ESISTENZA DI INFINITI NUMERI PRIMI REGOLARI. Francesco Di Noto, Michele Nardelli. In this paper we describe about the regular prime

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1 ESISTENZA DI INFINITI NUMERI PRIMI REGOLARI Gruppo B. Riemann * Francesco Di Noto, Michele Nardelli *Gruppo amatoriale per la ricerca matematica sui numeri primi, sulle loro congetture e sulle loro connessioni con le teorie di stringa. Abstract In this paper we describe about the regular prime numbers. Riassunto In questo lavoro parleremo dei numeri primi regolari e irregolari, della loro infinità e di eventuali connessioni con altri tipi di numeri, ecc. 1

2 Dalla voce in inglese Regular primes (in italiano c è molto poco sul web), riportiamo la definizione di primi regolari: Regular prime From Wikipedia, the free encyclopedia Jump to: navigation, search In number theory, a regular prime is a prime number p > 2 that does not divide the class number of the p-th cyclotomic field. The first few regular primes are: 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41,... (sequence A in OEIS) List of unsolved problems in mathematics Are there infinitely many regular primes, and if so is their relative density? Kummer's criterion Ernst Kummer (Kummer 1850) showed that an equivalent criterion for regularity is that p does not divide the numerator of any of the Bernoulli numbers B k for {{{1}}}. [edit] Properties It has been conjectured that there are infinitely many regular primes. More precisely Siegel conjectured (1964) that e 1/2, or about 60.65%, of all prime numbers are regular, in the asymptotic sense of natural density. Neither conjecture has been proven since their conception. 2

3 [edit] Irregular primes An odd prime that is not regular is an irregular prime. The first few irregular primes are: 37, 59, 67, 101, 103, 131, 149,... (sequence A in OEIS) K. L. Jensen has shown in 1915 that there are infinitely many irregular primes. Metsänkylä proved [1] that for any integer T > 6, there are infinitely many irregular primes not of the form mt + 1 or mt 1. [edit] Irregular pairs If p is an irregular prime and p divides the numerator of the Bernoulli number B 2k for 0 < 2k < p 1, then (p, 2k) is called an irregular pair. In other words, an irregular pair is a book-keeping device to record, for an irregular prime p, the particular indices of the Bernoulli numbers at which regularity fails. The first few irregular pairs are: (691, 12), (3617, 16), (43867, 18), (283, 20), (617, 20), (131, 22), (593, 22), (103, 24),... (sequence A in OEIS). For a given prime p, the number of such pairs is called the index of irregularity of p. Hence, a prime is regular if and only if its index of irregularity is zero. Similarly, a prime is irregular if and only if its index of irregularity is positive. It was discovered that (p, p 3) is in fact an irregular pair for {{{1}}}. This is the first and only time this occurs for p < Qui ci occuperemo solo della loro forma numerica 6k + 1 e della loro distribuzione fino ad N = 10^n, e di eventuali osservazioni interessanti circa la loro infinità. Forma aritmetica 3

4 Tabella 1 Primi Forma Primi Forma regolari numerica irregolari numerica k+1 5 6k k-1 7 6k k k k k k k k k k k k k k-1 Le forme aritmetiche sono miste, e in genere alternate, con qualche rara ripetizione consecutiva, per es. per 23 e 29, per 131 e 149, e così anche per i primi numeri delle coppie irregolari: 4

5 Tabella 2 Coppie irregolari Forma del numero primo (solo i numeri primi) 691 6k k k k k k k k+1 Qui invece si hanno coppie o triplette con lo stesso segno e alternate. Vediamo ora la loro distribuzione fino a d N =10^n Tabella 3 n 10^n Numero di primi regolari ? ? 5

6 Sequenza OESIS A , 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 43, 47, 53, 61, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 107, 109, 113, 127, 137, 139, 151, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 239, 241, 251, 269, 277, 281, 313, 317, 331, 337, 349, 359, 367, 373, 383, 397, 419, 431 (list; graph; refs; listen; history; text; internal format) Vediamo ora i numeri irregolari Sequenza OESIS (numeri primi irregolari) 37, 59, 67, 101, 103, 131, 149, 157, 233, 257, 263, 271, 283, 293, 307, 311, 347, 353, 379, 389, 401, 409, 421, 433, 461, 463, 467, 491, 523, 541, 547, 557, 577, 587, 593, 607, 613, 617, 619, 631, 647, 653, 659, 673, 677, 683, 691, 727, 751, 757, 761, 773, 797, 809, 811, 821, 827, 839, 877, 881, 887, 929, 953, 971, 1061 Tabella 4 n 10^n Numero di primi irregolari i(n) ? Stima Poiché il numero dei numeri primi regolari e irregolari 6

7 aumenta sempre più al crescere di 10^n, essi sono infiniti, come i numeri primi, dei quali sono sottoinsiemi, sebbene con grafici più bassi, ma sempre crescenti, come per i numeri primi gemelli, le quadruple di numeri primi, i numeri di Sophie Germain, ecc. Circa la percentuale dei numeri regolari, il 60,5% dei numeri primi fino ad un dato N=10^n, è facile verificarlo con la seguente Tabella 5. Ovviamente, la percentuale dei numeri irregolari tenderà a ,5% = 38,5%: già alla terza riga della Tabella 5, all ultima colonna, siamo a 41% 7

8 π(10^n) (N = 10^n) Numero r(n) di numeri regolari= r(10^n) TABELLA 5 % (a) 60.5% 3 3/0, 04 = 75% 21 21/0.24 = 87,5% 56 56/0,84 = 66% 100/1,68= 59% (stima 103) Stima π(n) *0, ,14 Numero i (N) di numeri irregolari % 100 (a) 0 25% 3 12,5% 64 24% 200 Stima 64,6 Stima π(n) *0,38,5= 488,18 200/1,68= 41% 39,5% media Stima = 39,5 Le stime del numero di primi regolari e irregolari sono compatibili sempre più con le relative percentuali di π(n), e cioè rispettivamente 60,5% e 39,5%, confermando la stima nella definizione del problema : Circa e ½ (circa il 61%) di tutti i numeri primi sono regolari 8

9 connesso al problema dell infinità dei numeri primi regolari, trattato e risolto in questo lavoro. Conclusioni Concludiamo dicendo che i numeri primi regolari e irregolari sono infiniti, come sottoinsiemi crescenti degli infiniti numeri primi, e rispettivamente circa il 60,5 e 39,5 % di π(n). 9