Triangoli numerici e loro conseguenze aritmetiche su quadrati, cubi, numeri di Lie, numeri di Fibonacci, ecc.

Transcript

1 Triangoli numerici e loro conseguenze aritmetiche su quadrati, cubi, numeri di Lie, numeri di Fibonacci, ecc. Francesco Di Noto, Michele Nardelli, Pierfrancesco Roggero Abstract In questo lavoro parleremo dei triangoli numerici con una finale connessione con i quadrati magici I triangoli numerici (spesso chiamati erroneamente piramidi) hanno curiose conseguenze riguardanti i quadrati, i cubi, ecc. ecc.. Si dividono in tre tipi a) Costituiti da numeri pari b) Costituiti da numeri dispari c) Costituiti da numeri naturali

2 Triangolo numerico di tipo a) n^3 + n = forma aritmetica delle some dei termini di ogni riga 2 somme 2 = 1^ =2^ = 3^ = 4^ =5^ Notiamo facilmente che : la sequenza centrale (in rosso) è costituita da numeri di forma n^2 +1 Idem per i due numeri centrali, con media tra i due numeri centrali. La diagonale destra (in lilla) è costituita dai numeri di forma 2T = n(n-1), con T i noti numeri triangolari. Aggiungendo 1 a tali forme, abbiamo i numeri di Lie,

3 di forma n^2 + n +1, importanti delle simmetrie fisiche poichè connesse ai cinque gruppi sporadici di simmetria. Somme orizzontali di forma n^3 + n Triangolo numerico di tipo b) numeri dispari cubi n^3 1 somma Diagonale sinistra = numeri di Lie, vedi sopra La dimostrazione è la seguente : il termine centrale è un quadrato, n^2: Se prendiamo gli altri numeri dispari e ne calcoliamo la media aritmetica m e la sostituiamo a tutti i numeri dispari, otteniamo m+m+m = 3m = n^3, ed

4 essendo il termine centrale il quadrato di n, n*2 anche le medie sono quadrati, la loro somma è uguale al cubo della loro radice quadrata = n Per es. per n = 3 abbiamo la media = 27, 27/3 = 9 E sostituendo 9 ai numeri dispari della 3 riga abbiamo con somma 27 Sostituendo i tre 9 con la loro radice quadrata, abbiamo ora invece con prodotto 3*3*3 = 27= n^3, e cosi anche per tutte le altre righe, per es. la quinta : somma 64 Media m = ( ) = 64/4 = somma Cubo = 4^3 = 64 Sempre al cubo, e non come potrebbe sembrare da = 4^4 = 256, poiché è errato. La regola è sempre n^3 Un cubo n^3, quindi, equivale a n quadrati n^2; per es. 64:

5 4^3 = 64 = = 4^2 + 4^2 + 4^2 + 4^2 Notiamo come 64 = 8^2 sia il numero connesso ai modi che corrispondono alle vibrazioni fisiche delle stringhe bosoniche attraverso la seguente funzione di Ramanujan: 8 = anti log 10 + log cosπ txw' e cosh π x e π t w' φ w' ( itw' ) ' dx π x w t w' 2. (1) Triangolo numerico di tipo c (numeri naturali) In rosso i numeri triangolari 1 somme righe

6 La diagonale destra è formata dai noti numeri triangolari La colonna centrale è formata da numeri che differiscono tra loro per multipli di 4, per es. 5-1 = 4; 13-5 = 8; = 12, ecc. Le somme dei termini di ogni riga è di forma indeterminata, poiché le differenze successive 4, 10, 19, 31, 46, 64 non ci suggeriscono ancora una regola generale. Ma i numeri rossi ( somme righe ) sono connessi alle somme righe e diagonali ecc. dei quadrati magici, vedi successiva osservazione del prof. Giuseppe Merlino. Accenni ai numeri di Fibonacci, Lie ecc. sulle diagonali esterne (lontane dai quadrati ) Riprendiamo la tabella per i numeri dispari, e segniamo in verde i numeri di Fibonacci dispari

7 cubi n^3 1 somma Notiamo che sono essenzialmente (1, 3, 13, 21)sulla diagonale sinistra, e qualcuno (il 5 ) sulla diagonale destra. Mentre per i numeri di Fibonacci pari, nella tabella per i numeri pari: 2 somme 2 = 1^ =2^ = 3^ = 4^ =5^3 +5 Dove 2 e 8 sono sulla diagonale destra, insieme a 14=13 +1

8 e 22 = Ciò significa che la loro formula è vicina a quella dei numeri di Lie = n^2+ n+1. Numeri di Lie, Numeri di Fibonacci e numeri di partizione sono molto presenti in Natura, e ci chiediamo perchè sono i preferiti per regolare in genere i fenomeni naturali, evitando del tutto i quadrati perfetti (solo il numero di Fibonacci 144 è un quadrato perfetto, unica eccezione alla regola generale). Ora accenniamo alle somme di due quadrati consecutivi, conseguenza delle somme successive di numeri dispari: 1+3 = = = 16 ecc. con 1,4, 9, e 16 sulla colonna centrale della Tabella per i numeri dispari, alla quale sono collegate. Riportiamo da Giuseppemerlino blog: I numeri interi somma di due quadrati esatti consecutivi formano una serie dalle interessanti proprietà. I primi termini di questa serie sono: 5 = 1² + 2² 13 = 2² + 3² 25 = 3² + 4²

9 41 = 4² + 5² 61 = 5² + 6² 85 = 6² + 7² La serie, un po più estesa, è: 1, 5, 13, 25, 41, 61, 85, 113, 145, 181, 221, 265, 313, 365, 421, 481, 545, 613, 685, 761, 841, 925, 1013, 1105, 1201, 1301, 1405, 1513, 1625, 1741, 1861, 1985, 2113, 2245, 2381, 2521, 2665, 2813, 2965, 3121, 3281, 3445, 3613, 3785, 3961, 4141, La formula generale di questi numeri, che indicheremo con B, sarà ovviamente: B(n) = (n)² + (n+1)² = n² + n² + 2n + 1 = 2n² + 2n + 1 Osserviamo subito che possiamo esprimere i numeri B in funzione dei numeri triangolari S (somma dei primi n numeri naturali), ricordando che: S(n) = n = (n² + n) / 2 Infatti: B(n) = 2n² + 2n + 1 = 4 (n² + n) / = 4S(n) + 1 Questi numeri risultano anche essere esprimibili in questa forma particolare: 5 = = = = = = etc. Il collegamento /dimostrazione è che, per esempio, 25 = , si può scrivere anche come 25 = , che è la somma di 3

10 numeri primi, e quindi il quadrato 9, in questo caso; mentre = = 16 è la somma 16 di 4 numeri dispari successivi, e quindi = 25. Lo stesso possiamo dire di tutti gli altri numeri somme di due quadrati consecutivi: 5,13,25, 41, 61, ecc. Il prof. Giuseppe Merlino ha fatto osservare privatamente che: Ho notato (triangolo c) che 15, 34, 65, 111, 175 sono le somme costanti di righe, colonne e diagonali dei quadrati magici di ordine 3, 4,5, 6, 7... Infatti, dalla voce di Wikipedia quadrato magico : Un quadrato magico è uno schieramento di numeri interi distinti in una tabella quadrata tale che la somma dei numeri presenti in ogni riga, in ogni colonna e in entrambe le diagonali dia sempre lo stesso numero; tale intero è denominato la costante di magia o costante magica o somma magica del quadrato. In matematica, una tabella quadrata è detta matrice quadrata. Un quadrato magico di ordine contenente tutti gli interi da 1 a costante magica di questi quadrati è data dalla formula: è detto perfetto o normale. La I primi 15 componenti di questa successione sono: 1, 5, 15, 34, 65, 111, 175, 260, 369, 505, 671, 870, 1105, 1379, 1695 (successione A dell'oeis). Il relativo grafico, molto regolare, è il seguente (pure da (successione A dell'oeis):. A as a graph

11 Conclusioni Possiamo concludere osservando che, come già ben sappiamo, tra i numeri interi ci sono infinite connessioni

12 come queste, e che tocca a noi matematici scoprire (specialmente se siamo platonici) ed eventualmente connetterle a loro volta con scienze della natura, come fisica, biologia ecc. Riferimenti 1) CURIOSITA MATEMATICHE (Somme di quadrati, cubi, e altro) Ing. Pier Franz Roggero, Dott. Michele Nardelli, P.A. Francesco 2) L UNIVERSO MATEMATICO DI MAX TEGMARK (i nostri possibili contributi numerici e geometrici tramite i numeri poligonali e piramidali, e di Fibonacci - Lie partizioni) 3) IL TEOREMA DI BACHET SULLE SOMME DI QUATTRO QUADRATI. Francesco Di Noto, Michele Nardelli, Pier Francesco Roggero 4) I QUADRATI MAGICI

13 Gruppo B. Riemann * Francesco Di Noto, Michele Nardelli, Pier Francesco Roggero 5) Giuseppemerlino blog 6) Le somme di due quadrati perfetti e la costante di Landau - Ramanujan Francesco Di Noto, Michele Nardelli