Studi sugli eventi estremi per stima delle portate di piena

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1 Studi sugli eventi estremi per stima delle portate di piena Un obiettivo degli studi sugli eventi estremi idrometeorologici è la determinazione dell idrogramma delle portate di piena (o almeno della portata al colmo) maggiormente critici per il dimensionamento di alcune opere idrauliche. Questi studi consistono almeno di una parte di analisi statistica delle osservazioni di portata o di pioggia nel passato. Analisi dei regimi delle portate di piena (nei bacini naturali): Curve inviluppo. Analisi delle massime portate osservate in un certo periodo storico nei bacini (naturali). Distribuzione di frequenza delle portate più critiche. Analisi statistica delle massime portate misurate ogni anno, nei bacini osservati. Talvolta non è possibile utilizzare direttamente i risultati delle analisi sulle portate di piena (es. bacini urbani): si ricorre all informazione pluviometrica. Analisi dei regimi delle precipitazioni intense: Precipitazioni massime probabili. Analisi che presentano delle analogie alle curve inviluppo per le piene. Sono escluse dal corso. Distribuzione di frequenza delle precipitazioni intense (giornaliere e delle diverse durate). Analisi statistica delle massime precipitazioni osservate ogni anno nelle stazioni pluviometriche/pluviografiche. ( 1 / 36 ) Curve inviluppo Le curve inviluppo sono ricavate sulla base delle massime portate di piena - storicamente osservate. Questo non esclude che in futuro si possano verificare portate superiori. Sul Moisello (pag. 566 e seguenti) sono fornite alcune curve inviluppo relative a varie regioni e territori nazionali. Per la Sardegna si richiama la curva inviluppo di Sirchia-Fassò (inizialmente determinata da Sirchia, nel 1931, in seguito aggiornata da Fassò, nel 1969): q = Ψ 45.8 A Q = Ψ 45.8 A A < 21 km 2 q = Ψ 207 A 0.6 Q = Ψ 207 A 0.4 A > 21 km 2 dove la superficie del bacino A è espressa in km 2, il contributo unitario q in m 3 /s/km 2, la portata Q espressa in m 3 /s. Ovviamente Q = qa Il parametro Ψ da utilizzare nelle formule per i diversi bacini sardi è fornito dalla Figura 4 (Fassò, 1969). Al parametro Ψ Sirchia diede semplicemente un significato di coefficiente di afflusso, Fassò lo assunse anche ad indice di piovosità. ( 2 / 36 )

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4 Considerazioni sulle curve inviluppo (1) Si riferiscono a eventi catastrofici (mai superati nel passato): si assume che non vengano superati neanche nel futuro. Il massimo valore osservato in passato potrebbe però essere superato in futuro. Alcune curve sono datate. Non caratterizzano la frequenza con cui si verificano gli eventi di piena. Non possono essere utilizzate per il dimensionamento di alcune opere idrauliche per le quali si accetta, per ragioni economiche e tecniche, un rischio di insufficienza (ovvero che, durante la vita utile dell opera, possano verificarsi portate superiori alla portata di progetto). Necessità di un approccio probabilistico (1) NOTA: Considerazioni analoghe possono essere fatte anche per i metodi che utilizzano le precipitazioni massime probabili (PMP). Le PMP vengono dedotte infatti dai valori massimi di umidità dell aria osservati in passato. ( 7 / 36 ) Analisi statistiche degli eventi estremi (di portata o precipitazione) Queste analisi vengono condotte sui massimi annui di portata o precipitazione osservata, o sulle eccedenze (non trattate nel corso), ovvero sui valori di portata o precipitazione che superano una soglia prefissata. Studiano e caratterizzano la frequenza con cui si verificano gli eventi estremi (di piena o di precipitazione intensa). Non classificano perciò gli eventi estremi in termini assoluti, ma in termini probabilistici. I risultati delle analisi statistiche vengono utilizzati per dimensionare le opere scegliendo in fase di progetto a quale rischio di insufficienza saranno sottoposte, imponendo un tempo di ritorno. TEMPO DI RITORNO Il tempo di ritorno T associato ad una portata Q T (o ad una precipitazione h T ) è il tempo (espresso in anni) che mediamente intercorre fra due osservazioni di portata massima annua Q T (o fra due osservazioni di precipitazione massima annua h T ). ( 8 / 36 )

5 Valori indicativi di tempi di ritorno Intervalli di valori indicativi per i tempi di ritorno utilizzati per il dimensionamento di alcune opere idrauliche: Opera Fognature Urbane Tombinatura di strade rurali Tombinatura di strade provinciali Tombinatura di strade statali, autostrade Ferrovie Dighe tempo di ritorno T in anni T = 5 10 anni T = 5 15 anni T = anni T = anni T = anni T = anni Queste opere vengono progettate accettando a priori che possano risultare insufficienti con maggiore (T piccolo) o minore frequenza (T grande) durante la vita utile. ( 9 / 36 ) Analisi statistica (locale) massimi annui Analisi locale: dati di portata (o precipitazione) relativi ad una singola stazione di misura. n = numero d anni di osservazione x i = massimo di portata (o precipitazione) misurata nell anno i (i = 1,.., n) x = (x 1, x 2,..., x n ) è il campione osservato Si assume che il campione osservato x sia una realizzazione di una variabile casuale X descritta da una distribuzione di probabilità (ignota). Si vuole determinare una distribuzione di probabilità dalla quale il campione x = (x 1, x 2,..., x n ) si possa considerare estratto. 1 Scelta della distribuzione probabilistica 2 Stima dei parametri (della distribuzione probabilistica scelta al punto 1) 3 Verifica delle ipotesi (punti 1 e 2): test di adattamento (es. χ 2 ) ( 10 / 36 )

6 Richiami di statistica e probabilità La statistica descrive la distribuzione (campionaria) di uno più campioni osservati. Sia x = (x 1, x 2,..., x n ) un campione osservato, riordinato in ordine crescente. Definiamo: Distribuzione di frequenza relativa: f k = n k n Distribuzione di frequenza cumulata: F (x j ) = j k=1 f k Il campo delle osservazioni (di portata o pioggia) deve essere stato suddiviso in classi o intervalli di ampiezza x. n k è il numero di osservazioni che ricadono nell intervallo k-esimo [x k x, x k ] Più spesso in idrologia la distribuzione di frequenza cumulata è definita attraverso una regola di plotting position, esempio: F j = F (x j ) = j n + 1 oppure F j = F (x j ) = j 0.5 n ( 11 / 36 ) Richiami di statistica e probabilità Le distribuzioni probabilistiche ci permettono di descrivere con espressioni analitiche il comportamenteo probabilistico di uno o più campioni osservati. È equivalente determinare la distribuzione di densità di probabilità p(x) o la distribuzione di probabilità cumulata P(x), detta anche funzione di ripartizione o probabilità di non superamento, infatti: p(x) = dp dx P(x) = Prob[X x] = x [X] 1 p(z)dz [-] Relazione fra tempo di ritorno T e probabilità di non superamento P: T = 1 1 P(x T ) P(x T ) = 1 1 T Fissato il tempo di ritorno T si ricava la probabilità di non superamento P e quindi la portata o pioggia x con tempo di ritorno T. ( 12 / 36 )

7 Analisi statistica dei massimi annui di portata al colmo Riordino i massimi annui di portata al colmo Q i e assegno a ciascuno una frequenza cumulata F (Q i ) utilizzando una regola di plotting position: P(Q) F(Q) Q Q 1 Q 2 Q 3... Q i... Q N 1 P(Q ) T 1/T 1 1/T Q 1 Q 2 Q 3 Q 4 F (Q) 1 N+1 ; 2 N+1 ; 3 N+1... i N+1... N N Q T Q N Q Q i = massimo annuo i-esimo di portata al colmo F (Q i ) = frequenza cumulata corrispondente alla portata Q i Il tempo di ritorno T associato ad una portata Q T è il tempo (espresso in anni) che mediamente intercorre fra due osservazioni di portata massima annua Q T. La relazione con la probabilità P di non superamento (CDF) è: T = 1 1 P(Q T ) P(Q T ) = 1 1 T 1. Scelta distribuzione; 2. Stima parametri; 3. Test di adattamento ( 13 / 36 ) Alcune distribuzioni di probabilità utilizzate in idrologia Lognormale. Si trasforma l osservazione x di portata o pioggia in y = log x { y 1 P(x) = P(y) = σ 2π exp 1 [ ] } 2 y µ dy 2 σ dove µ = µ(y) e σ = σ(y) sono la media e lo scarto attesi (teorici) della distribuzione di y. Gumbel (distribuzione asintotica del massimo valore tipo 1 - EV1) P(x) = exp { exp [ α(x u)]} dove α = 1.283/σ(x), u = µ(x) 0.45σ(x), µ(x) e σ(x) sono la media e lo scarto attesi della distribuzione di x. TCEV (distribuzione asintotica del massimo valore a due componenti) P(x) = exp( λ 1 e x/θ 1 λ 2 e x/θ 2 ) distribuzione a 4 parametri il cui utilizzo è destinato alle analisi regionali ( 14 / 36 )

8 Stima dei parametri di una distribuzione probabilistica Metodo della massima verosimiglianza. Si rimanda al corso di statistica. Metodo dei momenti Si eguagliano i momenti teorici della distribuzione di probabilità ai momenti campionari. Occorre eguagliare tanti momenti quanti sono i parametri da stimare. Media campionaria: m = 1 n x i n i=1 Varianza campionaria: s 2 = 1 n 1 n (x i m) 2 i=1 L incertezza di stima dei momenti cresce con l ordine del momento. In pratica, si sostituiscono ai momenti teorici (ad esempio a µ e σ della lognormale o gumbel) i momenti calcolati sul campione: µ m σ s Metodo dei momenti pesati in probabilità (PWM) Metodi regressivi ( 15 / 36 ) Verifica delle ipotesi (test statistico: esempio del χ 2 ) Ipotesi nulla (H 0 ): Il campione x = (x 1, x 2,..., x n ) è una realizzazione estratta dalla distribuzione di probabilità P(x) Statistica test S: statistica utilizzata per il test (es. χ 2 ) Livello di significatività del test (α): probabilità di rifiuto di ipotesi nulla vera (es: α = 0.05, 0., 0.0); definisce la zona di rifiuto (R) Regione di accettazione (W): è complementare alla zona di rifiuto K Statistica test χ 2 (K. Pearson): χ 2 (n j np j ) 2 c = np j K = num. classi in cui suddivido il campo della variabile casuale X p j = P[x j X < x j+1 ] = P(x j+1 ) P(x j ) = probabilità che la variabile casuale X ricada nella classe j-esima, nel caso in cui H 0 sia vera. n j = numero di osservazioni che ricadono nella classe j-esima n = numero totale di osservazioni np j = numero di osservazioni atteso per la classe j-esima Zona di rifiuto: R = {χ 2 c χ 2 (α, ν)} Zona di acc.: W = {χ 2 c < χ 2 (α, ν)} ν = K 1 s = gradi di libertà s = numero di parametri della distribuzione P(x) stimati con il campione x Regola di equiprobabilità di Gumbel: p 1 = p 2 = = p j = = p K Regola empirica: np j 5 = K n/5 j=1 ( 16 / 36 )

9 Inversione Gumbel e Lognormale Distribuzione Gumbel I parametri α e u sono gia stati calcolati. Fisso T, calcolo la probabilita di non superamento P = 1 1/T La portata o pioggia con tempo di ritorno T e : x =u ln( ln P) α Distribuzione Lognormale (distribuzione normale della variabile trasformata y = ln x, ovvero y = log10 x) I parametri µy e σy sono gia stati calcolati. Fisso T, calcolo la probabilita di non superamento P = 1 1/T Ricavo il quantile zp della distribuzione N(0, 1) dalle tavole. Ricavo la variabile trasformata: y = µy + σy zp La portata o pioggia con tempo di ritorno T e : x = exp(y ) ovvero x = 10y ( 17 / 36 ) ( 18 / 36 )

10 Analisi statistiche regionali Necessità delle analisi regionali (su più siti d osservazione): 1 Stima delle grandezze (portate o piogge) anche dove non si dispone di misure. 2 Stima delle grandezze (portate o piogge) relativi a tempi di ritorno elevati, anche superiori al periodo d osservazione. L informazione spaziale compensa il limitato periodo di osservazioni locali (carenza temporale). 3 Maggiore accuratezza nella stima dei parametri. Introduzione di maggiore struttura nei modelli probabilistici: maggior numero di parametri. 4 Maggiore attenzione agli estremi (coda destra della distribuzione). Deve essere verificata l ipotesi di indipendenza degli eventi. In pratica si ricerca l omogeneità spaziale di variabili opportunamente trasformate o adimensionalizzate. Esempio: Q/µ oppure log Q µ y (dove y = log Q) Alcuni parametri della distribuzione sono assunti costanti su regioni spaziali omogenee. ( 19 / 36 ) Stima delle portate di piena nei bacini sardi - I Distribuzione lognormale: formula di Lazzari (1968) Q c = 10 y [m 3 s 1 ] si assume che la variabile y = log 10 Q c abbia distribuzione normale, con varianza σ 2 y regionale, e media µ y dipendente da un fattore morfometrico A b H m. y = z p log 10 (A b H m ) (bacini occidentali) y = } {{} z p log 10 (A b H m ) (bacini orientali) }{{} σ y µ y Q c è la portata al colmo di piena in m 3 /s A b è l area del bacino in km 2 H m è la quota media del bacino s.l.m. in metri z p è il quantile della distribuzione normale standardizzata relativo alla probabilità di non superamento P. (Si stabilisce il tempo di ritorno T in anni da cui si ottiene immediatamente P = 1 1/T, quindi si ricava il quanttile corrispondente z p dalle tabelle probabilistiche) Attenzione: formula valida se il fattore morfometrico A b H m > m km 2 ( 20 / 36 )

11 Stima delle portate di piena nei bacini sardi - II Aggiornamento distribuzione Lognormale Q c = exp(y) [m 3 s 1 ] si assume che la variabile y = ln Q c abbia distribuzione normale, con varianza σ 2 y regionale, e media µ y dipendente dall area del bacino A b. y = z p ln A b (bacini occidentali) y = } {{} z p ln A b (bacini orientali) }{{} σ y µ y Q c è la portata al colmo di piena in m 3 /s A b è l area del bacino in km 2 z p è il quantile della distribuzione normale standardizzata relativo alla probabilità di non superamento P. (Si stabilisce il tempo di ritorno T in anni da cui si ottiene immediatamente P = 1 1/T, quindi si ricava il quantile corrispondente z p dalle tabelle probabilistiche) ln è logaritmo naturale ( 21 / 36 ) ( 22 / 36 )

12 Stima delle portate di piena nei bacini sardi - III Distribuzione TCEV (Cao et al. 1988) Q c = µ(q c )K T = β exp(α)k T [m 3 s 1 ] Parametri per bacini occidentali: Parametri per bacini orientali: K T = ln T K T = ln T α = ln A b α = ln A b β = β = Q c è la portata al colmo di piena in m 3 /s (stessa u.m. di µ(q c )) K T è il coefficiente di crescita (espr. con errore < 3 % per T 5 anni) µ(q c ) è la piena indice (media di massimi annui di piena) in m 3 /s A b è l area del bacino in km 2 T il tempo di ritorno T in anni ln è logaritmo naturale; per revisione: β si può inglobare con α. Procedura gerarchica di regionalizzazione delle piene con la TCEV: 1 o Livello: ZO (Zona Omogenea) unica per tutta la Sardegna 2 o Livello: 2 SZO (SottoZone Omogenee), per bacini occidentali e orientali 3 o Livello: piena indice µ(q c ) funzione dell area del bacino ( 23 / 36 ) Relazione fra portate al colmo e portate giornaliere Per la Sardegna è stata determinata la seguente relazione fra le medie delle massime portate annue al colmo Q c (per misurare le quali occorre un idrometrografo) e le medie delle massime portate annue giornaliere Q g (per le quali è sufficiente un idrometro): m(q c ) = 3.02m(Q g ) A b Quando in un bacino si abbia a disposizione una serie attendibile di massimi annui di portata giornaliera, si può utilizzare la relazione fornita per calcolare m(q c ). Questa media può quindi essere utilizzata come stimatore della portata indice µ(q c ) ad esempio nella TCEV (mantenendo però l informazione regionale per K T ): Q c = K T µ(q c ) ( 24 / 36 )

13 Le espressioni fornite sinora per la stima delle portate al colmo possono essere utilizzate soltanto per bacini naturali. Per il calcolo delle portate meteoriche di piena nei bacini urbani (necessarie per il dimensionamento dei collettori delle fognature pluviali) occorre conoscere i regimi di precipitazione intensa ed applicare modelli di trasformazione afflussi deflussi. Tale conoscenza è necessaria anche per una modellazione afflussi-deflussi in bacini naturali, nella quale si vogliano mettere in conto le caratteristiche del bacino. ( 25 / 36 ) Analisi statistica degli eventi estremi di precipitazione Si utilizzano metodologie statistiche analoghe a quelle descritte per l analisi delle massime portate al colmo di piena (utilizzate per determinare distribuzioni di probabilità che forniscano stime di portata di assegnato tempo di ritorno). Le analisi delle massime precipitazioni intense possono essere effettuate su campioni x = (x 1, x 2,..., x n ) così definiti: massimi annui di precipitazione giornaliera (pluviometriche+pluviografiche) massimi annui di precipitazione intensa di breve durata (es. 15, 30, 45, 60 minuti e 3, 6, 12, 24 ore) registrate dalle sole stazioni pluviografiche. In questo modo si ottengono tante distribuzioni probabilistiche, ciascuna delle quali fornisce, per un prefissato tempo di ritorno T, l altezza di precipitazione giornaliera o di 15, ore. Dalle distribuzioni di probabilità ottenute per le diverse durate di precipitazione si ricavano le curve segnalatrici di possibilità climatica (o pluviometrica), che ne rappresentano una sintesi. Inoltre, le curve segnalatrici di possibilità pluviometrica spesso sono anche il risultato di analisi regionali. ( 26 / 36 )

14 ( 27 / 36 ) Curve segnalatrici di possibilità pluviometrica (o climatica) Forniscono l altezza h di precipitazione (o intensità media i) di evento meteorico intenso di durata τ e assegnato tempo di ritorno T. Spesso sono rappresentate con relazioni monomie: h T (τ) = aτ n i T (τ) = aτ n 1 h (τ) T 3 i(τ) T1 < T 2 < T 3 T 2 T 1 T 3 T 1 < T 2 < T 3 T 2 T 1 durate τ durate τ a = a(t ) e n = n(t ) sono coefficienti che dipendono dalle caratteristiche climatiche del luogo e dal tempo di ritorno T τ è una durata di evento pluviometrico (in genere espresso in ore) h T (τ) è l altezza cumulata di precipitazione (e analogamente i T (τ) l intensità media) con tempo di ritorno T di eventi meteorici di durata τ ( 28 / 36 )

15 Curve di possibilità pluviometrica per la Sardegna - I Distribuzione lognormale. In Sardegna sono stati identificati 4 gruppi di stazioni omogenee, per ciascuno dei quali vale un unica curva di possibilità pluviometrica: τ = durata dell evento in ore h(τ) = 10 A+Bz τ C+Dz h(τ) = altezza di precipitazione espressa in mm z è il quantile di una distribuzione N(0,1) con probabilità P = 1 1/T ; A, B, C, D sono coefficienti tabellati caratteristici di ciascun gruppo Fissata una qualsiasi durata τ, ogni gruppo è caratterizzato dalla costanza della media µ y e varianza σ 2 y della trasformata y(τ) = log h(τ): log 10 h(τ) = A + C log τ + (B + D log τ) }{{}}{{} µ y La costanza della media (e della varianza) in ciascun gruppo rappresenta un limite alla continuità territoriale nella aggregazione dei gruppi di stazioni. σ y z ( 29 / 36 ) Curve di possibilità pluviometrica per la Sardegna - II Distribuzione lognormale (cont.). h(τ) = 10 A+Bz τ C+Dz Si riportano i valori dei coefficienti recentemente aggiornati (Liguori e Piga, 1991). A B C D gruppo I gruppo II gruppo III gruppo IV I quattro gruppi (e le relative curve pluviometriche) sono stati determinati con criteri statistici utilizzando i dati di 46 stazioni pluviografiche. A questo studio non ha fatto seguito l attribuzione delle numerose stazioni pluviometriche ai gruppi omogenei. A questo scopo si possono utilizzare le attribuzioni fatte nello studio originale di Puddu (1974). La determinazione della curva di possibilità climatica in un generico punto può essere fatta attribuendogli lo stesso gruppo della più vicina stazione. ( 30 / 36 )

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18 ( 35 / 36 ) Curve di possibilita pluviometrica per la Sardegna - TCEV P(x) = exp [ λ1 exp( x/θ1 ) λ2 exp( x/θ2 )] Per la Sardegna e stata dapprima applicata alle precipitazioni giornaliere con una procedura gerarchica di regionalizzazione articolata su tre livelli. 1 Livello 1. Si e identificata un unica zona omogenea (ZO) che ricopre l intera Sardegna, caratterizzata da un unico coefficiente di asimmetria e in cui due parametri della distribuzione sono costanti. 2 Livello 2. Sono state identificate 3 sottozone omogenee (SZO), caratterizzate da un unico coefficiente di variazione e in cui un parametro della distribuzione e costante. Per ciascuna SZO c e un unica curva di crescita KT = x/µ, che e stata invertita per ricavare una espressione interpolante di KT in funzione del tempo di ritorno T. 3 Livello 3. E stata redatta una carta della pioggia indice giornaliera µg (che sostituisce l ultimo parametro θ1 ) per tutto il territorio della Sardegna. La metodologia esposta e stata applicata in seguito anche alle piogge intense di breve durata (dati pluviografici). I risultati di queste analisi sono stati utilizzati per determinare le curve segnalatrici di possibilita pluviometrica per la Sardegna. ( 36 / 36 )