Elementi di logica. Proposizioni e operazioni. 1 a. Tre moltiplicato quattro fa dodici è una proposizione vera. sempi. sempi

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1 Elementi di logica Proposizioni e operazioni La logica insegna a ragionare in modo corretto ed è alla base di qualsiasi costruzione matematica. Essa infatti stabilisce le regole deduttive mediante le quali, partendo da premesse supposte vere, si perviene a conclusioni anch esse vere. In questi primi paragrafi ci limitiamo a introdurre i concetti di proposizione, congiunzione, disgiunzione, implicazione, doppia implicazione. In logica, si dice proposizione un affermazione che può essere riconosciuta come vera o falsa. sempi a. Tre moltiplicato quattro fa dodici è una proposizione vera. b. I triangoli hanno quattro lati è una proposizione falsa. c. Qual è il triplo di 5? non è una proposizione: si tratta di una frase interrogativa, della quale non ha senso decidere la verità o la falsità. d. Tutti gli italiani hanno letto i Promessi Sposi di A. Manzoni è una proposizione, anche se non è facile riconoscerne la verità o la falsità: per decidere infatti bisognerebbe intervistare tutti gli italiani. Come si capisce, le proposizioni sono moltissime: si può dire che la nostra conoscenza è un enorme catalogo di proposizioni, accanto a ciascuna delle quali abbiamo prima o poi aggiunto la parola vera o falsa. L attribuire l etichetta di vera o falsa a una proposizione è spesso un lavoro impegnativo: in matematica è quello che si chiama dimostrazione. Se la proposizione p è vera associamo a essa il valore, mentre se è falsa associamo il valore 0. Detto V(p) il valore associato alla proposizione p, si ha: 2 3 sempi V(p) = 0 se se p p è vera è falsa La proposizione: p = Tutti i numeri divisibili per 4 sono divisibili per 2 è vera, quindi V( p) =. La proposizione: q = Un triangolo ha quattro lati è falsa, quindi V(q) = 0. Indichiamo con le lettere p, q, r alcune proposizioni e proviamo a costruirne altre mediante operazioni, comuni anche nel linguaggio ordinario. 200 RCS Libri S.p.A., ETAS - L. Lamberti, L. Mereu, A. Nanni - Corso di Matematica - Edizione mista

2 La negazione NOT A ogni proposizione possiamo far corrispondere la proposizione opposta. Per e, se consideriamo la proposizione p = Mario possiede una automobile la negazione di p è la proposizione q = Mario non possiede l automobile Così alla proposizione p = Tutti gli italiani parlano italiano facciamo corrispondere la proposizione q = Non tutti gli italiani parlano italiano che può anche essere scritta come q = Esiste almeno un italiano che non parla italiano Si noti che negare p non significa sostenere che Nessun italiano parla italiano e nemmeno che Tutti gli italiani non parlano italiano. Analogamente, ricordato che un numero naturale si dice primo se è divisibile solo per se stesso e per, l opposta della proposizione r = Il numero x è primo è Il numero x non è primo ovvero Il numero x è divisibile per qualche numero naturale oltre se stesso e L opposta di una proposizione p si indica con p oppure NOT p oppure p e si hanno le seguenti tabelle di verità, che esprimono il fatto evidente che se la proposizione p è vera la sua opposta è falsa e viceversa: p vera falsa p falsa vera V( p) V(p) Alla proposizione p = Tutti i rettangoli hanno due diagonali corrisponde la proposizione opposta p = Non tutti i rettangoli hanno due diagonali ovvero p = Esiste almeno un rettangolo che non ha due diagonali Ovviamente, p è vera, mentre p è falsa RCS Libri S.p.A., ETAS - L. Lamberti, L. Mereu, A. Nanni - Corso di Matematica - Edizione mista

3 La congiunzione AND La seconda operazione è quella detta di congiunzione: così, dalle due proposizioni vere p = La rosa è un fiore q = La rosa profuma tutti riconosciamo la verità della proposizione r = La rosa è un fiore e profuma In termini più formali, la proposizione congiunzione di p e q si indica con p q ovvero p AND q e le si attribuisce l etichetta vera se p e q sono entrambe vere mentre le si attribuisce l etichetta falsa se almeno una delle due è falsa; si hanno le seguenti tabelle di verità: p q p q vera vera vera vera falsa falsa falsa vera falsa falsa falsa falsa V( p) V(q) V(p q) sempi 5 6 Dalle due proposizioni entrambe vere p = Il quadrato ha quattro angoli retti q = Il quadrato ha due diagonali uguali si ricava mediante la congiunzione la proposizione p q = Il quadrato ha quattro angoli retti e le diagonali uguali anch essa vera. Siano: p = 3 è un divisore di 2 q = 4 è un divisore di 6 r = 3 è un divisore di 4 s = 5 è un divisore di 6 si ha: p q vera, perché p e q sono entrambe vere p r falsa, perché p è vera e r è falsa r s falsa, perché r e s sono entrambe false La disgiunzione inclusiva OR La terza operazione fondamentale è quella di disgiunzione inclusiva: così dalle due proposizioni, poste per e all ingresso di un circolo sportivo p = Possono entrare gli iscritti al circolo q = Possono entrare gli atleti che partecipano a una gara segue, per disgiunzione la proposizione Può entrare chiunque sia iscritto al circolo o partecipi a una gara RCS Libri S.p.A., ETAS - L. Lamberti, L. Mereu, A. Nanni - Corso di Matematica - Edizione mista

4 La proposizione ottenuta per disgiunzione tra p e q si indica con: p q ovvero p OR q e le si attribuisce l etichetta vera se almeno una delle due è vera, mentre le si attribuisce l etichetta falsa se p e q sono entrambe false. Le tabelle di verità di p q sono quindi: p q p q vera vera vera vera falsa vera falsa vera vera falsa falsa falsa V( p) V(q) V(p q) Siano: p = 8 è un numero pari q = 7 è un numero primo r = 4 è un numero dispari s = 4 è multiplo di 3 Le proposizioni p q = 8 è un numero pari o 7 è un numero primo p r = 8 è un numero pari o 4 è un numero dispari q r = 7 è un numero primo o 4 è un numero dispari sono vere, in quanto almeno una delle due proposizioni è vera, mentre la proposizione r s = 4 è un numero dispari o è multiplo di 3 è falsa, perché entrambe le proposizioni sono false. La disgiunzione esclusiva XOR La quarta operazione fondamentale è quella detta di disgiunzione esclusiva. Siano p e q le proposizioni p = p è positivo q = q è positivo La proposizione r = Il prodotto p q è negativo è vera se p è falsa e q è vera ovvero se p è vera e q è falsa, e corrisponde alla disgiunzione esclusiva di p e q. La disgiunzione esclusiva tra due proposizioni p e q viene indicata con p. q ovvero p XOR q e le viene attribuita l etichetta vera se p è falsa e q è vera ovvero se p è vera e q è falsa, mentre le viene attribuita l etichetta falsa se p e q sono entrambe vere o entrambe false RCS Libri S.p.A., ETAS - L. Lamberti, L. Mereu, A. Nanni - Corso di Matematica - Edizione mista

5 Le tabelle di verità di p. q sono quindi: p q p q vera vera falsa vera falsa vera falsa vera vera falsa falsa falsa V( p) V(q) V(p q) La disgiunzione XOR si traduce in o p o q, dove la o ha il significato di escludere una delle due preposizioni. 8 Sia: p = x è un numero intero minore di 0 q = x è un numero intero multiplo di 5 Poiché le due eventualità si escludono a vicenda, la proposizione p. q = x è un numero intero o minore di 0 o multiplo di 5 è falsa se sono entrambe false, vera se solo una delle due è vera. Osservazione Il connettivo logico o può quindi assumere due forme: la forma inclusiva, corrispondente all operazione OR, quando si accetta che la proposizione p q sia vera anche quando entrambe le proposizioni p e q sono vere (per e nelle proposizioni x è un numero intero maggiore di 0 o multiplo di 5 oppure Mario indossa l impermeabile o porta l ombrello ); la forma esclusiva, corrispondente all operazione XOR, quando si esclude che le due proposizioni possano essere entrambe vere (per e nelle proposizioni il recinto ha forma o circolare o rettangolare oppure A teatro sono seduto o nella platea o nella galleria ). In latino si usano due particelle diverse: vel per la forma inclusiva, aut per la forma esclusiva. Espressioni con i connettivi logici Le operazioni NOT, AND, OR, XOR possono essere usate per costruire proposizioni complesse a partire da due o più proposizioni semplici. Così si potrà per e considerare: p p o anche p p Facendo uso delle parentesi si potranno considerare espressioni quali: p (q r) p (q r) ecc. Per ciascuna di esse si potrà costruire la tabella di verità, composta da tante colonne quante sono le proposizioni che intervengono nell espressione e da una colonna finale relativa alla espressione stessa. La tabella conterrà due sole righe se nell espressione è coinvolta una sola proposizione, quattro se ne sono coinvolte due, otto se ne sono coinvolte tre e così via, raddoppiando RCS Libri S.p.A., ETAS - L. Lamberti, L. Mereu, A. Nanni - Corso di Matematica - Edizione mista

6 Per e, la tabella di verità per p (q r) è la seguente: p q r q r p (q r) vera vera vera vera vera vera vera falsa vera vera vera falsa vera vera vera vera falsa falsa falsa falsa falsa vera vera vera falsa falsa vera falsa vera falsa falsa falsa vera vera falsa falsa falsa falsa falsa falsa È naturale dichiarare che due espressioni sono uguali se le tabelle di verità costruite su di esse sono uguali. Così l espressione p e l espressione p ( p p) sono uguali, come si vede dalla tabella: p p p p p ( p p) vera falsa falsa vera falsa vera falsa falsa Si noti che, come nell ordinario calcolo algebrico, l uso delle parentesi è fondamentale nel senso che, trascurandole, si può incorrere in equivoci. Infatti se, in luogo di p ( p p) considerassimo ( p p) p avremmo la tabella di verità riportata a fianco, diversa dalla precedente, e quindi un espressione diversa. La scrittura senza parentesi: p p p è un espressione ambigua. p p ( p p) p vera falsa falsa falsa vera falsa Proprietà dei connettivi AND e OR Le operazioni AND e OR, di congiunzione e disgiunzione, godono di importanti proprietà, riassunte nella seguente tabella. Proprietà commutativa p q = q p p q = q p Proprietà distributiva p (q r) = (p q) ( p r) p (q r) = (p q) (p r) Proprietà di assorbimento p (p q) = p p ( p q) = p Proprietà associativa p (q r) = ( p q) r p (q r) = ( p q) r Proprietà di idempotenza p p = p p p = p Leggi di De Morgan p q = p q p q = p q RCS Libri S.p.A., ETAS - L. Lamberti, L. Mereu, A. Nanni - Corso di Matematica - Edizione mista

7 9 Consideriamo le due proposizioni: p = Il rombo è un triangolo q = L area del rombo è il quadrato del lato Si ha: p q = Non è vero che il rombo sia un triangolo o che la sua area sia il quadrato del lato che è equivalente alla proposizione: p q = Il rombo non è un triangolo e la sua area non è il quadrato del lato Per dimostrare le proprietà enunciate basta costruire le tavole di verità delle espressioni che si trovano nei due membri dell uguaglianza e verificare che sono uguali. Verifichiamolo per una delle due proprietà di assorbimento (tabella a fianco). V( p) V(q) V(p q) V(p ( p q)) Si osserva subito che le due colonne corrispondenti alle proposizioni p e p (p q) sono uguali. 2 L algebra dei sottoinsiemi Siano X un insieme e A, B, C, alcuni suoi sottoinsiemi. Esiste un importante analogia tra le operazioni insiemistiche e quelle introdotte precedentemente nel cosiddetto calcolo delle proposizioni. Indicando con x un qualunque elemento di X, se chiamiamo p la proposizione x appartiene all insieme A e q la proposizione x appartiene all insieme B, cioè: p = x A q = x B otteniamo: p = x CA = NOT p p q = x A B = p AND q p q = x A B = p OR q p q = x A Δ B = p XOR q avendo indicato la differenza simmetrica tra A e B con A Δ B = (A \ B) (B \ A). A ogni connettivo logico corrisponde un operazione insiemistica.: NOT C (complementare) AND (intersezione) OR (unione) XOR Δ (differenza simmetrica) Se due espressioni del calcolo delle proposizioni sono uguali, tali risultano le corrispondenti espressioni relative all algebra dei sottoinsiemi e viceversa. Per e, dalla formula: C(A B) = CA CB seguirà: (p q ) = p q RCS Libri S.p.A., ETAS - L. Lamberti, L. Mereu, A. Nanni - Corso di Matematica - Edizione mista

8 Un ruolo particolare nella corrispondenza osservata meritano l insieme X stesso e l insieme vuoto. La proposizione x X sarà la proposizione vera qualunque sia x, mentre la proposizione x sarà una proposizione falsa qualunque sia x. Se indichiamo con la proposizione x X e con 0 la proposizione x, si possono osservare le seguenti relazioni, valide sia nel calcolo delle proposizioni sia nell algebra degli insiemi contenuti in X. Proprietà commutativa p q = q p p q = q p A B = B A A B = B A Proprietà distributiva p (q r) = (p q) (p r) A (B C) = (A B) (A C) p (q r) = (p q) (p r) A (B C) = (A B) (A C) Elementi neutri p 0 = p A =A p = p A X = A p p = A C A = X p p = 0 A C A = 3 Implicazione. Doppia implicazione Implicazione materiale Consideriamo la frase: Se x è un numero primo compreso tra 3 e 0, allora x non è divisibile per 2 In essa possiamo distinguere due parti: una prima proposizione, che chiameremo antecedente: p: x è un numero primo compreso tra 3 e 0 e una seconda, che chiameremo conseguente: q: x non è divisibile per 2 legate dal connettivo: se allora DEFINIZIONE Si chiama implicazione di due proposizioni p e q la nuova proposizione che indichiamo con p q La proposizione p q si legge se p allora q ed è definita dalla tabella a fianco. p q p q vera vera vera vera falsa falsa falsa vera vera falsa falsa vera RCS Libri S.p.A., ETAS - L. Lamberti, L. Mereu, A. Nanni - Corso di Matematica - Edizione mista

9 Poiché l unica possibilità per la proposizione p q di essere falsa è nella seconda riga della tabella, cioè quando p vera e q falsa, per riconoscere la verità dell implicazione p q occorre poter riconoscere che quando p è vera anche q è, necessariamente, vera. Verifichiamo che, nel caso delle due proposizioni p e q indicate all inizio di questo paragrafo, l implicazione p q sia vera:. gli x per i quali p è vera sono 3, 5, 7. Per tali x anche q è evidentemente vera; 2. quindi, nel caso delle p e q indicate sopra, l implicazione è vera. Come abbiamo già osservato a proposito degli altri connettivi logici, il calcolo delle proposizioni prescinde dal significato della proposizione composta ed essa è vera o falsa a seconda di che cosa stabilisce la sua definizione data mediante la tavola di verità. sempi 0 Siano: p: Francesco ha un fratello q: Il Sole è un pianeta Poiché q è sempre falsa, la proposizione p q è vera se e solo se p è falsa, cioè se Francesco non ha un fratello, mentre è falsa se p è vera. Siano: p: x è un intero divisibile per 5 q: 4 è un numero pari La proposizione p q è vera qualunque sia p in quanto q è sempre vera. Doppia implicazione. Equivalenza DEFINIZIONE Date due proposizioni p e q, si chiama doppia implicazione o equivalenza la proposizione ottenuta dalla congiunzione delle due applicazioni, l una inversa dell altra: (p q) (q p) che indichiamo con p q. La proposizione p q si legge p se e solo se q ed è definita dalla tabella a fianco. p q p q vera vera vera vera falsa falsa falsa vera falsa falsa falsa vera 2 Siano: p: il numero n è divisibile per 5 q: il numero n è divisibile per 3 e per 5 La proposizione p q è vera: infatti se è vera p è vera anche q, e viceversa. Osservazione 2 Si osservi che per gli ultimi due connettivi logici abbiamo usato i simboli e con lo scopo di differenziarli dai simboli e che useremo per l implicazione e la doppia implicazione nei teoremi matematici RCS Libri S.p.A., ETAS - L. Lamberti, L. Mereu, A. Nanni - Corso di Matematica - Edizione mista

10 4 Enunciati aperti. Quantificatori DEFINIZIONE Un enunciato aperto è una proposizione P(x, y,...) che coinvolge una o più variabili x, y, Gli enunciati aperti in matematica sono anche detti formule. sempi La proposizione x + è un numero pari dove x varia nell insieme dei naturali, è un enunciato aperto, che acquista il valore vero se x è un numero dispari, falso se x è pari o è uguale a zero. L equazione x + 4 = 0 è un enunciato aperto nella variabile reale x, che è vero se x = 4, falso negli altri casi. L enunciato aperto 2n è dispari dove n è un numero naturale, è falso qualunque sia n. L insieme dei valori delle variabili rispetto ai quali un enunciato aperto è vero può essere: molto ampio, come nel caso dell e 5; costituito da un solo valore, come nel caso dell e 52; addirittura vuoto, come nel caso dell e 53. Si dicono quantificatori due simboli usati frequentemente nel selezionare i valori di una variabile che rendono vero un enunciato aperto P(x): il quantificatore per ogni, detto quantificatore universale, indicato con il simbolo di A rovesciata; così x E P(x) significa: per ogni x dell insieme E P(x) è vero il quantificatore esiste almeno uno, detto quantificatore esistenziale, indicato con il simbolo di E (iniziale di esistere) rovesciata; così x A P(x) significa: esiste almeno un valore di x dell insieme A per il quale P(x) è vero I due simboli e prendono il nome di quantificatori perché si riferiscono alla quantità di elementi x che rendono vera una certa formula RCS Libri S.p.A., ETAS - L. Lamberti, L. Mereu, A. Nanni - Corso di Matematica - Edizione mista

11 sempi 6 7 L enunciato aperto x x 2 0 vero per ogni x intero, si legge: per ogni x intero, il quadrato di x è sempre maggiore o uguale di zero L esistenza di una soluzione intera dell equazione x + 4 = 0 si esprime mediante il quantificatore esistenziale: x x + 4 = 0 Osservazione 3 Le negazioni di formule scritte servendosi dei due quantificatori o scambiano uno dei due simboli con l altro. Verifichiamo con esempi.. Siano: A l insieme dei quadrilateri e P(x): x ha quattro lati uguali. La proposizione: non è vero che ogni quadrilatero ha i quattro lati uguali simbolicamente indicata con NOT { x A P(x)} equivale alla proposizione esiste almeno un quadrilatero che non ha i quattro lati uguali che simbolicamente si scrive: x A NOT [P(x)] Pertanto NOT { x A P(x)} equivale a x A NOT [P(x)] 2. Siano: A l insieme dei triangoli rettangoli e P(x): x ha un angolo ottuso. La proposizione: non è vero che esiste almeno un triangolo rettangolo che ha un angolo ottuso simbolicamente indicata con NOT { x A P(x)} equivale alla proposizione tutti i triangoli rettangoli non hanno un angolo ottuso che simbolicamente si scrive: x A NOT [P(x)] Pertanto NOT { x A P(x)} equivale a x A NOT [P(x)] 200 RCS Libri S.p.A., ETAS - L. Lamberti, L. Mereu, A. Nanni - Corso di Matematica - Edizione mista

12 sempi 8 9 La negazione della formula dell e 54: x x 2 0 sempre vera è la formula: NOT { x x 2 0} ed equivale a x x 2 < 0 sempre falsa La negazione della formula vera: x x + 4 = 0 è la formula falsa: x x Osservazione 4 Alcune proposizioni possono rivelarsi vere in un certo contesto, false in un altro. Per e, l enunciato x x + 4 = 0 può essere vero o falso. Tutto dipende dall universo in cui ci si pone. Nel nostro caso, la proposizione è vera se l universo è l insieme degli interi relativi o qualunque altro insieme che contenga il valore x = 4, falsa se l insieme è. 5 Sistemi ipotetico-deduttivi Un sistema ipotetico-deduttivo si costruisce a partire da: concetti primitivi, cioè enti che a priori non vengono definiti, quali il punto, la retta e il piano nella geometria euclidea o il numero nell aritmetica secondo G. Peano; postulati (dal latino postulatum, ciò che è richiesto ) (o assiomi) che sono proposizioni ammesse vere, inerenti agli enti primitivi e che esprimono delle proprietà degli enti stessi e le loro relazioni. L insieme dei postulati deve verificare le seguenti condizioni: a) la coerenza, nel senso che non devono essere contraddittori e deve valere il principio di non contraddizione, ossia dai postulati non si deve poter dedurre sia la proposizione p sia contemporaneamente la sua negazione p; b) l indipendenza, ossia nessun postulato è deducibile logicamente dagli altri. definizioni: le definizioni sono proposizioni che si ammettono vere e che servono a dare nuovi concetti non primitivi. Per e, si definiscono i numeri razionali, i numeri relativi, i segmenti, gli angoli...; teoremi: i teoremi sono proposizioni che sono dedotte: a) direttamente dagli assiomi e dalle definizioni; b) sia dagli assiomi e dalle definizioni sia dai teoremi precedenti. I teoremi sono dunque proposizioni che si dimostrano: se dalla verità di una proposizione p, detta ipotesi, si deduce mediante un ragionamento la verità di una proposizione q, detta tesi, si dice che il teorema p q è stato dimostrato. Il teorema p q (p implica q) può essere così espresso: se p allora q; p è condizione sufficiente per q; q è condizione necessaria per p RCS Libri S.p.A., ETAS - L. Lamberti, L. Mereu, A. Nanni - Corso di Matematica - Edizione mista

13 sempi 20 IPOTESI TESI p = Q è un quadrato q = Q ha le diagonali uguali 2 Il teorema p q si enuncia: Se Q è un quadrato allora Q ha le diagonali uguali oppure Condizione sufficiente perché Q abbia le diagonali uguali è che sia un quadrato oppure Avere le diagonali uguali è condizione necessaria per un quadrato Il teorema Le bisettrici di due angoli adiacenti sono perpendicolari (fig. ) può essere espresso in vari modi tra loro equivalenti: Se due angoli sono adiacenti allora le loro bisettrici sono perpendicolari Essere adiacenti è condizione sufficiente perché le bisettrici siano perpendicolari Avere le bisettrici perpendicolari è condizione necessaria affinché due angoli siano adiacenti t b s A Figura b 2 r Se valgono entrambi i teoremi: p q e q p allora si dice che le due proposizioni p e q sono equivalenti e si scrive: p q (p implica q e q implica p) Il teorema può essere così espresso: l ipotesi p è condizione necessaria e sufficiente per la tesi q; la tesi q si realizza se e solo se vale l ipotesi p. 22 Le proposizioni p: Il triangolo T è equilatero e q: Il triangolo T è equiangolo sono equivalenti. Tale equivalenza può essere enunciata anche con il Teorema: Il triangolo T è equiangolo se e solo se è equilatero. ovvero: Teorema: In un triangolo l essere equilatero è condizione necessaria e sufficiente a essere equiangolo RCS Libri S.p.A., ETAS - L. Lamberti, L. Mereu, A. Nanni - Corso di Matematica - Edizione mista

14 Osservazione 5 Riconoscere che due proposizioni p e q sono equivalenti corrisponde a provare la verità dei due teoremi: p q e q p In altri termini, ogni teorema che contenga nel suo enunciato un se e solo se richiede due dimostrazioni: la prima è che dall ipotesi segua la tesi, la seconda è che dalla tesi segua l ipotesi. Tra i teoremi distinguiamo: i lemmi, che sono teoremi preliminari ad altri ritenuti particolarmente importanti; i corollari, che sono teoremi dedotti immediatamente da teoremi importanti. La dimostrazione è l insieme dei passaggi logici che permettono di arrivare dalla ipotesi alla tesi. Ci sono vari metodi di dimostrazione, di cui diamo solo un cenno, in quanto potranno essere meglio approfonditi nella trattazione della geometria euclidea. 6 Alcuni metodi di dimostrazione Illustriamo ora brevemente alcuni metodi di ragionamento che servono a dimostrare un teorema. Metodo diretto Se prendendo p come ipotesi si dimostra tramite passaggi logici che da p segue q allora se p è vera è vera anche q. In definitiva, dalla verità dell implicazione p q si deduce che la tesi q è vera ogni qual volta sia vera l ipotesi p. Questa tecnica di dimostrazione è la più utilizzata e si sviluppa tenendo conto dell ipotesi, degli assiomi e, se occorre, dei teoremi precedentemente dimostrati. Si giunge così, attraverso passaggi logici, ad affermare la verità dell implicazione e quindi della tesi. 23 Dimostrare che il quadrato di un numero dispari è anch esso dispari. IPOTESI n è dispari TESI n 2 è dispari Infatti, se n è dispari non contiene tra i suoi divisori il numero 2, e quindi neppure il suo quadrato è divisibile per RCS Libri S.p.A., ETAS - L. Lamberti, L. Mereu, A. Nanni - Corso di Matematica - Edizione mista

15 Metodo indiretto Se è vera p q allora è vera anche NOT(q) NOT(p) detta implicazione controinversa, e viceversa. L implicazione controinversa si ottiene scambiando le proposizioni p e q e negandole entrambe. 24 Indichiamo con ABCD un quadrilatero e siano p e q le seguenti proposizioni: p: ABCD è un quadrato q: ABCD è un parallelogramma L implicazione p q è ovviamente vera, cioè: Se ABCD è un quadrato allora ABCD è un parallelogramma Del resto se q è falsa, cioè se è vera NOT(q), ABCD non essendo un parallelogramma non può neanche essere un quadrato, cioè NOT(q) NOT(p). L equivalenza delle due implicazioni: p q NOT(q) NOT(p) permette di trasformare le dimostrazioni matematiche dirette in dimostrazioni matematiche indirette. 25 Il teorema p q con p: x è divisibile per 9 q: x è divisibile per 3 che si enuncia: Se x è divisibile per 9 allora x è divisibile per 3 è equivalente al teorema: NOT(q) NOT(p) che si enuncia: Se x non è divisibile per 3 allora x non è divisibile per 9 La dimostrazione di questo teorema è immediata: infatti se x non è divisibile per 3, scomposto in fattori primi, esso non contiene il fattore 3, pertanto, a maggior ragione, non contiene 9 = 3 2, e quindi non è divisibile per RCS Libri S.p.A., ETAS - L. Lamberti, L. Mereu, A. Nanni - Corso di Matematica - Edizione mista

16 Metodo per assurdo Supponiamo che si voglia dimostrare il teorema p q La dimostrazione per assurdo consiste nel negare il teorema e arrivare con il ragionamento o alla negazione dell ipotesi o alla negazione di una proposizione già conosciuta come vera. Poiché la teoria non può essere contraddittoria, si conclude che la negazione del teorema è falsa e quindi che l enunciato p q è vero. La contraddizione può consistere nella negazione di un assioma o di uno dei teoremi precedentemente dimostrati o della stessa ipotesi p. 26 Dimostrare che se il quadrato di un numero naturale è pari allora anche il numero è pari. IPOTESI n 2 è pari (n 0 ) TESI n è pari Supponiamo per assurdo che il teorema non sia vero, cioè che n sia dispari, ma allora per il teorema dimostrato nell e precedente sarebbe n 2 dispari, il che contraddice l ipotesi fatta. Pertanto n è pari. Metodo del controe Questo metodo serve a dimostrare la falsità di un teorema. Infatti basta fare un e che ne provi la falsità per dimostrare che il teorema non sussiste. 27 Consideriamo l implicazione Se il quadrato di un numero reale x è maggiore di x allora il numero x è maggiore di che si può anche scrivere: x 2 > x x > Per dimostrare che l implicazione è falsa, basta trovare almeno un valore di x non maggiore di il cui quadrato sia maggiore di x. Per x = 5 risulta: ( 5) 2 = 25 > 5 pertanto la proposizione è falsa. Si riconosce facilmente che la falsità può essere provata attribuendo a x qualsiasi valore negativo. Nel corso degli studi faremo uso di queste tecniche dimostrative e anche di altre, per e il metodo per ricorrenza, basato sul principio di induzione RCS Libri S.p.A., ETAS - L. Lamberti, L. Mereu, A. Nanni - Corso di Matematica - Edizione mista