Ing. Pier Francesco Roggero, Dott. Michele Nardelli, P.A. Francesco Di Noto

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1 TRAPPOLE PER NUMERI PRIMI Ing. Pier Francesco Roggero, Dott. Michele Nardelli, P.A. Francesco Di Noto Abstract: In this paper we focus attention on a new primality test, based on forms p = 4n+1 and p= 4n+3 of odd numbers of form 6n + 1, and if p or p 2 is a sum of two squares

2 Pagina 2 di 29 Index: 1. TRAPPOLE PER NUMERI PRIMI TEOREMA DI FERMAT SULLE SOMME DI DUE QUADRATI RIFERIMENTI... 28

3 Pagina 3 di TRAPPOLE PER NUMERI PRIMI In questo lavoro mostreremo un nostro test di primalità semplificato (ma senza fattorizzazione), rispetto al test di Guido Carolla, descritto in Rif. 1 e Rif.2 Basta vedere semplicemente se p, numero da testare, è di forma 4n+1 e 4n +3, e se p o p 2 è somma di due quadrati, Dalle possibili e diverse combinazioni delle tre risposte, si stabilisce se p è primo oppure no, con altissima percentuale di certezza, poiché sono presenti alcune eccezioni. Nei riferimenti 1 e 2 è descritto il test di primalità con fattorizzazione del Prof. Guido Carolla, basato su sue e anche su nostre precedenti considerazioni sulle forme 6k + 1, che qui trascureremo per maggiore semplicità e ci limiteremo soltanto alle forme 4n + 1 e 4n +3, con la prima legata a ipotenusa e cateti interi di un triangolo rettangolo e quindi alla possibilità che p possa o no essere una somma di due quadrati. Dalle possibili combinazioni delle risposte sulla forma aritmetica 4n+1 o 4n +3 e di p come somma oppure no di due quadrati perfetti, abbiamo individuate due sequenze diverse di risposte per p primo o composto. Le tre risposte sono facilmente calcolabili con (p-1)/4 e (p-3)/4, e dalla soluzione dell equazione p = a 2 +b 2 oppure p 2 = a 2 + b 2 : le diverse combinazioni di sì e di no ottenute, individuano subito se p è primo oppure composto, con alte percentuali di certezza, per via di alcune rare e possibili eccezioni. Riportiamo alcune nostre tabelle numeriche con gli esempi riportati dal Prof. Guido Carolla in Rif.2, e relative nostre osservazioni e conclusioni TABELLA 1

4 Pagina 4 di 29 Esempi tratti libro Guido Carolla dal di (p +1)/6 sempre una soluzione intera (p -1)/4 intero o no (p -3)/4 intero o no p o q = p 2 somma di due quadrati Numero primo si o no p No =17 2 1) intero 246,5 no No =11*89 2) intero 234,5 Si p si si q 3) ,5 209 intero no si 4) intero 11,5 No p no q no 5) intero 29,5? No no q 6) ,5 Si No=13 2 q (eccezione) 7) ,5 Si si no (eccezione 221= No poiché = = *17 8) intero 71,5 Si p Si q = ) 47-11,5 11 No p no si q 10) intero Si p, si q si 11) intero 38,5 q si si 12) ,5 no = 19*43 No q 13) ,5 31 si No q 14) ,5 Si si q 15) ,5 Si si q 16) ,5 No = No q 7* ) ,5 Si si q 18) ,5 32 si No q

5 TABELLA 2 Versione 1.0 Pagina 5 di 29

6 Esempi tratti libro Guido Carolla dal di (p +1)/6 sempre una soluzione intera (p -1)/4 intero o no (p -3)/4 intero o no p o q = p 2 Numero p somma di due primo quadrati si o no Versione 1.0 Pagina 6 di 29 1) intero 246,5 no No =11*89 2) intero 234,5 Si p si q si 3) ,5 209 intero no si 4) intero 11,5 No p no q no 5) intero 29,5? No q no 6) ,5 Si q No =13 (eccezione) 7) ,5 ESEMPI CON SOLI NUMERI PRIMI I 2) intero 234,5 Si p si q si 3) ,5 209 intero No si 6) ,5 Si q No =13^2 (eccezione) 7) ,5 Si si no 221=5^2+14^2 221^2 = 21^ ^2 (eccezione poiché 221 = 13*17 9) 47-11,5 11 No p no q si 10) Si p, si q si intero 11) intero 38,5 q si si 13) ,5 31 No q si 14) ,5 Si q Si x ecc. 15) ,5 Si q Si x ecc. 17) ,5 Si q si

7 Pagina 7 di 29 Osservazioni : ne ricaviamo la seguente REGOLA provvisoria : Si hanno numeri primi per ( p-1)/4 intero e si p e/ o si q ( cioè p o il suo quadrato q sono somme di due quadrati), oppure per (p-4)/3 intero e no p, e/o no q, con qualche eccezione, contrassegnata con x Su 12 numeri testati, la Regola vale solo per otto numeri testati, circa i due terzi Vediamo ora per i numeri composti se c è una regola simile TABELLA 3 p (p-1)/4 intero, (p-3/4 intero p somma quadrati primo o no 989 si no no no 49 si no no no 121 si no no no 169 Q =13^2 si no Si no eccez. 221 = 13*17 si no Si no eccez. 289 Q =17^2 si no Si no eccez. 817 si no no no si no no no (le eccezioni si verificano, almeno negli esempi riportati, solo per 13 e 17) Un numero p testato è composto se ha si nella seconda colonna, e si oppure no nella quarta colonna, cioè se è di forma 4k+1, ma p e/o p 2 possono essere (eccezionalmente) o no, somma di due quadrati. Quindi sequenze si no no (non consideriamo il no finale in quarta colonna, essendo tutti composti) si no Si ( il Si finale, per p somma quadrati, per eventuali eccezioni) in entrambi i casi con il primo si sempre nella seconda colonna, per p di forma 4k +1 Riepilogo per numeri primi

8 Pagina 8 di 29 TABELLA 4 p (p-1)/4 intero, (p-3/4 intero p = somma quadrati primo o no 941 si no Si si 839 no Si no si 47 no Si no si si no Si si 157 si no Si si 127 no Si no si 1861 si no Si si 1321 si no Si si si no Si si 131 no Si no si Regola generale per i numeri primi, salvo eventuali eccezioni Un numero p testato è primo (il terzo si) solo se : p è di forma 4k +1 e quindi p(-1)/4 è intero ( il primo si in seconda colonna ) p o p 2 sono somme di due quadrati (il secondo si) p è di forma 4k+3 e quindi (p-3)/4 è intero (il primo Si in terza colonna) p o p 2 non sono somme di due quadrati (e quindi la risposta no in quarta colonna, solo per Si in terza colonna) La quinta colonna è di tutti si, tutti primi i numeri che rispettano questa regola Sequenze (non considerando quindi i si finali, essendo tutti numeri primi) : si no Si con il primo si nella seconda colonna (p di forma 4n +1) no Si no con il Si centrale della terza colonna (p di forma 4n +3)

9 Pagina 9 di 29 Esempi non riportati dal prof. Carolla p 4p +1 4p+3 somma quadrati primo o composto 13 = 4* * Seq: si no no 13, primo 29 = 4* * Seq: si no Si 29 primo 95 4* *3 +3 Seq: no Si no composto, 95=5* * *3 +3 Seq: no Si no 103 primo 77 = 4* *3 +3 Seq: si no no composto, 77=7*11 Conclusioni provvisorie Per testare un numero p di forma generale 6k+1 e di forma particolare 4k +1 e 4k +3 è primo o no, occorre : 1)stabilire la forma particolare, dividendo (p-1) /4 : se il risultato è intero, p è di forma 4k +1 (risposta si nella seconda colonna) e quindi si, altrimenti è di forma 4k +3 (e quindi no)o, infatti (p-3)/4 è intero ( risposta si nella terza colonna). 2) vedere se p e/o p 2 è somma di due quadrati (risposta Si o no nella quarta colonna) Confrontare la sequenza ottenuta con le sequenze si no Si e no Si no con il primo si nella seconda colonna ; si no Si con il Si della terza colonna, per i numeri primi e con le sequenze si no no, e si no Si per i numeri composti. Tali sequenze sono diverse (attenti alla s minuscola o maiuscola) per i due tipi di numeri, e quindi individuano sia un numero primo (il caso che ci interessa come test di primalità), o, altrimenti, sia un numero composto, pur senza fattorizzazione. Per le somme di due quadrati, basta risolvere l equazione p = a 2 +b 2, oppure p 2 = a 2 + b 2. Se essa ha soluzione per a e b la risposta ovviamente è Si in quarta colonna, (terzo Si nelle sequenze) altrimenti è no. Ricordiamo che le forme 4n + 1 hanno a che fare con la congettura di Girard (Nota 1), in quanto somme di due quadrati, con le terne pitagoriche (il numero più grande è l ipotenusa del triangolo rettangolo con cateti interi, Nota 2), e forse anche con i

10 Pagina 10 di 29 numeri congruenti (aree di triangoli con cateti razionali), importanti nella congettura di Birch e Swinnerton Dyer, uno dei Problemi del Millennio, Nota 3 Riferimenti (dal 3 in poi sul nostro sito 1) TEOREMA SU UN TEST DI PRIMALITÀ CON FATTORIZZAZIONE Guido Carolla sul sito i 2) Libro di Guido Carolla Primi, progressioni e medie, Casa Editrice Kimerik, Prima parte, dedicata ai numeri primi, con esempi e listati vari. 3) La congettura di Polignac, parte finale dedicata alla fattorizzazione di prodotti tra due numeri consecutivi 4) La congettura percentuale

11 Pagina 11 di 29 Nota 1 Congettura di Girard: Tabella dei numeri primi di forma 4n +1, somma di due quadrati, da cui la risposta si alla forma N = 4n+1, no alla forma 4n +3 e Si alla somma di quadrati perfetti, cioè la sequenza si no Si se p è numero primo n N = 4 n + 1 a^2 + b^2 notazione : N = 1 5 = 4* primo 2 9 = 4* multiplo di = 4* primo 4 17 = 4* primo 5 21 = 4*5 + 1 multiplo di 3 (*) 6 25 = 4* = 4* primo 8 33 = 4*8 + 1 multiplo di = 4* primo = 4* primo = 4*11 +1 multiplo di 3 (*) = 4* non primo = 4* primo = 4*14 +1 multiplo di = 4* = 4* = = 4*17 +1 multiplo di = 4* = 4*19+1 non primo = 4*20* = 4* (*) = 4* = 4*23+1 multiplo di = 4* = 4* = 4*26+1 multiplo di = 4* primo

12 Pagina 12 di 29 Si nota che un terzo dei numeri di forma 4n+1 sono multipli di 3, e i multipli di 3 non sono mai somme di due quadrati, e quindi per essi la congettura non vale; essa vale invece solo per tutti i numeri di forma 4n+1, non multipli di 3, da cui poi la sequenza si no SI per i numeri primi del nostro test di primalità. Anche alcuni numeri composti, come 65 e 85, subito riconoscibili come composti a causa della cifra 5 finale, sono anch essi somma di due quadrati, ma per questi abbiamo la sequenza si no Si per le eccezioni, come per : 169 Q =13^2 si no Si 12^2+ 5^2 no eccez. 221 = 13*17 si no Si 14^2 + 5^2 no eccez. 289 Q =17^2 si no Si 15^2 + 8^2 no eccez. (5, 12, 13) la terna pitagorica per 169 (8, 15, 17) la terna pitagorica per 289 Per 221 non esiste invece terna pitagorica di interi, poiché 221 non è un quadrato perfetto, essendo 14,86 2, ma fa eccezione ugualmente, come 169 e 289 Mentre per la generalità dei numeri composti si ha la sequenza si no no

13 Pagina 13 di TEOREMA DI FERMAT SULLE SOMME DI DUE QUADRATI Il teorema di Fermat sulle somme di due quadrati afferma che ogni numero primo si può scrivere come somma di due quadrati perfetti se e solo se è congruo a 1 modulo 4, in altre parole se la differenza tra tale numero primo e 1 è multipla di 4. p = x y, p 1 ( mod 4). Per esempio: = 1 2, =, = 1 + 4, 29 = 2 + 5, = 1 + 6, 41 = Fa eccezione il 2, che pur non essendo congruo a 1 modulo 4, può tuttavia essere scritto 2 come somma di due quadrati però uguali: =. Si osservi che il numero primo p che si genera ha sempre come somma un multiplo di 4 della forma (2n) 2 con n = intero positivo 1 Quindi possiamo affermare che se un numero primo è dato dalla somma di 2 quadrati di cui un termine è un multiplo di 4 della forma (2n) 2 con n 1 allora sicuramente si ha anche che p 1 (mod 4). L altro termine è di tipo (2m+1) 2 con m intero positivo 0 e quindi è dato da tutti i quadrati dispari, così la somma del termine pari della forma (2n) 2 e di quello dispari dà un numero dispari che è ovviamente primo.

14 Pagina 14 di 29 Si ha: per (2n) 2 : 4, 16, 36, 64, 100, 144, 196, 256, 324, 400,.. per (2m+1) 2 : 1, 9, 25, 49, 81, 121, 169, 225, 289, 361,. Sommando un termine della 1 serie con uno della 2 serie si può anche ottenere un numero primo p. Ad es: 4+49 = 53 Ma ad esempio: = 125 non è primo. Abbiamo infatti 1+4=5 1+16= = =65 multiplo di = =145 multiplo di = = =325 multiplo di = = =25 multiplo di =45 multiplo di = = =153 multiplo di =205 multiplo di 5

15 Pagina 15 di =265 multiplo di =333 multiplo di = = = = = =125 multiplo di =169 multiplo di =221 multiplo di = = =425 multiplo di = =65 multiplo di =85 multiplo di = = = =245 multiplo di =305 multiplo di = = =85 multiplo di = =117 multiplo di 3 e di =145 multiplo di = =225 multiplo di = =337

16 Pagina 16 di =405 multiplo di =481 multiplo di 13 Vediamo che i numeri che non sono primi sono tutti multipli di 3, 5 o 13, tutti numeri di Fibonacci, con maggiore frequenza per il 5. Notiamo, inoltre, che i numeri della 1 serie: 4, 16, 36, 64, 100, 144, 196, 256, 324, 400,.. sono tutti divisibili per 4 e/o per 8 (6 su 10, contrassegnati in rosso), dove 8 è un numero di Fibonacci ed è connesso con i modi che corrispondono alle vibrazioni fisiche delle superstringhe attraverso la seguente funzione di Ramanujan: 8 = 1 3 cosπtxw' 2 πx w' e dx 0 4 antilog coshπx 2 πt w' 4 ( ) e φw' itw' log t w' 2. (1)

17 Pagina 17 di 29 Terna pitagorica Da Wikipedia, l'enciclopedia libera. Una terna pitagorica è una terna di numeri naturali a, b, c tali che a 2 + b 2 = c 2. Il nome viene dal teorema di Pitagora, da cui discende che ad ogni triangolo rettangolo con lati interi corrisponde una terna pitagorica, e viceversa. Se (a, b, c) è una terna pitagorica, lo è anche (da, db, dc), dove d è un numero naturale qualsiasi; il numero d è quindi un divisore comune dei tre numeri da, db, dc. Una terna pitagorica si dice primitiva se a, b e c non hanno divisori comuni. I triangoli descritti da terne pitagoriche non primitive sono sempre simili a quelli descritti dalla corrispondente terna primitiva. Esiste una formula capace di generare tutte le terne pitagoriche primitive; tali formule sono citate da Euclide (Ευκλείδης) nei suoi Elementi (τα Στοιχεία): a = m 2 n 2 ; b = 2mn; c = m 2 + n 2 Le formule di Euclide generano una terna pitagorica primitiva se e solo se m e n sono coprimi ed uno di loro è pari e l'altro dispari (se sia n che m sono dispari a, b e c sono pari, e quindi quella terna pitagorica non può essere primitiva). Tutte le terne primitive si possono ottenere in questo modo da un'unica coppia di numeri coprimi m > n, mentre le restanti (non primitive) si possono ottenere moltiplicando i termini di una terna primitiva per un opportuno fattore. Le formule così modificate sono quindi in grado di generare tutte le terne possibili, anche se in modo non univoco: a = k (m 2 n 2 ); b = k (2mn); c = k (m 2 + n 2 ) Una conseguenza immediata di queste formule è che le terne pitagoriche sono infinite, in quanto sono infinite le possibili scelte di m e n. Inoltre è facile dimostrare che il prodotto di a per b (dei due cateti) è sempre divisibile per 12, mentre il prodotto abc (di tutti e tre i lati del triangolo pitagorico) è sempre divisibile per 60. (60 = 3 4 5)

18 Pagina 18 di 29 Esistono solo 16 terne pitagoriche primitive con c < 100: (3, 4, 5) (5, 12, 13) (7, 24, 25) (8, 15, 17) (9, 40, 41) (11, 60, 61) (12, 35, 37) (13, 84, 85) (16, 63, 65) (20, 21, 29) (28, 45, 53) (33, 56, 65) (36, 77, 85) (39, 80, 89) (48, 55, 73) (65, 72, 97) Le due terne sono in grassetto per evidenziare la loro importanza ai fini del nostro scopo. Il caso delle terne pitagoriche, nel nostro test, interessa solo i casi di p 2 = c 2, quando la risposta è Si, e quindi anche nella sequenza si no Si per i numeri primi, insieme alla sequenza no Si no. Per i numeri composti, ricordiamo, abbiamo si no no in genere e si no Si per le poche eccezioni. Nota 3 I numeri congruenti, da Wikipedia: Numero congruente Da Wikipedia, l'enciclopedia libera. In matematica un numero congruente è un numero naturale che rappresenta l'area di un triangolo rettangolo che ha per lati tre numeri razionali. Il 5, per esempio, è un numero congruente, poiché è l'area di un triangolo rettangolo di lato 20/3, 3/2, 41/6. La sequenza dei numeri congruenti inizia con 5,6,7,13,14,15,20,21,22,23,24,28,29,30,31,34,37,38,39,41,45,46,47,52,53,54,55,56,60 (sequenza A in OEIS). Se q è un numero congruente, allora s 2 q è ancora congruente moltiplicano tutte le misure dei lati del triangolo per uno stesso numero). Problema dei numeri congruenti s R (poiché si

19 Pagina 19 di 29 Dato un numero p, stabilire se esso è congruente. Questo problema non ha ancora trovato una soluzione. Il teorema di Tunnell fornisce un facile algoritmo per stabilire se un numero è congruente, tuttavia questo teorema si rifà alla congettura di Birch e Swinnerton-Dyer, che è ancora non dimostrata. Il teorema di Fermat sui triangoli rettangoli, dal nome del matematico Pierre de Fermat, afferma che nessun quadrato perfetto può essere un numero congruente. Alcuni numeri primi congruenti sono 5, 7, 13, 23, 29, 31, 37, 41, 47, 53, 61, 71, 79, 101, 103, 109. Vediamo di che forma sono e se c è una relazione con le forme 4n +1 o 4 n +3 p 4n+1, e quindi (p -1=/4 = 4n+3 quindi (p -3)/4 = intero intero 5 1 0,25 7 1, ,5 23 5, ,5 31 7, , , , , , , , , , ,5 Non emerge niente di importante e che non si sappia, i numeri primi congruenti non hanno preferenze per l una o l altra forma numerica, e nemmeno per una delle forme 6n-1 oppure 6n +1 dei numeri primi. Quindi, nessuna apparente

20 Pagina 20 di 29 relazione tra i numeri primi in generale e i numeri primi congruenti, sottoinsieme dei numeri primi, come invece sospettato all inizio. Solo quelli di forma 4n +1 sono somma di due quadrati, e rientrano nella sequenza per numeri primi si no Si. Ma vediamo come con tali aree possiamo risalire ai cateti, (base * altezza)/2, fattorizzando il risultato 5, 7, 13, 23, 29, 31, 37, 41, 47, 53, 61, 71, 79, 101, 103, 109 Numero congruente n n*2 Fattori di n^2 (cateri) * * * * * * * * * * * * * *109

21 Pagina 21 di 29 Notiamo che i triangoli rettangoli cosi costruiti sui numeri primi congruenti hanno cateti 2 e p, cosicché la loro ipotenusa i = p 2 Esempi per 13 i = = 173 = 13,15 41 i = = 1685 = 41, i = = = 103, i = = = 109,01 Come notiamo, la parte decimale della radice quadrata è sempre molto bassa essendo il quadrato dell ipotenusa subito dopo un quadrato, il che significa fattori numeri primi molto lontani tra loro (se fossero vicini, la parte decimale sarebbe molto alta, tipo 0, 8; 0,9; 0,99 ecc., vedi Rif. 4) Fattorizzando, avremo: 173 primo di forma 4n+1, poiché (173-1)/4 = 43 e somma di quadrati , e quindi 173 primo 1685 = 5*337 numeri primi lontani tra loro primo, poiché di forma 4n +1 poichè ( ) /4 = 2653 e anche, come tale, somma dei quadrati 2 2 e Vediamo ora la fattorizzazione dei numeri doppi dei composti congruenti (in neretto) 5,6,7,13,14,15,20,21,22,23,24,28,29,30,31,34,37,38,39,41,45,46,47,52,53,54,55,56,60 n congruenti composti (aree di triangoli rettangoli con cateti fattori) 2n Fattori di 2n (più cateti possibili) *2*3 = 4* *2*7 = 4 * *3*5 = 6* *2*2*5 = 8* *3*7= 6* *2*11 =4* ^4 *3 = 16* ^3 *7 =8* ^2*3*5 = 4*15

22 Pagina 22 di ^2*17 = 4* ^2*19=4* *3*13 = 6* *3^2*5 = 9* *2*23 = 4* ^3*13= 8* *5*11= 10* ^4*7= 16* ^3*3*5= 24*5 Qui osserviamo, per i numeri congruenti composti, che hanno fattori comuni molto piccoli o loro piccole potenze, ed un numero primo un po più grande, con rapporti piccoli tra i fattori maggiori e quelli minori, contrariamente ai rapporti, grandi, tra 2n /2 dei numeri primi congruenti. Anche queste osservazioni potrebbero essere utili ai fini del nostro nuovo test di primalità, sebbene a prima vista meno utili rispetto alle terne pitagoriche. Una curiosità: I triangoli equilateri (con are doppie di un triangolo rettangolo) sono connessi anche alla serie numerica di Padovan (detta anche figlia della serie di Fibonacci, in quanto molto simile, formula x 3 x - 1 anziché x 2 n - 1) Vedi link blog.edidablog.it/files/file/...padovan/successione_di_padovan.html I primi quattordici numeri della successione di Padovan Nel libro La piccola bottega delle curiosità matematiche del professor Stewart vengono presentati i numeri di Padovan: ogni numero della successione è la somma del penultimo numero e di quello ancora precedente. Ad esempio: 2 = 1 + 1; 3 = 2 + 1; 5 = 3 +2; 7 = ecc. I numeri di Padovan generano un sistema di triangoli equilateri disposti a spirale in senso orario.

23 Pagina 23 di 29 Puoi fermare l'animazione (e, poi, riattivarla!) cliccando nell'angolo in basso a sinistra dell'applet. Solo che il plughin è disabilitato Ma possiamo vederlo alla fine del testo del link areeweb.polito.it/didattica/polymath/htmls/.../successione-padovan.htm Sono numeri dalle proprietà straordinarie, sui quali sono stati scritti tanti volumi. Ma non è di questo che vogliamo occuparci. Vogliamo invece segnalare una nuova successione, figlia anch essa della successione di Fibonacci, scoperta di recente da Richard Padovan, un architetto inglese che, per la verità, ne attribuisce la paternità a Hans van der Laan ( ), un originale architetto e monaco benedettino olandese. Padovan la presentò in un suo saggio del 1994 e il matematico Ian Stewart la riprese nella sua rubrica su Scientific American nel Vediamo come si costruisce. Ogni termine si ottiene dalla somma dei due precedenti, saltandone però sempre uno, prima di scrivere il risultato. 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16, 21, 28, 37, 49,... Ad esempio, il settimo termine, 4 è la somma del quinto e del quarto termine, Il decimo termine, 9 è la somma dell ottavo e del settimo termine, Se indichiamo il termine generico della successione di Padovan con P(n), abbiamo: P(n + 1) = P(n - 1) + P(n - 2), con P(0) = P(1) = P(2) =1. Questa di Padovan, non è una successione così famosa come quella di Fibonacci, anche perché la sua scoperta risale a meno di vent anni fa, ma, come il numero d oro, ha importanti applicazioni in architettura e le sue proprietà sono già numerose e molto interessanti. Osserviamo innanzitutto che il rapporto tra due numeri successivi di Padovan tende a un numero ben preciso. In analogia con la successione di Fibonacci, per la quale il rapporto di due numeri successivi tende al numero d oro, in questo caso tende al numero plastico che indichiamo con r: 1,

24 Pagina 24 di 29 Che cos è il numero plastico?... E un po più difficile da spiegare del numero d oro. Mentre quest ultimo è la radice positiva della seguente equazione di secondo grado x 2 x 1 = 0 E se indichiamo il numero d oro con φ, abbiamo φ = (1 + 5)/2 Il numero plastico è l unica soluzione reale della seguente equazione di terzo grado ( si osservi l analogia, una delle tante, con l equazione relativa al numero d oro). x 3 x 1 = 0 Come si ricava? Ecco la formula applicata a questa equazione: Se indichiamo con r la soluzione reale dell equazione precedente possiamo scrivere: P( n) ( n ) lim n = P 1 = r

25 Pagina 25 di 29 Ma, come per il numero d oro, ci sono modi più semplici per ricavare il numero plastico. Ad esempio, questa bellissima espressione: r = I numeri primi nella successione di Padovan sono molto rari. Il dodicesimo numero primo è già enorme: e prima di questo ci sono soltanto: 2, 3, 5, 7, 37, 151, 3329, 23833, , , ,... Una formula ci consente di trovare la somma dei primi n numeri della successione di Padovan: n m= 0 P ( m) = P( n + 5 ) 2

26 Pagina 26 di 29 Possiamo costruire un a spirale di triangoli equilateri per i quali la lunghezza dei lati segue la successione di Padovan. Ad esempio, il triangolo equilatero di lato 9 è la somma dei lati di due triangoli equilateri: In questo modo abbiamo un altra formula per la determinazione dei numeri di Padovan: P(n) = P(n 1) + P(n 5) Dobbiamo dire che una successione simile a quella di Padovan in realtà era già stata studiata da Edouard Lucas, con tre numeri iniziali diversi: P(0) = 3, P(1) = 0 e P(2) = 2. Questa idea venne poi sviluppata, alla fine dell Ottocento, da R. Perrin. I primi termini di questa successione, che vi invitiamo ad approfondire (e che riserverà grandi sorprese), sono: 3, 0, 2, 3, 2, 5, 5, 7, 10, 12, 17,...

27 Pagina 27 di 29 Alla fin fine, questi triangoli equilateri, di area doppia rispetto ai triangoli rettangoli, e quindi con cateti e ipotenuse connesse ai triangoli basati sulle terne pitagoriche o ai triangoli rettangoli connessi ai numeri primi di forma 4n + 1 come somme di due quadrati, potrebbero essere anche essere utili per l approfondimento, ove occorresse, del nostro test di primalità semplificato, esposto in questo lavoro.

28 Pagina 28 di RIFERIMENTI (dal 2 in poi tutti sul nostro sito) 1) da Wikipedia, Numero primo fattoriale 2) PROBLEMI DI LANDAU Congettura e infinità dei Numeri di Landau di forma n^2+1 (dimostrazione ed estensione a forme numeriche simili Gruppo B. Riemann * Francesco Di Noto, Michele Nardelli 3) I NUMERI PRIMI EUCLIDEI e le forme 6k + 1 dei numeri primi Gruppo B. Riemann * Francesco Di Noto, Michele Nardelli 4) DIMOSTRAZIONE DELLA CONGETTURA DI POLIGNAC Ing. Pier Francesco Roggero, Dott. Michele Nardelli, P.A. Francesco Di Noto 5) Appunti sui gap tra due numeri primi consecutivi Gruppo B. Riemann * Francesco Di Noto, Michele Nardelli 6) Matematica con i numeri primi e le forme 6k + 1 Francesco Di Noto, Michele Nardelli,Pier Francesco Roggero 7) NOTIZIA CIRCA UNA NUOVA DIMOSTRAZIONE RIGUARDANTE I NUMERI PRIMI GEMELLI Gruppo B. Riemann Francesco Di Noto, Michele Nardelli 8) PROOF OF THAT THE MAXIMUN GAP BETWEEN TWO CONSECUTIVE PRIME NUMBERS IS BETWEEN n AND n/ln^2

29 Pagina 29 di 29 Pier Francesco Roggero, Michele Nardelli, Francesco Di Noto 9) MAX NUMERI PRIMI E ANCHE GEMELLI Ing. Pier Francesco Roggero 10) INFINITA DEI NUMERI PRIMI DI SOPHIE GERMAIN E DEI NUMERI PRIMI GEMELLI Gruppo B. Riemann Francesco Di Noto, Michele Nardell 11) Le quadruple di numeri primi Michele Nardelli, Francesco Di Noto