UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI BERGAMO. Corso di Risk Management

Transcript

1 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI BERGAMO Corso di Prof. Filippo Stefanini A.A. Corso Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria Edile pag 1

2 Performance nette mensili di un portafoglio Sia NAV t il patrimonio netto di un portafoglio di strumenti finanziari al tempo t. Il rendimento mensile del portafoglio è: R t NAVt NAV NAV t1 NAV NAV t1 t t1 1 pag 2

3 CAGR CAGR = Compounded Annual Growth Rate, tasso di crescita medio composto. Se V f è il valore finale e V i è il valore iniziale ed n è il numero di anni che intercorrono tra i due valori, il tasso di crescita medio composto è dato dalla seguente formula: CAGR n V V f i 1 pag 3

4 Performance cumulate La performance cumulata è data dalla seguente formula: t CP t (1 R i i1 ) 1 Su un orizzonte di 12 mesi la performance cumulata è definita YTD (Year To Date) pag 4

5 Variabile casuale Possiamo pensare al rendimento di un portafoglio come ad una variabile casuale. pag 5

6 Distribuzione empirica Numero di osservazioni % -2% -1% 0% 1% 2% 3% 4% Rendimenti mensili pag 6

7 Moda La moda è il valore di una distribuzione caratterizzato dalla massima frequenza. MODA Numero di osservazioni % -2% -1% 0% 1% 2% 3% 4% Rendimenti mensili pag 7

8 Mediana La mediana è il valore che occupa la posizione centrale nella distribuzione (il 50% dei dati sono a destra ed il 50% dei dati a sinistra della mediana). MEDIANA osservazioni 20 osservazioni Numero di osservazioni % -2% -1% 0% 1% 2% 3% 4% Rendimenti mensili pag 8

9 Funzione densità di probabilità La funzione di densità di probabilità è la distribuzione di probabilità di una variabile casuale pag 9

10 Funzione ripartizione dei rendimenti Si dice funzione di ripartizione o funzione cumulativa delle frequenze dei rendimenti x F ( x) f ( t) dt pag 10

11 Percentile Il percentile è quel valore x per il quale la funzione di ripartizione è uguale al valore p. F( x) p La mediana è il valore di x per il quale p=0.5 Il primo quartile è il valore di x per il quale p=0.25 Il primo decile è il valore di x per il quale p=0.1 pag 11

12 Significato grafico del percentile f(x) F(x)=p x x pag 12

13 Momenti di un campione di dati 1. Media 2. Varianza 3. Asimmetria 4. Curtosi pag 13

14 Media Data una serie storica di n performance R t, la performance media è data dalla seguente formula: R 1 n n t1 R t Analogia con il baricentro di una distribuzione di masse. pag 14

15 Varianza Varianza = è una misura della dispersione dei rendimenti attorno alla loro media. 2 t1 ˆ n R t n 1 R 2 Analogia con il momento di inerzia di una distribuzione di masse. pag 15

16 Varianza f(x) 0,9 0,8 0,7 Varianza = 0,25 0,6 0,5 0,4 0,3 Varianza = 1 0,2 0,1 Varianza = 4 0, x pag 16

17 Asimmetria (Skewness) Asimmetria = è il terzo momento standardizzato della distribuzione e misura l asimmetria della distribuzione di probabilità di una variabile casuale Se l asimmetria è: >0 la coda destra è più lunga della sinistra <0 la coda sinistra è più lunga della destra =0 la distribuzione è simmetrica Asimmetria negativa f(x) f(x) Asimmetria positiva x x pag 17

18 Curtosi Curtosi = è il rapporto tra il momento standardizzato di ordine 4 e il quadrato della varianza Se la curtosi è: >3 la distribuzione si definisce leptocurtica, cioè più "appuntita" di una normale <3 la distribuzione si definisce platicurtica, cioè più "piatta" di una normale =3 la distribuzione si definisce normocurtica, cioè "piatta" come una normale pag 18

19 Curtosi Curtosi di 7 distribuzioni conosciute Nell esempio seguente confrontiamo alcune distribuzioni conosciute che hanno i primi tre momenti uguali: Media = 0 Varianza = 1 Asimmetria = 0 La figura mostra la funzione di densità di probabilità di 7 distribuzioni: D: Laplace distribution, a/k/a double exponential distribution, red curve, kurtosis 6 (leptokurtic) S: hyperbolic secant distribution, orange curve, kurtosis 5 (leptokurtic) L: logistic distribution, green curve, kurtosis 4.2 (leptokurtic) N: normal distribution, black curve, kurtosis 3 (mesokurtic) C: raised cosine distribution, cyan curve, kurtosis 2.4 (platykurtic) W: Wigner semicircle distribution, blue curve, kurtosis 2 (platykurtic) U: uniform distribution, magenta curve, kurtosis 1.8 (platykurtic) pag 19

20 Curtosi pag 20

21 La distribuzione normale standardizzata La funzione di densità di probabilità di una variabile casuale normale standardizzata: ( x) 1 2 x e t 2 / 2 dt pag 21

22 La funzione di densità normale standardizzata f(x) 0,5 0,4 0,4 Una distribuzione normale ha: Media = 0 Varianza = 1 Asimmetria = 0 Curtosi = 3 0,3 0,3 0,2 0,2 0,1 0,1 0, x pag 22

23 La funzione di densità normale standardizzata Se una distribuzione ha Media = 0 Varianza = 1 Asimmetria = 0 Curtosi = 3 posso concludere che è una distribuzione normale standardizzata? No! Devo prima fare un test di normalità e calcolare la significatività osservata. pag 23

24 La funzione di ripartizione normale standardizzata F(x) 1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0, x pag 24

25 Distribuzione normale In una distribuzione normale circa il 68% delle osservazioni sono comprese tra ± 1 standard deviation (σ) dalla media (µ); circa il 95% dei valori sono compresi tra ± 2 σ e circa il 99.7% tra ± 3 σ. f(x) 68% - σ + σ x pag 25

26 Rendimento e volatilità Possiamo misurare un rendimento in relazione alla volatilità e dire che un certo rendimento è pari ad n volte la volatilità di quello strumento finanziario. Per cui potremo dire che un certo rendimento è stato pari a -2σ o a - 3σ. pag 26

27 Standard deviation Standard deviation = radice quadrata della varianza: n t1 ( R t n 1 R) 2 con n > 1 La deviazione standard è una misura della volatilità di uno strumento finanziario. pag 27

28 s dei membri dell indice DAX Fonte: Bloomberg, dati al 09/03/2010 Name s30gg s60gg s90gg Adidas AG 26.4% 24.0% 26.4% Allianz SE 18.4% 19.1% 23.4% BASF SE 25.0% 24.6% 26.1% Bayer AG 24.8% 25.9% 25.7% Bayerische Motoren Werke AG 28.9% 24.8% 28.3% Beiersdorf AG 17.7% 20.2% 21.5% Commerzbank AG 37.4% 38.9% 41.5% Daimler AG 34.9% 29.3% 32.8% Deutsche Bank AG 33.0% 34.8% 37.3% Deutsche Boerse AG 25.0% 24.7% 26.6% Deutsche Lufthansa AG 26.9% 27.9% 27.6% Deutsche Post AG 30.6% 27.8% 28.7% Deutsche Telekom AG 16.4% 18.4% 20.6% E.ON AG 19.1% 19.5% 20.7% Fresenius Medical Care AG & Co KGaA 21.9% 20.1% 20.0% Fresenius SE 24.9% 21.9% 24.8% Henkel AG & Co KGaA 21.0% 20.0% 22.7% Infineon Technologies AG 37.4% 38.8% 45.0% K+S AG 28.2% 31.9% 34.2% Linde AG 20.5% 22.3% 24.0% MAN SE 26.1% 22.5% 27.0% Merck KGaA 37.0% 28.3% 26.8% Metro AG 21.2% 20.4% 23.1% Muenchener Rueckversicherungs AG 13.2% 14.3% 16.4% RWE AG 18.9% 17.0% 17.3% Salzgitter AG 26.5% 26.6% 29.0% SAP AG 22.6% 22.5% 21.7% Siemens AG 26.8% 24.8% 29.0% ThyssenKrupp AG 31.2% 30.2% 30.6% Volkswagen AG 33.0% 31.7% 47.8% pag 28

29 Esempio di titoli con volatilità molto diverse La volatilità a 260 giorni di Tenaris è 33.0% mentre quella a 260 giorni di Terna è 19.1%. Il grafico della storia dei prezzi mostra visivamente la differenza /01/ /04/ /07/ /10/ /02/ /05/ /08/ /12/ /03/ /06/2008 Tenaris S.A. Terna - Rete Elettrica Nationale SpA pag 29

30 Indice di Sharpe Indice di Sharpe = Rappresenta una misura di rendimento corretto per il rischio basato sul confronto del maggior rendimento (excess return) di un portafoglio di strumenti finanziari rispetto al rendimento di un attività senza rischio (ad es. Euribor 3m, Libor 3m), con la misura del rischio (deviazione standard) del maggior rendimento. Ad esempio, date le serie storiche dell andamento del valore del portafoglio e dell andamento del Libor 3m si calcola il rendimento del portafoglio, il rendimento dell attività risk free e la deviazione standard della serie ottenuta dalla differenza delle due serie storiche. In formule: Indice di Sharpe hf dove: r hf è il rendimento medio del portafoglio, r rf è il rendimento medio dell attività risk free s er è la deviazione standard dell excess return. er rf pag 30

31 Fairfield Sentry Ltd Lo Sharpe Ratio del fondo Fairfield Sentry Ltd era di 2.4. Ma il giorno 11 dicembre 2008 Bernard Madoff, 70 anni, è stato arrestato con l accusa di frode. Lui era insolvente ed lo era stato per anni ed aveva ideato un Ponzi scheme. Le perdite causate dalla sua frode si aggirano intorno ai $50 miliardi di dollari. È stato poi riconosciuto colpevole e condannato a 150 anni di prigione. pag 31

32 Omega Distribuzioni di rendimenti per due portafogli A e B Probabilità Portafoglio A Portafoglio B Rendimento % pag 32

33 Omega I due portafogli hanno la stessa media e la stessa varianza. Si noti che il portafoglio B ha la coda destra più alta di quella sinistra. Portafoglio A Portafoglio B Media 14,0 14,0 Varianza 25,0 25,0 Sharpe Ratio = 0,36* I due portafogli hanno lo stesso indice di Sharpe ma siamo veramente indifferenti tra i due portafogli? * Assumendo Risk Free Rate = 5% pag 33

34 Omega La maggior parte degli investitori non è indifferente tra i due portafogli!!! Analizziamo meglio i momenti delle due distribuzioni: Portafoglio A Portafoglio B Media 14,0 14,0 Varianza 25,0 25,0 Asimmetria 0,0 1,0 Curtosi 3,0 4,9 Apparentemente il portafoglio A ha rendimenti distribuiti normalmente, mentre il portafoglio B ha asimmetria positiva, ossia una probabilità maggiore di produrre rendimenti a destra del picco della distribuzione rispetto alla sinistra. Il portafoglio B ha una Curtosi maggiore del portafoglio A, ossia una maggior probabilità di generare rendimenti estremi. La scelta tra i due portafogli dipende dalla funzione di utilità dell investitore. pag 34

35 Se definiamo perdite inaccettabili tutti i rendimenti negativi, possiamo porre uguale a zero la soglia di perdita. Il grafico seguente mostra la funzione di densità di probabilità del portafoglio B. Omega Probabilità Rendimento % Omega è il rapporto tra l area bianca e l area colorata (usando una soglia di perdita uguale a zero) pag 35

36 Omega Se usiamo una soglia di perdita parametrica r otteniamo la funzione Omega: Dove (a,b) è l intervallo dei rendimenti e F(x) è la funzione di ripartizione dei rendimenti. Per ogni livello di rendimento r, Ω(r) è il rapporto tra la probabilità dei guadagni e la probabilità delle perdite, relativi alla soglia r. Fonte: A Universal Performance Measure, Con Keating and William F. Shadwick pag 36

37 Omega Omega Portafoglio A Portafoglio B Soglia di perdita % Le funzioni Omega rivelano che il portafoglio B è superiore al portafoglio A per quasi tutte le soglie di perdita che un investitore può realisticamente considerare. Infatti A è superiore a B solo per soglie di perdita inferiori a -40% o comprese tra +14% e +19%. pag 37

38 Caratteristiche della funzione Omega È calcolata direttamente dalle distribuzioni dei rendimenti e non richiede stime Permette agli investitori di calcolare distribuzioni di rendimenti radicalmente diverse in un modo oggettivo È semplice da visualizzare Omega tiene conto di tutti i momenti di una distribuzione perché è una trasformazione della distribuzione stessa Evita di prendere decisioni introducendo la funzione di utilità Omega vale 1 in corrispondenza del rendimento medio. pag 38

39 Indice di Sortino L indice di Sortino nasce dall esigenza di distinguere tra volatilità buona (quella dei rendimenti positivi) e volatilità cattiva (quella dei rendimenti negativi). Indice di Sortino = è un indicatore di rischio molto simile all indice di Sharpe, anche se al denominatore usa la deviazione standard degli excess return negativi Indice di Sortino R hf R rf er neg dove: R hf è il rendimento medio del portafoglio R rf è il rendimento medio dell attività risk free s er neg è la deviazione standard degli excess return negativi pag 39

40 Alpha e Beta Consideriamo adesso un portafoglio di strumenti finanziari. Costruiamo la retta di regressione a partire dai rendimenti del portafoglio disegnati in funzione dei rendimenti del mercato di riferimento. Alpha = extrarendimento di portafoglio. Statisticamente è rappresentato dall intercetta sull asse delle ordinate della retta di regressione nel piano rendimento del portafoglio (in ordinate) rendimento di mercato (in ascissa) Beta = esposizione del portafoglio al rischio sistematico. Statisticamente è la pendenza della retta di regressione nel piano rendimento del portafoglio (in ordinate) rendimento di mercato (in ascissa). Il beta misura la sensibilità della variazione del rendimento di un portafoglio alla variazione del rendimento di mercato: se b>1 la sensibilità del rendimento del portafoglio è maggiore di quella di mercato se b=1 la sensibilità del rendimento del portafoglio è uguale a quella di mercato se b<1 la sensibilità del rendimento del portafoglio è inferiore a quella di mercato pag 40

41 Significato grafico di Alpha e Beta Rendimento del portafoglio di titoli Retta di regressione lineare Alpha Beta Rendimento dell indice del mercato di riferimento pag 41

42 Beta dei membri dell indice DAX Name b Adidas AG 0.90 Allianz SE 1.15 BASF SE 1.10 Bayer AG 0.80 Bayerische Motoren Werke AG 1.04 Beiersdorf AG 0.63 Commerzbank AG 1.40 Daimler AG 1.28 Deutsche Bank AG 1.44 Deutsche Boerse AG 1.05 Deutsche Lufthansa AG 1.00 Deutsche Post AG 1.01 Deutsche Telekom AG 0.72 E.ON AG 0.96 Fresenius Medical Care AG & Co KGaA 0.54 Fresenius SE 0.77 Henkel AG & Co KGaA 0.78 Infineon Technologies AG 1.45 K+S AG 1.02 Linde AG 0.81 MAN SE 1.12 Merck KGaA 0.74 Metro AG 1.05 Muenchener Rueckversicherungs AG 0.78 RWE AG 0.85 Salzgitter AG 1.28 SAP AG 0.86 Siemens AG 1.08 ThyssenKrupp AG 1.20 Volkswagen AG 0.91 Fonte: Bloomberg, dati al 09/03/2010 pag 42

43 Esempio Alfa e beta del fondo Arca Azioni Italia rispetto all indice Italy Stock Market BCI Comit pag 43

44 Indice di Treynor Indice di Treynor = è una misura del extra-rendimento di un portafoglio rispetto ad un attività priva di rischio diviso per il rischio sistematico del portafoglio Indice di Treynor R hf R rf hf pag 44

45 Alpha di Jensen Alpha di Jensen = misura l extra-rendimento di un portafoglio rispetto al rendimento spiegato dal modello Capital Asset Pricing Model. Alpha di Jensen R hf R rf R m R rf pag 45

46 Maximum uninterrupted loss, Maximum uninterrupted gain Maximum uninterrupted loss = Il ribasso generato dalla peggior serie storica di rendimenti negativi consecutivi. Maximum uninterrupted gain = Il rialzo generato dalla miglior serie storica di rendimenti positivi consecutivi. pag 46

47 Esempio Calcoliamo il ribasso generato dalla peggior serie storica di rendimenti negativi consecutivi. Maximum uninterrupted loss = -4.45% pag 47

48 Drawdown e Maximum Drawdown Drawdown = Il ribasso da un picco ad una valle. Il minimo seguente non è determinato finché il portafoglio non raggiunge un nuovo massimo. Maximum Drawdown = Massimo valore del declino da qualsiasi picco a valle in un determinato periodo. Drawdown i NAVi Max NAV 1i 1 MaxDrawdown min Drawdown1 n pag 48

49 La formula per il calcolo del drawdown pag 49

50 Drawdown Maximum drawdown = -7.32% gen-02 lug-02 gen-03 lug-03 gen-04 lug-04 gen-05 lug-05 gen-06 lug-06 gen-07 lug-07 31/12/2002 pag 50

51 Run-up e Maximum Run-up Massimo Run-Up = Massimo valore del rialzo da qualsiasi valle a picco in un determinato periodo. Il massimo seguente non è determinato finché il portafoglio non raggiunge un nuovo minimo. Maximum Run-Up = Massimo valore del rialzo da qualsiasi valle a picco in un determinato periodo. RunUp i NAVi Min NAV 1i 1 MaxRunUp max RunUp1 n pag 51

52 Autocorrelazione La funzione di autocorrelazione descrive la correlazione di un processo causale con se stesso in momenti temporali diversi. L autocorrelazione è molto utilizzata nell analisi dei segnali. Ad esempio può essere utilizzata per valutare un inerzia temporale nelle performance o un effetto trascinamento Nell analisi di regressione di una serie storica l autocorrelazione dei residui mostra l inapplicabilità del modello. pag 52

53 I test statistici Nel confronto tra due portafogli, qualunque affermazione va testata statisticamente per capire se è un evidenza casuale o anche una significatività statistica. Per stabilire se due serie storiche di performance hanno la stessa media non basta calcolarle e confrontarle: bisogna chiedersi se la differenza tra le medie è statisticamente significativa!!! pag 53

54 I test statistici Test F a due campioni Il Test F a due campioni analizza due campioni per verificare se hanno la stessa varianza oppure no. Test T a due campioni Il Test T a due campioni analizza due campioni per verificare se hanno la stessa media oppure no in due diversi casi: le varianze dei campioni sono uguali o le varianze dei campioni sono diverse. pag 54

55 Il quartetto di Anscombe Nel 1973 lo statistico Francis J. Anscombe costruì il quartetto per dimostrare l importanza di disegnare i dati prima di analizzarli e per dimostrare l effetto di outliers sulle proprietà statistiche Il quartetto di Anscombe comprende 4 insiemi di dati che hanno proprietà statistiche identiche ma che appaiono molto diversi se sono disegnati. Ecco i valori x e y per il quartetto di Anscombe: I II III IV x y x y x y x y pag 55

56 Il quartetto di Anscombe Il quartetto di Anscombe ha le seguenti proprietà, identiche per tutte e quattro le serie di dati: Proprietà Valore Media di x in tutti e 4 i casi Varianza di x in tutti e 4 i casi Media di y in tutti e 4 i casi Varianza di y in tutti e 4 i casi Correlazione tra x e y in tutti e 4 i casi Retta di regressione lineare in tutti e 4 i casi y = x pag 56

57 Il quartetto di Anscombe Il quartetto di Anscombe comprende 4 insiemi di dati che hanno proprietà statistiche identiche ma che appaiono molto diversi se sono disegnati pag 57

58 Il quartetto di Anscombe La prima serie di dati sembra essere distribuita normalmente. La seconda serie di dati non è distribuita normalmente ma c è una relazione lineare tra le due variabili. La terza serie di dati la distribuzione è lineare ma con una linea di regressione diversa che è spostata da un outlier che esercita sufficiente influenza per alterare la retta di regressione lineare. La quarta serie di dati mostra come un outlier è sufficiente per produrre un elevato coefficiente di correlazione anche se la relazione tra le due variabili è secondo una diversa retta di regressione lineare. pag 58