La serie di Fibonacci nel microcosmo. (effetto Hall quantistico, cariche frazionarie, masse dei quark, numeri quantici, stabilità nucleare)

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1 La serie di Fibonacci nel microcosmo (effetto Hall quantistico, cariche frazionarie, masse dei quark, numeri quantici, stabilità nucleare) Gruppo B. Riemann * Francesco Di Noto, Michele Nardelli *Gruppo amatoriale per la ricerca matematica sui numeri primi, sulle loro congetture e sulle loro connessioni con le teorie di stringa. Abstract In this paper we show some connections between some sub-atomic phenomena and the aurea section. Riassunto In questo lavoro mostriamo le connessioni tra alcuni fenomeni sub-atomici (effetto hall quantistico e cariche frazionarie, masse dei quark, numeri quantici, stabilità nucleare e atomici (stabilità nucleare)) e la sezione aurea ed i numeri di Fibonacci. Nei tre fenomeni indicati nel titolo è presente il coinvolgimento della serie di Fibonacci e del numero aureo Φ = 1, 618, con sue potenze o radici, oltre che direttamente. Cominciamo con l effetto Hall quantistico, connesso a 1

2 resistenza elettrica, superconduttori, ecc.) ma anche alla carica frazionaria, e/3 o e/5, dove 3 e 5 sono numeri primi, ma questo aspetto deve ancora essere meglio definito. Esso, infatti, potrebbe essere collegato alla congettura di Goldbach per n = 10, come somma dei numeri primi 3 + 7, e con 7 e 5 la carica rimanente come 7 decimi e 5 decimi dell elettrone, ponendo questa come 10 decimi = 1 = e. Nelle cariche frazionarie, sono i decimi minori ad essere interessati ( 3 e 5, ma non 7, maggiore di 5), e questo potrebbe essere interessante. Per esempio, dal Rif. 17, riportiamo il seguente brano, con riferimenti ad altre cariche frazionarie, connesse al numero pari 100 (= carica dell elettrone divisa in 100 centesimi): Oltre che alle frequenze delle vibrazioni delle stringhe, alla stabilità nucleare, ai cicli biologici di due specie di cicale (13 e 17 anni), tali numeri primi naturali potrebbero essere collegati anche alle cariche elettriche frazionarie 1/5, 1/11, 1/13 e 1/53 (sebbene 53 non sia numero primo naturale ma numero primo normale, ma molto vicino a 47 che è primo naturale, e il coefficiente 9 di 53=6*9-1 è contiguo a 8 di 47 = 6*8-1, con 8 numero di Fibonacci). Così infatti si legge nell articolo Superstringhe della rivista Focus: La presenza di dimensioni nascoste, consente alle stringhe di vibrare in un infinità di modi diversi, molto più di quanto si possa immaginare. La teoria delle stringhe, quindi, consente 2

3 non solo di descrivere le particelle note come l elettrone o i quark, ma anche di prevederne di nuove. Alcune peserebbero di più di un atomo, altre avrebbero carica frazionaria, pari a 1/5, 1/11, 1/13 o 1/53 di quella dell elettrone Notiamo che tali denominatori 3, 5, 11 e 13, 53 costeggiano i più piccoli numeri di Fibonacci 3, 5, 8, 13, 55 saltando soltanto 1, 2 iniziali, e 21 e 34 compresi tra 13 e 55. Un semplice caso? Rivediamo ora la congettura di Goldbach per N pari = 100 anziché 10, e vedremo che i numeri primi coinvolti ora sono complementari a 100, e 100 meno i centesimi della carica frazionaria a denominatore, sono anch essi numeri primi, tranne 87 che è un semiprimo,cioè prodotto dei due numeri primi 3 e 29: TABELLA 1 Centesimo di carica frazionaria : 1/11, 1/13, 1/ centesimi Somma 100 come da congettura di Goldbach 11 numero primo 89 numero primo numero primo 87 = 3*29 non numero 100 primo 53 numero primo 43 numero primo 100 Quindi abbiamo due coppie di Goldbach sulle tre possibili, ma di sicuro 11, 13 e 53 sono numeri primi, come pure 3 e 5 delle precedenti cariche frazionarie con denominatore minore di 5 Forse magari la congettura di Goldbach non c entra, ma di 3

4 sicuro c entrano i numeri primi, e soprattutto il numero 3, poiché 1/3 e 2/3 sono, com è noto le cariche frazionarie, positive e negative, dei quark (dalla voce Quark (particella) di Wikipedia), in modo che 3/3 o 1/3 +2/3 = 1 = e carica dell elettrone, e qui passiamo anche alle masse dei quark: Nome Carica Massa stimata (MeV/c 2 ) Up (u) +2/3 da 1,5 a 3,3 1[13] Down (d) 1/3 da 3,5 a 6 1[13] Strange / Sideways (s) 1/3 da 80 a 130 Charm / Centre (c) +2/3 da a Bottom / Beauty (b) 1/3 da a Top / Truth (t) +2/ ± L evidenza in rosso è nostra. E a proposito delle masse delle particelle, notiamo che i loro rapporti tra un valore e il precedente costeggiano da vicino 4

5 la serie di Fibonacci, a ulteriore riprova che i numeri (in questo caso quelli di Fibonacci, vedi Rif. 2 e 4) sono molto importanti in fisica, in questo caso sub-atomica: TABELLA 2 Valori minimi massa stimata dei quark 1,5 3,5/1,5= numeri di Fibonacci o loro medie Valori massimi massa stimata dei quark 5 Rapporti successivi 3 3,3 6/3,3=1,81 2 numeri di Fibonacci o loro medie 2,33 3,5 22, , , ,38 10,5 media tra 8 e , ,25 3

6 ,21 44,5 media tra 34 e = = ,34 34 La corrispondenza approssimativa è molto evidente. E cosi pure per i rapporti orizzontali tra la stima massima e quella minima, molto vicini o connessi al numero 1,618 = numero aureo. TABELLA 3 Stima massima M Stima minima m Rapporto M/m 1,618 3,3 1,5 2,2 2,6 = 1,618^2 6 3,5 1,71 1, ,625 1, ,17 1,22 media tra 1,27= 1,618 e 1,12 = 1,27= 4 1, , ,061= 1, = = , ,01515= Anche qui, l evidenza della connessione dei rapporti 6

7 orizzontali tra stime massime e stime minime con il numero aureo 1,618, il suo quadrato e le sue radici quadrate è fortissima, assolutamente non imputabile al caso. E quindi a sostegno della presenza del numero aureo nei numeri espressione delle probabili masse dei quark, considerando le stime massime e quelle minime delle masse dei quark. Vediamo ora analoga connessione con i numeri quantici negli atomi connessa ai loro livelli energetici Dalla voce Configurazione elettronica paragrafo numero quantico principale (n) : Numero quantico principale (n) Il primo numero quantico n, detto numero quantico principale, determina la distanza media dal nucleo (dimensione dell'orbitale), che aumenta al crescere di n, e la maggior parte dell'energia dell'elettrone (livello energetico=periodo). Elettroni (e orbitali) che condividono n appartengono dunque allo stesso livello di energia. Il numero quantico principale assume tutti i valori interi positivi in ordine crescente anche se le orbite stazionarie definite della condizione quantistica m*v*r=n*h/(2π) (dove l'unica variabile è n, essendo le altre costanti) sono solamente le prime sette. I vari livelli correlati ai differenti valori di n vengono a volte detti "gusci" e (principalmente per ragioni storiche) vengono anche indicati da lettere, come elencato di seguito: [1] 7

8 Valore di n Lettera Massimo numero di elettroni nel livello (pari a 2 x n 2 ) 1 K 2 2 L 8 3 M 18 4 N 32 5 O 50 6 P 72 7 Q 98 Stati con valori di n superiori a quelli mostrati nella tabella sono perfettamente ammissibili in teoria ma relativi ad atomi che non sono stati ancora scoperti (il valore n=8, ad esempio, si inizierà a utilizzare con elementi aventi numero atomico superiore a 119). Come si nota facilmente, i numeri della terza colonna (massimo numero di elettroni ) costeggiano da vicino i numeri di Fibonacci o loro medie aritmetiche: Massimo numero di elettroni (e) TABELLA 4 Numeri di Fibonacci (f) Differenza f e Anche queste numeri di Fibonacci media tra 13 e media tra 55 e ,5 1,5 media tra 1 e 2 8

9 Media tra 55 e 144 sebbene non consecutivi (119) 116,5 (media tra 89 e 144) -2,5 media tra 2 e 3 Anche qui, anche per il numero 119 non riportato in tabella da Wikipedia, ma solo accennato poiché si riferisce ad atomi non ancora scoperti, l evidenza della connessione tra i due tipi di numeri è forte, e cioè difficilmente frutto del caso. Veniamo ora alla maggiore stabilità nucleare di alcuni elementi, tramite i numeri magici dei loro pesi atomici Dal nostro lavoro La sezione aurea in chimica sul sito Chimica.pdf, riportiamo: Stabilità nucleare Alcuni elementi chimici sono più stabili di altri, e tale maggiore stabilità chimica è connessa, tramite i numeri magici, alla serie di Fibonacci (Vedi Rif. 1 e 2). La stabilità nucleare è stata già introdotta nel terzo numero (Fisica Aurea) di questa rubrica in cui viene definito numero magico, il numero di nucleoni per cui all'interno del nucleo atomico si formano livelli energetici completi. Tali numeri sono: 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126. I nuclei formati da un numero di nucleoni pari ad uno dei numeri magici detti nuclei magici. Gli atomi aventi nuclei magici risultano particolarmente stabili e ancora più stabili sono gli atomi aventi nuclei doppiamente magici nei quali sia il numero di protoni che di neutroni corrispondono ad uno dei numeri magici. Come si può notare questi numeri sono vicini ai Numeri di Fibonacci, in merito alle 9

10 loro differenze e somme consecutive. Infatti, tali numeri magici sono prossimi ai numeri primi 2, 7, 19, 29, 47, 79, che sono numeri primi naturali, cioè di forma 6f + 1: 2 = = = = = = = Z = 2 Elio Z = 8 Ossigeno Z = 20 Calcio Z = 28 Nichel Z = 50 Stagno Z = 82 Piombo Z = 126 Inesistente Per il resto si rimanda all articolo originale. Conclusioni Possiamo concludere che la sezione aurea è presente, oltre che nel macrocosmo (fiori, conigli, conchiglie ecc.) anche nel microcosmo quantistico e chimico, come sopra mostrato, E, a proposito di orbite, oltre a quelle degli elettroni negli atomi viste in questo lavoro, anche le orbite dei pianeti del nostro sistema solare sono connesse alla sezione aurea, tramite le 10

11 distanze dei pianeti dal sole espresse sia in Unità astronomiche sia in milioni di chilometri (Rif. 1) dal quale riportiamo: (la legge astronomica di Bode esprime le distanze dei pianeti dal Sole in Unità astronomiche. Nd.A.A.)) Nostre osservazioni e tabelle La serie numerica empirica si potrebbe benissimo completare con 1,5 compreso tra 0 e 3 e 48, 92 e 188 dopo 24, in modo da avere una serie (che poi è una progressione geometrica con numero fisso 2) 0 1, Notiamo anzitutto che essa rispecchia grosso modo la successione di Fibonacci: 11

12 TABELLA 1 Serie di Bode più completa Serie di Fibonacci Differenza Bode Fibonacci Prossima a numeri di Fibonacci , , , 5 media tra 34 e 55 3, ,5 media tra -4, e 2332 Una leggera connessione quindi c è, tra le due serie numeriche: la prima progressione geometrica con numero fisso 2, la seconda progressione geometrica con numero fisso 1,618 non molto lontano da 2. La correzione apportata da Bode ( aggiungendo 4 alla 12

13 progressione iniziale e dividendo per 10), avvicina ancora di più le due progressioni: TABELLA 2 Bode Fibonacci Rapporti successivi nella serie di Bode (nella serie di Fibonacci è 1, ,55 1-0,7 1 0,7/0,55 = 1,2727 1,618 = 1,2720 1,0 1 1/0,7 = 1,4285 1,6 2 1,6/1 =1,6 1,618 2,8 3 2,8/ 1,6 =1,75 1,618 5,2 5 5,2/2,8 = 1,857 10,0 8 10,0/5,2= 1, , ,6/10=1,96 38, ,8/19,6=1,97 77,2 72 media tra 55 e 89 77,2/19,6=1,98 Come si nota, la vicinanza con i numeri di Fibonacci è più marcata, ma ora manca il 13 e il 55. Con i rapporti successivi, essi sono minori di 2, quindi mediamente più vicini a 1,618 = rapporto aureo, e questo 13

14 spiega la maggiore vicinanza della seconda serie con i numeri di Fibonacci. Infine ricordiamo che, a livello microcosmico, per esempio nelle cariche frazionarie, nei numeri quantici e nei pesi atomici degli elementi più stabili, è fortemente presente la sezione aurea ; e sia a livello microcosmico che a livello macrocosmico, i numeri di Fibonacci (e i loro cugini numeri di Lie e partizioni di numeri) sono, secondo noi, lo strumento numerico della natura per regolare e stabilizzare i suoi fenomeni, che tramite esso possono crescere sempre uguali a se stessi ma a scale superiori, tramite i frattali, ma solo entro certi limiti; abbiamo infatti notato che i numeri di Fibonacci, ma anche i loro cugini, pur essendo infiniti, non superano mai le 300 unità nei vari fenomeni in cui sono coinvolti. Per questo non troviamo mai fiori connessi al numero 277, ma al massimo 144 (nei girasoli) e così via: la natura sembra 14

15 accontentarsi di questi numeri fino a circa 300, ma se la cava benissimo lo stesso. Probabilmente, dopo tale limite, i fenomeni coinvolti con tali numeri diventano caotici, instabili e/o non più gestibili, e la natura non insiste oltre. Per questo pensiamo che la fisica è un sottoinsieme della matematica per quanto riguarda la componente numerica. La matematica mette a disposizione numeri enormi, ma la natura usa i più piccoli (fino a 300 o giù di lì), come in questo caso di Fibonacci ecc., e anche loro medie aritmetiche (riscontrate in parecchi fenomeni da noi studiati sotto questo aspetto). I numeri più grandi usati per motivi pratici dai matematici sono i numeri RSA, prodotti di due numeri primi di centinaia di cifre nella crittografia RSA, ma questa non è fisica, è solo matematica applicata. La fisica e la natura in genere si accontentano di molto meno, forse per i motivi sopra accennati (è una nostra supposizione, probabilmente e fondamentalmente corretta). 15

16 Rif. 1) La sezione aurea in astronomia sul sito sezione OLTRE LA BOTANICA LA SEZIONE AUREA -DAGLI ATOMI ALLE STELLE, Rubrica curata da Francesco Di Noto e Eugenio Amitrano dal quale riportiamo la parte iniziale, con le distanze in milioni di km anziché in U.A., e rispunta anche qui la serie di Fibonacci : Di seguito sono riportate le distanze medie dal Sole in milioni di km: Pianeti interni (pianeti terrestri) Mercurio 58 Venere 108 Terra 150 Marte 228 Fascia degli asteroidi 420 Pianeti esterni (pianeti gioviani, giganti gassosi) Giove 778 Saturno 1426 Urano 2870 Nettuno 4497 Se dividiamo tutti i numeri per 50 otteniamo la seguente sequenza che risulta essere molto vicina alla Successione di Fibonacci: Mercurio: 1,16 1; Venere: 2,16 2; Terra: 3,00 = 3; Marte: 4,56 5; Asteroidi: 8,40 8; Giove: 15,56 13; Saturno: 28,52 27,5 = ( ) / 2; Urano: 57,40 55; Nettuno: 89,94 = 89 Qui però mancano il 21 e il 34, ma sono coinvolti nel numero 16

17 28,52 molto vicino alla media 27.5 = (21+34)/2 Come diceva l antico filosofo Ermete Trimegisto, come in piccolo, così in grande, e aveva ragione, almeno in questo caso (orbite degli elettroni come le orbite dei pianeti, entrambe connesse alla sezione aurea e quindi alla serie di Fibonacci) Riferimenti 1) La legge astronomica di Bode e i numeri di Fibonacci Gruppo B. Riemann * Francesco Di Noto, Michele Nardelli (Di prossima pubblicazione su questo sito) 17