Introduzione all analisi non standard

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1 Introduzione all analisi non standard Il calcolo da Leibniz a Robinson Riccardo Dossena Liceo Scientifico G. Novello - Codogno (LO) Astro-Siesta INAF-IASF, Milano 29 giugno 2017

2 La nascita del calcolo infinitesimale XVII secolo Interesse per la ricerca della tangente a una curva: Motivazioni 1 Ottica: studio del passaggio della luce attraverso una lente angolo di riflessione/rifrazione 2 Meccanica: studio del moto la direzione di un corpo mobile in ciascun punto della sua traiettoria coincide con la direzione della tangente alla traiettoria nel punto; 3 Problema di geometria pura

3 I fondatori riconosciuti del calcolo infinitesimale Gottfried Wilhelm von Leibniz ( ) Isaac Newton ( )

4 La tangente a una curva in un punto - Due intuizioni Ad ogni punto M 0 = (x 0, f (x 0 )) di una curva C è in generale possibile associare una tangente T f (x 0 ) definita come la retta che approssima meglio C in M 0 (si dice in questo caso che il contatto di tale retta con C in M 0 è massimale).

5 La tangente a una curva in un punto - Due intuizioni Ad ogni punto M 0 = (x 0, f (x 0 )) di una curva C è in generale possibile associare una tangente T f (x 0 ) definita come la retta che approssima meglio C in M 0 (si dice in questo caso che il contatto di tale retta con C in M 0 è massimale). Ci sono due modi per avere intuizione di una tangente: uno dinamico e l altro statico.

6 Intuizione dinamica La tangente T f (x 0 ) è il limite delle secanti M 0 M n di C quando il punto M n tende verso il punto M 0. M3 M2 M 0 M3 C

7 Intuizione dinamica La tangente T f (x 0 ) è il limite delle secanti M 0 M n di C quando il punto M n tende verso il punto M 0. M3 M2 M 0 M 3 C

8 Intuizione dinamica La tangente T f (x 0 ) è il limite delle secanti M 0 M n di C quando il punto M n tende verso il punto M 0. M3 M 2 M 0 M 3 C

9 Intuizione dinamica La tangente T f (x 0 ) è il limite delle secanti M 0 M n di C quando il punto M n tende verso il punto M 0. M 1 M2 M 0 M 3 C

10 Intuizione dinamica La tangente T f (x 0 ) è il limite delle secanti M 0 M n di C quando il punto M n tende verso il punto M 0. T f (x 0 ) M 1 M2 M 0 M 3 C

11 Intuizione statica La tangente non è definita da un processo (passaggio al limite), bensì da una posizione. La tangente T f (x 0 ) è la retta che taglia C in M 0 in due punti infinitamente vicini. M 0 C

12 Intuizione statica La tangente non è definita da un processo (passaggio al limite), bensì da una posizione. La tangente T f (x 0 ) è la retta che taglia C in M 0 in due punti infinitamente vicini. M 0 M 0 C

13 Intuizione statica La tangente non è definita da un processo (passaggio al limite), bensì da una posizione. La tangente T f (x 0 ) è la retta che taglia C in M 0 in due punti infinitamente vicini. M 0 dx C M 0

14 Intuizione statica La tangente non è definita da un processo (passaggio al limite), bensì da una posizione. La tangente T f (x 0 ) è la retta che taglia C in M 0 in due punti infinitamente vicini. M 1 M 0 dx dy C M 0

15 Intuizione statica La tangente non è definita da un processo (passaggio al limite), bensì da una posizione. La tangente T f (x 0 ) è la retta che taglia C in M 0 in due punti infinitamente vicini. M 1 M 0 dx dy T f (x 0 ) C M 0

16 Per tradurre in scrittura l intuizione statica occorre: (x + dx, f(x + dx)) dy = f(x + dx) f(x) (x, f(x)) dx

17 Per tradurre in scrittura l intuizione statica occorre: 1 introdurre la nozione di incremento infinitesimale dx di x; (x, f(x)) (x + dx, f(x + dx)) dy = f(x + dx) f(x) dx

18 Per tradurre in scrittura l intuizione statica occorre: (x + dx, f(x + dx)) 1 introdurre la nozione di incremento infinitesimale dx di x; 2 definire l incremento infinitesimale dy di y corrispondente a dx; (x, f(x)) dx dy = f(x + dx) f(x)

19 Per tradurre in scrittura l intuizione statica occorre: (x + dx, f(x + dx)) 1 introdurre la nozione di incremento infinitesimale dx di x; 2 definire l incremento infinitesimale dy di y corrispondente a dx; (x, f(x)) dx dy = f(x + dx) f(x) 3 ipotizzare che il rapporto dy/dx sia definito e costante per ogni dx;

20 Per tradurre in scrittura l intuizione statica occorre: (x + dx, f(x + dx)) 1 introdurre la nozione di incremento infinitesimale dx di x; 2 definire l incremento infinitesimale dy di y corrispondente a dx; (x, f(x)) dx dy = f(x + dx) f(x) 3 ipotizzare che il rapporto dy/dx sia definito e costante per ogni dx; 4 definire la derivata f (x 0 ) di f in x 0 come uguale a questo rapporto costante.

21 Per tradurre in scrittura l intuizione statica occorre: 1 introdurre la nozione di incremento infinitesimale dx di x; 2 definire l incremento infinitesimale dy di y corrispondente a dx; 3 ipotizzare che il rapporto dy/dx sia definito e costante per ogni dx; 4 definire la derivata f (x 0 ) di f in x 0 come uguale a questo rapporto costante. (x, f(x)) (x + dx, f(x + dx)) dx dy = f(x + dx) f(x) dx non deve essere nullo, altrimenti il rapporto dy/dx si ridurrebbe alla forma indeterminata 0/0. dx deve tuttavia essere un numero, poiché in caso contrario non si potrebbe definire f (x + dx), né dunque dy e dy/dx.

22 dx leibniziano Aspetto semantico mancanza di referenza, indice di referenti numerici impossibili Aspetto sintattico simbolo di costante Finzione letterale strutturata come un numero. Incremento o decremento momentaneo di quantità minore di qualsiasi quantità data.

23 Leibniz Privilegio della struttura formale del linguaggio e sfruttamento delle risorse della scrittura Gli infinitesimi sono finzioni ben fondate: si può ragionare come se esistessero senza commettere errore Gli infinitesimi godono delle stesse proprietà elementari degli altri numeri G.W. Leibniz ( )

24 Esempio di ragionamento infinitesimale Sia f la funzione definita da f (x) = x 2 e dx un infinitesimo.

25 Esempio di ragionamento infinitesimale Sia f la funzione definita da f (x) = x 2 e dx un infinitesimo. Allora f (x + dx) = (x + dx) 2 = x 2 + 2xdx + dx 2

26 Esempio di ragionamento infinitesimale Sia f la funzione definita da f (x) = x 2 e dx un infinitesimo. Allora e dy dx f (x + dx) = (x + dx) 2 = x 2 + 2xdx + dx 2 = f (x + dx) f (x) dx = x 2 + 2xdx + dx 2 x 2 dx =

27 Esempio di ragionamento infinitesimale Sia f la funzione definita da f (x) = x 2 e dx un infinitesimo. Allora e dy dx f (x + dx) = (x + dx) 2 = x 2 + 2xdx + dx 2 = f (x + dx) f (x) dx 2xdx + dx 2 = 2x + dx dx = x 2 + 2xdx + dx 2 x 2 dx =

28 Esempio di ragionamento infinitesimale Sia f la funzione definita da f (x) = x 2 e dx un infinitesimo. Allora e dy dx f (x + dx) = (x + dx) 2 = x 2 + 2xdx + dx 2 = f (x + dx) f (x) dx = x 2 + 2xdx + dx 2 x 2 dx 2xdx + dx 2 = 2x + dx = 2x dx dato che dx è infinitesimo! =

29 Bishop Berkeley The Analyst (1734) 2x + dx non può essere lo stesso che 2x una volta ammesso che gli incrementi scompaiano, o che siano nulla, cade la precedente ipotesi che gli incrementi siano qualcosa, mentre viene mantenuta una conseguenza di tale ipotesi gli infinitesimi sono i fantasmi di quantità defunte George Berkeley ( )

30 d Alembert, Cauchy, Weierstrass ( ) La matematica deve trattare solo oggetti ideali possibili Introduzione del concetto di limite: una quantità è infinitesima se si avvicina indefinitamente a zero Introduzione della definizione ε, δ di limite Ritorno al rigore: il calcolo diventa semanticamente e sintatticamente consistente Karl Weierstrass ( )

31 Il pensiero agli inizi del 900 Gli infinitesimi [... ] devono essere considerati non necessari, erronei e auto-contraddittori. Bertrand Russell ( )

32 Logica e teoria dei modelli Sia A = A, R 1,..., R p una struttura definita su un insieme di base A (universo del discorso) dalle relazioni (o funzioni) R i. Per parlare di A si utilizza un linguaggio formale L A contenente

33 Logica e teoria dei modelli Sia A = A, R 1,..., R p una struttura definita su un insieme di base A (universo del discorso) dalle relazioni (o funzioni) R i. Per parlare di A si utilizza un linguaggio formale L A contenente 1 un insieme numerabile di simboli di variabile x, y, z,... ;

34 Logica e teoria dei modelli Sia A = A, R 1,..., R p una struttura definita su un insieme di base A (universo del discorso) dalle relazioni (o funzioni) R i. Per parlare di A si utilizza un linguaggio formale L A contenente 1 un insieme numerabile di simboli di variabile x, y, z,... ; 2 un insieme numerabile di costanti a, b, c,... ;

35 Logica e teoria dei modelli Sia A = A, R 1,..., R p una struttura definita su un insieme di base A (universo del discorso) dalle relazioni (o funzioni) R i. Per parlare di A si utilizza un linguaggio formale L A contenente 1 un insieme numerabile di simboli di variabile x, y, z,... ; 2 un insieme numerabile di costanti a, b, c,... ; 3 il simbolo = di uguaglianza;

36 Logica e teoria dei modelli Sia A = A, R 1,..., R p una struttura definita su un insieme di base A (universo del discorso) dalle relazioni (o funzioni) R i. Per parlare di A si utilizza un linguaggio formale L A contenente 1 un insieme numerabile di simboli di variabile x, y, z,... ; 2 un insieme numerabile di costanti a, b, c,... ; 3 il simbolo = di uguaglianza; 4 un insieme di simboli di relazione R 1,..., R p corrispondenti a R 1,..., R p ;

37 Logica e teoria dei modelli Sia A = A, R 1,..., R p una struttura definita su un insieme di base A (universo del discorso) dalle relazioni (o funzioni) R i. Per parlare di A si utilizza un linguaggio formale L A contenente 1 un insieme numerabile di simboli di variabile x, y, z,... ; 2 un insieme numerabile di costanti a, b, c,... ; 3 il simbolo = di uguaglianza; 4 un insieme di simboli di relazione R 1,..., R p corrispondenti a R 1,..., R p ; 5 connettivi proposizionali,,,, ;

38 Logica e teoria dei modelli Sia A = A, R 1,..., R p una struttura definita su un insieme di base A (universo del discorso) dalle relazioni (o funzioni) R i. Per parlare di A si utilizza un linguaggio formale L A contenente 1 un insieme numerabile di simboli di variabile x, y, z,... ; 2 un insieme numerabile di costanti a, b, c,... ; 3 il simbolo = di uguaglianza; 4 un insieme di simboli di relazione R 1,..., R p corrispondenti a R 1,..., R p ; 5 connettivi proposizionali,,,, ; 6 quantificatori,.

39 Regola del Modus Ponens Se ϕ e ϕ ψ sono teoremi, allora ψ è un teorema.

40 Regola del Modus Ponens Se ϕ e ϕ ψ sono teoremi, allora ψ è un teorema. Definizione Un enunciato ϕ di L A è valido in A se è vero una volta interpretato (in simboli A = ϕ).

41 Regola del Modus Ponens Se ϕ e ϕ ψ sono teoremi, allora ψ è un teorema. Definizione Un enunciato ϕ di L A è valido in A se è vero una volta interpretato (in simboli A = ϕ). Definizione Se Σ è un insieme di enunciati e se A = ϕ per ogni enunciato ϕ di Σ, si dice che A è un modello di Σ (in simboli A = Σ).

42 Regola del Modus Ponens Se ϕ e ϕ ψ sono teoremi, allora ψ è un teorema. Definizione Un enunciato ϕ di L A è valido in A se è vero una volta interpretato (in simboli A = ϕ). Definizione Se Σ è un insieme di enunciati e se A = ϕ per ogni enunciato ϕ di Σ, si dice che A è un modello di Σ (in simboli A = Σ). Definizione Sia Σ un insieme consistente di enunciati. Si chiama teoria di Σ, l insieme degli enunciati derivabili da Σ (cioè la chiusura deduttiva di Σ).

43 Teorema di Löwenheim-Skolem-Tarski Sia Σ una teoria di L. Se Σ ha un modello di una certa cardinalità infinita α, allora ha un modello di qualsiasi cardinalità infinita maggiore di α.

44 Teorema di Löwenheim-Skolem-Tarski Sia Σ una teoria di L. Se Σ ha un modello di una certa cardinalità infinita α, allora ha un modello di qualsiasi cardinalità infinita maggiore di α. Se partiamo dalla struttura reale R = (, +,, )

45 Teorema di Löwenheim-Skolem-Tarski Sia Σ una teoria di L. Se Σ ha un modello di una certa cardinalità infinita α, allora ha un modello di qualsiasi cardinalità infinita maggiore di α. Se partiamo dalla struttura reale R = (, +,, ) Corollario Esistono modelli R = (, +,, ) (non isomorfi a R) che sono estensioni elementari di R relativamente a, nelle quali è valida ogni proprietà elementare di R esprimibile nel linguaggio formale di base L R.

46 Infiniti e infinitesimi Definizione Un elemento x si dice 1 infinitesimo se x < r per ogni r + ; 2 infinito se x > r per ogni r + ; 3 finito se x < r per qualche r +.

47 Teorema contiene elementi infinitesimi.

48 Teorema contiene elementi infinitesimi. Dimostrazione. Sia ρ finito. Siano A = {x : ρ < x} e B = {x : x < ρ}. Esiste un numero reale s tale che s < ρ < s. Segue che B è non vuoto e ha un maggiorante. Sia r l estremo superiore B (l esistenza di r è assicurata dalla completezza di ). Per ogni ε > 0 in, r + ε A e r ε B, così r ε < ρ < r + ε e dunque r ρ < ε. Segue che r ρ è infinitesimo. Se ρ non è finito, il suo inverso 1/ρ è infinitesimo.

49 Definizione Due numeri x, y si dicono infinitamente vicini se x y è infinitesimo. In tal caso scriviamo x y. La monade di x è l insieme m(x) = {y : x y}.

50 Definizione Due numeri x, y si dicono infinitamente vicini se x y è infinitesimo. In tal caso scriviamo x y. La monade di x è l insieme m(x) = {y : x y}. Proprietà delle monadi 1 è una relazione d equivalenza: m(x) è la classe di equivalenza di x; 2 ogni monade (di elementi finiti) contiene un unico numero reale; 3 se x è finito, l unico numero reale cui x è infinitamente vicino si chiama parte standard di x e si denota con st(x).

51 Assiomi per i numeri iperreali Assiomi algebrici dei numeri reali 1 leggi della chiusura. 0 e 1 sono numeri reali. Se a e b sono numeri reali, allora lo sono pure a + b, ab e a. Se a è un numero reale e a 0, allora 1/a è un numero reale. 2 leggi commutative. a + b = b + a, ab = ba. 3 leggi associative. a + (b + c) = (a + b) + c, a(bc) = (ab)c. 4 leggi dell identità. 0 + a = a, 1 a = a. 5 leggi dell inverso. a + ( a) = 0. Se a 0, a 1/a = 1. 6 legge distributiva. a(b + c) = ab + ac.

52 Assiomi per i numeri iperreali Assiomi d ordine dei numeri reali 1 0 < 1. 2 legge transitiva. Se a b e b c, allora a c. 3 legge di dicotomia. a b oppure b a. 4 legge della somma. Se a b, allora a + c b + c. 5 legge del prodotto. Se a b e 0 c, allora ac bc. 6 legge della radice. Per ogni numero reale a 0 e per ogni intero positivo n, esiste un numero reale b 0 tale che b n = a.

53 Assiomi per i numeri iperreali Assiomi d ordine dei numeri reali 1 0 < 1. 2 legge transitiva. Se a b e b c, allora a c. 3 legge di dicotomia. a b oppure b a. 4 legge della somma. Se a b, allora a + c b + c. 5 legge del prodotto. Se a b e 0 c, allora ac bc. 6 legge della radice. Per ogni numero reale a 0 e per ogni intero positivo n, esiste un numero reale b 0 tale che b n = a. Assioma archimedeo Per ogni numero reale a > 0, esiste un intero positivo n tale che 1/n < a.

54 Assiomi per i numeri iperreali Assiomi algebrici per i numeri iperreali Ogni numero reale è un numero iperreale. Se a e b sono numeri iperreali, lo sono pure a + b, ab e a b. Se a è un numero iperreale e a 0, 1/a è un numero iperreale. Le leggi commutative, associative, dell identità, dell inverso e distributiva valgono per tutti i numeri iperreali.

55 Assiomi per i numeri iperreali Assiomi algebrici per i numeri iperreali Ogni numero reale è un numero iperreale. Se a e b sono numeri iperreali, lo sono pure a + b, ab e a b. Se a è un numero iperreale e a 0, 1/a è un numero iperreale. Le leggi commutative, associative, dell identità, dell inverso e distributiva valgono per tutti i numeri iperreali. Assiomi d ordine dei numeri iperreali Le leggi transitiva, dicotomica, della somma e del prodotto valgono per tutti i numeri iperreali. Per ogni numero iperreale a 0 e per ogni intero positivo n, esiste un numero iperreale b 0 tale che b n = a.

56 Assiomi per i numeri iperreali Assioma dell infinitesimo Esiste un numero iperreale infinitesimo positivo.

57 Assiomi per i numeri iperreali Assioma dell infinitesimo Esiste un numero iperreale infinitesimo positivo. Assioma della parte standard Ogni numero iperreale finito è infinitamente vicino a esattamente un numero reale.

58 Assiomi per i numeri iperreali Assioma dell infinitesimo Esiste un numero iperreale infinitesimo positivo. Assioma della parte standard Ogni numero iperreale finito è infinitamente vicino a esattamente un numero reale. Assioma della funzione Per ogni funzione reale f di una o più variabili, esiste una corrispondente funzione iperreale f dello stesso numero di variabili, detta estensione naturale di f. Le estensioni naturali delle funzioni somma, differenza, prodotto e reciproco sono le funzioni iperreali date nel primo assioma dei numeri iperreali.

59 Assiomi per i numeri iperreali Assioma di soluzione Se due sistemi di formule hanno esattamente le stesse soluzioni reali, allora hanno esattamente le stesse soluzioni iperreali. (Un sistema di formule è un insieme finito di equazioni e disuguaglianze).

60 Assiomi per i numeri iperreali Assioma di soluzione Se due sistemi di formule hanno esattamente le stesse soluzioni reali, allora hanno esattamente le stesse soluzioni iperreali. (Un sistema di formule è un insieme finito di equazioni e disuguaglianze). Esempio 1 sin(x +2π) = sin(x), x = x = sin (x +2π) = sin (x), x = x

61 Assiomi per i numeri iperreali Assioma di soluzione Se due sistemi di formule hanno esattamente le stesse soluzioni reali, allora hanno esattamente le stesse soluzioni iperreali. (Un sistema di formule è un insieme finito di equazioni e disuguaglianze). Esempio 1 sin(x +2π) = sin(x), x = x = sin (x +2π) = sin (x), x = x Esempio 2 x = y, {y 2 = x y 0 = x = y, { y 2 = x y 0

62 Assiomi per i numeri iperreali L assioma di soluzione è equivalente al seguente

63 Assiomi per i numeri iperreali L assioma di soluzione è equivalente al seguente Principio di trasferimento Se Φ è una formula in L R che è vera in R, allora Φ, ottenuta sostituendo ad ogni funzione di Φ la sua estensione naturale, è vera in R.

64 Analisi non standard - un risultato negativo Se indichiamo con S il sistema formale che codifica l analisi standard e con NS quello che codifica l analisi non-standard (esteso), si ha il seguente teorema di limitazione dovuto a Kreisel:

65 Analisi non standard - un risultato negativo Se indichiamo con S il sistema formale che codifica l analisi standard e con NS quello che codifica l analisi non-standard (esteso), si ha il seguente teorema di limitazione dovuto a Kreisel: Teorema L estensione NS di S è inessenziale: ogni formula di S derivabile da NS è derivabile da S.

66 La derivata non standard Definizione Sia f una funzione definita in un punto x. La derivata di f in x è definita da ( f f ) ( ) (x + dx) f (x) dy (x) = st = st dx dx per ogni infinitesimo dx 0.

67 Esempio Sia f : definita da f (x) = x 2 e dx un infinitesimo non nullo.

68 Esempio Sia f : definita da f (x) = x 2 e dx un infinitesimo non nullo. Allora f (x + dx) = (x + dx) 2 = x 2 + 2xdx + dx 2

69 Esempio Sia f : definita da f (x) = x 2 e dx un infinitesimo non nullo. Allora e dy dx f (x + dx) = (x + dx) 2 = x 2 + 2xdx + dx 2 = f (x + dx) f (x) dx = x 2 + 2xdx + dx 2 x 2 dx =

70 Esempio Sia f : definita da f (x) = x 2 e dx un infinitesimo non nullo. Allora e dy dx f (x + dx) = (x + dx) 2 = x 2 + 2xdx + dx 2 = f (x + dx) f (x) dx = x 2 + 2xdx + dx 2 x 2 dx = = 2xdx + dx 2 = 2x + dx dx

71 Esempio Sia f : definita da f (x) = x 2 e dx un infinitesimo non nullo. Allora e dy dx f (x + dx) = (x + dx) 2 = x 2 + 2xdx + dx 2 = f (x + dx) f (x) dx = x 2 + 2xdx + dx 2 x 2 dx = = 2xdx + dx 2 dx = 2x + dx ( ) dy dy dx st = st(2x + dx) dx

72 Esempio Sia f : definita da f (x) = x 2 e dx un infinitesimo non nullo. Allora e dy dx f (x + dx) = (x + dx) 2 = x 2 + 2xdx + dx 2 = f (x + dx) f (x) dx = x 2 + 2xdx + dx 2 x 2 dx = = 2xdx + dx 2 dx = 2x + dx ( ) dy dy dx st = st(2x + dx) = 2x dx

73 Confronto sulla nozione di continuità In analisi standard una funzione f : è continua in un punto x 0 se ε > 0 δ > 0 : x (x 0 δ, x 0 + δ) f (x) f (x 0 ) < ε

74 Esempio Verifichiamo la continuità di f (x) = x 2 in un punto x 0 del suo dominio. A partire dall insieme delle soluzioni della disequazione x 2 x 2 0 < ε dobbiamo verificare se esiste un intorno I = (x 0 δ, x 0 + δ) di x 0 interamente contenuto in tale insieme di soluzioni.

75 Se x 0 0 f (x) f (x 0 ) < ε x 2 x 2 0 < ε ε < x 2 x 2 0 < ε { x 2 x 2 0 < ε x 2 x 2 0 > ε

76 Se x 0 0 f (x) f (x 0 ) < ε x 2 x 2 0 < ε ε < x 2 x 2 0 < ε { x 2 x 2 0 < ε x 2 x 2 0 > ε Senza perdita di generalità assumiamo ε < x0 2 e, in tal caso, il sistema è soddisfatto per ( ) ) x x x 20 + ε, 20 ε ( x x 20 ε, 20 + ε quindi I = (x 0 δ, x 0 + δ) con δ = cercato. x ε x 0 è l intorno di x 0

77 Se x 0 = 0 f (x) f (x 0 ) < ε x 2 < ε ε < x < ε da cui δ = ε e l intorno di x 0 cercato è I = ( ε, ε)

78 Se x 0 = 0 f (x) f (x 0 ) < ε x 2 < ε ε < x < ε da cui δ = ε e l intorno di x 0 cercato è I = ( ε, ε) Abbiamo dovuto eseguire un procedimento piuttosto laborioso per esibire, dato ε > 0, un δ > 0 (dipendente da ε e da x 0 ) che soddisfi la definizione di continuità.

79 In analisi non standard una funzione f : è continua in x 0 se x x 0 f (x) f (x 0 )

80 In analisi non standard una funzione f : è continua in x 0 se x x 0 f (x) f (x 0 ) Poiché i numeri iperreali infinitamente vicini a x 0 si scrivono come x = x 0 + ε, con ε infinitesimo, la continuità di f (x) = x 2 in x 0 si dimostra così f (x 0 + ε) f (x 0 ) = (x 0 + ε) 2 x 2 0 = ε(2x 0 + ε) 0

81 In analisi non standard una funzione f : è continua in x 0 se x x 0 f (x) f (x 0 ) Poiché i numeri iperreali infinitamente vicini a x 0 si scrivono come x = x 0 + ε, con ε infinitesimo, la continuità di f (x) = x 2 in x 0 si dimostra così f (x 0 + ε) f (x 0 ) = (x 0 + ε) 2 x 2 0 = ε(2x 0 + ε) 0 In questo caso abbiamo dovuto semplicemente verificare che due quantità sono infinitamente vicine.

82 La retta iperreale e i microscopi infinitesimali L immagine visiva della retta iperreale è identica a quella della retta reale

83 La retta iperreale e i microscopi infinitesimali L immagine visiva della retta iperreale è identica a quella della retta reale Non possiamo distinguere numeri che differiscono per un infinitesimo ε

84 Per visualizzare tale differenza introduciamo gli strumenti ottici: i microscopi infinitesimali (non standard) e i microscopi standard.

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88 Il campo visivo di un microscopio è l insieme dei numeri che appaiono attraverso la sua lente (anche se non necessariamente distinguibili). Di fatto viene però rappresentata solo una parte del campo visivo, mediante un cerchio centrato di solito dove viene puntato lo strumento.

89 Se ε è infinitesimo, ε 2 è ancora più infinitesimo il rapporto ε2 ε è infinitesimo, cioè ε rispetto a ε2 è infinitamente grande Definizione Dati due infinitesimi non nulli ε e δ, diciamo che ε ha ordine superiore rispetto a δ se ε δ è infinitesimo; ε ha lo stesso ordine di δ se ε δ è finito non infinitesimo; ε ha ordine inferiore rispetto a δ se ε δ è infinito.

90 Cosa si può effettivamente vedere attraverso un microscopio di fattore ε puntato in c? Si possono distinguere separati da c solo i numeri del tipo c + λ con λ infinitesimo dello stesso ordine di ε. λ di ordine inferiore rispetto a ε c + λ esce dal campo visivo λ di ordine superiore rispetto a ε c + λ e c appaiono sovrapposti

91 Una microscopio di fattore ε riesce a separare ε da 0, ma non ε 2 che è di ordine superiore rispetto a ε

92 Una microscopio di fattore ε riesce a separare ε da 0, ma non ε 2 che è di ordine superiore rispetto a ε Per separarli serve un microscopio di fattore ε 2

93 Una microscopio di fattore ε riesce a separare ε da 0, ma non ε 2 che è di ordine superiore rispetto a ε Per separarli serve un microscopio di fattore ε 2, ma ε esce dal campo visivo

94 Microscopi puntati in microscopi Definizione Un microscopio puntato in un microscopio è un microscopio applicato nel campo visivo di un altro

95 Microscopi puntati in microscopi Definizione Un microscopio puntato in un microscopio è un microscopio applicato nel campo visivo di un altro

96 Microscopi puntati in microscopi Definizione Un microscopio puntato in un microscopio è un microscopio applicato nel campo visivo di un altro

97 Problema Cerchiamo l ascissa del vertice della parabola y = ax 2 + bx + c

98 Problema Cerchiamo l ascissa del vertice della parabola y = ax 2 + bx + c Facciamo scorrere il microscopio lungo la parabola;

99 Problema Cerchiamo l ascissa del vertice della parabola y = ax 2 + bx + c Facciamo scorrere il microscopio lungo la parabola; il grafico visto attraverso il microscopio è indistinguibile da un segmento rettilineo, cioè le differenze in ordinata tra il grafico e il segmento sono infinitesime anche alla scala infinitesima del microscopio;

100 Problema Cerchiamo l ascissa del vertice della parabola y = ax 2 + bx + c il vertice è l unico punto per il quale il microscopio mostra un segmento orizzontale;

101 Problema Cerchiamo l ascissa del vertice della parabola y = ax 2 + bx + c il vertice è l unico punto per il quale il microscopio mostra un segmento orizzontale; se ci spostiamo di un tratto infinitesimo dall ascissa del vertice, allora la variazione di ordinata è un infinitesimo di ordine superiore allo spostamento infinitesimo in ascissa;

102 Problema Cerchiamo l ascissa del vertice della parabola y = ax 2 + bx + c Sia δ un infinitesimo. L ordinata corrispondente a x + δ è a(x + δ) 2 + b(x + δ) + c = = ax 2 +2axδ+aδ 2 +bx+bδ+c

103 Problema Cerchiamo l ascissa del vertice della parabola y = ax 2 + bx + c Sia δ un infinitesimo. L ordinata corrispondente a x + δ è a(x + δ) 2 + b(x + δ) + c = = ax 2 +2axδ+aδ 2 +bx+bδ+c la variazione di ordinata passando da x a x + δ è ax 2 +2axδ +aδ 2 +bx +bδ +c (ax 2 + bx + c) = = (2ax + b)δ + aδ 2

104 Problema Cerchiamo l ascissa del vertice della parabola y = ax 2 + bx + c affinché la variazione sia un infinitesimo di ordine superiore a δ deve essere (2ax + b)δ = 0 2ax + b = 0

105 Problema Cerchiamo l ascissa del vertice della parabola y = ax 2 + bx + c affinché la variazione sia un infinitesimo di ordine superiore a δ deve essere (2ax + b)δ = 0 da cui 2ax + b = 0 x = b 2a

106 L umiltà di una mente geniale... Tratto da Non-standard Analysis: Il fatto che questo libro contenga solo applicazioni alla matematica classica è probabilmente una testimonianza delle limitazioni dell autore e non del metodo Abraham Robinson ( )

107 Questa presentazione è reperibile al sito (Articoli) Grazie dell attenzione!