Abilità Informatiche e Telematiche

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1 Abilità Informatiche e Telematiche (Laurea Triennale + Laurea Magistrale) Marco Pedicini mailto:marco.pedicini@uniroma3.it Corso di Laurea in Scienze della Comunicazione, Università Roma Tre 12 Dicembre Gennaio 2013

2 Parte XV UD 6.1 La logica dei Circuiti

3 I transistor come interruttori Un transistor non è altro che un interruttore totalmente elettrico (non ha nessuna parte meccanica) Un interruttore ha il compito di permettere o meno il passaggio di corrente in relazione al suo stato (acceso o spento) Normalmente un interruttore è comandato da un azione meccanica (pressione di un pulsante, rotazione di una manopola, spostamento di una leva, ecc) Un transistor è un interruttore comandato da un impulso elettrico.

4 Funzionamento di un transistor Un transistor funge da interruttore permettendo o meno il passaggio di corrente dal terminale V _cc al terminale V _out in base allo stato di un terzo terminale detto base, indicato in figura con V in ; In particolare se alla base V _in viene applicata una tensione allora il terminale di ingresso V _CC si trova connesso al terminale Gnd (interruttore chiuso, passaggio di corrente) Al contrario, se alla base non è applicata nessuna tensione il transistor corrisponde ad un interruttore aperto tra i due terminali V _cc e Gnd (non c è passaggio di corrente). E possibile creare transistor della dimensione di poche decine di nanometri

5 Dai transistor alla CPU Il transistor è l elemento fondamentale dei moderni processori che integrano su uno stesso circuito milioni di transistor (VLSI - Very Large Scale Integration). Nonostante la funzionalità del singolo transistor sia estremamente semplice, con opportune combinazioni di transistor è possibile descrivere comportamenti molto complessi. Pochi transistor vengono connessi tra di loro per dare luogo alle cosiddette PORTE LOGICHE Le porte logiche sono gli elementi funzionali che stanno alla base degli attuali processori

6 Funzioni Logiche Porte logiche diverse implementano diverse funzioni logiche Diverse porte logiche opportunamente collegate danno luogo a componenti complesse in grado di implementare particolari funzionalità: addizionatori comparatori unità di controllo

7 Porte logiche Una porta logica è un dispositivo che dati dei valori di ingresso produce un valore di uscita. Vengono dette logiche perchè implementano le operazioni logiche dell algebra di Boole: AND OR XOR NOT Le porte logiche possono essere realizzate mediante varie tecnologie, come ingranaggi, relè e dispositivi ottici ma attualmente nella costruzione dei calcolatori vengono costruite mediante la combinazione di un gran numero di transistor, dunque il componente di base dei calcolatori elettronici è il transistor.

8 L operazione booleana AND Riflette la veridicità o la falsità di un asserzione formata unendo tramite la congiunzione e due asserzioni più piccole o più semplici (congiunzione) Queste asserzioni hanno la seguente forma: AND(x,y ) dove x e y rappresentano la veridicità o la falsità delle asserzioni più piccole (gli ingressi) e l asserzione composta è il risultato dell operazione booleana e rappresenta la veridicità o la falsità dell asserzione stessa Queste asserzioni sono vere quando ambedue le componenti sono vere, dal punto di vista dell aritmetica corrisponde alla moltiplicazione. Tavola di verità dell AND: x y AND(x,y ) Falso Falso Falso Falso Vero Falso Vero Falso Falso Vero Vero Vero

9 L operazione booleana OR Riflette la veridicità o la falsità di un asserzione formata unendo tramite la congiunzione o due asserzioni più piccole o più semplici (disgiunzione). Queste asserzioni hanno la seguente forma: OR(x, y ) dove x e y rappresentano la veridicità o la falsità delle asserzioni più piccole (gli ingressi) e l asserzione composta è il risultato dell operazione booleana e rappresenta la veridicità o la falsità dell asserzione stessa. Queste asserzioni sono vere quando almeno una delle due è vera, dal punto di vista dell aritmetica corrisponde al calcolo del massimo degli elementi. Tavola di verità dell OR: x y OR(x,y ) Falso Falso Falso Falso Vero Vero Vero Falso Vero Vero Vero Vero

10 L operazione booleana XOR Nella lingua inglese (e anche in quella italiana) non esiste una congiunzione che possa rendere il significato dello XOR che rappresenta un asserzione vera quando esattamente una delle due asserzioni più semplici di cui è composta è vera. L asserzione ha la seguente forma: XOR(x,y ) dove x e y rappresentano la veridicità o la falsità delle asserzioni più piccole (gli ingressi) e l asserzione composta è il risultato dell operazione booleana e rappresenta la veridicità o la falsità dell asserzione stessa Lo XOR è vero quando uno solo dei suoi ingressi è vero ma non entrambi, dal punto di vista dell aritmetica corrisponde alla somma nel sistema binario. Tavola di verità dello XOR: x y XOR(x,y ) Falso Falso Falso Falso Vero Vero Vero Falso Vero Vero Vero Falso

11 L operazione booleana NOT L operazione NOT è diversa dalle altre in quanto agisce su un solo ingresso trasformandolo. Equivale alla dicitura NON della lingua italiana Queste asserzioni hanno la seguente forma: NOT(x) dove x rappresenta la veridicità o la falsità dell asserzione semplice. Il risultato dell operazione NOT è sempre l opposto dell ingresso, dal punto di vista dell aritmetica corrisponde alla somma di 1 nel sistema binario. Tavola di verità del NOT x Falso Vero NOT(x) Vero Falso

12 Dalle porte logiche ai componenti complessi Come posso tramite semplici porte logiche definire oggetti complessi come Addizionatori? Unità di controllo? Registri, ecc? Quali circuiti possono rappresentare le porte logiche? il circuito di base che viene utilizzato è il transistor; la combinazione di uno o più transistor opportunamente collegati tra loro permette di ottenere le porte logiche di base o loro semplici combinazioni; la combinazione di questi circuiti semplici permette di ottenere funzionalità più complesse.

13 Principio di equivalenza tra Software e Hardware Vale il principio che ogni funzionalità che può essere rappresentata come funzione tra sequenze di binarie (software) può essere realizzata mediante dispositivi fisici (hardware). In concreto, data una funzione f (x 1,..., x n ) = (y 1,..., y m ) che trasforma un input costituito da una sequenza di n-bit in un output costituito da una sequenza di m-bit, esiste sempre un circuito che realizza la funzione (ovvero che per ogni combinazione di input si comporta come f ).

14 Dimostrazione del principio Per dare valore al principio impiegheremo una tecnica di largo utilizzo in informatica, denominata del divide-et-impera, consistente nel scomporre il problema da risolvere in sottoproblemi più elementari e nel mostrare come ottenere la soluzione del problema principale a partire dalle soluzioni dei sottoproblemi. Per prima cosa mostriamo che possiamo considerare il caso in cui m = 1, questo poichè una volta che sappiamo realizzare i dispositivi per ogni componente della funzione è possibile comporre un circuito che distribuisce i segnali di input ad ogni circuito ed utilizza la risposta di ogni singolo circuito come uscita della funzione: f (x 1,..., x n ) = (f 1 (x 1,..., x n ),..., f m (x 1,..., x n ))

15 Dimostrazione del principio Dunque si parte dall idea che è sufficiente risolvere mediante un circuito fisico il problema di realizzare una funzione che prende in input una sequenza di bit e restituisce un singolo bit: f (x 1,..., x n ) = y. Anche per mostrare che si può sempre realizzare il circuito per una qualsiasi delle funzioni di questo tipo utilizzeremo il principio del divide-et-impera: prima di tutto supporremo di poter realizzare i dispositivi fisici che realizzano le funzioni logiche di base (and, not, xor) in secondo luogo mostreremo che è possibile costruire il circuito per ogni funzione che dipende da n input, a partire dai rispettivi circuiti di due funzioni che dipendono da n 1 bit.

16 Teorema di Espansione di Shannon Data una funzione booleana f di n argomenti, si ha che f (x 1,..., x n ) = f 0 (x 1,..., x n 1 ) NOT (x n ) + f 1 (x 1,..., x n 1 ) x n dove e f 0 (x 1,..., x n 1 ) = f (x 1,... x n 1, 0) f 1 (x 1,..., x n 1 ) = f (x 1,... x n 1, 1) Per convincersi della correttezza del Teorema è sufficiente verificare che nei due casi: quando l input x n = 0 e quando l input x n = 1 il valore della somma f 0 (x 1,..., x n 1 ) NOT (x n ) + f 1 (x 1,..., x n 1 ) x n coincide con quello della funzione f (x 1,..., x n ). Si noti che la formula di espansione è stata scritta utilizzando la notazione aritmetica per le funzioni booleane di base, ovvero l AND logico è rappresentato come prodotto (AND(X 1, x 2 ) = x 1 x 2 ), e lo XOR è rappresentato come somma (XOR(x 1, x 2 ) = x 1 + x 2 ).

17 Caso x n = 1 il primo membro dell uguaglianza vale ovviamente il secondo membro che è f (x 1,..., x n 1, 1) f 0 (x 1,..., x n 1 )NOT (x n ) + f 1 (x 1,..., x n 1 )x n è uguale (sostituendo 1 a x n ) f 0 (x 1,..., x n 1 )NOT (1) + f 1 (x 1,..., x n 1 )1 ora in aritmetica booleana abbiamo che NOT (1) = 0 e che per qualsiasi x, il prodotto x 1 = x e che x 0 = 0 dunque il secondo membro vale per definizione f 0 (x 1,..., x n 1 )0 + f 1 (x 1,..., x n 1 )1 0 + f 1 (x 1,..., x n 1 ) = f 1 (x 1,..., x n 1 ) f 1 (x 1,..., x n 1 ) = f (x 1,... x n 1, 1) ovvero Da cui abbiamo l identità tra primo e secondo membro f (x 1,..., x n 1, x n) = f (x 1,..., x n 1, 1) = f 0 (x 1,..., x n 1 )NOT (x n)+f 1 (x 1,..., x n 1 )x n

18 Caso x n = 0 Il secondo caso è analogo al precedente: il primo membro dell uguaglianza vale ovviamente il secondo membro che è f (x 1,..., x n 1, 0) f 0 (x 1,..., x n 1 )NOT (x n ) + f 1 (x 1,..., x n 1 )x n è uguale (sostituendo 0 a x n ) f 0 (x 1,..., x n 1 )NOT (0) + f 1 (x 1,..., x n 1 )0 ora in aritmetica booleana abbiamo che NOT (0) = 1 e che il prodotto x 1 = x e che x 0 = 0 dunque il secondo membro vale ovvero per definizione f 0 (x 1,..., x n 1 )1 + f 1 (x 1,..., x n 1 )0 f 0 (x 1,..., x n 1 ) + 0 = f 0 (x 1,..., x n 1 ) f 0 (x 1,..., x n 1 ) = f (x 1,... x n 1, 0) Da cui abbiamo l identità tra primo e secondo membro

19 Espressione logica associata ad una funzione booleana... Il metodo di espansione di Shannon permette dunque di ricavare la rappresentazione in termini degli operatori logici di base (AND, XOR, NOT) di una qualsiasi funzione. Vediamo come procedere in pratica, a partire da un esempio in due variabili: consideriamo dunque una funzione di 2 argomenti unitamente alla tavola di verità che la definisce: x 1 x 2 f (x 1, x 2 ) L idea è quella di applicare il metodo di espansione di Shannon e scrivere f (x 1, x 2 ) = f 0 (x 1 )NOT (x 2 ) + f 1 (x 1 )x 2 e di ricavare l espressione booleana delle due funzioni di un solo argomento f (x ) = f (x, 0) e f (x ) = f (x, 1)

20 ...Espressione logica associata ad una funzione booleana... L espressione booleana delle due funzioni f 0 (x 1 ) = f (x 1, 0) e f 1 (x 1 ) = f (x 1, 1) si ottiene considerando le rispettive tavole di verità ottenute da quella di f selezionando nel primo caso le righe per cui x 2 = 0: x 1 f 0 (x 1 ) e nel secondo caso quelle per cui x 2 = 1 x 1 f 1 (x 1 ) La prima funzione corrisponde alla funzione costante a 1 la cui espressione è f 0 (x 1 ) = 1 La seconda funzione corrisponde alla funzione identità la cui espressione è f 1 (x 1 ) = x 1

21 ...Espressione logica associata ad una funzione booleana Risostituendo le due espressioni trovate nella formula di Shannon si ottiene l espressione booleana cercata per la f : f (x 1, x 2 ) = f 0 (x 1 )NOT (x 2 ) + f 1 (x 1 )x 2 = = 1 NOT (x 2 ) + x 1 x 2 = = NOT (x 2 ) + x 1 x 2 Notare che le funzioni booleane di un solo argomento sono solo 4: 1) funzione costante a 0 x f (x) =

22 ...Espressione logica associata ad una funzione booleana Risostituendo le due espressioni trovate nella formula di Shannon si ottiene l espressione booleana cercata per la f : f (x 1, x 2 ) = f 0 (x 1 )NOT (x 2 ) + f 1 (x 1 )x 2 = = 1 NOT (x 2 ) + x 1 x 2 = = NOT (x 2 ) + x 1 x 2 Notare che le funzioni booleane di un solo argomento sono solo 4: 2) funzione identità x f (x) = x

23 ...Espressione logica associata ad una funzione booleana Risostituendo le due espressioni trovate nella formula di Shannon si ottiene l espressione booleana cercata per la f : f (x 1, x 2 ) = f 0 (x 1 )NOT (x 2 ) + f 1 (x 1 )x 2 = = 1 NOT (x 2 ) + x 1 x 2 = = NOT (x 2 ) + x 1 x 2 Notare che le funzioni booleane di un solo argomento sono solo 4: 3) funzione NOT x f (x ) = NOT (x)

24 ...Espressione logica associata ad una funzione booleana Risostituendo le due espressioni trovate nella formula di Shannon si ottiene l espressione booleana cercata per la f : f (x 1, x 2 ) = f 0 (x 1 )NOT (x 2 ) + f 1 (x 1 )x 2 = = 1 NOT (x 2 ) + x 1 x 2 = = NOT (x 2 ) + x 1 x 2 Notare che le funzioni booleane di un solo argomento sono solo 4: 4) funzione costante a 1 x f (x) =

25 Esempio in 3 variabili... Applichiamo il metodo di espansione di Shannon per descrivere l espressione booleana della funzione di 3 variabili f (x 1, x 2, x 3 ) definita dalla seguente tavola di veritá: x 1 x 2 x 3 f (x 1, x 2, x 3 ) La formula applicata ad f per eliminare la terza variabile è la seguente: f (x 1, x 2, x 3 ) = f 0 (x 1, x 2 ) NOT (x 3 ) + f 1 (x 1, x 2 ) x 3.

26 ...Esempio in 3 variabili... f 0 (x 1, x 2 ) è definita come f 0 (x 1, x 2 ) = f (x 1, x 2, 0) pertanto si ottiene la sua tavola di verità selezionando in quella di f le righe per cui la variabile eliminata x 3 = 0, ovvero x 1 x 2 x 3 f (x 1, x 2, x 3 ) x 1 x 2 f 0 (x 1, x 2 ) L espressione booleana associata si calcola applicando nuovamente il metodo di espansione: f 0 (x 1, x 2 ) = f 00 (x 1 ) NOT (x 2 ) + f 01 (x 1 ) x 2 = 1 NOT (x 2 ) + 0 x 2 = NOT (x 2 ).

27 ...Esempio in 3 variabili... La stessa procedura si applica nel calcolo dell espressione della f 1 (x 1, x 2 ) definita come f 1 (x 1, x 2 ) = f (x 1, x 2, 1) pertanto si ottiene la sua tavola di verità selezionando in quella di f le righe per cui la variabile eliminata x 3 = 1, ovvero x 1 x 2 x 3 f (x 1, x 2, x 3 ) x 1 x 2 f 1 (x 1, x 2 ) L espressione booleana associata si calcola applicando nuovamente il metodo di espansione: f 1 (x 1, x 2 ) = f 10 (x 1 ) NOT (x 2 ) + f 11 (x 1 ) x 2 = 1 NOT (x 2 ) + x 1 x 2 = NOT (x 2 ) + x 1 x 2.

28 ... Esempio in 3 variabili (fine). Dunque le due espressioni calcolate: f 0 (x 1, x 2 ) = NOT (x 2 ) f 1 (x 1, x 2 ) = NOT (x 2 ) + x 1 x 2 devono essere sostituite nella formula di espansione di Shannon: f (x 1, x 2, x 3 ) = f 0 (x 1, x 2 ) NOT (x 3 ) + f 1 (x 1, x 2 ) x 3 = NOT (x 2 ) NOT (x 3 ) + (NOT (x 2 ) + x 1 x 2 ) x 3 Che è dunque una possibile espressione booleana per la funzione f (x 1, x 2, x 3 ) definita dalla tavola di veritá da cui siamo partiti: x 1 x 2 x 3 f (x 1, x 2, x 3 )

29 La logica dei circuiti Avendo mostrato che qualsiasi funzionalità che ha una rappresentazione in termini di funzioni booleane si può descrivere come combinazione di funzioni booleane di base (AND, XOR, NOT) al fine di realizzare il principio di equivalenza tra hardware e software non ci resta quindi che mostrare come utilizzare una combinazione di circuiti di base (transistors) per rappresentare le operazioni logiche di base (NOT, AND, XOR).

30 Realizzazione delle porte logiche Il mattone fondamentale è il transistor, di cui si conoscono le proprietà elettriche (determinate dal livello fisico) Collegando alcuni transistor tra loro si ottengono le porte logiche elementari a questo livello: si fornisce tensione agli ingressi e si ottiene una tensione in uscita per convenzione: valore di tensione alto corrisponde al valore logico 1, valore di tensione basso corrisponde al valore logico 0. a livello superiore la porta realizza una funzione logica Esistono molte varianti della tecnologia che permette di realizzare la logica dei circuiti, ma il principio è sempre quello di realizzare un interruttore controllato elettronicamente: sulla base del transistor utilizzato: famiglia logica (es. BiPolar, MOSFET, ecc.) all interno di una famiglia logica: vari modi di utilizzare i transistor Nei calcolatori: CMOS che utilizza MOSFET

31 Idea di base: l inversione L idea base per l impiego del transistor è la realizzazione della porta logica NOT V in V out Se la tensione alla base è bassa (livello logico 0) allora il terminale V cc è scollegato dall emitter e il flusso si scarica sul terminale di uscita V out = 1; Se la tensione alla base è alta (livello logico 1) allora il terminale V cc è collegato all emitter e il flusso si scarica sul terminale Gnd, come conseguenza il livello in uscita è V out = 0

32 Realizzazione delle Porte Logiche Uno o più transistor possono essere utilizzati per realizzare le porte logiche di base: Di che porta si tratta? A B Out 0 0? 0 1? 1 0? 1 1?

33 Realizzazione delle Porte Logiche Uno o più transistor possono essere utilizzati per realizzare le porte logiche di base: Di che porta si tratta? A B Out

34 Realizzazione delle Porte Logiche Uno o più transistor possono essere utilizzati per realizzare le porte logiche di base: A B Out Di che porta si tratta? Si tratta della negazione dell OR: NOT(OR(A,B)) che talvolta viene denominato NOR(A,B).

35 Realizzazione delle Porte Logiche Uno o più transistor possono essere utilizzati per realizzare le porte logiche di base: Di che porta si tratta? A B Out 0 0? 0 1? 1 0? 1 1?

36 Realizzazione delle Porte Logiche Uno o più transistor possono essere utilizzati per realizzare le porte logiche di base: Di che porta si tratta? A B Out

37 Realizzazione delle Porte Logiche Uno o più transistor possono essere utilizzati per realizzare le porte logiche di base: A B Out Di che porta si tratta? Si tratta dell AND(A,B).

38 Realizzazione delle Porte Logiche Uno o più transistor possono essere utilizzati per realizzare le porte logichedi base: Di che porta si tratta? A B Out 0 0? 0 1? 1 0? 1 1?

39 Realizzazione delle Porte Logiche Uno o più transistor possono essere utilizzati per realizzare le porte logiche di base: Di che porta si tratta? A B Out

40 Realizzazione delle Porte Logiche Uno o più transistor possono essere utilizzati per realizzare le porte logiche di base: A B Out Di che porta si tratta? Si tratta dell OR(A,B).

41 Realizzazione delle Porte Logiche Uno o più transistor possono essere utilizzati per realizzare le porte logiche di base: Di che porta si tratta? A B Out 0 0? 0 1? 1 0? 1 1?

42 Realizzazione delle Porte Logiche Uno o più transistor possono essere utilizzati per realizzare le porte logiche di base: Di che porta si tratta? A B Out

43 Realizzazione delle Porte Logiche Uno o più transistor possono essere utilizzati per realizzare le porte logiche di base: A B Out Di che porta si tratta? Si tratta nuovamente di NOR(A,B).

44 Realizzazione delle Porte Logiche Uno o più transistor possono essere utilizzati per realizzare le porte logiche di base o loro combinazioni: Di che porta si tratta? A B Out 0 0? 0 1? 1 0? 1 1?

45 Realizzazione delle Porte Logiche Uno o più transistor possono essere utilizzati per realizzare le porte logiche di base o loro combinazioni: Di che porta si tratta? A B Out 0 0? 0 1? 1 0? 1 1?

46 Realizzazione delle Porte Logiche Uno o più transistor possono essere utilizzati per realizzare le porte logiche di base o loro combinazioni: Di che porta si tratta? A B Out

47 Realizzazione delle Porte Logiche Uno o più transistor possono essere utilizzati per realizzare le porte logiche di base o loro combinazioni: A B Out Di che porta si tratta? Si tratta del NOT(AND(A,B)), denotata con NAND(A,B).

48 L operazione mancante Sino ad ora abbiamo mostrato come realizzare con uno o due transistor alcune operazioni logiche, ma non abbiamo mostrato come realizzare lo xor. Infatti per realizzare lo xor sono necessari più transistor (almeno 4). Osserviamo che vale l equivalenza XOR(x, y ) = OR(AND(NOT (x), y )), AND(x, NOT (y ))) dunque utilizzando i circuiti precedentemente ilustrati si otterrebbe uno XOR utilizzando 8 transistor; basato sullo stesso schema logico ma rimuovendo alcune ridondanze si può ottenere uno XOR a 4 transistor.

49 Parte XVI UD 6.2 Realizzazione delle componenti di una CPU

50 Memoria Utilizzando due porte logiche NAND unite tra loro secondo uno schema denominato latch si ottiene un circuito elettronico bistabile, che puó essere utilizzato come realizzazione di un singolo bit di memoria S Q R Q

51 Operazioni Logiche su sequenze di bit Ogni operazione logica su bit si estende in un operazione su sequenze di bit (dette anche parole di bit) operando bit-a-bit.

52 Che operazione si ottiene? Date due sequenze di bit x 1, x 2,..., x n y 1, y 2,..., y n Facciamo lo XOR bit-a-bit tra due sequenze (rappresentiamo lo XOR mediante la somma): S = 0, x n + y n, x n 1 + y n 1,..., x 0 + y 0 Calcoliamo anche l AND bit-a-bit tra due sequenze (rappresentiamo l AND mediante il prodotto) e aggiungiamo uno 0 all inizio della sequenza: P = x n y n, x n 1 y n 1,..., x 0 y 0, 0 infine sommiamo nuovamente bit a bit le due sequenze S e P, cosa otteniamo?

53 Esempio di un addizione Base =

54 Base 2 La funzione di addizione è una funzione complessa = La funzione di addizione è quasi identica ad un operazione di tipo XOR