Riassunto. Sito web: Distribuzione (2-D) delle Galassie. Programma di oggi. Conteggi profondi e conteggi superficiali

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1 Sito web: Gli appunti di queste lezioni si trovano all indirizzo /2005/lezione*.pdf Dove * e il numero della lezione. Riassunto Nella prima lezione abbiamo visto che: A larga scala, le galassie sono distribuite in modo approssimativamente isotropo sulla sfera celeste la distribuzione a larga scala nel volume tridimensionale si presenta come una spugna, con vuoti ed ammassi, ed anche ammassi di ammassi (superammassi) che formano filamenti grandi decine e anche centinaia di Mpc Le galassie hanno righe spettrali spostate verso il rosso, con spostamento percentuale z= λ/λ proporzionale alla distanza da noi: cz=h o D Distribuzione (2-D) delle Galassie Legge di Hubble ottenuta tramite le Supernovae 1a APM (Automatic Plate Machine) survey di 10 6 galassie Copre circa 1/10 del cielo Riess et al. Programma di oggi Oggi vogliamo tornare con maggiore dettaglio sulla isotropia (indipendenza dalla direzione) dell universo, e studiarne anche l omogeneita (cioe se la densita e costante). Per studiare quantitativamente questi dati, e necessario introdurre strumenti matematico/statistici Vogliamo poi interpretare in modo fisico la legge empirica di Hubble. Conteggi profondi e conteggi superficiali I conteggi manuali di galassie nel visibile di Shane e Wirtanen (Lick observatory, 1967) comprendono galassie fino a magnitudine apparente 18.5, quindi fino ad una distanza di circa 300 Mpc. I conteggi automatizzati della APM survey (Maddox et al 1990) arrivano a magnitudine 20.5, e quindi fino ad una distanza di circa 900 Mpc. Il confronto tra le proprieta statistiche dei due campioni, che interessano profondita diverse, ci dovrebbe dare informazioni sull omogeneita dell Universo, oltre che sulla sua isotropia. 1

2 Approccio classico: la Galassie distribuite in modo completamente casuale: in media ci funzione di correlazione in un sono n galassie per unita di volume e universo omogeneo il numero di galassie presente in un elemento di volume e completamente indipendente dal numero di galassie presente negli altri elementi di volume. dp=n dv. La probabilita congiunta che ci siano n 1 galassie in dv 1 e n 2 galassie in dv 2 e dp=n 2 dv 1 dv 2 Galassie distribuite in modo correlato: il fatto che ci siano n 1 galassie in dv 1 rende piu (o meno) probabile che ci siano n 2 galassie in dv 2 a distanza r. La probabilita congiunta e dp=n 2 [1+x(r)]dV 1 dv 2 La funzione ξ e la funzione di correlazione. Il processo e comunque stazionario. La gravita Le galassie non possono essere distribuite in modo completamente casuale, poissoniano: c e una forza, la gravita, che agisce anche a grandi distanze e che tende ad aggregare le strutture. L effetto di aggregazione dovuto alla gravita deve riflettersi nella distribuzione delle galassie e nella sua evoluzione, e quindi generera una funzione di correlazione x(r) caratteristica e diversa da 0. Come pensiamo che la gravita sia universale, dobbiamo anche pensare che x(r) sia universale. Questo si riflette nella assunzione di stazionarieta del processo stocastico, e nella assunzione di omogeneita almeno statistica dell approccio classico. Funzione di correlazione e conteggi Nel caso di conteggi proiettati sulla sfera celeste, si puo ricavare una funzione di correlazione angolare a partire da quella tridimensionale. Si parte prendendo dv=r 2 drdω, e includendo la probabilita y che una galassia a distanza r sia abbastanza luminosa da essere contata. Usando la definizione dp=n 2 [1+ξ(r)]dV 1 dv 2 si integra sulle due linee di vista nelle due direzioni separate di un angoloθ: dp(q)= n 2 dw 1 dw 2 y 1 r 12 dr 1 y 2 r 22 dr 2 [1+x(r 12 )] dove r 12 e la distanza tra i due elementi di volume: r 12 =(r 12 + r 2 2-2r 1 r 2 cosq) 1/2 dv 1 θ r 1 r 12 r 2 dv 2 Il numero medio di galassie contate per unita di angolo solido perche piu brillanti di f e N(> f)dω= 0 ψ n dv La probabilita di conteggio di una galassia dipende dalla sua luminosita intrinseca L perche f =L/4πr 2. In un catalogo con magnitudine limite f saranno contate tutte le galassie a distanza r se la loro luminosita e maggiore di 4πr 2 f. La funzione di luminosita φ(l) fornisce la probabilita che una galassia abbia luminosita tra L e L+dL, e si pensa che sia una funzione universale. Viene di solito espressa nella forma di Schechter (Press, W.H. and Schechter, P. 1974, Ap.J., 187, 425) φ(l/l * ) d(l/l * ) =n(l/l * ) a exp(-l/l * )d(l/l * ) La probabilita di conteggio sara ψ(4πr 2 f /L * ) = 4πr 2 f /L* φ(l/l * )d(l/l * ) 2dFGRS 2

3 Allora il numero medio di galassie contate per unita di angolo solido perche piu brillanti di f e N(> f)= 0 ψ(4πr 2 f /L * ) n r 2 dr E con la sosituzione di variabili y 2 =4πr 2 f /L * si ha N(> f)= n (L * /4πf ) 3/2 0 ψ(y 2 ) y 2 dy Cioe in un universo a geometria euclidea e con distribuzione omogenea di galassie, i conteggi scalano come f -3/2. Tornando alla nostra probabilita angolare congiunta dp(θ)= n 2 dω 1 dω 2 ψ 1 r 1 2 dr 1 ψ 2 r 2 2 dr 2 [1+ξ(r 12 )], questa puo essere riscritta come dp(θ)= N dω 1 dω 2 [1+ w(θ)], con w(θ) che chiameremo funzione di correlazione angolare, che evidentemente riflettera la forma della funzione di correlazione fisica ξ(r). Il confronto tra le due formule dp(θ)= n 2 dω 1 dω 2 ψ 1 r 1 2 dr 1 ψ 2 r 2 2 dr 2 [1+ξ(r 12 )] e dp(θ)= N 2 dω 1 dω 2 [1+ w(θ)] con l uso delle precedenti permette di ricavare w(θ)= (r 1 r 2 ) 2 dr 1 dr 2 ψ 1 ψ 2 ξ(r 12 ) / [ r 2 dr ψ] 2 dp(θ) puo essere confrontata con le osservazioni (SW o APM), una volta decisa una forma per la funzione ξ(r). Se si assume una forma empirica di legge di potenza: x(r)=(r o /r) g, si ottiene w(θ)=(4πr o 2 f/l * ) γ/2 (y 1 y 2 ) 2 dy 1 dy 2 ψ(y 1 ) 2 ψ(y 2 ) 2 y 12 γ / [ y 2 dy ψ(y 2 )] 2 Dai cataloghi APM e SW, assumendo x(r)=(r o /r) g si ottiene un buon accordo con i dati dei conteggi per r o =(5.4+1)h -1 Mpc e γ=( ). Usando la x(r) si puo calcolare anche la fluttuazione quadratica media dei conteggi di galassie in una sfera di raggio r piazzata a caso. Si ottiene <(δn/n) 2 > = <N> -1 + r dv 1 dv 2 ξ(r 12 )/V 2 Per grandi scale il termine poissoniano <N> -1 e trascurabile, ed utilizzando la forma ξ(r)=(r o /r) γ si ottiene <(δn/n) 2 >=1.35(r o /r) γ/2 <(dn/n) 2 > vale 0.4 per r=20h -1 Mpc. Cioe spostando a caso una sfera di circa 30 Mpc di diametro non e difficile trovare zone molto sottodense δn/n=-1 (grandi vuoti) o molto sovradense δn/n=+1 (ammassi di galassie). Secondo questo modello, a scale molto piu grandi (es. 300 Mpc) l universo dovrebbe essere molto piu omogeneo: si trova infatti <(dn/n) 2 > < = 0.1 per r = 150Mpc. Peacock and Dodds (1994, MNRAS, 267, 1020) Purtroppo le survey di redshift con profondita maggiore non sono ancora disponibili. Pero abbiamo dei conteggi proiettati a diverse profondita. Oltre ad APM e SW ci sono: Distribuzione delle galassie di IRAS: campione selezionato in base al flusso limite. Sono stati misurati tutti i redshift. Contiene galassie fino a 300 Mpc; la maggior parte delle galassie e intorno a 150 Mpc. Se si contano le galassie in scatole cubiche di lato 40 Mpc, si trova che la fluttuazione percentuale dei conteggi e del 50%: δn/<n> = A questa scala quindi le fluttuazioni sono minori di quelle a scale piu piccole, dove avevamo visto fluttuazioni di densita delle galassie in corrispondenza di ammassi e di grandi vuoti dell ordine del 100% Galassie di IRAS www-astro.physics.ox.ac.uk/~wjs/pscz.html Saunders et al. 1991, Strauss et al

4 Distribuzione delle radio sorgenti piu brillanti a λ=6 cm (Gregory e Condon 1991). Sono in gran parte radiogalassie e quasar a distanze di migliaia di Mpc. (z=1 tipicamente) Sono quindi oggetti peculiari, estremamente piu brillanti delle galassie normali. Il campionamento e quindi molto profondo, ma anche molto sparso, e si perde il dettaglio fine della distribuzione delle galassie. La isotropia della distribuzione a larga scala e evidente. Radiosorgenti Distribuzione in proiezione polare delle posizioni di radio sorgenti intense a 6 cm Il polo nord celeste e al del cerchio. Il cerchio piu esterno corrisponde a una latitudine di X gradi. Distribuzione del fondo di radiazione X tra 2 e 20 kev. E prodotto da miriadi di sorgenti non risolte presenti lungo la linea di vista fino a distanze di migliaia di Mpc. (z=1 tipicamente) La isotropia della distribuzione a larga scala (a parte il piano della nostra Galassia) e evidente. La densita colonnare di materia che emette su box di 3 o x3 o e isotropa entro meglio del 3%. Per il fondo di radiazione a microonde che, vedremo, proviene ancora da piu lontano, l isotropia e migliore dello 0.01%. Fondi di radiazione Dall isotropia all omogeneita La tendenza ad una distribuzione sempre piu isotropa con l aumentare della profondita del campione c e. Questo e un segno di omogeneita. In realta potremmo costruire un modello di universo isotropo ma non omogeneo, a simmetria sferica, in cui c e un gradiente di densita radiale. Questo sarebbe compatibile con le osservazioni, ma richiederebbe che la nostra posizione nell universo fosse vicino al di simmetria. Un altro osservatore lontano dalla nostra posizione osserverebbe un universo molto anisotropo. Dal punto di vista filosofico post-copernicano questo modello e molto insoddisfacente. Dal punto di vista fisico la migliore evidenza contro questo modello e la stabilita di <(dn/n) 2 > per conteggi sempre piu profondi. Un modello alternativo E stato proposto un modello geometrico-frattale della distribuzione delle galassie, che spiega correttamente la distribuzione a scale < 100Mpc. Un insieme frattale e una distribuzione irregolare La geometria elementare descrive entita a dimensioni intere (linee, di dimensione 1, figure su un piano, di dimensione 2, solidi di dimensione 3 etc.) ma non puo descrivere oggetti irregolari, come ad es. i cristalli di neve, o le nuvole. Questi sistemi hanno un numero di componenti presenti entro una certa distanza che non scala come una potenza intera della distanza. Ad esempio il numero di goccioline d acqua in una nuvola non scala come il cubo del volume considerato, cioe come r 3, ma scala piuttosto come r 2.2. Si dice che la dimensione frattale della nuvola e 2.2. Un modello alternativo Il modello alternativo propone che le galassie siano distribuite nello spazio con una dimensione frattale D=1.23. Si puo dimostrare che a piccole scale il modello frattale e perfettamente equivalente ad un modello omogeneo con funzione di correlazione x(r)=(r o /r) g e γ=3-d. La differenza e a grandi scale. In un qualsiasi modello frattale la densita non e una costante valida a qualsiasi scala. La densita definita come numero di particelle in un volume V dipende dal volume, ed in generale diminuisce all aumentare del volume. Questo permette di fare un test. Per il modello omogeneo la densita dovrebbe rimanere costante all aumentare del volume, mentre per il modello frattale dovrebbe diminuire. Un modello alternativo Ci potremmo trovare in una situazione di questo genere, dove il cerchio rosso delimita l universo osservato: Modello frattale Modello omogeneo Per verificare il modello frattale occorre un campione molto piu ampio che non per il modello omogeneo 4

5 Nell ipotesi frattale la distribuzione delle galassie non e una distribuzione analitica. Concetti come la densita media dell universo e la funzione di correlazione perdono senso. L universo e fortemente inomogeneo, ma puo essere isotropo grazie all effetto di proiezione L universo e statisticamente lo stesso per diversi osservatori Per ora, le dimensioni del campione di galassie non sono sufficienti a discriminare tra i due modelli. Tutti i cataloghi profondi non sono angolarmente ampi, e tutti sono limitati in flusso, quindi alle piu grandi distanze selezionano solo le galassie intrinsecamente piu luminose. Il test sulle galassie si fara con i dati SDSS (redshift survey fino a 500 Mpc). Ma i dati della 2dF survey Non solo galassie Vedremo che in realta l universo non e fatto di sole galassie. La galassie visibili sono solo le punte degli Iceberg che formano l universo. La distribuzione della massa potrebbe essere diversa dalla distribuzione della luce, ed essere, in particolare, piu omogenea. Per ora, il modello frattale non e stato esteso in modo da spiegare queste cose, e nemmeno l evidente isotropia dei fondi di radiazione extragalattica (X e radio, che sono prodotti da sorgenti discrete non risolte, e a microonde, prodotto dal plasma primordiale). Sembra piuttosto improbabile che l elevatissima isotropia del fondo a microonde sia compatibile con la forte disomogeneita del modello frattale. Nel seguito assumeremo valido il Principio Cosmologico Principio Cosmologico L Universo e isotropo ed omogeneo a grandi scale (>100 Mpc) E un principio che permette di semplificare enormemente il modello di universo, definendo una densita media uguale ovunque, e funzione solo del tempo cosmico. Il principio e dimostrabile a partire dall isotropia e da considerazioni copernicane. Se, ad esempio, assumiamo che esistano due osservatori nell universo che osservano un universo isotropo, dimostriamo facilmente che l intero universo deve essere omogeneo. L isotropia intorno a B implica che C,D,E hanno la stessa densita. Ma allora tutto il volume tra le due sfere blu deve avere la stessa densita, perche formato da sfere che intersecano la sfera rossa. Aumentando il diametro delle sfere si arriva a dimostrare che tutto l universo e omogeneo. C B Isotropia ed omogenenita D E A Principio Copernicano Gli umani non sono osservatori privilegiati. Vediamo miliardi di galassie nelle quali si potrebbero formare le condizioni favorevoli per la vita e per avere osservatori simili a noi. Assumiamo che anche loro osservino un universo isotropo, e quindi che l Universo sia omogeneo. 5

6 Isotropia, omogeneita e legge di Hubble Ma le galassie non sembravano recedere tutte da noi? Questo sembrerebbe un esempio di universo con simmetria radiale, isotropo ma disomogeneo. Non e vero. La recessione delle galassie e ben compatibile con l isotropia e con l omogeneita. Consideriamo un osservatore che percepisca un universo isotropo. Non solo la densita deve essere solo funzione di r, ma anche non ci devono essere direzioni privilegiate per altre grandezze fisiche, come ad esempio la velocita. Isotropia e legge di Hubble Il campo della velocita v in generale e funzione della posizione v i =v i (x,y,z). Nell intorno dell osservatore potra essere decomposto in serie del tipo v=c+dr+.. dove C e un vettore costante (C=0 se noi siamo a riposo) e D e un tensore formato dalle derivate parziali dv i /dx j. D puo essere sempre scomposto in una parte antisimmetrica W, corrispondente alle rotazioni, piu una parte simmetrica S, detta tensore di shear: il vettore velocita al primo ordine puo essere scritto v= S r+w r. Isotropia e legge di Hubble v= S r+w r. Ma per rispettare l isotropia, W=0 (senno ci sarebbe una direzione privilegiata, quella attorno a cui si ruota) Inoltre le componenti principali di S devono essere uguali, senno si avrebbero di nuovo direzioni privilegiate, quelle ad esempio di maggiore velocita. Ne segue v= Η r dove H e una costante. Quindi il campo di velocita di Hubble (in espansione o contrazione) e l unico campo di velocita compatibile con l isotropia. Qualunque altro campo la violerebbe. Ad esempio un campo quadratico v=hr 2 non sarebbe compatibile. Omogeneita e legge di Hubble Il campo di Hubble e anche compatibile con l omogeneita, perche non abbiamo fatto nessuna ipotesi sulla posizione dell origine. Se supponiamo che valga per noi dr 1 /dt=hr 1 e anche dr 2 /dt=hr 2, allora anche d(r 1 -r 2 )/dt=h(r 1 -r 2 ), cioe il generico osservatore sulla galassia 2 vede una espansione di Hubble identica a quella che osserviamo noi. noi r 1 r 2 1 r 1 -r 2 2 Interpretazioni Ma perche osserviamo la legge di Hubble? L interpretazione piu banale e che l universo abbia una simmetria radiale, centrata sulla nostra Galassia, e che tutte le altre galassie si stiano davvero alluntanando da noi, e piu sono lontane piu velocemente si allontanano. Sarebbe un universo sistema ultra-tolemaico! E quale forza sarebbe responsabile di un tale comportamento? Noi Interpretazioni L interpretazione piu raffinata e che lo spazio stesso si stia espandendo in ogni punto in maniera uniforme, trascinando con se tutte le galassie. Questa ipotesi ha il vantaggio di non avere nessun dell espansione: tutti i punti sono equivalenti. E inoltre spiegherebbe la legge di Hubble, cioe l allontanamento piu veloce delle galassie piu lontane. Vediamo come. 6

7 Esempio del panettone che lievita. Il panettone prima della lievitazione ha un diametro di 20 cm; dopo 2 ore in forno ha un diametro di 40 cm. Indichiamo con una freccia la nostra uvetta di riferimento. L uvetta che inizialmente era a 5 cm dalla nostra, dopo 2 ore si trova a 10 cm dalla nostra. La sua velocita di allontanamento e di 2.5 cm/ora. L uvetta che inizialmente era a 10 cm dalla nostra, dopo 2 ore si trova a 20 cm dalla nostra. La sua velocita di allontanamento e di 5 cm/ora. Distanza doppia implica velocita doppia di allontanamento: la Legge di Hubble e conseguenza naturale di una espansione isotropa dello spazio. Avrei potuto scegliere un altra uvetta di riferimento! Densita e composizione dell universo Vedremo che il principio cosmologico ci permettera di scrivere le proprieta geometriche dell universo (metrica) in modo estremamente semplice. Avremo bisogno pero anche di una conoscenza piu precisa della composizione dell Universo. Cioe di che cosa contribuisce alla densita, oltre alle galassie di cui abbiamo parlato. In un universo in espansione, la densita e la velocita sono collegate. Utilizzeremo per ora un approccio Newtoniano, sulla cui validita ci sono molti dubbi. 7