Dalle interpretazioni funzionali all aritmetica nonstandard

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1 Dalle interpretazioni funzionali all aritmetica nonstandard Amar Hadzihasanovic Università di Oxford Gargnano sul Garda, 28 agosto 2014

2 Abraham Robinson, 1960 Non-standard analysis: N, modello dell aritmetica (di Peano/Heyting) contenente numeri infiniti (nonstandard)

3 Abraham Robinson, 1960 Non-standard analysis: N, modello dell aritmetica (di Peano/Heyting) contenente numeri infiniti (nonstandard) Teorema di transfer: per tutte le formule ϕ(x 0,..., x k ) dell aritmetica, e tutti i numeri naturali n 0,..., n k, se e solo se N = ϕ(n 0,..., n k ) N = ϕ(ιn 0,..., ιn k )

4 Debasement of meaning Nuovi modelli, ma soprattutto nuove procedure deduttive dimostrazioni semplificate Jerome Keisler, Elementary calculus: an approach using infinitesimals

5 Debasement of meaning Nuovi modelli, ma soprattutto nuove procedure deduttive dimostrazioni semplificate Jerome Keisler, Elementary calculus: an approach using infinitesimals La recensione di Errett Bishop: I always tell my calculus students that mathematics is not esoteric: it is common sense. [...] Now we have a calculus text that can be used to confirm their experience of mathematics as an esoteric and meaningless exercise in technique.

6 Errett Bishop, 1967 Foundations of constructive analysis: Restituire un significato numerico all analisi matematica classica Matematica costruttiva informale...

7 Errett Bishop, 1967 Foundations of constructive analysis: Restituire un significato numerico all analisi matematica classica Matematica costruttiva informale......formalizzata da Per Martin-Löf, 1972: teoria dei tipi intensionale (ma questa è un altra storia)

8 Che cosa rende una dimostrazione costruttiva Una risposta da teorico delle dimostrazioni: proprietà dell esistenza (o della definibilità esplicita) Dato un sistema deduttivo (del primo ordine) H, se H x : σ Φ(x), allora possiamo estrarre dalla dimostrazione un termine chiuso a : σ tale che H Φ(a).

9 Che cosa rende una dimostrazione costruttiva Una risposta da teorico delle dimostrazioni: proprietà dell esistenza (o della definibilità esplicita) Dato un sistema deduttivo (del primo ordine) H, se H x : σ Φ(x), allora possiamo estrarre dalla dimostrazione un termine chiuso a : σ tale che H Φ(a). Il termine a è chiamato realizzatore: testimonia il significato computazionale del quantificatore esistenziale

10 Che cosa rende una dimostrazione costruttiva Una risposta da teorico delle dimostrazioni: proprietà dell esistenza (o della definibilità esplicita) Dato un sistema deduttivo (del primo ordine) H, se H x : σ Φ(x), allora possiamo estrarre dalla dimostrazione un termine chiuso a : σ tale che H Φ(a). Il termine a è chiamato realizzatore: testimonia il significato computazionale del quantificatore esistenziale ma anche una dimostrazione non costruttiva può avere del contenuto computazionale... (Georg Kreisel, 1951)

11 Kurt Gödel, 1958 Interpretazione funzionale (Dialectica) Aggiungi assiomi a H, poi traduci una formula Φ con una formula Φ T : u v ϕ T (u, v), tale che ϕ T sia una formula di un sottosistema H di H; e

12 Kurt Gödel, 1958 Interpretazione funzionale (Dialectica) Aggiungi assiomi a H, poi traduci una formula Φ con una formula Φ T : u v ϕ T (u, v), tale che ϕ T sia una formula di un sottosistema H di H; e 1 H Φ Φ T ;

13 Kurt Gödel, 1958 Interpretazione funzionale (Dialectica) Aggiungi assiomi a H, poi traduci una formula Φ con una formula Φ T : u v ϕ T (u, v), tale che ϕ T sia una formula di un sottosistema H di H; e 1 H Φ Φ T ; 2 se H Φ, possiamo estrarre dalla dimostrazione una n-upla di termini a tale che, per ogni b, H ϕ T (a, b).

14 Kurt Gödel, 1958 Interpretazione funzionale (Dialectica) Aggiungi assiomi a H, poi traduci una formula Φ con una formula Φ T : u v ϕ T (u, v), tale che ϕ T sia una formula di un sottosistema H di H; e 1 H Φ Φ T ; 2 se H Φ, possiamo estrarre dalla dimostrazione una n-upla di termini a tale che, per ogni b, H ϕ T (a, b). H è il sistema caratteristico dell interpretazione

15 Vladimir Lifschitz, 1985 Costruttività modulare: introduci un predicato K(n), n è calcolabile, e quantificatori K n... : n (K(n)...) K n... : n (K(n)...); aggiungi uno schema di induzione ristretto ( Φ(0) K n (Φ(n) Φ(n + 1)) ) K n Φ(n)

16 Vladimir Lifschitz, 1985 Costruttività modulare: introduci un predicato K(n), n è calcolabile, e quantificatori K n... : n (K(n)...) K n... : n (K(n)...); aggiungi uno schema di induzione ristretto ( Φ(0) K n (Φ(n) Φ(n + 1)) ) K n Φ(n) estrai realizzatori solo per K n Φ(n); ignora n Φ(n)

17 O un o, o un altro o Due scelte per definire la disgiunzione:

18 O un o, o un altro o Due scelte per definire la disgiunzione: Φ Ψ : z : 0 (z = 0 Φ z = 0 Ψ), (computazionalmente vuota), oppure

19 O un o, o un altro o Due scelte per definire la disgiunzione: Φ Ψ : z : 0 (z = 0 Φ z = 0 Ψ), (computazionalmente vuota), oppure Φ K Ψ : K z : 0 (z = 0 Φ z = 0 Ψ)

20 O un o, o un altro o Due scelte per definire la disgiunzione: Φ Ψ : z : 0 (z = 0 Φ z = 0 Ψ), (computazionalmente vuota), oppure Φ K Ψ : K z : 0 (z = 0 Φ z = 0 Ψ) Solo la seconda si comporta come una disgiunzione con tutte le formule del linguaggio (la prima solo con formule K-free )

21 Uniform Diller-Nahm Trattamento Lifschitz all interpretazione Diller-Nahm (variante di Dialectica):

22 Uniform Diller-Nahm Trattamento Lifschitz all interpretazione Diller-Nahm (variante di Dialectica): il sistema caratteristico H contiene principi chiamati OS, US, limitati a formule -free;

23 Uniform Diller-Nahm Trattamento Lifschitz all interpretazione Diller-Nahm (variante di Dialectica): il sistema caratteristico H contiene principi chiamati OS, US, limitati a formule -free; è conservativo rispetto a un aritmetica di Heyting menomata (induzione ristretta a formule -free), ma

24 Uniform Diller-Nahm Trattamento Lifschitz all interpretazione Diller-Nahm (variante di Dialectica): il sistema caratteristico H contiene principi chiamati OS, US, limitati a formule -free; è conservativo rispetto a un aritmetica di Heyting menomata (induzione ristretta a formule -free), ma contiene un principio, NU, che implica n (n = 0 n = 0)

25 Herbrandizzazione Purtroppo, OS è incompatibile con la proprietà dell esistenza...

26 Herbrandizzazione Purtroppo, OS è incompatibile con la proprietà dell esistenza... ma possiamo accontentarci di qualcosa di meno.

27 Herbrandizzazione Purtroppo, OS è incompatibile con la proprietà dell esistenza... ma possiamo accontentarci di qualcosa di meno. Proprietà dell esistenza herbrandizzata: un realizzatore di K x : σ Φ(x) è una lista finita s : σ di termini chiusi, tale che per qualche a s, H Φ(a). (Ma potremmo non sapere quale)

28 Herbrandizzazione Purtroppo, OS è incompatibile con la proprietà dell esistenza... ma possiamo accontentarci di qualcosa di meno. Proprietà dell esistenza herbrandizzata: un realizzatore di K x : σ Φ(x) è una lista finita s : σ di termini chiusi, tale che per qualche a s, H Φ(a). (Ma potremmo non sapere quale) K(x) K s : σ (x s). Diciamo che x è calcolabile alla Herbrand...

29 ...anzi, scriviamo st(x), e diciamo x è standard.

30 ...anzi, scriviamo st(x), e diciamo x è standard. La svolta: alcuni principi caratteristici dell interpretazione herbrandizzata sono principi noti dell aritmetica nonstandard (cfr. Edward Nelson, internal set theory): overspill, underspill, regole di transfer

31 ...anzi, scriviamo st(x), e diciamo x è standard. La svolta: alcuni principi caratteristici dell interpretazione herbrandizzata sono principi noti dell aritmetica nonstandard (cfr. Edward Nelson, internal set theory): overspill, underspill, regole di transfer La conservatività rispetto all aritmetica di Heyting è la controparte sintattica di un teorema di transfer

32 ...anzi, scriviamo st(x), e diciamo x è standard. La svolta: alcuni principi caratteristici dell interpretazione herbrandizzata sono principi noti dell aritmetica nonstandard (cfr. Edward Nelson, internal set theory): overspill, underspill, regole di transfer La conservatività rispetto all aritmetica di Heyting è la controparte sintattica di un teorema di transfer (van den Berg, Briseid, Safarik, 2012: nonstandard Dialectica)

33 Per Martin-Löf, 1989 Cercare un punto di contatto fra matematica costruttiva e analisi nonstandard Erik Palmgren, 1992: modello costruttivo di aritmetica nonstandard con un teorema di transfer parziale

34 Per Martin-Löf, 1989 Cercare un punto di contatto fra matematica costruttiva e analisi nonstandard Erik Palmgren, 1992: modello costruttivo di aritmetica nonstandard con un teorema di transfer parziale Nel frattempo, Ieke Moerdijk e Gonzalo Reyes lavorano su topoi per la geometria differenziale sintetica

35 Ieke Moerdijk, 1995 A model for intuitionistic non-standard arithmetic: un topos di fasci sopra una categoria di filtri primo modello costruttivo di aritmetica nonstandard con un teorema di transfer completo

36 Ieke Moerdijk, 1995 A model for intuitionistic non-standard arithmetic: un topos di fasci sopra una categoria di filtri primo modello costruttivo di aritmetica nonstandard con un teorema di transfer completo La logica interna del primo ordine nel topos di Moerdijk è (quasi) il sistema caratteristico di nonstandard Dialectica (e così otteniamo anche un modello di uniform Diller-Nahm)

37 Dare un senso all infinito Una nuova visione operazionale dell aritmetica nonstandard: standardness calcolabilità herbrandizzata

38 Dare un senso all infinito Una nuova visione operazionale dell aritmetica nonstandard: standardness calcolabilità herbrandizzata Prima: n è nonstandard n è infinito...

39 Dare un senso all infinito Una nuova visione operazionale dell aritmetica nonstandard: standardness calcolabilità herbrandizzata Prima: n è nonstandard n è infinito...???

40 Dare un senso all infinito Una nuova visione operazionale dell aritmetica nonstandard: standardness calcolabilità herbrandizzata Prima: n è nonstandard n è infinito...??? Adesso: n è nonstandard n è (pesantemente) incalcolabile

41 Dare un senso all infinito Una nuova visione operazionale dell aritmetica nonstandard: standardness calcolabilità herbrandizzata Prima: n è nonstandard n è infinito...??? Adesso: n è nonstandard n è (pesantemente) incalcolabile Grazie dell attenzione!