implicita. Questa pare anzi essere una delle origini della nozione di varietà: lo spazio delle configurazioni di un sistema meccanico di punti materiali con vincoli, è in modo naturale una varietà: lo spazio delle configurazioni di un pendolo sferico si identifica con la sfera bidimensionale, quello di un pendolo piano doppio con un toro bidimensionale. Un esempio di varietà cruciale per la nostra storia è la sfera tridimensionale, il sottoinsieme dello spazio euclideo quadridimensionale definito dalla condizione che la somma dei quadrati della quattro coordinate sia uguale a 1. L'equivalenza topologica di due figure geometriche riguarda le proprietà qualitative delle figure: ad esempio due curve chiuse sono sempre topologicamente equivalenti: una sfera è topologicamente a un ellissoide e a una qualunque superficie bitorzoluta purché priva di buchi. Una tazza col manico è equivalente a una ciambella, come mostra il filmato Nella nozione di equivalenza topologica tutte le proprietà metriche delle misure sono perse, rimanendo solo le più robuste proprietà qualitative. In termini non del tutto corretti si dice che due figure sono topologicamente equivalenti se è possibile deformare con continuità l-una nell'altra. In termini tecnici, la definizione, limitata alle varietà topologiche, è Due varietà topologiche sono topologicamente equivalenti (o omeomorfe) se esiste tra esse una applicazione biunivoca continua con inversa continua Una varietà topologica si dice connessa se due qualunque punti su di essa possono unirsi con una curva che resti sulla varietà, in altri termini se consiste di un solo pezzo. Si dice poi compatta se è impossibile per un punto sulla varietà uscire da essa. In termini più precisi la definizione prevede che da ogni successione di punti della varietà si possa estrarre una sottosuccessione convergente. Questo

4 equivale anche a chiedere che la varietà si possa realizzare come insieme chiuso e limitato dentro uno spazio euclideo. La nozione più importante per la congettura di Poincaré è la semplice connessione. Consideriamo, per spiegare questa nozione, una curva continua tracciata sulla sfera bidimensionale: è piuttosto evidente, e dimostrabile senza troppa difficoltà, che questa curva può restringersi con continuità fino a diventare un punto, senza mai uscire dalla sfera, mentre questo evidentemente non accade per alcune curve tracciate su un toro (ad esempio quelle che circondano il buco ). Questa proprietà si dice appunto semplice connessione. In dimensione 2 l'unica superficie compatta connessa e semplicemente connessa è la sfera bidimensionale. La congettura di Poincarè afferma perciò che questa caratterizzazione vale anche per varietà di dimensione 3 (mentre non vale in dimensione maggiore, ad esempio il prodotto di due sfere bidimensionali è una varietà di dimensione 4 connessa compatta e semplicemente connessa, ma non omeomorfa alla sfera 4-dimensionale). La congettura di Poincaré fornisce perciò un metodo per riconoscere una sfera topologica dalle sole proprietà delle curve tracciate su essa. Nei circa 100 anni trascorsi dalla sua formulazione, la congettura di Poincaré ha resistito a molti attacchi, in particolare pare tuttora fuori portata un approccio puramente topologico. Nei primi anni '80 il matematico R. Hamilton ha proposto un approccio di tipo analitico basato sullo studio di un sistema di equazioni alle derivate parziali detto flusso di Ricci (tecnicamente si tratta di un sistema di equazioni alle derivate parziali non lineare di tipo debolmente parabolico). L'idea alla base dell'approccio di Hamilton si può spiegare nel caso bidimensionale: si tratta di partire da una presentazione della varietà e farla evolvere in modo che diventi sempre più rotonda, fino a raggiungere, asintoticamente, una proprietà di curvatura costante che renda facile riconoscere che si tratta di una sfera : la seguente figura, bidimensionale, dà un'idea di tale fenomeno, che in dimensione 3 si complica però enormemente

5 Fig. 3 flusso di Ricci bidimensionale. Hamilton aveva individuato alcuni problemi tecnici difficilissimi legati all'insorgere di singolarità dell'equazione. E' risolvendo tali problemi che Perelman è riuscito a mostrare la congettura.