La corrispondenza Curry-Howard

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1 4 luglio 2009

2 Introduzione Logica e il paradigma proofs-as-programs (o formulae-as-types) da essa originatosi sono un importante esempio di transdisciplinarità, costituendo un notevole caso di interazione spontanea (scoperta a posteriori, non costruita ad hoc) tra due discipline scientifiche: LOGICA Teoria della dimostrazione Deduzione naturale INFORMATICA Teoria dei tipi λ-calcolo tipato

3 Introduzione Logica e il paradigma proofs-as-programs (o formulae-as-types) da essa originatosi sono un importante esempio di transdisciplinarità, costituendo un notevole caso di interazione spontanea (scoperta a posteriori, non costruita ad hoc) tra due discipline scientifiche: LOGICA Teoria della dimostrazione Deduzione naturale INFORMATICA Teoria dei tipi λ-calcolo tipato

4 Introduzione Logica e il paradigma proofs-as-programs (o formulae-as-types) da essa originatosi sono un importante esempio di transdisciplinarità, costituendo un notevole caso di interazione spontanea (scoperta a posteriori, non costruita ad hoc) tra due discipline scientifiche: LOGICA Teoria della dimostrazione Deduzione naturale INFORMATICA Teoria dei tipi λ-calcolo tipato

5 Contenuto Logica L interpretazione funzionale della logica La deduzione naturale 1 Logica L interpretazione funzionale della logica La deduzione naturale 2 Il λ-calcolo I sistemi di tipi 3

6 Denotazione e senso L interpretazione funzionale della logica La deduzione naturale Due diverse concezioni del significato dei connettivi logici: Realista (Tarski): il significato di un enunciato è dato dalle sue condizioni di verità l enunciato A B è vero quando se è vero A allora è vero B, cioè quando A è falso oppure B è vero (modelli semantica denotazione). Costruttivista (Heyting): il significato di un enunciato è dato dalle sue condizioni di asseribilità, cioè da cosa conta come una sua dimostrazione una dimostrazione di A B è una costruzione (ovvero, una funzione) che trasforma ogni dimostrazione di A in una dimostrazione di B (dimostrazioni sintassi senso).

7 Denotazione e senso L interpretazione funzionale della logica La deduzione naturale Due diverse concezioni del significato dei connettivi logici: Realista (Tarski): il significato di un enunciato è dato dalle sue condizioni di verità l enunciato A B è vero quando se è vero A allora è vero B, cioè quando A è falso oppure B è vero (modelli semantica denotazione). Costruttivista (Heyting): il significato di un enunciato è dato dalle sue condizioni di asseribilità, cioè da cosa conta come una sua dimostrazione una dimostrazione di A B è una costruzione (ovvero, una funzione) che trasforma ogni dimostrazione di A in una dimostrazione di B (dimostrazioni sintassi senso).

8 Estensione ed intensione L interpretazione funzionale della logica La deduzione naturale Il concetto di funzione, a sua volta, può essere inteso in due modi: Estensionale: una funzione f da A a B va identificata col suo grafo in senso insiemistico, cioè l insieme di tutte le coppie ordinate x, y dove x A e y = f (x) B. Intensionale: una funzione f da A a B è una regola (una procedura, un algoritmo, un programma) che prescrive una computazione da effettuare per ottenere f (x) da x, cioè che indica come trasformare un qualunque elemento di A in un elemento di B.

9 Estensione ed intensione L interpretazione funzionale della logica La deduzione naturale Il concetto di funzione, a sua volta, può essere inteso in due modi: Estensionale: una funzione f da A a B va identificata col suo grafo in senso insiemistico, cioè l insieme di tutte le coppie ordinate x, y dove x A e y = f (x) B. Intensionale: una funzione f da A a B è una regola (una procedura, un algoritmo, un programma) che prescrive una computazione da effettuare per ottenere f (x) da x, cioè che indica come trasformare un qualunque elemento di A in un elemento di B.

10 La deduzione naturale L interpretazione funzionale della logica La deduzione naturale L oggetto di studio della deduzione naturale (e del calcolo dei sequenti) sono le dimostrazioni e non solo la dimostrabilità. Nella deduzione naturale la regola di introduzione per un connettivo ne definisce il significato, mostrando quali sono le condizioni di asseribilità di un enunciato che ha quel connettivo come connettivo principale. La deduzione naturale è dunque il tipo si sistema logico maggiormente connesso con l interpretazione funzionale della logica, su cui si basa la corrispondenza Curry-Howard.

11 Il sistema NJ Logica L interpretazione funzionale della logica La deduzione naturale Il sistema di deduzione naturale NJ è dato dalle seguenti regole di inferenza: x A x. B A B I A B B A E Le dimostrazioni sono costruite a partire da assunzioni (etichettate dalle variabili x, y, z,... ) utilizzando le regole I e E. In un applicazione della regola I, tutte le assunzioni della forma A etichettate dalla variabile x vengono scaricate: la conclusione non dipende più da esse.

12 L interpretazione funzionale della logica La deduzione naturale Il sistema NJ S x : A A ASS Γ, x : A B I Γ A B Γ A B A E Γ, B Γ B Γ, x : A B W Γ, x : A, y : A B C Γ, z : A B Figura: Deduzione naturale in stile sequente

13 Normalizzazione Logica L interpretazione funzionale della logica La deduzione naturale La normalizzazione è la procedura che elimina certe deviazioni nelle dimostrazioni. Tali deviazioni consistono in applicazioni ridondanti di regole: tipicamente, l introduzione di un connettivo seguita immediatamente da un eliminazione di quello stesso connettivo. Le dimostrazioni normali hanno tutte la stessa forma (sono scomponibili in una parte analitica e in un a parte sintetica) e godono di importanti proprietà, tra cui la proprietà della sottoformula.

14 Regole di conversione L interpretazione funzionale della logica La deduzione naturale Una dimostrazione viene ridotta in forma normale mediante la ripetuta applicazione di certe regole di riscrittura, dette regole di conversione. Nel caso di NJ abbiamo quest unica regola: -conv: D 1 A A x D 2 B x I A B E B D 1 A D 2 B (la sottodimostrazione D 1 viene sostituita al posto di ognuna delle 0 o più occorrenze di A etichettate con x)

15 Contenuto Logica Il λ-calcolo I sistemi di tipi 1 Logica L interpretazione funzionale della logica La deduzione naturale 2 Il λ-calcolo I sistemi di tipi 3

16 Il λ-calcolo Logica Il λ-calcolo I sistemi di tipi Il λ-calcolo, nato come teoria generale delle funzioni, oggi è uno dei principali modelli di calcolo (insieme alla teoria della ricorsività e alle macchine di Turing), ovvero quegli insiemi di metodologie, modelli e teorie formali attraverso cui viene spiegato ed analizzato il concetto generale di computazione. Inoltre, grazie al suo misto di potenza espressiva e semplicità sintattica, esso funge da linguaggio paradigmatico di programmazione (soprattutto nel caso dei linguaggi di programmazione funzionale).

17 La λ-notazione Logica Il λ-calcolo I sistemi di tipi Gli oggetti studiati dal λ-calcolo sono i λ-termini, costruiti a partire da variabili mediante le seguenti operazioni: Astrazione: a partire dal termine t si può formare il termine λx. t astraendo dalla variabile x (di cui t contiene 0 o più occorrenze). Il termine λx. t rappresenta la funzione che, per ogni x, applicata a x dà come risultato t. Applicazione: a partire dai termini t e s si può formare il termine ts. Il termine ts rappresenta l applicazione della funzione t all argomento s.

18 La β-riduzione Logica Il λ-calcolo I sistemi di tipi La computazione (o β-riduzione) di un λ-termine ha luogo applicando ripetutamente ai suoi sottotermini della forma (λx. t)s (chiamati redex, ossia espressioni riducibili ) la seguente regola di riscrittura, detta regola di β-conversione: (λx. t)s t[s/x] Un passo di computazione dunque consiste semplicemente nella sostituzione dell argomento s al posto della variabile x nel corpo della funzione λx. t (cioè in t).

19 Programmare col λ-calcolo Il λ-calcolo I sistemi di tipi Per ogni n N, il numerale di Church n che rappresenta n è definito così: n λx. λy. x n y (t n s denota l applicazione di t a s iterata n volte). La funzione (il programma) che calcola il successore di un numerale di Church è definita così: Un esempio di computazione: succ λn. λx. λy. x(nxy) succ 1 succ λw. λz. wz λx. λy. x((λw. λz. wz)xy) λx. λy. x((λz. xz)y) λx. λy. x(xy) 2

20 Tipi di dati Logica Il λ-calcolo I sistemi di tipi Un tipo di dati è una classe di dati che hanno lo stesso comportamento computazionale. Per esempio, Int è il tipo degli interi, e Bool è il tipo dei booleani. Se A e B sono tipi, il tipo funzione A B rappresenta lo spazio delle funzioni da A a B. Così, Int Bool è il tipo di un programma che prende come input un intero e dà come output un booleano (per esempio il programma che calcola se un numero è primo oppure no). Il tipo di un programma ne costituisce dunque la specifica in un senso molto basilare. Questa permette di farlo interagire con altri programmi in modo coerente a prescindere dalla conoscenza del suo contenuto (il programma è un modulo, e il suo tipo è l interfaccia del modulo).

21 Il type-checking Logica Il λ-calcolo I sistemi di tipi Un sistema di tipi è una classificazione delle espressioni di un linguaggio di programmazione in base a tipi di dati, la quale serve a garantire che durante l esecuzione di un programma non si verifichino certi errori di natura molto basilare, gli errori di tipo. Essi avvengono quando si fanno interagire due programmi con tipi incompatibili (per esempio quando si usa l output di un programma di tipo Int Bool come input di un programma di tipo Int Int). Questo obiettivo è conseguito definendo delle regole di type-checking, che servono a calcolare i tipi delle espressioni che occorrono in un programma e a verificare che non ci siano delle discordanze tra essi.

22 Il λ-calcolo tipato Logica Il λ-calcolo I sistemi di tipi È possibile arricchire il λ-calcolo con un sistema di tipi, ottenendo il λ-calcolo tipato, in cui a ciascun λ-termine viene associato un tipo (scelto tra i tipi atomici e quelli formati a partire da questi mediante i costruttori di tipo, ad es. ). Un giudizio di tipo è un espressione della forma x 1 : A 1,..., x n : A n t : B Il suo significato è che, assumendo che le variabili x 1,..., x n (che eventualmente occorrono libere in t) siano rispettivamente di tipo A 1,..., A n, il λ-termine t è di tipo B. Una derivazione di tipo è una derivazione costruita mediante le regole di type-checking; essa corrisponde alla costruzione del λ-termine con cui si conclude, e all assegnazione a questo di un tipo conformemente con esse.

23 Il λ-calcolo I sistemi di tipi Il λ-calcolo tipato semplice λβ x : A x : A VAR Γ, x : A t : B Γ λx. t : A B ABS Γ t : A B s : A APP Γ, ts : B Γ t : B Γ, x : A t : B ENV-W Γ, x : A, y : A t : B Γ, z : A t[z/x, z/y] : B ENV-C Figura: Regole di type-checking per λβ

24 La β-riduzione in λβ Il λ-calcolo I sistemi di tipi La β-riduzione nel λ-calcolo tipato semplice è sostanzialmente immutata; ma ora può esser meglio analizzata come trasformazione delle derivazioni di tipo: β-conv: Γ, x : A D 1 t : B ABS λx. t : A B (λx. t)s : B D 2 s : A APP Γ, D 1 [D 2 /x] t[s/x] : B (la notazione D 1 [D 2 /x] rappresenta la derivazione D 1 in cui tutte le (eventuali) assunzioni etichettate con x sono state sostituite dalla derivazione D 2 avente conclusione s : A)

25 Contenuto Logica 1 Logica L interpretazione funzionale della logica La deduzione naturale 2 Il λ-calcolo I sistemi di tipi 3

26 Nascita della corrispondenza Curry-Howard si articola, sia concettualmente che storicamente, nei seguenti quattro punti: 1 Interpretazione funzionale della logica, o interpretazione BHK (Brouwer-Heyting-Kolmogorov). 2 Corrispondenza tra formule e tipi (logica combinatoria di Curry; interpretazione Dialectica di Gödel). 3 Corrispondenza tra eliminazione del taglio (normalizzazione) e β-riduzione (Tait). 4 Corrispondenza tra dimostrazioni e λ-termini (Howard). La corrispondenza che sussiste non solo tra dimostrazioni e λ-termini, ma anche tra le operazioni che si possono svolgere su di essi (normalizzazione e β-riduzione), permette di individuare un vero e proprio isomorfismo:

27 Nascita della corrispondenza Curry-Howard si articola, sia concettualmente che storicamente, nei seguenti quattro punti: 1 Interpretazione funzionale della logica, o interpretazione BHK (Brouwer-Heyting-Kolmogorov). 2 Corrispondenza tra formule e tipi (logica combinatoria di Curry; interpretazione Dialectica di Gödel). 3 Corrispondenza tra eliminazione del taglio (normalizzazione) e β-riduzione (Tait). 4 Corrispondenza tra dimostrazioni e λ-termini (Howard). La corrispondenza che sussiste non solo tra dimostrazioni e λ-termini, ma anche tra le operazioni che si possono svolgere su di essi (normalizzazione e β-riduzione), permette di individuare un vero e proprio isomorfismo:

28 Nascita della corrispondenza Curry-Howard si articola, sia concettualmente che storicamente, nei seguenti quattro punti: 1 Interpretazione funzionale della logica, o interpretazione BHK (Brouwer-Heyting-Kolmogorov). 2 Corrispondenza tra formule e tipi (logica combinatoria di Curry; interpretazione Dialectica di Gödel). 3 Corrispondenza tra eliminazione del taglio (normalizzazione) e β-riduzione (Tait). 4 Corrispondenza tra dimostrazioni e λ-termini (Howard). La corrispondenza che sussiste non solo tra dimostrazioni e λ-termini, ma anche tra le operazioni che si possono svolgere su di essi (normalizzazione e β-riduzione), permette di individuare un vero e proprio isomorfismo:

29 Nascita della corrispondenza Curry-Howard si articola, sia concettualmente che storicamente, nei seguenti quattro punti: 1 Interpretazione funzionale della logica, o interpretazione BHK (Brouwer-Heyting-Kolmogorov). 2 Corrispondenza tra formule e tipi (logica combinatoria di Curry; interpretazione Dialectica di Gödel). 3 Corrispondenza tra eliminazione del taglio (normalizzazione) e β-riduzione (Tait). 4 Corrispondenza tra dimostrazioni e λ-termini (Howard). La corrispondenza che sussiste non solo tra dimostrazioni e λ-termini, ma anche tra le operazioni che si possono svolgere su di essi (normalizzazione e β-riduzione), permette di individuare un vero e proprio isomorfismo:

30 Nascita della corrispondenza Curry-Howard si articola, sia concettualmente che storicamente, nei seguenti quattro punti: 1 Interpretazione funzionale della logica, o interpretazione BHK (Brouwer-Heyting-Kolmogorov). 2 Corrispondenza tra formule e tipi (logica combinatoria di Curry; interpretazione Dialectica di Gödel). 3 Corrispondenza tra eliminazione del taglio (normalizzazione) e β-riduzione (Tait). 4 Corrispondenza tra dimostrazioni e λ-termini (Howard). La corrispondenza che sussiste non solo tra dimostrazioni e λ-termini, ma anche tra le operazioni che si possono svolgere su di essi (normalizzazione e β-riduzione), permette di individuare un vero e proprio isomorfismo:

31 Nascita della corrispondenza Curry-Howard si articola, sia concettualmente che storicamente, nei seguenti quattro punti: 1 Interpretazione funzionale della logica, o interpretazione BHK (Brouwer-Heyting-Kolmogorov). 2 Corrispondenza tra formule e tipi (logica combinatoria di Curry; interpretazione Dialectica di Gödel). 3 Corrispondenza tra eliminazione del taglio (normalizzazione) e β-riduzione (Tait). 4 Corrispondenza tra dimostrazioni e λ-termini (Howard). La corrispondenza che sussiste non solo tra dimostrazioni e λ-termini, ma anche tra le operazioni che si possono svolgere su di essi (normalizzazione e β-riduzione), permette di individuare un vero e proprio isomorfismo:

32 L isomorfismo Curry-Howard DEDUZIONE NATURALE λ-calcolo TIPATO formule dimostrazioni normalizzazione tipi λ-termini β-riduzione

33 L isomorfismo Curry-Howard DEDUZIONE NATURALE λ-calcolo TIPATO formule dimostrazioni normalizzazione tipi λ-termini β-riduzione

34 L isomorfismo Curry-Howard DEDUZIONE NATURALE λ-calcolo TIPATO formule dimostrazioni normalizzazione tipi λ-termini β-riduzione

35 L isomorfismo Curry-Howard DEDUZIONE NATURALE λ-calcolo TIPATO formule dimostrazioni normalizzazione tipi λ-termini β-riduzione

36 La decorazione: dalle regole di NJ... x : A A ASS Γ, x : A B Γ A B I Γ A B A E Γ, B Γ B Γ, x : A B W Γ, x : A, y : A B Γ, z : A B C Figura: Il sistema NJ S

37 ... alle regole di type-checking per λβ x : A x : A ASS Γ, x : A t : B Γ λx. t : A B I Γ t : A B s : A E Γ, ts : B Γ t : B Γ, x : A t : B W Γ, x : A, y : A t : B Γ, z : A t[z/x, z/y] : B C Figura: Sistema di assegnazione di termini per NJ S

38 Curry-Howard: importanza pratica Il paradigma proofs-as-programs permette una fruttuosa interazione tra logica e informatica (teorica), consistente nello scambio di risultati e metodi tra le due discipline: Sul versante della logica, ha fatto sì che essa venisse studiata sempre di più con gli strumenti della semantica denotazionale e della teoria delle categorie. In particolare, la semantica denotazionale (la quale modellizza il concetto di dimostrazione e non solo quello di dimostrabilità) è alla base della nascita della logica lineare. Sul versante dell informatica, ha comportato un maggior rigore nella progettazione dei linguaggi di programmazione, dovuto al fatto che questa è sempre più guidata da un sistema logico sottostante. Inoltre, alcune tra le proprietà fondamentali dei linguaggi di programmazione (per esempio, la loro complessità computazionale) possono essere studiate come proprietà dei sistemi logici corrispondenti.

39 Curry-Howard: importanza pratica Il paradigma proofs-as-programs permette una fruttuosa interazione tra logica e informatica (teorica), consistente nello scambio di risultati e metodi tra le due discipline: Sul versante della logica, ha fatto sì che essa venisse studiata sempre di più con gli strumenti della semantica denotazionale e della teoria delle categorie. In particolare, la semantica denotazionale (la quale modellizza il concetto di dimostrazione e non solo quello di dimostrabilità) è alla base della nascita della logica lineare. Sul versante dell informatica, ha comportato un maggior rigore nella progettazione dei linguaggi di programmazione, dovuto al fatto che questa è sempre più guidata da un sistema logico sottostante. Inoltre, alcune tra le proprietà fondamentali dei linguaggi di programmazione (per esempio, la loro complessità computazionale) possono essere studiate come proprietà dei sistemi logici corrispondenti.

40 Curry-Howard: importanza pratica Il paradigma proofs-as-programs permette una fruttuosa interazione tra logica e informatica (teorica), consistente nello scambio di risultati e metodi tra le due discipline: Sul versante della logica, ha fatto sì che essa venisse studiata sempre di più con gli strumenti della semantica denotazionale e della teoria delle categorie. In particolare, la semantica denotazionale (la quale modellizza il concetto di dimostrazione e non solo quello di dimostrabilità) è alla base della nascita della logica lineare. Sul versante dell informatica, ha comportato un maggior rigore nella progettazione dei linguaggi di programmazione, dovuto al fatto che questa è sempre più guidata da un sistema logico sottostante. Inoltre, alcune tra le proprietà fondamentali dei linguaggi di programmazione (per esempio, la loro complessità computazionale) possono essere studiate come proprietà dei sistemi logici corrispondenti.

41 Curry-Howard: rilevanza filosofica 1 I sistemi logici a bassa complessità (tra cui principalmente le logiche leggere, tutte basate sulla logica lineare) permettono di dare una caratterizzazione puramente logica, attraverso la corrispondenza Curry-Howard, di alcune classi di complessità tra cui la classe P dei problemi algoritmici risolvibili in tempo polinomiale (ovvero in modo efficiente) La nostra via via maggiore comprensione della classe P ci avvicina alla soluzione di uno dei più affascinanti problemi del millennio, il problema P? = NP La soluzione di questo problema è strettamente collegata alla realizzabilità di una versione limitata del programma di Hilbert (cfr. lettera di Gödel a Von Neumann, 1956).

42 Curry-Howard: rilevanza filosofica 1 I sistemi logici a bassa complessità (tra cui principalmente le logiche leggere, tutte basate sulla logica lineare) permettono di dare una caratterizzazione puramente logica, attraverso la corrispondenza Curry-Howard, di alcune classi di complessità tra cui la classe P dei problemi algoritmici risolvibili in tempo polinomiale (ovvero in modo efficiente) La nostra via via maggiore comprensione della classe P ci avvicina alla soluzione di uno dei più affascinanti problemi del millennio, il problema P? = NP La soluzione di questo problema è strettamente collegata alla realizzabilità di una versione limitata del programma di Hilbert (cfr. lettera di Gödel a Von Neumann, 1956).

43 Curry-Howard: rilevanza filosofica 1 I sistemi logici a bassa complessità (tra cui principalmente le logiche leggere, tutte basate sulla logica lineare) permettono di dare una caratterizzazione puramente logica, attraverso la corrispondenza Curry-Howard, di alcune classi di complessità tra cui la classe P dei problemi algoritmici risolvibili in tempo polinomiale (ovvero in modo efficiente) La nostra via via maggiore comprensione della classe P ci avvicina alla soluzione di uno dei più affascinanti problemi del millennio, il problema P? = NP La soluzione di questo problema è strettamente collegata alla realizzabilità di una versione limitata del programma di Hilbert (cfr. lettera di Gödel a Von Neumann, 1956).

44 Bibliografia Logica [1] Jean Gallier. Constructive logics Part I: A tutorial on proof systems and typed -calculi. Theoretical Computer Science, 110: , [2] Jean-Yves Girard, Paul Taylor, e Yves Lafont. Proofs and types. Cambridge University Press, [3] Benjamin C. Pierce. Types and Programming Languages. The MIT Press, [4] Steven Rudich. Complexity Theory: From Gödel to Feynman. In Computational Complexity. A cura di Steven Rudich e Avi Wigderson. American Mathematical Society, [5] Philip Wadler. Proofs are Programs: 19th Century Logic and 21st Century Computing. Reperibile su