Matematica Costruttiva. Tesine

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1 Matematica Costruttiva. Tesine Universitá di Bologna 08/11/2010

2 Tesine 1 Martin-Löf type theory 2 Modelli omotopici per teoria dei tipi 3 Realizzabilità/estrazione di codice 4 Semantica di Kripke per la logica intuizionista 5 Algebre di Heyting 6 Point-free topology / basic topology 7 Teoria dei topoi 8 Confronto fra le varie scuole di matematica costruttiva 9 Logica intuizionista per i fisici 10 Applicazioni della matematica costruttiva in economia 11 Rappresentazioni computabili per numeri reali 12 Storia della matematica: logicismo vs intuizionismo vs Teoria costruttiva degli insiemi 14 Brouwer s fan theorem 15 Logica geometrica e topologia 16 Matematica ricorsiva 17 Approfondimenti

3 Martin-Löf Type Theory Idea: invece di definire una logica + una fondazione distinta (insiemi), si definisce immediatamente una teoria dei tipi e si vedono i costrutti logici come tipi particolari (p.e. = ) Idea: la MLTT è una teoria predicativa che contiene la logica intuizionista e può essere utilizzata come fondazione per la matematica di Bishop Idea: è anche un linguaggio di programmazione con tipi dipendenti per funzioni totali P. Martin-Löf, Intuitionistic Type Theory. Notes by Giovanni Sambin. Bibliopolis B. Nordström, K. Petersson, Jan M. Smith, Programming in Martin-Löf Type Theory

4 Modelli omotopici per teoria dei tipi Idea: fornire un modello della teoria dei tipi usando l omotopia. Idea: tipo insieme; tipo gruppo di omotopia Prerequisiti: teoria dell omotopia, un pò di teoria dei tipi Voevodsky, V., Univalent Foundations Project (01/10/2010) Voevodsky, V., The equivalence axiom and univalent models of type theory van den Berg, B. and Garner, R., Types are weak ω-groupoids Lumsdaine, P., Weak ω-categories from intensional type theory

5 Realizzabilità / Estrazione di codice Idea: una dimostrazione intuizionista di x : A.Σy : B.P(x, y) include una funzione (programma) f : A B t.c. x.p(x, f (x)) Idea: la realizzabilità permette di estrarre un tale programma (in un dato linguaggio di programmazione o come un numero naturale) Kleene, S. C. (1945). On the interpretation of intuitionistic number theory. Journal of Symbolic Logic 10 (4): C. Paulin-Mohring. Extracting F ω s programs from proofs in the Calculus of Constructions. In Sixteenth Annual ACM Symposium on Principles of Programming Languages, Austin, ACM. Cruz-Filipe, Spitter. Program extraction from large proof developments.

6 Semantica di Kripke per la logica intuizionista Idea: Semantica di Kripe = semantica di mondi possibili in evoluzione Idea: logica intuizionista = logica dove le proposizioni sono definitivamente vere oppure definitivamente false oppure ancora non determinate e possono evolvere in definitivamente vere, definitivamente false o restare per sempre indeterminate Idea: si interpretano le frasi non in un mondo, ma in un insieme di mondi in evoluzione (come sopra) semantics

7 Algebre di Heyting Idea: definire i valori di verità per una proposizione intuizionista Idea: oltre a falso e vero (con falso < vero), ci possono essere valori intermedi in un ordinamento parziale (p.e. false < forse < vero) Idea: se sono rispettate certe condizioni, è possibile assegnare a ogni formula un valore di verità in un algebra di Heyting in modo tale che la formula sia una tautologia sse il suo valore è vero algebra

8 Point-free topology / basic topology Idea: la topologia classica studia punti e loro approssimazioni (aperti, intorni, etc.) Idea: sotto certe condizioni, i punti vengono determinati dall insieme delle loro approssimazioni e viceversa Idea: tuttavia le approssimazioni sono spesso dati concreti (p.e. intervalli con estremi razionali) mentre i punti sono oggetti ideali/infiniti (p.e. numeri reali) Idea: la maggior parte della topologia si riesce a fare senza parlare mai dei punti, ma solo delle loro approssimazioni; così facendo si evita l assioma di scelta, certi ragionamenti per assurdo e la teoria risulta più convincente Johnstone : The point of pointless topology Sambin, Some points in formal topology, Theoretical Computer Science 305 (2003), pp

9 Teoria dei topoi Idea: l approccio moderno alla matematica non studia le strutture in quanto tali, ma le proprietà preservate da certe classi di trasformazioni Idea: teoria degli insiemi = studio delle strutture Idea: teoria delle categorie = studio delle trasformazioni Idea: la teoria delle categorie può essere vista come un altra fondazione della matematica, diversa dalla teoria degli insiemi Idea: (Elementary) Topos = categoria così ricca (prodotti, co-prodotti, esponenti, pull-back, subobject-classifier,... ) da sembrare una teoria degli insiemi (ma gli oggetti non sono necessariamente insiemi, i morfismi non sono necessariamente funzioni ridotte a insieme, la logica indotta dal subobject-classifier è intuizionista) toposes.28toposes in logic.29

10 Confronto fra le varie scuole di matematica costruttiva Bridges, D.S. and F. Richman, Varieties of constructive mathematics, Cambridge Univ. Press

11 Logica intuizionista per i fisici (??) Idea: la fisica moderna parte dal presupposto che certe quantità non siano conoscibili e/o non siano determinati (contro la logica classica) Idea: tutte le quantità in fisica sono approssimazioni (magari raffinabili), ma mai oggetti ideali (quantità infinita di informazione) Pour-El, Richards, computability in analysis and physics (?)

12 Applicazioni della matematica costruttiva in economia Petrus H Potgieter, Computability in economic models Marian Alexandru Baroni, The Constructive Theory of Riesz Spaces and Applications in Mathematical Economics Baroni, Bridges, Continuity Properties of Preference Relations

13 Rappresentazioni computabili per numeri reali Idea: studiare diverse rappresentazioni costruttive dei numeri reali Ciaffaglione, Di Gianantonio, A tour with constructive real numbers Bertot, Affine functions and series with coinductive real numbers Milad Niqui, Coinductive formal reasoning in real exact arithmetics Milad Niqui, PhD Thesis; Formalising Exact Arithmetic: Representations, Algorithms and Proofs, Radboud University Nijmegen, September 2004 Milad Niqui, Exact Arithmetic on the Stern Brocot Tree, Journal of Discrete Algorithms, 5(2): , 2007 Pietro Di Gianantonio, A golden notation for real numbers....

14 Storia della matematica: logicismo vs intuizionismo vs... Giulio Giorello, Introduzione alla filosofia della scienza...

15 Teoria costruttiva degli insiemi Idea: fondare la matematica su una teoria costruttiva degli insiemi Peter Aczel and Michael Rathjen, Notes on Constructive Set Theory

16 Brouwer s fan theorem Idea: investigare la prova di Brouwer del fatto che ogni funzione su R sia uniformemente continua Thierry Coquand, About Brouwer s fan theorem,

17 Logica geometrica Idea: studiare la logica delle proposizioni semi-decidibili (in un tempo finito posso sapere se P vale, ma non se non vale) e co-semi-decidibili (in un tempo finito posso sapere se P non vale, ma non se vale) Idea: si ottiene una logica più debole di quella intuizionista Idea: tale logica è in stretta corrispondenza con la topologia dove gli aperti sono proprietà semi-decidibili e i chiusi proprietà co-semidecidibili; gli spazi così ottenuti sono tutti non T0 Vickers, Topology via Logic

18 Matematica ricorsiva Abbas Edalat, ae/inaugural.ppt Abbas Edalat, A computable approach to measure and integration theory Information and Computation Volume 207, Issue 5, May 2009, Pages

19 Approfondimenti sull intuizionismo di Brouwer sulla logica intuizionista sulla matematica costruttiva di Bishop (spazi metrici, teoria dell integrazione,... ) sull algebra costruttiva (Mines, Richman, Ruitenburg, A Course in Constructive Algebra)...