I N F I N I T I T R I A N G O L I. (Tk) D I T A R T A G L I A. (possibili applicazioni in geometria (k + 2) - dimensionale)

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1 I N F I N I T I T R I A N G O L I (Tk) D I T A R T A G L I A (possibili applicazioni in geometria (k + 2) - dimensionale) Gruppo B. Riemann * Francesco Di Noto, Michele Nardelli *Gruppo amatoriale per la ricerca matematica sui numeri primi, sulle loro congetture e sulle loro connessioni con le teorie di stringa. Com è noto, la somma dei termini dell k - esima riga del Triangolo di Tartaglia (che poi sono i coefficienti combinatori dei polinomi (a + b) n è sempre 2 n. Infatti : (k-esima riga) somme = = = = = 2 4 Il Triangolo di Tartaglia riporta quindi tutte le combinazioni di n elementi a k a k. ( n ) combinazioni k 1

2 Il Triangolo di Tartaglia è simmetrico (o palindromo ) rispetto alla linea verticale centrale la parte destra del Triangolo è identica alla parte sinistra. Nel Triangolo noto di Tartaglia, che ora possiamo anche chiamare T1, il primo della serie infinita, per ciò che interessa questo lavoro (sulle geometrie k + 2 dimensionali, in questo caso almeno 1+2= 3= tridimensionali) ci sono i numeri politopici (dalla relativa voce di Wikipedia): Serie dei numeri politopici [modifica] Ogni diversa diagonale del triangolo rappresenta una successione di numeri n-topici (una estensione alle n-dimensioni dei numeri poligonali, per esempio la 2 diagonale è composta dai numeri triangolari: 1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,.. La 3 diagonale dai numeri tetraedrici (3 dimensioni), la 4 dai numeri pentatopici (4 dimensioni), la 5 dai numeri 5-topici (5 dimensioni), e così via. [3] Qui le n-dimensioni vengono connesse alle n-diagonali, mentre, come vedremo, in T2 vengono connesse alle n-righe. Nella voce Solido platonico invece, si dice che : In altre dimensioni [modifica] Può essere interessante notare che in uno spazio a quattro dimensioni esistono sei politopi regolari, mentre da cinque dimensioni in su ne esistono solamente tre (gli analoghi del cubo, del tetraedro regolare e dell'ottaedro regolare). Naturalmente nello spazio bidimensionale i poligoni regolari sono invece infiniti. oltre al seguente schema dei solidi platonici, che mostra le immagini dei solidi platonici: 2

3 Proprietà combinatorie [modifica] Un poliedro convesso è un solido platonico se : 1. tutte le sue facce sono poligoni regolari convessi congruenti, 2. nessuna delle sue facce interseca le altre se non negli spigoli, e 3. in ogni vertice si incontrano lo stesso numero di facce. Ogni solido platonico può essere anche connotato da una notazione {p, q} dove p = il numero di lati di ogni faccia (o il numero di vertici di ogni faccia) e q = il numero di facce che si incontra in ogni vertice (o il numero di spigoli che si incontrano in ogni vertice). La sigla {p, q}, chiamata notazione di Schläfli, dà una descrizione combinatoria del poliedro. La notazione di Schläfli è esplicata nella tabella sottostante. Poliedro Vertici Spigoli Facce Notazione di Schläfli Posizione dei vertici tetraedro {3, 3} cubo {4, 3} ottaedro {3, 4} dodecaedro {5, 3} icosaedro {3, 5}

4 In rosso la nostra evidenza che per il cubo, i numeri, i valori 6, 12 e 8 sono quelli che corrispondono al cubo tridimensionale (n = 3) nella successiva terza riga per n = 3, terza dimensione) del successivo T2, e presenti anche nella tabella citata dal libro La quarta dimensione nella Nota finale (Rif.1). Questo per mostrare l evidenza delle connessioni tra geometria tridimensionale ed n-dimensionale tramite T1, e le geometrie n-dimensionali tramite gli N-cubi e T2, a cominciare dal nostro noto cubo tridimensionale, tutte cose legate ai coefficienti binomiali di T1 e alle relative formule combinatorie, opportunamente adattate agli ipercubi (vedi Nota finale). A proposito di cubi e teoria dei giochi, ricordiamo bene il cubo di Rubrik: era già complicato con tre dimensioni (tranne che per pochi geni), figuriamoci con n dimensioni! Abbiamo però notato che, se moltiplichiamo ogni termine di una riga di T1 per le potenze crescenti di 2 (o, come vedremo, di un qualsiasi numero k), il secondo Triangolo di Tartaglia, che ora possiamo chiamare T2 ( e quindi T1 quello già noto, e ora solo il primo della nostra serie infinita Tk): - perde la sua simmetria destra - sinistra, diventando asimmetrico rispetto alla linea centrale; - dà, come somma dei termini della k - ma riga, le potenze di 2 (o, in generale, di k per ogni Tk): 4

5 1 * 2^0 1 * 2^0 1 * 2^1 1 * 2^0 2 * 2^1 1 * 2^2 1 * 2^0 3 * 2^1 3 * 2^2 1 * 2^3 T2 Scrivendo i relativi risultati, abbiamo (anche per la 4 riga): n-esima riga somme = potenze di = = = = = I valori in blu 1, 8, 24, 32, 16 della quarta fila, se scritti al contrario (immagine speculare di T2, ma equivalente), sono i numeri di ipercubi, facce cubiche, facce quadrate, lati e vertici per un cubo a 4 dimensioni o 4 cubo, analogamente a come i numeri della riga precedente sono quelli relativi al cubo normale, mentre l ultimo numero, 81 e 27 rispettivamente (potenze di 3) sono la somma di tutti i valori di una riga. Tali numeri sono, inoltre, in ottima connessione con i modi di vibrazioni fisiche sia 5

6 delle stringhe bosoniche (24) che delle superstringhe (8). Abbiamo infatti oltre ai numeri 8 e 24, i numeri 32 = e 16 = 8 +8 sempre quindi connessi ad 8 e 24. Le funzioni di Ramanujan corrispondenti a tali numeri sono: 8 = 1 3 cosπtxw' 2 πx w' e dx 0 4 antilog coshπx 2 πt w' 4 ( ) e φw' itw' log t w' 2. (1) cosπtxw' 2 πx w' e dx 0 4 anti log coshπx 2 πt w' 4 ( ) = e φw' itw' log t w' 2. (2) Vedi Nota finale sulle possibili applicazione di T2. Di conseguenza, la 5 riga, qui rappresentata con puntini, darebbe i numeri relativi ad un cubo a 5 dimensioni, o 5 cubo, evitando i complessi calcoli esposti alla pagina riportata nella nota finale, tratta dal recente libro La quarta dimensione, della recente serie editoriale Mondo Matematico (Rif.1) In T2, infatti, ogni elemento numeri è dato dal doppio del numero superiore a sinistra, più il numero superiore a destra (nel Triangolo di 6

7 Tartaglia tradizionale, o T1, ricordiamo, si ha invece come somma dei due numeri della riga precedente: Ora invece la 5 riga si calcola facilmente con =10, =40, = 80, = 80, 16*2=32 Quindi la 5 riga risulta: somma 243 =3^5 somma 729 =3^6 E così via per tutte le righe successive. E così via per qualsiasi altro k, per es. k = 3 per T3, abbiamo come somma di ogni riga le potenze di k +1 = = 4 T3 1 * 3^0 1 * 3^0 1 * 3^1 1 * 3^0 2 * 3^1 1 * 3^2 1 * 3^0 3 * 3^1 3 * 3^2 1 * 3 ^3 1 * 3^0 4 * 3^1 6 * 3^2 4 * 3^3 1 * 3^4 scrivendo direttamente i risultati: 7

8 1 1 = = = = = In questi nuovi triangoli, un termine è dato da quello superiore a sinistra moltiplicato per k, in questo caso per 3, sommato al termine superiore a destra, per es. 54 = 9 * = = 54 (vedi elementi sottolineati) Quindi abbiamo infiniti Triangoli di Tartaglia, che chiameremo T1, T2, T3,. Tk dove la somma di tutti gli elementi di ogni k-esima riga è una potenza di (k+1), e quindi (k+1) n. Per il Triangolo di Tartaglia noto, esso coincide con T1, con k =1, e infatti la somma dei termini di una riga è sempre una potenza di k + 1 = = 2, e quindi (1 + 1) n = 2 n. Ora, poiché T1 è collegato notoriamente alle combinazioni dei coefficienti binomiali, gli altri Tk sembrano collegati alle disposizioni con ripetizione di n elementi, poiché la loro formula è (k+1) n = k n, cosi come n! è la formula delle permutazioni di n elementi (n! entra nella formula dei singoli elementi di T1 ). Ecco così come da T1, legato alle combinazioni binomiali 8

9 di (a + b) n, si passa con Tk alle disposizioni con ripetizione. Ma i numeri binomiali sono coinvolti ovviamente anche nelle formule della nota finale, seconda pagina. Ora le potenze di tipo p n, e cioè quando k + 1 = p con p numero primo, sono importanti, con i loro inversi 1/p n, per i ottenere i cosiddetti numeri p-adici, sui quali si basa il fisico francese Alain Connes per costruire il suo spazio adelico e un operatore di Riemann per connetterli con una fisica quantistica adelica, collegata a sua volta con gli zeri della funzione zeta di Riemann, anch essa basata sugli inversi dei soli numeri primi 1/p elevati ad un numero complesso s, anziché agli inversi delle potenze di p come nei numeri p-adici. E poiché la spaziatura degli gli zeri della funzione zeta è collegata alla spaziatura dei livelli energetici degli atomi, ci potrebbe essere alla fin fine una possibile connessione, peraltro ancora da scoprire (per il momento è solo sospettata), tra gli infiniti Tk con k + 1 = k = numero primo. In tal caso, gli infiniti Tk collegati agli infiniti numeri primi k = k + 1, sarebbero un nostro ulteriore contributo, basato sulla teoria dei numeri (Tk e numeri primi k ) alle teorie sulla fisica quantistica, connesse a loro volta con le teorie di stringa. 9

10 T1 è anch esso collegato con i numeri di Fibonacci, poiché questi sono la somma (e quindi una partizione) di alcuni coefficienti binomiali appartenenti a righe successive. Conclusioni Concludendo, molti vecchi e nuovi risultati della Teoria dei numeri in generale e dei numeri primi in particolare, come per esempio questa serie infinita di Tk, hanno avuto e potrebbero avere in futuro un ruolo molto importante nella fisica quantistica e sue conseguenze (teorie di stringa, ecc.) e alcune connessioni che abbiamo già trovate ed esposte nei lavori già sul sito o altri in preparazione. NOTA FINALE sulla visualizzazione della quarta dimensione e sulle formule per determinare i numeri per ogni k- esima riga di T2, e quindi per ogni dimensione desiderata. Due pagine riportate dal Rif. 1 : 10

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12 Come si vede nella tabella, la seconda, terza, quarta e quinta riga, corrispondenti alla prima, seconda, terza e quarta dimensione, riportano i valori di T2 scritti al contrario, cioè come nella sua versione 12

13 speculare ma equivalente. Tutto ciò è evidente che evita facilmente i calcoli indicati nella pagina seguente per un maggior numero k di dimensioni, continuando, fin dove è possibile ( in base alle dimensioni del foglio di carta usato a tale scopo) a costruire T2 fino alla riga/dimensione considerata, con calcoli, quindi, più facili e veloci rispetto ai calcoli equivalenti con i binomiali per la sola medesima riga tenendo conto che ogni k dimensione richiede k+1 termini da mettere nella stessa riga. Riferimenti 1) La quarta dimensione di Raul Ibanez Torres, RBA Italia S.r.l 13