Giuseppina Anatriello Matteo Allegro Calcolo con GeoGebra

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3 Giuseppina Anatriello Matteo Allegro Calcolo con GeoGebra

4 Copyright MMXIV ARACNE editrice int.le S.r.l. via Quarto Negroni, Ariccia (RM) (06) ISBN I diritti di traduzione, di memorizzazione elettronica, di riproduzione e di adattamento anche parziale, con qualsiasi mezzo, sono riservati per tutti i Paesi. Non sono assolutamente consentite le fotocopie senza il permesso scritto dell Editore. I edizione: settembre 2014

5 Indice Elenco delle figure 13 Introduzione 17 1 Calcolo geometrico Le strutture della geometria euclidea Struttura affine La semiretta come spazio di misura La retta polare come retta numerica Base Struttura metrica Modulo, forma quadratica e distanza Prodotto scalare e forma bilineare Coseno di un angolo Topologia naturale Punti interni, esterni e di frontiera Insiemi aperti e insiemi chiusi Connessi per archi e insiemi compatti Costruzioni con GeoGebra Costruzioni nel piano Trasporto del segmento Trasporto dell angolo Costruzione parallela Costruzione perpendicolare Somma di punti

6 6 Indice L opposto di un punto Suddivisione di un segmento Prodotto di punti Inverso Bisettrice dell angolo Prodotto per uno scalare Il coniugato Il prodotto tra due punti coniugati La radice quadrata Il Teorema di Pitagora Geometria analitica e Algebra lineare Lo spazio vettoriale (R 2, +, ) Prodotto scalare e modulo Il prodotto scalare con GeoGebra I numeri complessi Cambiamenti di coordinate Trasformazioni polari Coordinate polari con GeoGebra Le radici n-sime di un numero complesso Affinità Rappresentazione matriciale di un numero complesso La retta Condizione di parallelismo e di perpendicolarità Equazione cartesiana Esercizi con GeoGebra Numeri complessi Geometria analitica nel piano Lo spazio vettoriale (R 3, +, ) La retta Il piano: equazione parametrica Il modulo, il prodotto scalare Il prodotto vettoriale, il prodotto misto... 77

7 Indice Prodotto vettoriale con GeoGebra Equazione cartesiana del piano e della retta Equazioni parametriche e cartesiane con GeoGebra Trasformazioni dello spazio tridimensionale Coordinate cilindriche Coordinate sferiche Coordinate sferiche e cilindriche con GeoGebra Le matrici di rotazione Rotazioni nello spazio con GeoGebra Esercizi: rette e piani Spazi vettoriali euclidei Modulo, prodotto scalare Basi e indipendenza lineare n-uple di vettori e dipendenza lineare Base canonica di R n Sistemi lineari Sistemi lineari omogenei Procedimento di ortogonalizzazione Base ortogonale Determinante di un sistema di vettori Matrici Matrici con GeoGebra Applicazione: Teorema di Rouché-Capelli per i sistemi lineari Esercizi: sistemi lineari Curve Funzioni di una variabile Le funzioni numeriche reali La funzione inversa Funzioni monotone Risoluzione di problemi algebrici con strumenti analitici

8 8 Indice Disequazioni elementari e risoluzione Risoluzione grafica Disequazioni: risoluzione grafica Risoluzione algebrica Le simmetrie nel piano cartesiano Le simmetrie del piano con GeoGebra Le funzioni elementari Proprietà Proprietà delle funzioni potenza Grafici delle funzioni potenza con GeoGebra Proprietà delle funzioni esponenziali Proprietà funzioni logaritmo Esercizi: dalle diseguaglianze numeriche alla variazione di segno Diseguaglianze numeriche Variazione di segno Disequazioni Limiti di funzioni elementari Teorema delle operazioni tra limiti Teoremi di completamento al teorema delle operazioni tra limiti Teorema sui limiti delle funzioni composte di funzioni monotone Limiti notevoli Principi di eliminazione Esercizi sui limiti Calcolo differenziale Differenziale e retta tangente al grafico Esercizi: differenziale e retta tangente al grafico Formula di Taylor Esercizi sui limiti con Taylor Curve parametriche regolari

9 Indice Equazione parametrica della retta tangente alla curva Lunghezza di una curva Cambiamento di parametro Le curve negli spazi numerici Ascissa curvilinea Le curve con GeoGebra Coniche Coniche nel piano euclideo Coniche in un piano cartesiano Coniche e autovalori Equazioni in forma canonica Triedro fondamentale di Frenet Curve celebri Trisettrice di Ippia Cissoide di Diocle Concoide di Nicomede Spirale di Archimede Spirale logaritmica o equiangolare Rodonea Elica cilindrica Catenaria Curve di Bézier Superfici Funzioni di due variabili Esercizi: domini e variazione di segno Esercizi: limiti e continuità Esercizi: differenziabilità e piano tangente Esercizi: derivate parziali e direzionali Esercizi di riepilogo Formula di Taylor ed estremi relativi Esercizi: minimi e massimi relativi Superfici parametriche regolari Piano tangente

10 10 Indice Cambiamenti di parametri Superfici di rotazione Superfici rigate Superfici celebri Superfici sviluppabili Nastro di Möbius Quadriche Quadriche con GeoGebra Altre superfici notevoli Calcolo integrale Estensione del concetto di misura Misura secondo Peano-Jordan Integrazione Integrale esteso ad un intervallo Integrale definito Primitive e Formula fondamentale del calcolo Tabella di regole fondamentali Tabella di integrali immediati Tabella di integrali: altre funzioni elementari Integrali con GeoGebra Lunghezza di una curva Massa e baricentro di un filo Integrali curvilinei di campi vettoriali Integrale curvilineo di forme differenziali Forme differenziali esatte Teorema fondamentale del calcolo per forme differenziali esatte Forme differenziali chiuse Integrali doppi Formule di riduzione per integrali doppi su rettangoli Formule di riduzione per integrali doppi su domini normali e regolari Cambiamento di variabili

11 Indice Cambiamento di variabili in coordinate polari Esercizi Aree e integrali di superficie Massa e baricentro di una lamina superficiale Integrali tripli Massa, baricentro e momento di inerzia di un solido Versioni del TFCI Divergenza e Rotore Appendice 325 Bibliografia 327 Indice analitico 329

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13 Elenco delle figure 1.1 Operazioni Modulo del punto P Costruzione trasporto del segmento Costruzione trasporto dell angolo Parallela Perpendicolare Perpendicolare Somma di due punti Costruzione dell opposto di un punto Costruzione del sottomultiplo di un punto Prodotto di due punti Inverso Bisettrice di un angolo Coniugato di un punto Prodotto tra due punti coniugati Costruzione della radice di C Dimostrazione del Teorema di Pitagora Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio

14 14 Elenco delle figure 2.8 Esercizio Esercizio Matrice di rotazione di angolo θ intorno all asse determinato dal versore (λ 1, λ 2, λ 3 ) Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Vista CAS di calcolo determinante in esercizio Vista CAS matrice ridotta in esercizio Vista CAS per soluzione esercizio Vista CAS per soluzione esercizio Visualizzazione dell inversa Visualizzazione Potenza 0 < α < Potenza α > Potenza α < Confronto grafici funzioni potenza α > Funzione potenza Esponenziale a > Esponenziale 0 < a < Confronto grafici funzioni esponenziale a > Funzione logaritmo a > Funzione logaritmo 0 < a < Confronto grafici funzioni logaritmo Risoluzione (3.5) in esercizio Risoluzione di (3.6) in esercizio Risoluzione di (3.7) in esercizio Rappresentazione nel piano cartesiano di (3.8) Variazione di segno sulla retta numerica di (3.8) Rappresentazione grafica del numeratore di (3.10) Rappresentazione grafica del denominatore di (3.10) Visualizzazione soluzione di (3.10) VS numeratore di (3.11) in esercizio

15 Elenco delle figure VS denominatore di (3.11) in esercizio VS di (3.11) in esercizio VS numeratore di (3.12) in esercizio VS denominatore di (3.12) in esercizio VS di (3.12) in esercizio Risultato finale VS di (3.12) in esercizio Soluzione con CAS di limite di (3.14) Soluzione dell esercizio Soluzione dell esercizio Soluzione dell esercizio Visualizzazione in 2D Visualizzazione in 3D Sezione conica parabola Sezione conica ellisse Sezione conica iperbole Iperbole Triedro di Frenet Algebra di Figura Trisettrice di Ippia Cissoide Concoide Spirale Archimedea Spirale Logaritmica Rodonea Elica Cilindrica Catenaria Curva di Bézier Rappresentazione grafico log 2 (xy 1) Rappresentazione VS log 2 (xy 1) Soluzione e rappresentazione Soluzione e rappresentazione Soluzione e rappresentazione Soluzione e rappresentazione Soluzione e rappresentazione

16 16 Elenco delle figure 4.8 Soluzione e rappresentazione Superficie regolare con curve tracciate Ellissoide Paraboloide ellittico: Cono Cilindro Catenoide Interpretazione geometrica integrale Interpretazione geometrica integrale curvilineo Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Cammino in 3D Integrazione su domini rettangolari Area compresa tra due grafici Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio

17 Introduzione I testi universitari moderni di Calcolo cercano di trovare un equilibrio tra rigore e intuizione, e in questo tentativo vi sono esempi autorevoli che utilizzano come supporto alla teoria tradizionale software di calcolo e di rappresentazione in 3D (vedi Calculus: A Complete Course di R.A. Adams, C. Essex, Pearson Education Canada, 2014, Càlcul per a l Arquitectura di C. Alsina, Edicions UPC, Barcelona 2008, Geometria a l Arquitectura di C. Alsina, J.J. Morale, M.S.T. Belenguer, Edicions UPC, Barcelona 2007, Calculus, Concepts and Contexts di J. Stewart, Brooks/Cole Cengage Learning, Belmont (CA) 2001). Tale esigenza è sicuramente maggiormente sentita nei corsi di Matematica per Architettura. Al momento GeoGebra (da Geometria e Algebra) è uno dei più innovativi open-code math software che può essere liberamente scaricato da GeoGebra è uno strumento che offre ottime possibilità di sintesi tra un approccio rigoroso al Calcolo e uno più intuitivo, lavora su un largo spettro di piattaforme di sistemi operativi che hanno installato Java, consente di utilizzare in simultanea le funzioni computer algebra system e interactive geometric system, e rappresenta una rapida inizializzazione per avvicinarsi all utilizzo di tecnologie più sofisticate con sintassi molto più complesse. In questo volume si sviluppano la teoria geometrica e analitica necessarie per l utilizzo del software (teoria tratta da Fondamenti geometrici per la Matematica di G. Anatriello, Aracne 2014, Fondamenti di Analisi matematica di G. Anatriello, Aracne 2014, Fondamenti geometrici per il Calcolo di G. Anatriello, Aracne 2014) e 17

18 18 Introduzione la parte applicativa, attraverso una diversificata gamma di esercizi di base risolti anche con l utilizzo di GeoGebra. Il capitolo 1 è dedicato al calcolo geometrico sviluppato nei sopra citati volumi Fondamenti geometrici per la Matematica e Fondamenti geometrici per il Calcolo. Il capitolo 2 è dedicato alla geometria analitica e all algebra lineare, il capitolo 3 alle curve, il capitolo 4 alle superfici, il capitolo 5 al calcolo integrale. Settembre 2014 Giuseppina Anatriello