Ennio Cortellini. Ricorsività calcolabilità complessità

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2 Ennio Cortellini Ricorsività calcolabilità complessità

3 Copyright MMV ARACNE editrice S.r.l. via Raffaele Garofalo, 133 A/B Roma (06) ISBN I diritti di traduzione, di memorizzazione elettronica, di riproduzione e di adattamento anche parziale, con qualsiasi mezzo, sono riservati per tutti i Paesi. Non sono assolutamente consentite le fotocopie senza il permesso scritto dell Editore. I edizione: aprile 2005

4 All amico Ioan, per avermi onorato di lavorare con Lui.

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6 INDICE Premessa...pag. 9 I NOZIONI PRELIMINARI 1.1 Introduzione...» Funzioni...» L insieme dei numeri naturali...» Funzioni numeriche...» Insiemi numerabili e non numerabili...» La ricorsione e l iterazione...» Algoritmi...» Numero di Gödel...» 29 II RICORSIVITÀ 2.1 Funzioni primitive ricorsive (caso I )...» Funzioni primitive ricorsive (caso generale)...» La riduzione del numero di variabile...» Funzioni parziali ricorsive...» Insiemi ricorsivi...» 43 III CALCOLABILITÀ 3.1 Macchina di Turing...» Funzioni Turing - calcolabili...» Modello equazionale...» Teorema Strong-Wagner e teorema Rogers...» La tesi di Church-Turing...» 56 IV COMPLESSITÀ 4.1 P =? NP...» Risultati Berman-Hartmanis...» Classi relativizzate...» Algoritmi formalizzati...» Complessità Kolmogorof...» Il test Martin-Löf...» Complessità Chaitin...» Spazio Blum...» Classi di complessità...» 77

7 APPENDICE I Teorema di Gödel e ricorsività...» 81 APPENDICE II Limiti del processo di algoritmizzazione...» 83 APPENDICE III Complessità e crittografia...» 87 APPENDICE IV Il crivello quadratico e la mitosi numerica...» 89 BIBLIOGRAFIA ESSENZIALE...» 95

8 Premessa Dalla definizione d algoritmo secondo Turing, ha preso le mosse la Teoria della complessità computazionale che ha provveduto in prima istanza a suddividere le funzioni numeriche tra quelle calcolabili e non. Accade però che molte funzioni che da un punto di vista teorico sono calcolabili, nella pratica al contrario non lo sono.infatti ad esempio, un algoritmo ritenuto eseguibile in astratto, ma caratterizzato da un tempo di esecuzione paragonabile ad una vita umana, non può certo essere ritenuto concretamente eseguibile. Questo ha comportato che, nella pratica applicativa, siano da ritenere significativi solo gli algoritmi che hanno tempi di esecuzione con ordini di grandezza accettabili. Nel 1965 emerse una seconda, ma sembre approssimata, suddivisione della classificazione delle funzioni numeriche. Edmonds e Cobham proposero, infatti, di distinguere gli algoritmi eseguibili in tempo polinomiale dagli altri. Il tempo di esecuzione si misura mediante il numero di passi o operazioni eseguiti dal calcolatore, e la variabile del polinomio corrisponde alla dimensione dei dati su cui l'algoritmo lavora. Anche se il tempo di lavoro di un algoritmo dipende dal tipo di macchina, accade però che, se la procedura di calcolo agisce in tempo polinomiale su una modelli di calcolatore, continua a lavorare in tempo polinomiale su qualunque altra macchina di calcolo. In altre parole, la differenza fra le varie tipologie di calcolatori, può sempre essere contenuta in un fattore polinomiale combinabile con un tempo di esecuzione polinomiale senza che vi siano cambiamenti della loro natura. È evidente quindi che la caratteristica intrinseca di un algoritmo è quella di essere eseguibile in tempo polinomiale. La classe dei problemi che si indica con il simbolo P, è quella per i quali esiste una soluzione polinomiale. Nel 1972 Stephen Cook, Richard Karp e Leonid Levis hanno introdotto una nuova classe indicata con il simbolo NP, i cui problemi sono risolubili in un tempo quasi polinomiale. In altri termini può essere verificato se il tempo d esecuzione di una soluzione di un problema, funziona in un ordine 9

9 10 Introduzione do grandezza polinomiale. In breve, se un problema ammetta un metodo per trovare la soluzione in tempo polinomiale, allora va collocato nella classe P, mentre per essere incluso in NP è sufficiente che il problema ammetta un metodo capace di verificarene la soluzione in tempo polinomiale. Per esempio, la scomposizione degli interi in fattori è un problema che sta in NP poiché, mentre è facile verificare se due numeri sono o non sono la scomposizione di un terzo, non è altrettanto semplice il problema inverso. Proprio su questo si fonda la crittografia a chiave privata. In generale, oggi in NP, vi sono migliaia di problemi che sono sia d interesse teorico sia d utilità pratica, e di cui non è noto se possono essere collocati anche in P. Questo è diventato il più noto problema aperto dell'informatica teorica. I problemi connessi alla complessità hanno riaperto le grandi questioni legate alle parole θεορiα e επiστηuη,rispettivamente teoria ed episteme che rappresentano due modi diversi per pervenire alla conoscenza.il primo dei due termini, sta ad indicare il metodo diretto per arrivare alla conoscenza, mentre il secondo rappresenta la conoscenza ottenuta attraverso ragionamenti deduttivi. In questo contesto s inserisce il parallelo con le macchine Turing nondeterministiche e rispettivamente deterministiche. In genere,però, i problemi connessi con la conoscenza, vengono affrontati usando tecniche miste in cui l'uomo deve avere un ruolo teoretico, mentre le macchine devono assumere il ruolo di validazione che costituisce quello epistemico. Nel presente libro, vengono presentati i principali concetti e meccanismi di funzionamento della Teoria della complessità computazionale attraverso un "escursus" commentato della teoria. Volutamente si sono evitate le discussioni tecniche, mentre si è posto una sufficiente attenzione alla parte concettuale. La necessita di una tale trattazione cioè del "the state of the art" é data dall importante ruolo che la riflessione e la sintesi per il consolidamento delle conoscenze, ha assunto nell'attività di ricerca in questo importante campo della scienza soprattutto per le importanti applicazioni che ne scaturiscono.

10 CAPITOLO I Nozioni preliminari 1.1. Introduzione In alcune branche della scienza quale la matematica, vi sono problemi che hanno il seguente schema generale: (*) Sia un insieme X e A X. Avendo un elemento x X si chiede di decidere se x A oppure x A. Emerge in questo ambito la domanda di chiedersi se il problema sopra esposto é decidibile oppure non decidibile ovviamente nel senso più generale del quesito. In effetti, il quesito emerso è ancora più ampio e cioè, ci si chiede se il problema ammette oppure non ammette una soluzione algoritmica ossia se é, o non é, risolvibile per via algoritmica. In caso affermativo, siamo interessati a conoscere se é, oppure non é un problema trattabile cioè se la sua soluzione richiede una quantità ragionevole, ovvero irragionevole di risorse (spazio e tempo) a disposizione degli algoritmi. Il processo raffinato di identificazione e classificazione di questo genere di problemi rappresenta, in generale, lo scopo della teoria delle complessità computazionale. Prima di iniziare l esposizione delle nozioni e dei risultati generali necessari per la sviluppo di questa teoria, ricordiamo altri schemi generali di problemi con caratteristiche uguali a (*). Il primo di questi è il principio di onniscienza limitata, cioè il principio di Brouwer e Bishop : (**) Se (a n ) é una successione binaria (di 0 e 1), allora esiste m N, tale che a m = 1, oppure a n = 0, n N. La validità di questo principio presuppone il possesso di un metodo capace di produrre, cioè determinare un numero N, supponendo di avere una successione binaria a n, tale che: 11

11 12 Capitolo I - N 0, se e solo se, esiste n tale che a n = 1 e in tal caso a N =1; - N = -1, se e solo se a n = 0, n N. Supponendo di conoscere un tale metodo (algoritmo) e considerando le seguenti successioni binarie: a) a 0 = 0 m+ 2 m+ 2 m+ 2 0, se x + y z per ogni x, y, z N,0 < x, y, z, m n; an = 1, altrimenti, e 0, se per ogni k { 1,..., n}, 2k = soma di due numeri primi; b) an = 1, altrimenti, si potrebbero ottenere le soluzioni per il problema di Fermat (a) e per la congettura di Goldbach (b). Già quest esempio basta per intuire che non è possibile provare facilmente il problema (**). Anche nell ambito delle funzioni ricorsive, in relazione alla tesi di Church-Turing, esiste un problema equivalente e di pari difficoltà a quello sopra esposto, e che viene indicato con il nome di "problema della fermata". Analogamente non va trascurato Il Principio del Terzo Escluso che implica il principio di Brouwer e Bishop e che intrinsecamente individua un ulteriore motivo per non ritenerlo valido Funzioni. Siano A, B insiemi non vuoti. Definizione: Chiamiamo funzione, ogni tripletta (A, f, B), dove f A B é tale che: i) x A, y B: (x,y) f; ii) se (x,y 1 ), (x,y 2 ) f, allora y 1 = y 2. Possiamo dire anche che per funzione tra A e B s intende una tripletta (A, f, B) dove f è una corrispondenza tale che ad ogni

12 Nozioni preliminari 13 elemento di A si associa un elemento (e solo uno) di B. Tale funzione si chiama anche funzione totale tra A e B. Quando non per ogni x A esiste y B tale che (x,y) f, diciamo che abbiamo una funzione parziale tra A e B. In questo caso si può dire 1 che per x A esiste massimo un elemento di B tale che (x,y) f. Indicheremo quindi con (A, f, B), f:a B, A f B e y = f(x) al posto di (x,y) f. Se A = X 1 X 2... X n diciamo che f é funzione di n variabile. Ricordiamo che X... X viene indicato anche con X n. n volte Date due funzioni f:a B e g:b C, allora si definisce la composizione semplice come : g f:a C ossia (g f)(x) = g(f(x). Per h: A A, denoteremo h k =h h h h... h (k volte). Se abbiamo h: X 1... X m Y e g i : A 1... A n X i, i = 1, 2,...,m (dove Y, X i, A j ; i = 1,..., m; j = 1,..., n sono insiemi non vuoti), allora si definisce la composizione composta come f = h (g 1,...g m ), f: A 1... A n Y cioè f(x 1,..., x n )=h (g 1 (x 1,...,x n ),..., g m (x 1,...,x n )). Si distinguono i seguenti tipi notevoli di funzioni: - f : A B si chiama funzione iniettiva se f(x) = f(y) x = y; - f : A B si chiama funzione suriettiva se y B, x A, tale che f(x) = y; - f : A B si chiama funzione biettiva (o biezione) se f é iniettiva e suriettiva (in questo caso si scrive A B); 1 Se per x, y allora scriveremo f(x), altrimenti scriveremo f(x)

13 14 Capitolo I - f : A B si chiama funzione invertibile se g : B A, tale che (g f )(x) = x, x A e (f g)(y) = y, y B (g viene indicata anche con f -1 ). Per un insieme (non vuoto) M, indicheremo con 1 M : M M la funzione data da 1 M (x) = x, x M. Osservazioni: I) f : A B é iniettiva se e solo se r : B A, tale che r f=1 A ; II) f, g iniettive g f iniettiva (f : A B, g : B C); III) g f iniettiva f iniettiva; IV) f : A B é suriettiva se e solo se s : B A, tale che f s=1 B ; V) f, g suriettive g f suriettiva (f : A B, g : B C); VI) g f suriettiva g suriettiva; VII) f é biettiva se e solo se f é invertibile; VIII) f, g biettive g f biettiva (f : A B, g : B C); IX) g f biettiva g suriettiva e f iniettiva. Sia f : A B, A A, B B. Indicheremo con f(a ) = {f(x) x A }, f -1 (B ) ={x A f(x) B } e chiameremo f(a ) l immagine di A (o anche immagine diretta di A ) tramite f e f -1 (B ) l immagine inversa (ovvero immagine reciproca) di B tramite f; f(a) viene indicata anche come Imf. Osservazioni: Sia f : A B, A, A 1, A 2 A, B B. I) f é iniettiva se e solo se f(a 1 ) f(a 2 ) = f(a 1 A 2 ); II) f é iniettiva se e solo se f -1 (f(a )) = A (per ogni A A); III) f é iniettiva se e solo se

14 Nozioni preliminari 15 f(a \ A ) B \ f(a ) (per ogni A A); IV) f é suriettiva se e solo se f(f -1 (B )) = B (per ogni B B); V) f é suriettiva se e solo se B \ f(a ) f(a \ A ) (per ogni A A) L insieme dei numeri naturali Definizione: Chiamiamo sistema Peano la tripletta (N, 0,σ), dove: - N é un insieme non vuoto; - 0 N; σ :N N é una funzione chiamata funzione di successione, tale che: α) 0 Im σ (cioè, n N, σ(n) 0); β) σ é iniettiva; γ) (assioma d induzione) Se M N é tale che i) 0 M e ii) n M σ(n) M, allora M = N. Indicheremo con σ(n) = n* e diciamo che n* é il successore di n. (In molti testi, al posto di σ(n) viene indicato Succ(n)). Proposizione: Per ogni n N, n 0 u N tale che n=u* Dimostrazione: Sia M = σ(n) {0}. Allora M N, 0 M e n M n* M (σ(n) M). Risulta che M = N. Teorema (della ricorsione): Se (N, 0, σ) é un sistema Peano e (S, a, ϕ) é una tripletta tale che se S é non vuota, a S e ϕ : S S, allora esiste ed é unica una funzione f: N S tale che: 1) f (0) = a; 2) f (σ(n)) = ϕ(f(n)), n N. Dimostrazione: