Derive nello studio del periodo dei numeri razionali

Transcript

1 PROGETTO ALICE 00 - I vol. VII n 0 0 Derive nello studio del periodo dei numeri razionali Riassunto Ci sono diverse interessanti proprietà aritmetiche che spesso sfuggono agli studenti e che invece possono essere trattati con un metodo di scoperta guidata, con un CAS. In questo lavoro vedremo un attività riguardante i numeri razionali. Abstract There are a lot of interesting arithmetic properties, which are unknown to the students. Using a CAS, it is easy discover, firstly, and find, successively, some of these ones. In this article we present an activity about rational numbers.. I numeri razionali Cominciamo con il dire che l aritmetica del computer è fondata su un insieme finito e limitato di numeri razionali. Anche se, specie con i CAS, di cui prenderemo ad esempio ancora una volta Derive, vi è la possibilità di ottenere parecchie cifre decimali di numeri reali come e o, o di ottenere risultati esatti con espressioni irrazionali, come mostriamo nella fig.., ogni CAS lavora solo con numeri razionali.

2 00 - I vol. IV n 0 PROGETTO ALICE Fig. 0 La prima questione che tiriamo in ballo è cosa sono i numeri razionali e come si ottengono. Un numero razionale può definirsi in vari modi, noi useremo una definizione per così dire costruttiva, dicendo numero razionale il risultato di una divisione fra due numeri interi. Ovviamente la divisione deve essere continuata, se è il caso anche all infinito, se a un certo punto non si ottiene per resto 0. Ma allora vi sono solo possibilità. O otteniamo resto 0, e quindi la divisione termina e il numero ottenuto ha un numero finito di cifre non nulle, lo chiameremo decimale limitato, o non otteniamo mai resto 0 e quindi otteniamo un numero decimale illimitato. In questo secondo caso però, prima o poi dobbiamo riottenere un resto già ottenuto, dato che il resto deve essere sempre minore del divisore, quindi otterremo un ripetersi all infinito di un gruppo di cifre. Abbiamo così i numeri periodici. Fra questi distinguiamo quei numeri il cui periodo inizia subito, i periodici semplici, e gli altri, i periodici misti. Cominciamo a chiederci quando otteniamo decimali limitati e quando periodici, e in quest ultimo caso, quando il periodo è semplice e quando misto. 0

3 PROGETTO ALICE 00 - I vol. VII n 0. Distinguiamo i numeri razionali Effettuiamo una ricerca sul diverso tipo di numero razionale, sviluppando le frazioni del tipo /n, con n che varia da a 0. per fare ciò usiamo il comando TABLE(espressione(x), x, val_iniz_val_fin,passo). Questo comando genera una tabella a due colonne, nella prima vi sono i valori da sostituire, nella seconda i valori sostituiti nell espressione che da essi dipende. Vediamo i risultati nella fig., opportunamente sistemata per ragioni tipografiche.

4 00 - I vol. IV n 0 PROGETTO ALICE 0 0 Fig. Cominciamo a cercare di capire quando si ottengono numeri decimali limitati. Quando il denominatore è,,,, 0,, 0,. non è difficile riconoscere che tutti questi numeri hanno come unici fattori il e il. e non è neanche difficile capire allora perché vengono fuori numeri decimali limitati. Dato che far diventare un numero che ha per fattori solo o, una potenza di 0 non ci vuole niente. Quali sono invece i numeri periodici semplici? Qui abbiamo bisogno di un indagine più approfondita, dato che non per tutti i numeri mostrati, con 0 cifre decimali, si nota facilmente il periodo. Diciamo che sono certamente periodici semplici i numeri associati a,,,,,, ; mentre sono certamente periodici misti quelli legati a,,,,,,,,, 0. non possiamo dire niente su quelli associati a,, e. ciononostante pensiamo di potere sbilanciarci su una congettura. Infatti i periodici misti sono tutti pari, tranne, che però contiene il come fattore. Quindi crediamo di poter dire che se il divisore contiene fattori o e qualche altro fattore diverso otteniamo numeri periodici misti. Se invece non contiene né e né abbiamo numeri periodici misti. Ovviamente parliamo di divisione fra numeri che non hanno fattori comuni, perché chiaramente / = / e perciò avremo un numero decimale limitato. Prima di attivare un altra attività congetturale verifichiamo che i numeri su cui non abbiamo potuto pronunciarci generano effettivamente numeri periodi semplici. Ora poiché certamente dividendo per possiamo ottenere un massimo di resti diversi fra loro e da 0, portiamo il numero di cifre da

5 PROGETTO ALICE 00 - I vol. VII n visualizzare a 0 e generiamo di nuovo le quattro frazioni. 0 Fig. Effettivamente non è difficile vedere il periodo dei quattro numeri. Osserviamo la presenza del comando PrecisionDigits:= che stabilisce la precisione del calcolo di Derive, mentre NotationDigits determina il numero di cifre mostrate. Si possono ottenere automaticamente scegliendo il percorso Opzioni Modalità - Semplificazione, che attivano la finestra seguente, in cui inseriamo il valore voluto nel campo Cifre.

6 00 - I vol. IV n 0 PROGETTO ALICE Fig.. Relazione fra il divisore e le cifre del periodo 0 Adesso vogliamo cercare di scoprire se e come il divisore è legato alle cifre del periodo. Intanto cerchiamo di calcolare il numero delle cifre del periodo degli ultimi quattro numeri, che sono abbastanza lunghi. Costruiamo una tabella che accanto al divisore mette anche le cifre del periodo.

7 PROGETTO ALICE 00 - I vol. VII n Fig. Osserviamo che in alcuni casi il periodo è dato dal massimo possibile, ossia il divisore meno uno, che accade per,,, e. Non è difficile capire che sono numeri primi. L idea che ciò accada per tutti i numeri primi, esclusi ovviamente e, viene subito archiviata, perché non succede per, e. E certamente non succede per nessuno degli altri numeri non primi, cioè e. Vediamo se possiamo confermare almeno quest ultima idea.

8 00 - I vol. IV n 0 PROGETTO ALICE Costruiamo la tabella dei periodi. Fig. Fig. Quindi, salvo /, per tutti gli altri casi possiamo dire che effettivamente

9 PROGETTO ALICE 00 - I vol. VII n se il divisore non è un numero primo il numero delle cifre del suo periodo non è mai uno in meno del numero stesso. Verifichiamolo anche per. 0 Fig. Non contiamo effettivamente le cifre, ma osserviamo che stiamo mostrando 0 cifre significative, ossia non contiamo gli zeri iniziali e il periodo 00 comincia ben prima della a cifra. Se invece il denominatore p è un numero primo diverso da e, una regola plausibile è che il periodo sia un divisore di (p ). Questa congettura è corretta, come può provarsi con tecniche standard. Il lettore interessato per questa questione e più in generale per tutte le altre che presentiamo può riferirsi per esempio al testo di Ore in bibliografia.. E i periodi misti? 0 Cosa possiamo dire dei periodi dei numeri periodici misti? Se i divisori sono ottenuti moltiplicando solo per potenze di o di, ovviamente esso non cambia, perché / n e / m sono numeri decimali limitati. Lo verifichiamo facilmente in fig..

10 I vol. IV n 0 PROGETTO ALICE Fig. Stiamo considerando le frazioni / e /, moltiplicandone il denominatore per potenze di e di rispettivamente. Vediamo che in effetti la dimensione del periodo non cambia, varia invece, ovviamente, quella dell antiperiodo, che si ottiene moltiplicando per n quella di partenza. Lo stesso non può dirsi se moltiplichiamo per potenze non di o di, come si vede in fig Fig. 0 Abbiamo ottenuto numeri di antiperiodo, come /, e di periodo, come /, non come /, come / e come /. Quindi non riusciamo a trovare una semplice regola che ci permetta di determinare antiperiodo e periodo del prodotto conoscendo quelli dei singoli fattori. Passiamo ad altre questioni.

11 PROGETTO ALICE 00 - I vol. VII n. Un periodo ciclico Consideriamo un altra interessante proprietà, che riguarda sempre i nu- meri periodici semplici. Consideriamo la fig Fig. 0 Osserviamo che le frazioni n/, con n da a, otteniamo non solo tutti numeri periodici semplici di periodo, ma soprattutto numeri il cui periodo è una permutazione ciclica di quello di /. Lo stesso notiamo anche in n/. Possiamo perciò ipotizzare che quando i/p, con p numero primo, ha periodo pari a (p ), tutte le frazioni n/p, con n numero naturale da a (p ), hanno un periodo formato da una permutazione ciclica del periodo di /p.

12 00 - I vol. IV n 0 PROGETTO ALICE Cosa accadrà allora con le frazioni n/p, in cui p è primo ma per le quali /p non ha periodo (p )? Vediamolo. Fig. 0 Nel caso di n/ otteniamo 0 frazioni con periodi diversi. Per n/ invece frazioni con periodi ciclici. Dato che nel primo caso il periodo è e nel secondo, pensiamo di potere enunciare la seguente congettura. Le frazioni n/p, con p numero primo, hanno periodo z che è un divisore di (p ) e questo periodo si divide in z/(p-) gruppi i cui periodi si ottengono permutandosi ciclicamente. Concludiamo l attività vedendo se ciò accade anche con frazioni di denominatore non primo, ma generanti sempre numeri periodici semplici.

13 PROGETTO ALICE 00 - I vol. VII n 0 Fig. Per n/ si hanno numeri di periodo tutti diversi; per n/ si hanno gruppi, tre di periodo formati permutando ciclicamente 0, 0 e. Poi, e qui vi è la stranezza, ve ne sono due di periodo. Ovviamente quando il denominatore non è un numero primo può capitare che il numeratore e il denominatore abbiano divisori in comune e perciò otteniamo periodi diversi. Per esempio /=/ e /=/. Concludiamo questa proposta di attività, sperando di avere mostrato che un uso mirato delle nuove tecnologie permette di mettere in gioco la fantasia dello studente, ma anche di stimolarlo a cercare risultati che se vuole può anche provare a dimostrare in modo rigoroso. Bibliografia C. Di Stefano, Derive A A, (per il biennio) Ghisetti & Corvi, Milano, 00

14 00 - I vol. IV n 0 PROGETTO ALICE 0 C. Di Stefano, Derive B B, (per il triennio) Ghisetti & Corvi, Milano, 00 B. Kutzler, V. Kokol-Voljc, Introduzione a Derive, Media Direct, Basano del Grappa, 00 Ore O., Number theory and its history, Dover, New York, Sitografia (Sito dell'autore, in esso, fra l'altro, sono presenti decine di files in Derive) (Sito ufficiale di Derive per utenti europei)