Automi Ibridi. Carla Piazza 1. Università di Udine 1 Dipartimento di Matematica ed Informatica

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1 Automi Ibridi Carla Piazza 1 1 Dipartimento di Matematica ed Informatica Università di Udine carla.piazza@dimi.uniud.it

2 Indice del Corso (Dis)Ordinato Automi Ibridi: Sintassi e Semantica Sistemi a stati finiti (breve ripasso) Il problema della Raggiungibilità Risultati di Indecidibilità Classi notevoli di Automi Ibridi: timed, rectangular, o-minimal,... Tecniche di Decisione: (Bi)Simulazione, Cylindric Algebraic Decomposition, Teoremi di Selezione, Semantiche approssimate... e tanto altro: Logiche temporali Composizione di Automi Il caso Stocastico Stabilità, Osservabilità, Controllabilità Strumenti Software Applicazioni

3 Una tecnica generale dato un grafo G = (V, E) e due insiemi I, F V vogliamo stabilire se I F supponiamo di essere in grado di definire G/, Ĩ e F tali che Ĩ F iff I F se G è finito, potrebbe essere conveniente lavorare su G/ se G è infinito e G/ è finito, potrebbe essere necessario lavorare su G/

7 Bisimulazione Definition Sia G = (V, E, l), una bisimulazione su G è una relazione R V V tale che: se u R v, allora l(u) = l(v) se u u e u R v, allora v tale che v v e u R v se v v e u R v, allora u tale che u u e u R v Theorem Sia = {(u, v) R bisimulazione u R v} è la massima bisimulazione su G ed è una relazione di equivalenza

8 Bisimulazione Definition Sia G = (V, E, l), una bisimulazione su G è una relazione R V V tale che: se u R v, allora l(u) = l(v) se u u e u R v, allora v tale che v v e u R v se v v e u R v, allora u tale che u u e u R v Theorem Sia = {(u, v) R bisimulazione u R v} è la massima bisimulazione su G ed è una relazione di equivalenza

9 Example

10 Example

11 Bisimulazione e Raggiungibilità Sia G = (V, E), I, F V considero l : V {0, 1} tale che l(u) = 1 sse u F Theorem In G vale che I F sse in G/ vale che i I [i] f F [f ] Come calcolo G/?

15 Bisimulazione e Partizionamento Stabile parto da V / = {V \ F, F} calcolo E 1 (F) splitto ogni classe X in X 1 = X E 1 (F) e X 2 = X \ X 1 itero fino a che non raggiungo un punto fisso se G è finito la procedura termina dopo al più V passi se G è infinito la procedura termina sse sono in grado di calcolare gli split e V / è finito

21 L Operazione di Split B A

22 L Operazione di Split B A

23 Ricordiamo alcune Definizioni Consideriamo le possibili Dinamiche Una variabile continua Z è detta: Clock se Z = Z + T in ogni locazione, ovvero Ż = 1 Skewed Clock se Z = Z + gt con g {0, 1}, ovvero Ż = g Memory Cell se Z = Z con g {0, 1}, ovvero Ż = 0 Stopwatch se Z = Z oppure Z = Z + T, ovvero Ż = 1 oppure Ż = 0 Two Slope se Z = Z + gt oppure Z = Z + ht, ovvero Ż = g oppure Ż = h, con g, h > 0 Linear se per ogni locazione esistono a e b tali che a Ż b

24 Ricordiamo alcune Definizioni Consideriamo le possibili Activation Weak Predicate (W): congiunzione di vincoli del tipo Z i n oppure Z i n W =: vincoli di W e vincoli del tipo Z i = Z j (confronto tra variabili) W =2 : vincoli di W = in cui al posto di Z i può comparire 2 Z i W =+: vincoli di W = in cui al posto di Z i può comparire Z i + Z j

25 Ricordiamo alcune Definizioni Consideriamo i possibili Reset Pass: Z i Reset: Z i := 0 Switch: Z i Indichiamo con: := Z i (identità) := Z j con i j R: reset Pass e Reset V: reset Pass, Reset e Switch

26 Ricordiamo 2-rate Timed Automata Theorem Il problema della raggiungibilità per automi con: variabili di tipo clock una variabile di tipo skewed clock activation ed in W = reset in R è indecidibile Alla base del risultato c è la possibilità di confrontare variabili

27 Timed Automata Definition (Timed Automata) In un timed automaton H abbiamo: variabili di tipo clock activation e invarianti in W reset in R Theorem (Alur e Dill) Se H è un timed automaton, allora H/ è finito e calcolabile Corollary Se H è un timed automaton, allora la raggiungibilità in H è decidibile

30 Intuitivamente Siano c 1, c 2,..., c k le più grandi costanti con cui vengono confrontate Z 1, Z 2,..., Z k Considero R k R k tale che (p 1,..., p k ) (q 1,..., q k ) sse: p i = q i oppure p i, q i c i fract(p i ) fract(p j ) sse fract(q i ) fract(q j ) fract(p i ) = 0 sse fract(q i ) = 0

35 Intuitivamente nel caso bidimensionale

36 Simple Multirate Automata Definition (Simple Multirate Automata) In un multirate automaton H abbiamo: variabili di tipo skewed clock activation e invarianti in W reset in R Theorem Il problema della raggiungibilità su simple multirate automata è decidibile Hanno la bisimulazione finita

37 Bisimulazione Infinita: Rectangular Automata Definition (Rectangular Automata) Un rettangolo R R k è il prodotto cartesiano di punti e intervalli In un rectangular automata gli invariant, flow, activation, reset sono rettangoli In un inizialized rectangular automata se cambia un flow resetto la variabile Bisimulazione Infinita Esistono inizialized rectangular automata con bisimulazione infinita

38 Esempio y := 0 x := 0 x, y [0, 1] ẋ, ẏ [1, 2] x = 1 y = 1

39 Esempio

40 Simulazione Definition Sia G = (V, E, l), una simulazione su G è una relazione S V V tale che: se u S v, allora l(u) = l(v) se u u e u S v, allora v tale che v v e u S v Theorem Sia = {(u, v) S simulazione u S v} è la massima simulazione su G ed è un preordine La relazione 1 è una equivalenza e preserva la raggiungibilità

41 Simulazione Definition Sia G = (V, E, l), una simulazione su G è una relazione S V V tale che: se u S v, allora l(u) = l(v) se u u e u S v, allora v tale che v v e u S v Theorem Sia = {(u, v) S simulazione u S v} è la massima simulazione su G ed è un preordine La relazione 1 è una equivalenza e preserva la raggiungibilità

42 (a) (b) Simili ma non Bisimili

43 Simulazione e Inizialized Rectangular Automata Theorem Gli Inizialized Rectangular Automata hanno sempre la simulazione finita Il problema della raggiungibilità su Inizialized Rectangular Automata è decidibile

44 Gerarchia di Classi Decidibili

45 Bibliografia The Algorithmic Analysis of Hybrid Systems. Alur, Courcobetis, Halbwachs, Henzinger, Ho, Nicolin, Olivero, Sifakis, Yovine. Theoretical Computer Science 138(1), What s Decidable about Hybrid Automata? Henzinger, Kopke, Puri, Varaiya. Journal of Computer and System Sciences 57(1), Hybrid Automata and Bisimulation Casagrande, The Theory of Rectangular Hybrid Automata Kopke. PhD thesis, 1996.