Sintesi di Reti Combinatorie

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1 Sintesi di Reti Combinatorie Ottimizzazione di Reti Combinatorie a Due Livelli: Metodo di Quine-McCluskey per reti a più uscite Mariagiovanna Sami Corso di Reti Logiche B 08

2 Sintesi a due livelli Reti a più uscite Reti a più uscite: strutture combinatorie che hanno n ingressi x 1 x n e m uscite f 1.f m ; le uscite costituiscono un insieme di funzioni che condividono le stesse variabili di ingresso; Nel caso di reti a più uscite, una prima soluzione per la sintesi consiste nel minimizzare individualmente le singole funzioni; Il risultato ottenuto in genere risulta non ottimale in termini di costo; infatti le diverse funzioni potrebbero condividere degli implicanti (il cui uso ridurrebbe il costo globale) che possono non emergere da un ottimizzazione individuale

3 Sintesi a due livelli Reti a più uscite Gli implicanti che possono essere condivisi non sono necessariamente primi per le singole funzioni, prese individualmente, quindi in un ottimizzazione individuale non verrebbero presi in considerazione; Gli implicanti che possono essere condivisi sono si implicanti primi, ma di più funzioni. Come si ottengono gli implicanti primi di più funzioni?

4 Sintesi a due livelli Reti a più uscite Esempio (cifra di merito = cardinalità): In queste condizioni, il massimo che si può pensare di fare è applicare la seguente condivisione: bc d di f1 e bc d di f2. f 1 f 1 =bc d +b d+a+cd f 2 f 2 =bc d +a b+a d Forma ottima senza condivisione: cardinalità copertura=7 Forma sub-ottima con condivisione: cardinalità copertura=

5 Reti a più uscite: le Mappe di Karnaugh Si consideri la seguente rete a quattro ingressi e due uscite, assegnata mediante le mappe di Karnaugh delle due uscite (cifra di merito=cardinalità): Si effettui dapprima la sintesi minima delle due funzioni individualmente: si ha f1 = b d + cd + a + bc d f2 = a c + a b + bc d Un solo implicante è condiviso. Costo totale: 5 porte AND e 2 OR, 12 letterali a,b c,d 00 f a,b c,d 00 f

6 Sintesi a più uscite: oltre alle mappe di Karnaugh relative alle singole funzioni, si realizzano le intersezioni delle diverse mappe (due a due, tre a tre etc.) e su tali intersezioni si identificano gli implicanti primi di più uscite. Nel nostro esempio, si realizza una sola mappa intersezione delle due iniziali. Si noti che dei tre implicanti primi di più uscite, solo uno (bc d ) è anche implicante primo delle funzioni singole. Reti a più uscite: le Mappe di Karnaugh a,b c,d f 1.f

7 Reti a più uscite: le Mappe di Karnaugh degli implicanti primi di più uscite si utilizzano solamente quelli che non risultano completamente coperti da implicanti primi individuali più grandi già utilizzati per le altre funzioni. La scelta degli implicanti di due uscite: P1=bc d, P2=a b d, e degli implicanti di uscita singola P4=cd, P5=a, P6=a b porta a un costo di quattro AND, due OR e 11 letterali a,b c,d f a,b c,d f

8 Sintesi a due livelli Reti a più uscite Esempio (cifra di merito=cardinalità): d c b a f 1 f

9 Sintesi a due livelli Reti a più uscite In generale, oltre agli implicanti primi delle singole funzioni è necessario considerare anche tutti gli implicanti primi identificati dalle mappe derivate per intersezione da quelle delle funzioni da minimizzare (cioè creando tutti i prodotti di m funzioni, m-1 funzioni etc.). Il numero delle combinazioni possibili con m funzioni è 2 m -1; ad esempio, con tre funzioni le combinazioni possibili sono: f 1 ; f 2 ; f 3 ; f 1 *f 2 ; f 1 *f 3 ; f 2 *f 3 ; f 1 *f 2 *f

10 Sintesi a due livelli Reti a più uscite Il metodo analizzato, pur essendo applicabile alle mappe di Karnaugh, risulta però limitato sia dal numero delle variabili sia dalla quantità di tabelle da realizzare (ad esempio, una rete a 10 uscite, corrispondente a 10 funzioni, implicherebbero la realizzazione di 1023 tabelle!). Si ricorre piuttosto all estensione del metodo di Quine- McCluskey, che collassa tutte le informazioni in una unica tabella: il numero degli implicanti primi estratti resta lo stesso, mantenendo il problema di copertura della stessa complessità

11 Reti a più uscite - metodo di Quine- McCluskey: : ricerca degli implicanti primi L applicazione del metodo a più funzioni completamente specificate richiede di estendere le regole di costruzione della tabella degli implicanti e di soluzione della tabella di copertura Costruzione della tabella degli implicanti si procede come per il caso scalare (una sola uscita) con la differenza che si associa ad ogni mintermine un ulteriore identificatore costituito da tanti bit quante sono le funzioni considerate l identificatore consente di individuare a quale/i funzione/i il mintermine appartiene. Un bit dell identificatore assume valore 1 se e solo se la funzione che ad esso corrisponde contiene tale mintermine nel proprio ONset; 0 in caso contrario

12 Reti a più uscite - metodo di Quine- McCluskey: : ricerca degli implicanti primi Nel caso di funzioni non completamente specificate il problema richiede un ulteriore trasformazione che riporta al caso di reti a più uscite completamente specificate: I mintermini della funzione contenuti nel DCset sono aggiunti all ONset - le condizioni di indifferenza aumentano i gradi di libertà nella generazione degli implicanti primi

13 Reti a più uscite - metodo di Quine- McCluskey: : ricerca degli implicanti primi Esempio 1: f 1 (a,b,c,d): ON 1 (0,2,12,13); DC 1 (4,5) f 2 (a,b,c,d): ON 2 (1,4,13); DC 1 (5,11) (formulazione vettoriale: F = f = (,2,12,13) DC(4,5) ON ( 1,4,13) (5,11) 1 f2 ON DC2 a,b c,d a,b c,d Mappa di Karnaugh di f 1 Mappa di Karnaugh di f

14 Reti a più uscite - metodo di Quine- McCluskey: : ricerca degli implicanti primi Esempio 1 (cont.): Si costruiscono gli identificatori riferendosi al solo ONset (senza DCset): abcd min id

15 Reti a più uscite - metodo di Quine- McCluskey: : ricerca degli implicanti primi Si aggiungono i mintermini del DCset all ONset: abcd min id

16 Reti a più uscite - metodo di Quine- McCluskey: : ricerca degli implicanti primi Si passa alla generazione di implicanti primi 1. La generazione degli implicanti segue le stesse modalità viste per il caso scalare. 2. Per ogni nuovo implicante, l identificatore delle funzioni viene ottenuto come AND bit a bit dei due indicatori. 3. Se l indicatore ottenuto è il nuovo implicante non è un espansione valida (cioè non appartiene a nessuna funzione) e quindi non viene riportato

17 Reti a più uscite - metodo di Quine- McCluskey: : ricerca degli implicanti primi Generazione di implicanti primi (cont.): 3. A ogni iterazione, quando da due implicanti se ne genera uno di livello superiore (cioè con una variabile in meno), si marcano, in quanto coperte da un implicante di livello superiore, solo quelle configurazioni di partenza il cui indicatore è uguale all indicatore dell implicante di livello superiore (l implicante di livello superiore copre quello di livello inferiore per le stesse funzioni). Ad esempio, se consideriamo i due mintermini e si ottiene l implicante 0-1 1,3 001 e nessun mintermine viene marcato come coperto

18 Reti a più uscite - metodo di Quine- McCluskey: : ricerca degli implicanti primi Sono possibili quattro casi: si vedano i seguenti esempi: 1. L identificatore di appartenenza risultante è : la configurazione ottenuta non corrisponde ad alcuna espansione valida poiché non appartiene a nessuna delle funzioni. abcd m i id AND Passo 1 nessun risultato id=

19 Reti a più uscite - metodo di Quine- McCluskey: : ricerca degli implicanti primi 1. L identificatore di appartenenza risultante coincide con entrambi gli identificatori di partenza: in tal caso la configurazione ottenuta corrisponde ad una espansione valida e coinvolge tutte le funzioni del primo e del secondo implicante coinvolto. = Passo 2 AND Passo , Passo 2 =

20 Reti a più uscite - metodo di Quine- McCluskey: : ricerca degli implicanti primi 2. L identificatore risultante è l intersezione non vuota degli identificatori di partenza, e contiene due o più 1: in tal caso la configurazione ottenuta corrisponde ad un espansione valida e coinvolge tutte e sole le funzioni cui corrispondono degli 1 nell indicatore, relativamente ai due implicanti coinvolti; 3. L identificatore di appartenenza risultante contiene un solo 1: in tal caso la configurazione ottenuta corrisponde ad un espansione valida e coinvolge l unica funzione individuata da un 1 nell identificatore;

21 Reti a più uscite - metodo di Quine- McCluskey: : ricerca degli implicanti primi Esempio1 (cont.): prime espansioni: F = f = (,2,12,13) DC (4,5) ON ( 1,4,13) (11,5 ) 1 f2 ON DC AND AND Passo 2 Passo 1 Passo 1 nessun risultato 00 = 010-4,5 11 = Nota: implicante di più funzioni AND Passo 2 Passo 1 = ,13 10 Nota: implicante di una sola funzione

22 Reti a più uscite - metodo di Quine- McCluskey: : ricerca degli implicanti primi Esempio1 (cont.): F = f f = ON (,2,12,13) DC (4,5) ON ( 1,4,13) (11,5 ) DC , , , , , , , , ,5,12,

23 Reti a più uscite - metodo di Quine- McCluskey: : ricerca degli implicanti primi Nel caso di funzioni completamente specificate gli implicanti non marcati sono implicanti primi Nel caso di funzioni non completamente specificate l elenco degli implicanti ottenuti subisce un ulteriore trasformazione: tutti gli implicanti che coprono solo mintermini del DCset non sono implicanti primi e vanno rimossi dall insieme degli implicati non marcati Es 1: l implicante 1011 che copre solo il mintermine 11 della funzione f 2 non è implicante primo perché copre solo mintermini del DCset di f 2 Tutti gli implicanti rimasti sono implicanti primi di una o più uscite

24 Quine-McCluskey McCluskey: Reti a più uscite Tabella di copertura Tabella di Copertura: si ottiene includendo gli implicanti primi e la giustapposizione dei mintermini del ONset di tutte le funzioni. Esempio1 (Cont.): abcd id m 1 m 2 P1: ,2 P2: ,4 P3: ,5 P4: ,5 P5: ,13 P6: ,5,12,13 F = f = (,2,12,13) DC (4,5) ON ( 1,4,13) (11,5 ) 1 f2 ON DC 2 f1 f P1 x x P2 x P6 x x P3 x P4 x P5 x x

25 Quine-McCluskey McCluskey: Reti a più uscite Tabella di copertura Identificazione della copertura ottima: simile al caso di singola uscita con alcune differenze: Costi: quando un termine prodotto viene scelto per la prima volta e inserito nella copertura di una o più funzioni, il suo costo viene modificato portato a 0 nel caso in cui la cifra di merito sia la cardinalità degli implicanti portato a +1 nel caso in cui la cifra di merito sia il numero dei letterali La modifica del costo serve a tener conto delle possibili condivisioni degli implicanti

26 Quine-McCluskey McCluskey: Reti a più uscite Tabella di copertura f 1 f 2 In questo esempio la soluzione è ottenuta per essenzialità e per dominanza di riga ed è indipendente dalla funzione di costo f 1 =bc d +a b d+a+cd f 2 =bc d +a b d+a b Cardinalità = 5 Numero porte AND/OR = n tot. impl. n impl. con un solo letterale + n uscite Numero porte AND/OR = = 6 Mettere a 0 il costo quando si prende un implicante significa considerare che il costo sia indipendente dal numero degli ingressi delle porte

27 Quine-McCluskey McCluskey: : reti a più uscite Tabella di copertura - costo P 0 = bc d 3 P 1 = a b d 3 P 2 = a 1 P 3 = cd 2 P 4 = a b 2 sommatoria letterali 11 f 1 =P 0 +P 1 +P 2 +P 3 = f 2 =P 0 +P 1 +P 4 = Numero totale letterali = 11 Numero totale porte ANDOR = sommatoria letterali + n condivisioni n uscite Numero totale porte ANDOR = = 11 Mettere a +1 il costo quando un implicante viene preso significa tener conto della condivisione letterali per f 1 letterali per f

28 Quine-McCluskey McCluskey: Reti a più uscite Tabella di copertura Identificazione della copertura ottima (cont.) Essenzialità: Se l implicante in oggetto è essenziale per tutte le funzioni coinvolte la riga viene eliminata (scelta dell implicante per tutte le funzioni) così come tutte le colonne coperte. Se l implicante in oggetto non è essenziale per tutte le funzioni coinvolte (per una o più funzioni tale implicante non è essenziale), la riga viene mantenuta e l implicante viene scelto per le sole funzioni per cui è essenziale; nelle sotto-tabelle relative a queste ultime si eliminano le sole colonne coperte. Si aggiorna il costo dell implicante

29 Quine-McCluskey McCluskey: Reti a più uscite Tabella di copertura Identificazione della copertura ottima (cont.) Dominanza di riga Si esamina l intera riga, poi si procede come per il caso di funzioni ad una sola uscita. Dominanza di colonna La dominanza di colonna ha validità solo all interno di una funzione. Una colonna della funzione f i non può né coprire né essere coperta da una colonna presente nella funzione f k

30 Quine-McCluskey McCluskey: Reti a più uscite Tabella di copertura Esempio 1 (cont.): f1 f P1 x x P2 x P6 x x P0 P3 x P4 x P5 x x Nota: nella scelta di P5 (essenziale per f2, grazie al mintermine 13) la riga eliminata è solo quella in corrispondenza di f2 poiché P5 non è essenziale per f1. Le espressioni Booleane sono f1=p1+p6 f2=p3+p4+p5 Si osservi che non ci sono termini condivisi

31 Quine-McCluskey McCluskey: : reti a più uscite Tabella di copertura - Cardinalità Esempio di copertura completo con cifra di merito = cardinalità: f1 f2 f P0 x x x x P1 x x x x P2 x x x x P3 x x x x x x x x P4 x x x x x x x x P5 x x x x x x x x P6 x x x x P7 x x x x P8 x x x x P9 x x x x P10 x x x x x x x x P11 x x x x x x Identificazione ed estrazione degli essenziali f1: {P5} f2: {P6} f3: {P9;P10}

32 Quine-McCluskey McCluskey: : reti a più uscite Tabella di copertura - Cardinalità Esempio di copertura completo con costo identico per tutti gli implicanti (a) f1 f2 f3 C P0 x x x 1 P1 x x x x 1 P2 x x 1 P3 x x x x x x x 1 P4 x x x x x 0 P5 x x x x 0 P6 x x 1 P7 x x x 1 P8 x x x 0 P9 x x 0 P10 x x x 1 P11 x x x dominanza di riga Soluzione parziale f1: {P5} f2: {P6} f3: {P9;P10}

33 Quine-McCluskey McCluskey: : reti a più uscite Tabella di copertura - Cardinalità (b) f1 f2 f3 C P0 x x x 1 P1 x x x x 1 P3 x x x x x x x 1 P4 x x x x x 0 P5 x x x x 0 P6 x x 1 P7 x x x 1 P8 x x x 0 P9 x x 0 P10 x x x dominanza di colonna Soluzione parziale f1: {P5} f2: {P6} f3: {P9;P10}

34 Quine-McCluskey McCluskey: : reti a più uscite Tabella di copertura - Cardinalità (c) f1 f2 f3 C P0 x x 1 P1 x x x 1 P3 x x 1 P4 x 0 P5 x 0 P6 x 1 P7 x x x 1 P8 x x 0 P9 x 0 P10 x righe essenziali secondarie e dominanza di riga Soluzione parziale f1: {P5, P9} f2: {P6} f3: {P9;P10}

35 Quine-McCluskey McCluskey: : reti a più uscite Tabella di copertura - Cardinalità (e) f1 f2 f3 C P1 x x x 1 P3 x x 1 P4 x 0 P5 x 0 P6 x 0 1 P7 x x x 0 P10 x Righe essenziali secondarie e dominanza di riga Soluzione parziale f1: {P5, P9} f2: {P6} f3: {P9,P10,P7}

36 Quine-McCluskey McCluskey: : reti a più uscite Tabella di copertura - Cardinalità (f) f1 f2 C P1 x x x 1 P3 x x 0 P5 x 0 P6 x 0 P7 x x 0 P10 x dominanza di colonna Soluzione parziale f1: {P5, P9} f2: {P6} f3: {P9,P10,P7}

37 Quine-McCluskey McCluskey: : reti a più uscite Tabella di copertura - Cardinalità (g) f1 f2 C P1 x x 1 P3 x x 0 P5 x 0 P6 x 0 P7 x 0 P10 x Tabella ciclica scelta dei rimanenti implicanti per completare la copertura f1: per coprire 5 e 13 posso scegliere P1 (costo 1) oppure P6 e P7 (costo 0). Si scelgono P6 e P7 f2: per coprire 2 e 6 posso scegliere P3 (costo 1) oppure P5 e P10 (costo 0). Si scelgono P5 e P10 Le espressioni Booleane sono f1=p5+p9+p6+p7 f2=p6+p5+p10 f3=p9+p10+p7 P5=. P9=.. P6=.. P7= P10= Soluzione finale f1: {P5, P9, P6, P7} f2: {P6, P5, P10} f3: {P9,P10,P7} Cardinalità della copertura =

38 Quine-McCluskey McCluskey: : reti a più uscite Tabella di copertura - Letterali Esempio di copertura completo con cifra di merito= Letterali: f1 f2 f C P0 x x x x 2 P1 x x x x 2 P2 x x x x 2 P3 x x x x x x x x 1 P4 x x x x x x x x 2 P5 x x x x x x x x 2 P6 x x x x 3 P7 x x x x 3 P8 x x x x 3 P9 x x x x 3 P10 x x x x x x x x 2 P11 x x x x x x 3 Identificazione ed estrazione degli essenziali f1: {P5} f2: {P6} f3: {P9;P10}

39 Quine-McCluskey McCluskey: : reti a più uscite Tabella di copertura - Letterali Esempio cont. f1 f2 f C P0 x x x 2 P1 x x x x 2 P2 x x 2 P3 x x x x x x x 1 P4 x x x x x 2 P5 x x x x 2 -> 1 P6 x x 3 -> 1 P7 x x x 3 P8 x x x 3 P9 x x 3 -> 1 P10 x x x 2 -> 1 P11 x x x 3 Identificazione delle dominanze di colonna: F1 : 7 domina 5 ; 9 domina 8 ; F2 : 3 domina 2 ; 11 domina 10 ; 14 domina 15;

40 Quine-McCluskey McCluskey: : reti a più uscite Tabella di copertura - Letterali Esempio cont. f1 f2 f C P0 x x 2 P1 x x x 2 P2 x 2 P3 x x x x 1 P4 x 2 P5 x x 1 P6 x 1 P7 x x x 3 P8 x x 3 P9 x 1 P10 x x 1 P11 x 3 Identificazione delle dominanze di riga: P1 domina P0 ; P9 domina P2 ; P7 domina P8 ; P3 domina P5 ; P3 domina P10; P1 domina P4 ; P1 domina p11;

41 Quine-McCluskey McCluskey: : reti a più uscite Tabella di copertura - Letterali Esempio cont. f1 f2 f C P1 x x x 2 P3 x x x x 1 P6 x 1 P7 x x x 3 P9 x 1 Identificazione delle essenzialità: F1: {P9} F2: {P3} F3: {P7}

42 Quine-McCluskey McCluskey: : reti a più uscite Tabella di copertura - Letterali Esempio cont f C P1 x x x 2 P6 x 1 P7 x x 3 -> 1 Identificazione delle dominanze di colonna: F1 : 13 domina 15 ; f C P1 x x 2 P6 x 1 P7 x 1 Non sono più applicabili le riduzioni per essenzialità e per dominanza. Si risolve la tabella ciclica con un B&B

43 Quine-McCluskey McCluskey: : reti a più uscite Tabelle cicliche É possibile applicare il B&B con alcuni accorgimenti. Un implicante può essere usato per coprire mintermini di funzioni differenti. L aumento della complessità è notevole a causa dell aumento dei gradi di libertà (lo stesso implicante può comparire più volte nell albero di copertura di B&B)

44 Esempio Quine-McCluskey McCluskey: : reti a più uscite Tabelle cicliche f1 f2 A B C D E F G H I L P0 x x x x P1 x x x x x P2 x x x x x P3 x x x x x P4 x x x x x {P0 f1 } {P0 f1,p0 f2 } {P0 f1,p1 f2 } {P0 f1,p0 f2,p2 f1 }

45 Quine-McCluskey McCluskey: : reti a più uscite Criteri di costo Differenti criteri di costo implicano Differenti complessità di elaborazione (Usare come costo i letterali comporta una soluzione più complessa) Differenti stime del costo del circuito (Considerare solo la cardinalità non tiene in conto il costo reale delle porte logiche) Aumentare la complessità algoritmica per una stima migliore potrebbe essere assolutamente inutile, considerando che il collegamento alla libreria tecnologica (library binding) cambia la struttura del circuito e, come conseguenza, il costo della realizzazione. In media, due soluzioni che differiscono nel costo stimato del 10%-20% sono da considerarsi equivalenti