LE NOSTRE PREVISIONI MATEMATICA SU GRANDI NUMERI. Francesco Di Noto, Michele Nardelli, Pierfrancesco Roggero

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1 Pagina 1 di 26 LE NOSTRE PREVISIONI MATEMATICA SU GRANDI NUMERI Francesco Di Noto, Michele Nardelli, Pierfrancesco Roggero Abstract In this paper we show some our previsions about great numbers, as 49 and other Mersenne s prime number, seventh Taxicab number. In the last paragraph we focus attention on the how we can get the maximum number.

2 Pagina 2 di 26 1.INTRODUZIONE IL NUMERO PIU GRANDE IN ASSOLUTO RIFERIMENTI... 26

3 Pagina 3 di 26 1.INTRODUZIONE In questo breve lavoro riportiamo le nostre previsioni matematiche sul alcuni grandi numeri particolari che saranno scoperti in un futuro più o meno vicino, e basate sui nostri precedenti lavori, indicati nei Riferimenti finali, per chi fosse eventualmente interessato all argomento. I numeri che abbiamo stimato, con una certa approssimazione, riguardano: a) Il prossimo numero di Mersenne, o meglio la probabile grandezza dell esponente, di tipo 2 n e inoltre, il numero di Mersenne con 100 milioni di cifre, per il quale è previsto un grosso premio ( dollari) per chi lo scoprisse, e quello con un miliardo di cifre (con premio di dollari). b) Il prossimo numero T(n) di nodi con 17 incroci, e quindi T(17), molto vicino ai due miliardi di nodi (attualmente l ultimo numero esattamente noto è T(16)), c) Il prossimo settimo numero T (7) Taxicab, che sia scrivibile come somma di 7 cubi diversi (l ultimo numero noto è T (6). La nostra previsione dice che il prossimo numero Taxicab abbia 27 o al massimo 28 cifre. L ultimo numero noto, T (6), è formato da 23 cifre. In alcuni casi ci è stata di aiuto la sezione aurea d) Una previsione dei numeri di quadrati magici di ordine 6 e 7, ancora ignoti, l ultimo numero noto si riferisce all ordine 5. Preghiamo i matematici interessati a seguire le attuali e future ricerche in corso su questi tipi di grandi numeri, ed eventualmente anche a parteciparvi direttamente, sperando, in base alle nostre seguenti previsioni, nel caso ovviamente che fossero ritenute attendibili. Cominciamo dal prossimo e 49 numero di Mersenne a) Il più grande numero di Mersenne finora noto, il 48, recentemente scoperto, è

4 Pagina 4 di 26 formato da circa 13 milioni di cifre: Da Wikipedia. Parzialmente : Numero primo di Mersenne Da Wikipedia, l'enciclopedia libera. Un numero primo di Mersenne è un numero primo esprimibile come: con n intero positivo primo. I numeri primi di Mersenne prendono il nome dal matematico francese Marin Mersenne ( ). Mersenne compilò una lista di numeri primi di questo tipo considerando tutti i valori di n fino a n=257. Tale lista conteneva però alcuni errori: includeva e (che non sono primi), mentre non comparivano, e (che sono primi). I primi dodici numeri primi di Mersenne sono: Se è primo, allora anche è primo. Invece primo non garantisce che sia primo. Se non è un numero primo, viene detto semplicemente numero di Mersenne. In questo caso ogni suo fattore primo è del tipo 2*a*n+1 (dove a è intero). I numeri primi di Mersenne sono collegati con i numeri perfetti. Nel IV secolo a.c. Euclide dimostrò che se è un numero primo, allora è un numero perfetto. Nel XVIII secolo Eulero provò che tutti i numeri perfetti pari hanno questa forma. Nessun numero perfetto dispari è conosciuto e si congettura che non ne esistano.

5 Pagina 5 di 26 I calcolatori hanno accelerato la scoperta dei primi di Mersenne. I primi dodici numeri primi di Mersenne sono stati scoperti prima del XX secolo. Alla fine del millennio i primi di Mersenne conosciuti erano 38; oggi invece se ne conoscono 48 e i tredici più recenti sono stati scoperti nell'ambito della GIMPS, la Great Internet Mersenne Prime Search, iniziativa che sfrutta le risorse disponibili di migliaia di computer in rete per cercare i primi di Mersenne. Il più grande numero primo conosciuto (a febbraio 2013) è proprio un numero di Mersenne trovato nell'ambito della GIMPS; scritto in base dieci è un numero di cifre, precisamente: Il test di primalità usato dal GIMPS è il test di Lucas - Lehmer. In un sistema numerico binario, tutti i primi di Mersenne sono primi repunit, primi palindromi e primi permutabili. Lista numeri primi di Mersenne # n M n Cifre in M n Data scoperta Scopritore Antichità Ignoto Antichità Ignoto Antichità Ignoto Antichità Ignoto Ignoto Cataldi

6 Pagina 6 di aprile agosto gennaio 2013 GIMPS / Odd M. Strindmo GIMPS / Edson Smith, George Woltman, Scott Kurowski et al GIMPS / Curtis Cooper, George Woltman, Scott Kurowski et al Non è noto se esistano altri numeri primi di Mersenne tra il 42 (M ) e il 48 (M ) e la numerazione della tabella è pertanto provvisoria. I numeri primi non sono sempre stati scoperti in ordine crescente. Ad esempio, il 29 primo di Mersenne è stato scoperto dopo il 30 e il 31. Allo stesso modo il 47 è stato seguito da altri due numeri più piccoli, uno scoperto due settimane più tardi e l'altro 8 mesi dopo [1].... Nel nostro lavoro Novità sui numeri primi di Mersenne (tra l altro, stime sui numeri di cifre dei prossimi numeri) - Francesco Di Noto, Michele Nardelli, Pier Francesco Roggero, ancora da pubblicare, prevediamo anche che è possibile l esistenza di altri numeri di Mersenne ancora non scoperti tra il 42 e il 48. Ma qui ci interessa soprattutto il 49, ancora da scoprire, e che riguarda la nostra previsione. Riportiamo parzialmente le pagine interessate alla nostra previsione:...possibili stime o previsioni in base alla suddetta relazione e statistiche in corso di perfezionamento. Si potrebbe ora fare una previsione sul prossimo 49 numero di Mersenne, successivo a quello (48 ) ora scoperto, tramite i numeri di Fibonacci.

7 Pagina 7 di 26 Poiché il precedente numero di Mersenne ha circa 13 milioni di cifre (esattamente ) e poiché 13 è numero di Fibonacci e 17 di 17 milioni (esattamente ) è la media tra 13 e 21 numeri di Fibonacci, potrebbe darsi che il prossimo numero di Mersenne possa avere circa 21 milioni di cifre, secondo l andamento evidenziato in TABELLA 2 ( numero di cifre come numero di Fibonacci o loro media aritmetica approssimativa). Vediamo invece con l esponente n di Mn, visto che anche i numeri primi n ad esponente di 2 costeggiano anch essi la serie di Fibonacci: il numero n = ed il numero n = sono vicini a numeri di Fibonacci o loro medie: Vediamo la serie finale di grandi numeri di Fibonacci (sequenza OEIS A000045): , , , Poiché il numero finale è minore di e di , calcoliamo il numero successivo: = potrebbe considerarsi in tal senso come media approssimativamente tra , infatti: ( )/2 = , ,

8 Pagina 8 di 26 con una differenza / = 0,011 % di , una percentuale di differenza molto minima sul valore esatto. Infine, la media tra 51 e 57 = numero di Fibonacci il prossimo numero n primo come esponente di 2 per il prossimo numero di Mersenne potrebbe essere la media tra 55 e 89 = 72 seguito da sei cifre, quindi dell ordine di 72 milioni e il prossimo Mn quindi sarebbe circa 2^ circa 10 ^( /3,321) =10^ cioè un numero con circa 21 milioni di cifre, coerente con la precedente previsione più empirica. Ma altri calcoli più attendibili, preparati per GIMPS (allo scopo di ridurre i tempi di calcolo per i prossimi numeri di Mersenne, vedi seconda parte di questo lavoro) ci suggeriscono come numero primo n minimo da cui iniziare i calcoli, evitando i numeri primi tra , e poichè tra questi sicuramente non c è il numero primo relativo al prossimo 49 numero di Mersenne; circa il suo numero di cifre, dovrebbe quindi essere almeno /3,321 = cifre (3,321 è il rapporto medio tra p e il numero di cifre del relativo numero di Mersenne), molto vicino alla stima precedente di circa 21 milioni: molto probabilmente la cifra esatta sarà prossima alla media tra queste due stime, e cioè ( )/2 = , con probabile differenza di qualche centinaio di migliaia dal valore reale ancora ignoto.

9 Pagina 9 di 26 * Infatti / = 3, , mentre il precedente rapporto, relativo al 47 numero di Mersenne, è 3, , con una differenza di solo un milionesimo (sesta cifra decimale, in rosso) Evidenziamo come 3,321 sia molto vicino al π = 3,14 che si ricava dall identità frattale di Ramanujan (Hardy 1927): , = 1/ φ = = R( q) +, (1) + + q f ( t) dt 1 exp / f ( t 1/ ) t Infatti: dove 3 = 2Φ R( q) exp 5 π, (2) 5 +1 Φ =. 2 5 f ( t) dt 5 4 / f ( t 1/ ) t q 0 5 Inoltre, ricordiamo che π deriva anche dalle seguenti identità (Ramanujan s paper: Modular equations and approximations to π Quarterly Journal of Mathematics, 45 (1914), ): e π = ( 2 + 5)( 3 13) 12 + π = log log , (2a) 2. (2b) Anche qui, quindi connessioni con π e Φ, quindi con i frattali e con le stringhe.

10 Pagina 10 di 26 Attendiamo quindi il prossimo numero di Mersenne per verificare la nostra previsione sfruttando approssimativamente la connessione dei numeri di Mersenne con la serie di Fibonacci e i calcoli sopraccennati per la seconda parte di questo lavoro. Questi ci permetteranno inoltre di prevedere il numero di Mersenne con più di 100 milioni di cifre (e relativo premio di dollari), intorno al 65 numero di Mersenne, e infine intorno all 84 numero quello con un almeno miliardo di cifre, con l ulteriore premio di dollari. Ecco perché GIMPS, conoscendo questi dati (per il momento approssimativi e in via di perfezionamento), potrebbe puntare con precedenza assoluta a questi due numeri per ottenere il premio, e poi riprendere i calcoli per trovare gli altri, dal 49 in poi. Nel primo caso parteciperemo volentieri anche noi, ma con i nostri piccoli PC ci sembra molto difficile; occorrerebbero computer più potenti, per esempio di tipo Cray. Tabella per i prossimi probabili numeri d ordine di Mersenne da 100 milioni di cifre e da un miliardo di cifre in base alla media dei rapporti successivi degli esponenti, a partire da quello relativo al 47 e dal 48 numero, appena scoperto:

11 Pagina 11 di 26 TABELLA 3 Ultimi esponenti Esponente*media (1,257) *1,257= = *1,257^4= Osservazioni esponente minimo per avere un numero di Mersenne da 100 milioni di cifre 84 = *1,257^14= esponente minimo per avere un numero di Mersenne da 1 miliardo di cifre Conclusioni Possiamo concludere brevemente dicendo che i numeri primi di Mersenne ora sono più ben definiti e conosciuti, oltre che più prevedibili, sia pure

12 Pagina 12 di 26 empiricamente, empiricamente, sfruttando la nostra connessione di n esponente di 2 e i numeri di Fibonacci, e quella simile con il numero di cifre dei numeri di Mersenne. Poiché i numeri di Fibonacci sono alla base dei frattali, figure geometriche che si ripetono a qualsiasi scala, anche il numero delle cifre si ripete come possibile frattale a livello di milioni di cifre: 4 milioni di cifre, 13 milioni di cifre, ora anche 17 milioni di cifre (con 17 media tra 13 e 21), con 4, 13 e 17 ecc. numeri di Fibonacci o loro media aritmetica. Osserviamo che la media dei rapporti successivi degli esponenti n, valutata empiricamente con [(ln ln ln (n)] ^2 = 1,1212 1,257 da tabella statistica, è molto vicina alla radice di 1, numero aureo, e cioè 1, = 1,2720, le cui potenze successive sono vicine a numeri di Fibonacci, e questo potrebbe essere alla base delle nostre stime iniziali, basate appunto sui numeri di Fibonacci, e lo stesso, seppure in modo meno preciso, succede con la media 1,257

13 Pagina 13 di 26 TABELLA 4 delle potenze n-esime di entrambi i numeri: n 1,257 Numeri di Fibonacci 1,272 Numeri di Fibonacci 1 1, , ,58 1 1, ,98 2 2, ,49 2,61 5 3,13 3 3, ,94 4,23 7 4,95 5 5, ,23 6,85 9 7,83 8 8, ,84 11, , , ,56 17,94 17 media tra 13 e , , ,58 29, , , , media tra 34 e 55 Ovviamente, le potenze di 1,272 sono più precise nella vicinanza a numeri di Fibonacci (in verde), ma l andamento è simile in entrambe le colonne, il che spiegherebbe le nostre stime iniziali. Quindi la media 1,257 dei rapporti successivi tra esponenti molto vicina alla radice quadrata di 1, è più giustificata della stima in base al [(ln ln ln (n)]^2, più difficile da dimostrare, e quindi la

14 Pagina 14 di 26 trascureremo in futuro, in eventuali ritorni sull argomento. Infine, possibili applicazioni crittografiche dei numeri primi di Mersenne, ma sconsigliabili per i motivi accennati nella nota crittografica finale. b) Previsione per il numero T(17) di nodi con 17, incroci Dal lavoro sulla teoria dei nodi già pubblicato, sia in italiano che in inglese (Rif. 3 e Rif. 4) riportiamo, dalla versione italiana, la parte finale con la previsione dei numeri da T(17 a T(20), con particolare attenzione a T(17) il primo che non si conosce ancora, dopo T(16) già noto ( ). La nostra previsione per T(17) è di circa , o almeno compreso tra e , e possibilmente più vicino alla loro media aritmetica ( )/2 = /2 = insomma vicino a Evidenziamo che è un multiplo di 8, precisamente 8 x , che è un numero di Fibonacci ed è connesso con i modi che corrispondono alle vibrazioni fisiche di una superstringa attraverso la seguente funzione di Ramanujan:

15 Pagina 15 di 26 8 = 1 3 cosπtxw' 2 πx w' e dx 0 4 antilog coshπx 2 πt w' 4 ( ) e φw' itw' log t w' 2. Ma riprendiamo la precedente tabella di pag. 16 e completiamola ora con i numeri N(n) esatti, dall 11 al 16 N(n) Valori reali Valori stimati (in rosso) N(n-1) , , , (10 numero) 49 3, , , , , , , *6= ? *6,5= ,5? *7= ? *7,5 = ,5? intero r =N(n) / N(n-1) da 1 in poi.valori reali Valori stimati(in rosso) In tal modo possiamo stimare con buona approssimazione i valori del 17, 18, 19 e

16 Pagina 16 di numero di nodi, e cioè N(17), N(18), N(19) ed N (20), stimando i rapporti tra uno di essi e il precedente, leggermente crescenti (mediamente di circa 0,5 ad ogni nuova stima). Ulteriori calcoli per i valori reali confermeranno o meno queste nostre attuali stime provvisorie, il 20 numero, per esempio, non dovrebbe essere molto lontano dai tre miliardi di nodi con 20 incroci. Una stima per difetto potrebbe essere il prodotto tra un valore reale e l ultimo rapporto noto, per esempio *5,48 = intero, circa del valore stimato con il più attendibile rapporto (ora anch esso stimato), e cioè 6, possibilmente più vicino al valore reale. c) Il settimo numero di Taxicab Dal recente lavoro sui numeri Taxicab PREVISIONI SULLA PROBABILE GRANDEZZA DEL NUMERO TAXICAB T(7), (Rif.5) di prossima pubblicazione, riportiamo la nostra previsione: Osserviamo brevemente, con una tabella, il numero di cifre dei T(n) successive, e i relativi rapporti successivi, per vedere sommariamente il ritmo di crescita:.

17 Pagina 17 di 26 TABELLA 1 T(n) con n Numero di cifre Rapporti successivi =1,2,3,4,5 e 6 (interi) T(n)/T(n-1) T(5) T(6) intero esatto T(7) (media cifre =22 22/6= 3, = 27 aumento 27 (stima) Circa 28 cifre di T(7)stimato Media consecutivi) = /5= rapporti Stima T(7) T(6)*126222= Otteniamo quindi una stima di T(7) reale (prossima a T(7) reale) di T(7) , con 28 cifre, mentre il numero di cifre stimato è di 27 cifre. Una interessante osservazione è che i numeri di cifre dei successivi T(n) costeggia la successione di Fibonacci:

18 Pagina 18 di 26 Numero di cifre c Num. di Fibonacci f Differenze c - f oppure 5 +1 e media tra 13 e stimato 27,5 media tra 21 e 34 0,5 Osserviamo che manca solo il 2 Tabella predittiva per i prossimi numeri di TAXICAB, basata sui quattro ordini di grandezza in più per ogni T(n) successivo T(n) Numero di cifre Mediamente un nuovo T(n) ogni quattro cifre in pù rispetto al precedente T(1) 2 1 T(2) =1*4 T(3) = 2*4 T(4) = 3*4 +1=4*4-3 T(5) = 4*4 +1 =5*4-3 T(6) = 5*4 +3= 6*4=24-1 T(7)... 27? = 6*4+3= 7*4-1 T(8) 31? 8*4-1 T(9) 35? 9*4-1 T(10) 39? 10* T(20) 80? per 10^80= 20*4 particelle dell Universo

19 Pagina 19 di T(n) Per n di cifre = 4*n n*4 Per 10^4n valore approssimativo di T(n) Un T(n) qualsiasi, quindi, ha un ordine di grandezza di circa 10^4n, a partire da T(4), prima vale n-1, per es. per T(3) il numero di cifre è 8 = 4(3-1)= 4*2 = 8 In rosso i valori di n per i quali vale 10^4n, per esempio T(4)= ^13 = 10 ^(4*4-3) =e compreso tra 10^12= e 10^13= cioè tra miliardi e miliardi, infatti è di circa miliardi, valore compreso tra 1000 miliardi e miliardi. L esponente 4n di 10^4n è quindi quello superiore a T(n) Conclusioni Possiamo concludere brevemente dicendo di aver ottenuto una stima attendibile (si vedrà quando sarà calcolato il numero esatto di T(7), sia del probabile numero di cifre di tale numero, somma di sette diversi cubi. Infine, una Tavola di addizione di due cubi per comprendere meglio il meccanismo dei numeri Taxicab ( in rosso), all incrocio tra la riga del primo cubo e la colonna del secondo:

20 Pagina 20 di 26 cubi Con questa Tabella, limitata ai primi soli 13 cubi fino 2197, troviamo solo i primi due Taxicab T(1) 2 = 1+1 una sola volta, e T(2) = 1729 = e , quindi due volte Nota 1. Un altra nostra previsione è il numero di nodi con 20 incroci, pari a circa 2 miliardi. (Rif. 2) Nota 2 Un fenomeno simile (relazione iniziale tra numero di cifre e numerosi Fibonacci) l abbiamo notata anche nei numeri perfetti e nei numeri di Fermat (Rif. 3)

21 Pagina 21 di 26 d) Previsione sui numeri di quadrati magici di un dato ordine, a partire dal numero relativo all ordine 6, ancora ignoto...2. REGOLA PER DETERMINARE IL NUMERO DI QUADRATI MAGICI DI UN DATO ORDINE Il problema più generale, ovvero trovare la regola che consenta di determinare il numero di quadrati magici di un dato ordine, rimane da risolvere. Questo numero non deve considerare i quadrati ottenuti con rotazioni e simmetrie. Dalla Tab. 3 vediamo che finora è stato calcolato con l avvento del computer il numero di quadrati magici di ordine 5 che sono Il numero preciso dei quadrati magici di ordine 6 invece non è stato ancora calcolato con precisione, ma si ha una stima di circa ^19 per quelli di ordine FORMULA APPROSSIMATIVA PER CALCOLARE IL NUMERO DEI QUADRATI MAGICI PERFETTI DI ORDINE O 5 Non è possibile calcolare con una formula il numero esatto di combinazioni che danno luogo a 880 quadrati magici perfetti, però possiamo trovare un valore limite inferiore approssimativo per i quadrati magici di ordine superiore al 4:

22 Pagina 22 di 26 TAB. 5 Ordine del quadrato magico O Numero di quadrati magici N ^12 = ^24 = ^36= La formula approssimata per O 5 è la seguente N = O^12(O-4). Osserviamo che 12 = 24/2, dove 24 è connesso ai modi che corrispondono alle vibrazioni fisiche delle stringhe bosoniche attraverso la seguente funzione di Ramanujan: cosπtxw' 2 πx w' e dx 0 4 anti log coshπx 2 πt w' 4 ( ) = e φw' itw' log t w' 2. La formula N=O^12(O-4) deriva dalle seguenti considerazioni: L esponente 12*(O-4) dà il numero medio di spostamenti all interno di un quadrato magico di ordine O, mentre la base coincidente con l ordine O è il numero medio di cambiamenti all interno di una singola casella. Ad esempio per i quadrati magici perfetti di ordine 5 possiamo avere 12 spostamenti medi all interno delle 25 caselle con 5 cambiamenti all interno di una

23 Pagina 23 di 26 singola casella (se la casella contiene il numero 8, ad esempio, può cambiare il suo valore in media 5 volte).... Qui l evidenza in rosso è nostra per evidenziare le nostre stime per i quadrati di ordine 6 e ordine 7 Conclusioni Se l approssimazione tra valore reale e valore da noi stimato fosse del 10% del valore reale del numero considerato o del numero di cifre, in tutti e quattro i casi, già ci potremmo considerare soddisfatti delle nostre stime...

24 Pagina 24 di IL NUMERO PIU GRANDE IN ASSOLUTO Il googol è il numero intero esprimibile con 1 seguito da 100 zeri, cioè pari a Il googol in cifre è il seguente: Il termine è stato ideato e divulgato per illustrare la differenza tra un numero enorme e l'infinito. Un googol è circa pari al fattoriale di 70 (per la precisione, 70! è circa 1,198 googol); i suoi unici fattori primi sono 2 e 5, ciascuno presente 100 volte. Scritto in notazione binaria, occupa 333 bit. In matematica, il googol non ha un significato particolare, se non quello di essere utile per un confronto con altri numeri incredibilmente grandi, come quello di atomi nell'universo visibile (stimato tra e ) o quello delle possibili partite a scacchi (circa ). Un tale numero è decisamente inutile per misurare una qualunque grandezza nella realtà ma, nonostante questo, sono stati dati dei nomi anche a numeri più grandi, come il megistone o il numero di Graham. Persino contando tutte le particelle esistenti nell'universo conosciuto non si raggiungerebbe che un miliardesimo di miliardesimo di un googol. Il termine è all'origine del nome Google, adottato da Larry Page e Sergey Brin, fondatori di Google Inc., azienda che gestisce l'omonimo motore di ricerca. L'alterazione nello spelling fu dovuta a un errore compiuto nella scrittura del termine googol ai tempi della prima registrazione del dominio, come descritto nel libro The Google Story di David A. Vise

25 Pagina 25 di 26 Il googol è infatti una potenza che è un'operazione che associa ad una coppia di numeri e - detti rispettivamente base a ed esponente n - il numero dato dal prodotto di fattori uguali ad : Prendendo per semplicità valori interi per la base e l esponente se aumentiamo entrambi abbiamo una crescita enorme. Potremmo anche scrivere per aumentare il numero: a n (a n ) k Ma questa è comunque una variazione della potenza a n, dove si ottengono gli stessi risultati aumentando la base, l esponente o entrambi. Quindi la potenza a n è il numero più grande in assoluto.

26 Pagina 26 di RIFERIMENTI 1) Notizia importante in Teoria dei Numeri: trovato il più grande numero primo Gruppo B. Riemann * Francesco Di Noto, Michele Nardelli 2) Novità sui numeri primi di Mersenne (tra l altro, stime sui numeri di cifre dei prossimi numeri) Francesco Di Noto, Michele Nardelli, Pier Francesco Roggero di futura pubblicazione sul nostro sito 3) Teoria matematica dei nodi, fisica quantistica, teoria di stringa (connessioni con i numeri di Fibonacci, di Lie e i numeri di partizione) Parte Prima Michele Nardelli, Francesco Di Noto Gruppo B. Riemann 4) Mathematical theory of knots, quantum physics, string theory (connections with the Fibonacci s numbers, Lie s numbers and partition numbers) Michele Nardelli, Francesco Di Noto, Pier Francesco Roggero 5) PREVISIONI SULLLA PROBABILE GRANDEZZA DEL NUMERO TAXICAB T(7) Francesco Di Noto, Eugenio Amitrano Sarà pubblicato sul sito

27 Pagina 27 di 26 6) I QUADRATI MAGICI Gruppo B. Riemann * Francesco Di Noto, Michele Nardelli, Pier Francesco Roggero