ESISTENZA DI NUMERI FATIDICI DISPARI. In this paper we show the odd fatidic numbers. In questo lavoro parleremo dei numeri fatidici dispari

Transcript

1 ESISTENZA DI NUMERI FATIDICI DISPARI Gruppo B: Riemann* Michele Nardelli, Francesco Di Noto **Gruppo amatoriale per la ricerca matematica sui numeri primi, sulle loro congetture e sulle loro connessioni con le teorie di stringa. Abstract In this paper we show the odd fatidic numbers Riassunto In questo lavoro parleremo dei numeri fatidici dispari Prima di vedere i numeri fatidici dispari e il loro problema matematico ancora irrisolto (sulla loro esistenza), vediamo, da Wikipedia, i numeri fatidici pari: Numero fatidico Da Wikipedia, l'enciclopedia libera. In matematica, un numero fatidico è un numero naturale abbondante ma non semiperfetto. [1] Questo vuol dire n è fatidico se la somma dei divisori di n (escluso il numero stesso) è maggiore di n ma non esiste nessun sottoinsieme di questi divisori la cui somma è n. Il più piccolo numero fatidico è 70; un esempio di numero abbondante ma non fatidico è 12, i cui divisori propri sono 1, 2, 3, 4 e 6 (che sommati danno 16) ma 2+4+6=12. 1

2 I primi numeri fatidici sono 70, 836, 4030, 5830, 7192, 7912, 9272, 10430,... (Sequenza A dell'oeis) È stato dimostrato che esistono infiniti numeri fatidici, e che la sequenza di questi numeri ha una densità asintotica positiva. [2] Non è noto se esistano numeri fatidici dispari; se ne esistono, devono essere maggiori di. Stanley Kravitz ha dimostrato che se k è un intero positivo e Q un numero primo tali che è primo, allora è un numero fatidico. [3] Con questa formula, trovò il numero fatidico più grande oggi conosciuto:. Prima di esaminare l esistenza o meno dei numeri fatidici dispari, vediamo forma aritmetica e distribuzione fino ad N = 10^n, alla ricerca di indizi sulla soluzione, diretta o indiretta, del problema Forma aritmetica. Essendo pari, i numeri fatidici debbono essere di forma 6k, 6k-2 (come i numeri perfetti) o 6k 4, mentre i numeri primi, (tranne il 2 e il 3 iniziali), sono di forma 6k - 1 e 6k + 1, essendo dispari ma saltano le forme 6k 3 e 6k + 3, poiché, essendo multipli di 3, non possono essere numeri primi. 2

3 TABELLA 1 Numeri 6k 2 6k 6k + 2 fatidici (abb. > 1 70 = 6* = 6* = 6* = 6* = 6* = 6* = 6* = 6* Osservazioni: Non si riscontrano numeri di forma 6k, ma solo 6k 2 e 6k + 2 Ricordiamo che i numeri perfetti sono tutti di forma 6k -2, tranne il 6 iniziale, e che i numeri semiperfetti sono invece di forma 6k 2, 6k e 6k + 2, che riguardano tutti i numeri pari. Distribuzione Circa la loro distribuzione fino a 10^n, vediamo che i numeri fatidici sono piuttosto rari, ma forse questo ha poca 3

4 importanza ai fini della dimostrazione dell esistenza di numeri fatidici dispari TABELLA 2 n N=10^n Numero di fatidici pari ? ? Conclusione Poiché i numeri fatidici pari sono abbondanti, sebbene non semiperfetti, i numeri fatidici dispari non sono possibili, forse per lo stesso motivo per cui non possono esistere i numeri perfetti dispari (Rif.1) : poiché tutti i numeri dispari primi sono difettivi, e i multipli di 3 anche, sebbene in misura minore dei numeri primi (i numeri dispari multipli di 3 hanno abbondanza attorno a 0,5 tranne qualcuno, per es. 945, che rivedremo in seguito), quindi non possono essere abbondanti 4

5 né come i numeri perfetti pari, né come i numeri fatidici pari, che sono abbondanti per definizione; mentre i numeri perfetti pari (abbondanza = 1) hanno abbondanza 1 e quindi non sono né abbondanti (abb. > 1) né difettivi (abb.< 1) Ci sono alcuni numeri dispari abbondanti, come 945, di forma 6k 3, di solito difettivi. Prendiamo come esempio proprio 945 =1*3^3 *5*7, divisori 1, 3, 5, 7, 9, 15, 21, 27, 35, 45, 63, 105, 135, 189, 315, 945 somma divisori s(n) = 975, abbondanza 975/945 = 1,031 > 1, quindi numero abbondante. Come multiplo dispari di 3, 945 si trova nella forma 6k-3, e quindi dei numeri in gran parte difettivi, con qualche eccezione di numero abbondante (945 ne è il primo), che però non può essere fatidico. Quindi i numeri fatidici possono essere soltanto pari, come in realtà si osserva (sequenza OESIS A006037, Rif.2). Il problema dell esistenza dei numeri fatidici dispari quindi può considerarsi risolto in senso negativo: non possono 5

6 esistere, forse nemmeno dopo 10^17, come accennato nell osservazione di Wikipedia: Non è noto se esistano numeri fatidici dispari; se ne esistono, devono essere maggiori di. Poiché, come numero dispari, è molto difettivo (al massimo 0,5 < 1) se multiplo di 3, e molto meno se è numero primo o un suo multiplo o una sua potenza, o un prodotto di primi (tranne il 2) tutti di forma 6k -1 e 6k +1 e tutti più o meno difettivi, salvo qualche raro numero dispari, come il 945 sopra accennato. La causa della non esistenza dei numeri fatidici dispari forse è da ricercare nella fattorizzazione dei numeri semiperfetti, connessi, come i numeri perfetti (dei quali sono un sottoinsieme), alle potenze n di 2 di forma 6k -2 (per es. 2^4 = 16 = 6*3-2 = 18 2 =16 se l esponente è pari e 6k+2 se n è dispari(es. 2^5 = 6*5+2 =30+2 =32).Vediamo ora una tabella dei fattori dei numeri semiperfetti per verificare questa nostra supposizione: Un numero si dice semi-perfetto se è uguale alla somma di alcuni (o tutti) suoi divisori. In particolare poi, quando un numero è uguale alla somma di tutti i suoi divisori (eccetto se stesso) si dice perfetto. I primi numeri semi-perfetti sono: 6, 12, 18, 20, 24, 28, 30, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100 (Sequenza A dell OEIS) 6

7 TABELLA 3 Numeri semiperfetti e forma Fattori primi Potenze di 2 6 6k 2*3 2 perfetto 12 6k 2*2* k 2*3* k+2 2*2* k 2*2*2* k-2 2*2*7 4 perfetto 30 6k 2*3* k 2*2*3* k-2 2*2*2* k 2*2*3* k 2*2*2*2* k 2*3*3* k+2 2* k 2*2*3* k 2*3* k 2*2*2*3* k 2*3* k+2 2*2*2*2* k-2 2*2*2*2*31 perfetto I numeri fatidici sono tutti pari poiché hanno 2 o una potenza 7

8 di 2 come fattore, e uno o più numeri primi (dispari),o loro potenze (anch esse dispari) e il prodotto tra un numero pari ed un numero dispari è sempre un numero pari (in questo caso tutti i numeri semiperfetti, e di conseguenza tutti i numeri fatidici, di forma 6k - 2 e 6k + 2; e che, pur non essendo semiperfetti (da definizione: abbondanti ma non semiperfetti) hanno pure una fattorizzazione simile. Ora affinché un numero fatidico possa essere dispari, deve mancare del fattore 2, il che ne diminuisce l abbondanza le forme 6k-3 sono raramente abbondanti, 6k -1 e 6k +1 sono sempre difettivi, e quindi molto difficilmente possono essere abbondanti (ma mai sono semiperfetti, come da definizione, poiché questi sono numeri pari) e quindi anche difficilmente possono essere numeri fatidici. Ecco perché non se ne trovano, proprio come i numeri perfetti dispari, anch essi connessi alla disparità, all abbondanza ( 1); mentre i più noti numeri perfetti pari sono connessi alla parità, all abbondanza (1)e alle varie potenze di consecutive di 2 come fattori. Quindi l estrema rarità o l impossibilità dell esistenza di numeri fatidici dispari è legata a questi concetti di 8

9 abbondanza (deve essere > 1) e all assenza di 2 e potenze di 2 tra i loro fattori. Nei numeri perfetti pari l abbondanza deve essere 1, e tra i loro fattori sono presenti 2 e le potenze di 2, ma sono assenti 3 e le potenze di 3; mentre per i numeri perfetti dispari mancano la parità, l abbondanza 1(rarissima o impossibile) e le potenze di 2 come fattori. Staremo a vedere eventuali verifiche future, preferibilmente anche in base alle nostre osservazioni di questo lavoro, che mostra le suddette similitudini e differenze tra numeri fatidici e perfetti pari, e numeri fatidici e perfetti dispari, e che potrebbero essere utili per eventuali dimostrazioni più rigorose e definitive. Riferimenti 1) I NUMERI PERFETTI DISPARI (proposta di dimostrazione della loro inesistenza) Gruppo B. Riemann Michele Nardelli, Francesco Di Noto Nel quale la tabella 6 riporta in rosso i numeri difettivi, con qualche 9

10 raro numero abbondante nella colonna dei numeri di forma 6k-2, come per esempio il 70, primo numero fatidico pari, e come gli altri numeri fatidici di forma 6k -2 e 6k+2 della Tabella 1 di questo lavoro. 2) Sequenza OESIS dei numeri fatidici pari A Weird numbers: abundant (A005101) but not pseudoperfect (A005835). (Formerly M5339) 70, 836, 4030, 5830, 7192, 7912, 9272, 10430, 10570, 10792, 10990, 11410, 11690, 12110, 12530, 12670, 13370, 13510, 13790, 13930, 14770, 15610, 15890, 16030, 16310, 16730, 16870, 17272, 17570, 17990, 18410, 18830, 18970, 19390, (list; graph; refs; listen; history; text; internal format) 18 Grafico Greetings from The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences!) 10

11 A as a graph 11