RIDUZIONE DEL NUMERO DI STATI DI UN AUTOMA

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1 RIDUZIONE DEL NUMERO DI STATI DI UN AUTOMA Il numero degli stati di un automa può risultare elevato, perché l insieme stesso degli stati può essere ridondante, in quanto vi possono essere più stati che riassumono la stessa storia passata e che sono quindi equivalenti fra loro. E importante tenere presente che per realizzare un circuito sequenziale sincrono con N stati sono necessari n flip-flop, e che il numero di flip-flop e il numero di stati sono legati dalla seguente disuguaglianza: 2 n-1 N 2 n. Il circuito diviene pertanto tanto più complesso quanto maggiore è il numero degli stati. Nel progetto di un automa bisogna quindi ridurre al minimo gli stati, in modo da realizzare il circuito con il minor numero di flip-flop e di porte logiche. La riduzione degli stati si effettua tenendo presente che due stati possono essere ridotti ad uno solo quando: 1. hanno uscite identiche ed evolvono verso lo stesso stato futuro; 2. hanno uscite identiche e rimangono nello stesso stato o evolvono verso lo stesso stato futuro; 3. hanno uscite identiche ma si scambiano lo stato futuro, o evolvono verso uno stesso stato; 4. hanno uscite identiche, però evolvono verso stati futuri diversi, che tuttavia sono equivalenti. Nei primi tre punti si parla di equivalenza immediata, nell ultimo di equivalenza implicita. Per verificare se è possibile ridurre il numero degli stati, è necessario confrontare uno stato con tutti gli altri: il procedimento è reso più semplice e veloce attraverso la tabella di implicazione. La tabella di implicazione si costruisce basandosi sulla tabella degli stati e, attraverso di essa, si risale all equivalenza degli stati, verificandone in prima battuta la non equivalenza e poi per esclusione l equivalenza. Si supponga di dover ridurre il numero di stati del seguente automa. Stato presente Stato futuro / Uscita Ingresso X=0 Ingresso X=1 A B/0 D/0 B B/0 C/0 C D/0 D/1 D C/0 C/1 E C/0 C/1 Le operazioni da seguire sono le seguenti. 1. Costruzione della tabella di implicazione La tabella di implicazione è di forma triangolare, con (N-1) righe ed (N-1) colonne: 1. le righe sono nominate dall alto con gli stati del sistema, escluso il primo; 2. le colonne sono nominate da sinistra con gli stati del sistema, escluso l ultimo;

2 3. ogni cella è individuata da due stati diversi e in essa si segnerà il risultato del confronto fra i due stati stessi che la individuano. B C D E 2. Individuazione degli stati non equivalenti e delle possibili equivalenze Si procede al confronto tra gli stati e si segna con una croce nella tabella di implicazione quando i due stati sono sicuramente non equivalenti, cioè quando hanno uscita differente. Le altre celle si lasciano vuote. B D X X E X X 3. Individuazione degli stati di equivalenza immediata e delle possibili equivalenze implicite Si considerano adesso le celle lasciate vuote. Se i due stati sono immediatamente equivalenti si inserisce nella cella il simbolo mentre se l eventuale equivalenza dipende dall equivalenza di altri stati, si inserisce nella cella l indicazione di questi ultimi. Partendo dall alto, si considera per prima la cella (A,B). Gli stati A e B possono essere equivalenti se lo stato futuro è lo stesso o se gli stati futuri sono differenti ma equivalenti. Per X=0 sia A che B hanno lo stesso stato futuro B. Se invece X=1, da A si passa a D, mentre da B si passa a C. Pertanto A e B sono equivalenti se lo sono anche C e D. Nella cella vuota (A,B) si segna DC, per significare che A e B sono equivalenti se lo sono D e C. Si considera adesso la cella (C,D). Gli stati C e D sono immediatamente equivalenti in quanto, analizzando la tabella degli stati, si vede che dallo stato C si passa allo stato D, così come dallo stato D si passa allo stato C. La cella (C,D) viene contrassegnata col simbolo. Si passa quindi alla cella (C,E). sia per X=0 che per X=1, da C si passa a D, mentre da E si passa a C. C ed E sono equivalenti solo se lo sono C e D. Pertanto all interno della cella si scrive DC. Per ultima si considera la cella (D,E). Gli stati D ed E sono immediatamente equivalenti, in quanto dalla tabella degli stati si vede che dallo stato D si passa allo stato C e dallo stato E si passa allo stato C. Nella cella si scrive il simbolo.

3 B DC D X X E X X DC 4. Individuazione delle equivalenze implicite Si riesamina la tabella alla ricerca delle equivalenze implicite. Si parte dall ultima riga in basso e si considerano le celle non segnate da una croce o dal simbolo, indicative di una possibile equivalenza implicita. Se gli stati a cui si rimanda non sono equivalenti, si segna una croce mentre se lo sono si segna con il simbolo. Si riesamina ancora la tabella di implicazione, in più passaggi, in modo da definire l equivalenza o meno delle celle rimanenti. Cella (C,E): gli stati C ed E sono equivalenti se lo sono D e C. Questi due stati sono equivalenti quindi anche C ed E sono equivalenti e la cella (C, E) è segnata con. Cella (A, B): gli stati sono equivalenti, in quanto lo sono D e C. B DC D X X E X X DC Tutte le sono già state contrassegnate e quindi il procedimento è concluso. 5. Costruzione della nuova tabella degli stati Si riuniscono gli stati equivalenti e si costruisce la nuova tabella degli stati. Nell esempio sono equivalenti: (A, B), (C; D), (D, E). Gli stati (A; B) sono sostituiti dallo stato A. Dalle equivalenze (C, D) e (D, E), per la proprietà transitiva, si deduce l equivalenza dei tre stati C, D, E, che vengono sostituiti dallo stato C. La nuova tabella degli stati, semplificata, è la seguente: Stato presente Stato futuro / Uscita Ingresso X=0 Ingresso X=1 A A/0 C/0 C C/0 C/1 Inconvenienti della riduzione degli stati La riduzione del numero degli stati comporta un inconveniente. A causa di disturbi o malfunzionamenti, il sistema si può portare appunto in uno stato non previsto, rimanendovi bloccato o seguendo una sequenza indesiderata.

4 ESERCIZIO L automa di seguito riportato, riconoscitore di una sequenza di tre uno, fornisce in uscita z un livello logico alto se e solo se gli ultimi tre valori del suo ingresso sono stati 1. Individuare l automa minimo e procedere alla sintesi con F.F. di tipo D e di tipo JK. 1,,0 A B C 1,1 1,0 D SOLUZIONE Dal grafo degli stati si ricava la tabella di flusso di seguito riportata. stato A A/0 B/0 B D/0 C/0 C D/0 C/1 D A/0 B/0 Si procede quindi alla stesura della tabella di implicazione. B AD BC D AD BC X A B C Dalla tabella di implicazione si ricava che lo stato A e lo stato D sono equivalenti e si può pertanto procedere alla scrittura della tabella minima. stato A A/0 B/0 B A/0 C/0 C A/0 C/1 L automa presenta due variabili di stato, y2 e y1, necessarie per rappresentare i tre stati così codificati: A=00, B=01, C=10.

5 00 00/0 01/ /0/ /0/1 Sintesi a F.F. di tipo D y2 n+1 D2 n = y2 n+1 = (y2 + y1) n y1 n+1 D1 n = y1 n+1 = (y 2y 1) n z n z n = (y2) n

6 Sintesi a F.F. di tipo JK y2 n+1 J2 n = y1 K2 n = y1 n+1 J1 n = y 2 K1 n = 1