APPUNTI del CORSO di FISICA MODERNA per specializzandi SSIS

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1 APPUNTI del CORSO di FISICA MODERNA per specializzandi SSIS Prima parte Relatiità speciale e fondazione della meccanica quantistica Fine del secolo diciannoesimo ed inizio del entesimo secolo: si eidenzia la necessità di superare rappresentazioni e modelli siluppati e messi alla proa fino a quel tempo e di giungere ad una nuoa isione dell unierso fisico, come richiesto dall insorgenza di dati sperimentali difficilmente interpretabili e di insolubili disaccordi logici fra teorie di ario genere Protagonisti principali: M Planck (prima teoria consistente sulla natura quantistica degli scambi energetici fra atomi e radiazione elettromagnetica); A Einstein (formidabili contributi in pressoché ogni campo della fisica del tempo, critica radicale dei postulati di relatiità classica introdotti da Galileo e Newton due secoli prima, risoluzione dei grai problemi che apparentemente riguardaano la formulazione dell elettromagnetismo classico fornita da Maxwell nei fenomeni di fotoemessione ); L De Broglie (introduzione del concetto dualistico onda-particella); W Heisenberg (generalizzazione degli aspetti di indeterminismo ondulatorio alla meccanica) Molti fisici sperimentali (Millikan, Daisson, Germer, Thompson, ) Lezione 9 febbraio 000 Relatiità speciale Superamento della relatiità classica Si dee richiamare il significato operatio di relatiità, oero lo studio di fenomeni fisici (ossia dare forma e sostanza a leggi fisiche) da parte di osseratori (reali o non) in differenti sistemi di riferimento Sono necessarie leggi di trasformazione per le coordinate rileanti alla descrizione del fenomeno fisico espresse in diersi riferimenti Si affronta lo studio delle trasformazioni che conducono all inarianza (coarianza) delle leggi della dinamica di Newton Di centrale importanza è l osseratore inerziale, secondo il quale un corpo che non subisce l azione netta di una forza si muoe di moto rettilineo uniforme Tutti i riferimenti inerziali si troano in condizioni di moto relatio rettilineo uniforme e per tali riferimenti le leggi della meccanica di Newton sono alide ed esprimibili allo stesso modo Le leggi di trasformazione corrispondenti sono quelle di Galileo: non comportano accelerazioni fittizie (non inerziali) nelle trasformazioni delle coordinate Per una singola coordinata la trasformazione di Galileo è del tipo x =x ut, per cui = u ed a =a Si postula inoltre che il tempo è assoluto in una trasformazione classica, t =t Altri leggi fisiche soddisfano al principio di relatiità classica? Conducono ad un inarianza della forma della legge (coarianza) in seguito ad una trasformazione di Galileo? Si ripercorre lo studio condotto nel XIX secolo da Maxwell sulla natura della radiazione, che conduce alla descrizione della luce ed alla definizione della sua elocità nel uoto, c=99,79,458 m/s Si considera un raggio luminoso emesso da un sistema di riferimento che si aicina ad un altro osseratore: quest ultimo, secondo le trasformazioni di Galileo, dee rileare un segnale che si propaga nella sua direzione a elocità c aumentata della elocità relatia tra i due riferimenti Viene postulata l esistenza di un mezzo (l etere) nel quale la luce propaga con elocità c, rileabile sperimentalmente misurando la elocità della luce in condizioni relatie di moto differenti e legate da trasformazioni di Galileo Relatiità speciale -

2 Analogia: la luce è sostituita da una barca che ha elocità c rispetto l acqua nella quale naiga ( etere ) Moto parallelo alla corrente: la barca si muoe rispetto alla corrente con elocità ±c e rispetto al suolo con elocità ±c; tempo per il tragitto di andata e ritorno AB-BC L L L t par = + = c + c c A C +c c B B B Moto perpendicolare alla corrente: la barca, che mantiene elocità c rispetto l acqua, per contrastare la corrente erso destra e raggiungere il punto B dee deiare erso sinistra facendo rotta erso il punto B Velocità efficace ridotta a (c ) / Lo stesso discorso ale per il C A C tragitto di ritorno, nel quale la barca dee deiare erso il punto C per raggiungere il punto C Velocità efficace come nell andata, tempo totale t perp = L L = c c E stato effettuato un esperimento dedicato alla rileazione del mezzo di propagazione della luce (l etere) ed all indiiduazione di un sistema di riferimento priilegiato nel quale la luce stessa ha elocità c Michelson e Morley (887) realizzano un attraersamento di corrente per un raggio di luce La corrente è quella dell etere causata dal moto orbitale della terra attorno al sole Una misura diretta della elocità relatia terra/etere e determinazione del sistema di riferimento priilegiato nel quale la luce propaga con elocità c dorebbe quindi essere possibile L idea è quella di ottenere con precisione molto eleata eentuali differenze di tempi di percorrenza della luce nei due percorsi A tale scopo, una rotazione dell apparato di 90 esclude che le ariazioni di percorso siano imputabili alle differenze delle lunghezze fisiche dei due bracci perpendicolari dell apparato La luce impiega gli stessi tempi a percorrere i due bracci oero non è possibile determinare tramite misure di interferometria la elocità relatia della terra nell etere M La era risposta è da collocarsi in un apparato teorico completamente nuoo che intacca i fondamenti logici e di sostanza della meccanica classica Relatiità speciale: i postulati di Einstein e le loro conseguenze (a) Le leggi della fisica sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento inerziale; (b) La elocità della luce nel uoto è la stessa in tutti i sistemi di riferimento inerziali Le conseguenze di (b) sono al di fuori del senso comune, ma (b) è richiesto per conciliare il primo postulato con le leggi dell elettromagnetismo e con i risultati dell esperimento di Michelson e Morley: la luce si propaga sempre con elocità c sia quando è parallela al moto relatio della terra, sia quando si propaga perpendicolarmente ad esso S R M M 3 Relatiità speciale -

3 Possiamo eliminare l etere: non è possibile pensare ad un riferimento priilegiato nel quale la luce ha elocità c: essa ha questa elocità in tutti i riferimenti inerziali Si parla di relatiità speciale o ristretta : la teoria è applicabile solamente alle trasformazioni che connettono sistemi di riferimento inerziali Einstein nel 96 pubblica una teoria di relatiità generale che affronta i casi di riferimenti non inerziali, e che dunque chiama esplicitamente in causa l azione del campo graitazionale Relatiità del tempo L 0 O Orologio a luce osserato in riferimenti inerziali diersi: S R tempo ( click ) di O : τ 0 =L 0 /c tempo τ di O (rispetto cui O iaggia erso destra con elocità ) calcolato in base al percorso allungato del raggio di luce percorso con elocità c dato da L=[(L 0 ) +(τ/) ] / Dunque τ=l/c Si ricaa τ τ 0 = E una dilatazione temporale (misura di O del tempo dilatata rispetto O che assegna il suo tempo proprio τ 0 ) Relatiità reciproca : un orologio in O con tempo proprio τ 0 è isto da O con tempo dilatato secondo la relazione sopra scritta Relatiità della lunghezza S R S R S R O Orologio a luce parallelo alla direzione di moto relatio fra O ed O Per O (rispetto il quale l orologio solidale con O iaggia erso destra con elocità ) la luce raggiunge lo specchio nel tempo τ, cτ =L+ τ ; la luce torna al rielatore nel tempo τ, cτ =L τ Dunque il tempo totale per O è dato da L L L τ = τ + τ = + = c c + c Per la dilatazione temporale è anche τ 0 L0 τ = = ; sostituendo si ottiene c τ L 0 τ L = L0 E una contrazione della lunghezza (misura di O della lunghezza contratta rispetto O che assegna una sua lunghezza propria L 0 ) Relatiità speciale - 3

4 Esempio: decadimento di particelle elementari (muoni) nell atmosfera terrestre I muoni hanno ita (tempo proprio) τ 0 = µs Viaggiano attraerso l atmosfera con elocità tale che /c= Rispetto l osseratore terrestre il tempo si dilata al alore τ=330 µs Questo corrisponde al tempo richiesto per percorrere una distanza di circa 00 km Per il muone la distanza è contratta al alore L 0 =660 m, che percorre nel suo tempo di ita Notare la connessione indissolubile fra dilatazione del tempo e contrazione delle lunghezze Composizione relatiistica delle elocità Si considera un proiettile lanciato con elocità da un riferimento O che si muoe con elocità u rispetto O La misura della elocità del proiettile per O è classicamente +u Se il proiettile ha elocità c la composizione classica non può essere alida per i postulati di relatiità di Einstein, in quanto il proiettile (luce) dee aere elocità c rispetto tutti i riferimenti inerziali Studio del moto di un oggetto con elocità rispetto O rielato da un orologio a luce: rispetto O si rilea il segnale luminoso innescato c dall arrio del proiettile all estremo di destra dopo il L0 L0 tempo τ O' = + L osseratore O ede il proiettile L ' c 0 raggiungere l estremo dopo un tempo L/( u) e il segnale ottico richiede un tempo L/(c+u), per cui il tempo per O è O c dato da L L τ O = + u u c + u L Si utilizzano ora le relazioni di dilatazione temporale e contrazione delle lunghezze (per porre in relazione τ O, τ O τo' e L 0, L secondo le τo = e L = L0 Eliminando tempi e lunghezze dalle quattro relazioni disponibili si arria alla relazione che lega, ed u: ' + u = u' + c Notare bene: la trasformazione si riduce alla legge classica di relatiità per elocità molto minori di c; la elocità trasformata non può mai essere maggiore di c; se il proiettile ha elocità c nel riferimento O, la relazione stabilisce che esso ha elocità c anche nel riferimento O Sincronizzazione degli orologi e simultaneità degli eenti spazio-temporali O Sincronizzazione di due orologi secondo il riferimento O La sincronizzazione, douta all arrio simultaneo del segnale ottico ai due rileatori nei tempi t = t =L/c cessa di essere tale in un riferimento in moto uniforme con elocità u erso destra Per tale Relatiità speciale - 4 L/ L/ u

5 riferimento il segnale giunge a destra () nel tempo t tale che ct =L / ut, ed a sinistra () nel tempo t tale che ct =L /+ut, doe si sono introdotte le lughezze contratte L di O rispetto le lunghezze proprie L di O Si ottiene che L t' t' = Si noti che gli eenti ai rielatori sono ora interallati di una quantità che è funzione, oltre che della elocità relatia tra O ed O, anche della distanza propria che separa gli eenti stessi Non si tratta di dilatazione temporale: entrambe gli orologi scandiscono tempi diersi, e diersi tra di loro E dunque impossibile (senza significato fisico alcuno) definire un adesso per eenti separati spazialmente in un dato riferimento inerziale 3 Trasformazioni di Lorentz: apparato matematico per la relatiità speciale Si parte dalla necessità di disporre di nuoe trasformazioni rispetto quelle di Galileo Proprietà richieste: linearità (omogeneità spazio/tempo); consistenza con i postulati di Einstein; equialenza con le trasformazioni di Galileo per basse elocità Per un moto relatio lungo la direzione di moto x a elocità u le trasformazioni sono x ut t' ux / c x' =, y = y', z = z', t = Notare il mescolamento di coordinate spaziali e temporali Contrazione delle lunghezze a partire dalle trasformazioni di Lorentz Misura di L da O, L=x x come acquisizione u simultanea delle distanze Questo può essere realizzato tramite emissione di segnali luminosi O O L 0 in O e recepiti simultaneamente da O Applicando le trasformazioni di Lorentz nella xi uti forma xi ' =, i =,, si ottiene subito che, per t =t (simultaneità) ale x x x x x' x' =, oero la contrazione di lunghezza nel riferimento O rispetto la lunghezza propria di O già ottenuta in base ai postulati di Einstein Notare bene: la simultaneità temporale degli eenti collocati in dierse posizioni spaziali non è permessa in entrambe i riferimenti, come già sottolineato in base ai postulati di relatiità Si ribadisce che l affermazione del senso comune ORA, in questo tempo, ha senso solo relatio, ossia non può essere definita in maniera assoluta Ciò che è simultaneo in un riferimento può benissimo non esserlo in un altro Relatiità speciale - 5

6 Trasformazioni di Lorentz come estensione delle trasformazioni di Galileo, combinazioni lineari di coordinate Ora il tempo non è assoluto e si mescola con le coordinate spaziali Ricerca di inarianti nelle trasformazioni di Lorentz: l interallo spazio-tempo, analogia con la distanza euclidea, x + y + z = d, x + y + z c t = s Notazione quadriettoriale, prodotti scalari, spazio di Minkowskii: la nuoa metrica non euclidea 4 Dinamica relatiistica La relatiità speciale richiede una nuoa lettura dei concetti cinematici fondamentali e della logica applicatia Quali le conseguenze sui concetti della dinamica? Sono ancora operatiamente significatie le grandezze quantità di moto ed energia cinetica? I principi di conserazione corrispondenti sono ancora alidi? La legge della dinamica di Newton preede che una forza costante conduca ad un aumento illimitato della elocità Come conciliare questo punto con i postulati di Einstein? Urto elastico in due dimensioni Nel sistema O l urto conduce alla conserazione del momento della quantità di moto, p=cost Nel sistema O, con una delle particelle in quiete prima della collisione, si applicano le trasformazioni relatiistiche di elocità per scoprire che, in questo riferimento, la quantità di moto non si consera e dunque non soddisfa il I postulato di Einstein Si introduce una nuoa definizione di momento che sia in accordo con i postulati di Einstein e che si riduca, per basse elocità, alla definizione classica La soluzione è porre m p = Si erifica anche che nel sistema O la conserazione dell energia cinetica non è realizzata ed inoltre conduce, secondo la sua definizione classica T=m /, a elocità tendenti all infinito in presenza di forze costanti (teorema laoro/energia) Utilizzando la nuoa definizione di momento e questo teorema si ottiene la nuoa definizione di energia cinetica: y - x = u y y x x y x T mc = mc / c Questa si riduce all espressione classica per piccole elocità Si scrie inoltre T=E E 0, nella quale E 0 =mc è l energia a riposo mentre E è l energia totale relatiistica, costante per un sistema isolato di particelle Aspetti energetici noteoli: conersione energia cinetica/energia a riposo in fenomeni di reazione di ario genere La massa relatiistica è m( /c ) /, ed m è detta massa a riposo Si ossera che per elocità crescenti la massa aumenta in modo che la elocità tende a c e non ad infinto Relatiità speciale - 6

7 Scritture utili nelle applicazioni energetiche relatiistiche: mc m 4 Dalle E =, p = si ricaa E p c = m c, oero E = ( pc) + E0 Si parla di approssimazione relatiistica estrema per pc>>e 0, dunque E pc Per E 0 =0 è E=pc che è soddisfatta solo per =c (particelle con massa a riposo nulla) Rappresentazioni quadriettoriali Vi sono analogie importanti fra i 4-ettori spazio tempo (r,ct) e momento-energia (p,e/c), soprattutto nella scrittura delle corrispondenti trasformazioni di Lorentz Qualche numero per capire meglio Calcolo del momento di un protone con elocità =08c Massa del protone M= kg Si applica direttamente la p = m che fornisce p= kg m/s La notazione adottata tecnicamente è diersa e chiama in causa l energia a riposo della particella Nel caso del protone Mc = J, oero, essendo J= ev, Mc = ev=938 MeV E anche possibile dunque misurare la massa in unità di energia/c, per cui M=983 MeV/c Per quanto riguarda il momento si può scriere che pc = mc, ossia esprimere il momento in unità di energia/c Nel caso del protone con /c=08 risulta subito pc=4mc /3=50 MeV, dunque p=50 MeV/c Calcoliamo anche l energia cinetica e totale per questa particella: dalla E = ( pc) + E0, con pc=50mev ed E 0 =938MeV risulta E=[(50) +(938) ] / MeV =536 MeV e T=E E 0 =64 MeV Calcolo di e p per un elettrone (m=05 MeV/c ) con energia cinetica T=0 MeV E=T+E 0 =05 MeV, e pc = E E = 0 5 MeV, per cui p=05 MeV/c Dalla m pc p = si ottiene = = ( pc) + m c Calcolo di /c per elettroni accelerati a 50 GeV di energia cinetica 0 Dalla definizione T / mc = si ricaa = ( + T / mc ) ( + T / mc ) = 5 0 La elocità dell elettrone differisce da quella della luce di 5 cm/s Relatiità speciale - 7

8 Il paradosso dei gemelli Vale la pena fare delle osserazioni generali sui gedanken experiment di Einstein Si immagina il iaggio ad alta elocità (es 08c) di una persona su un pianeta distante (es 0 anni luce) dalla terra e ritorno Un fratello gemello lo attende ed al ritorno è più ecchio del fratello che ha iaggiato, perché quest ultimo si è mosso rapidamente ed il tempo relatio ad esso è scorso più lentamente Però lo stesso può essere detto dalla persona iaggiante, che ede il fratello a terra allontanarsi rapidamente Inecchiano in modo dierso? No, non c è paradosso: il fratello iaggiante per tornare dee cambiare sistema di riferimento, subisce forze ed è distinguibile (non semplicemente relatio ) dal fratello a terra, che effettiamente inecchia di più Con i dati proposti si ricaa che la persona a terra attende per 50 anni il ritorno del fratello, il quale ede inece un percorso contratto di lunghezza pari a solo anni luce (andata o ritorno) Con la sua elocità impiega (tempo proprio) 30 anni a tornare sulla terra 5 ESERCIZI a Una naicella spaziale si allontana con elocità =08c dalla terra Ad un dato istante spara un missile parallelo alla sua direzione di moto La elocità del missile relatia alla naicella è 06c Qual è la elocità del missile relatia alla terra? b Alla distanza pari al raggio dell orbita della terra attorno al sole (5 0 m), la radiazione solare ha un flusso energetico pari a W/m Calcolare la rapidità con la quale la massa del sole diminuisce Per quanto tempo durerà ancora il sole, se la sua massa è di 0 30 kg? c Ottenere i alori numerici per il paradosso dei gemelli nel caso in cui il iaggio è percorso a elocità 06c e la distanza tra la terra ed il pianeta destinazione è pari a anni luce d A quale elocità dee muoersi un oggetto perché la sua lunghezza appaia dimezzata rispetto quella propria? e La ita propria di una particella è 00 ns Quanto a lungo ie nel riferimento del laboratorio se si muoe alla elocità 096c? Che distanza percorre nel laboratorio durante la sua ita? Che distanza percorre durante la sua ita secondo un osseratore solidale con essa? Letture consigliate: L eredità di Einstein J Schwinger NCS7 Zanichelli La relatiità e il senso comune H Bondi Zanichelli Le aenture di Mr Tompkins G Gamow Ed Dedalo La fisica di Feynman Vol I Feynman, Leighton, Sands Relatiità speciale - 8