Tecniche statistiche di analisi del cambiamento

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1 Tecniche statistiche di analisi del cambiamento 07b-Ripasso: Anova per fattori indipendenti (v. 1.9, 31 dicembre 2018) Germano Rossi 1 germano.rossi@unimib.it 1 Dipartimento di Psicologia, Università di Milano-Bicocca G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 73

2 Analisi della varianza Riassumendo In realtà Analysis of variance (Anova, AOV) è una tecnica statistica che confronta due o più gruppi fra di loro È un estensione del t-test che si usa quando si hanno più di 2 gruppi La variabile dipendente dev essere quantitativa La variabile indipendente deve essere qualitativa Si possono avere più variabili indipendenti contemporaneamente G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 73

3 Tipi di anova Le situazioni più comuni sono: Variabili Anova 1 VD (I/R) suddivisa in base ad 1 VI con 3 o+ 1 fattore categorie (N/O) 1 VD (I/R) suddivisa in base a 2 o+ VI (N/O) con 2 o+ fattori 2 o+ categorie 1 VD (I/R) misurata più volte (cioè misure ripetute, MR) MR, Manova 1 VD (I/R) suddivisa in base a 1 o+ VI e 1 o+ MR mista 1 VD (I/R) [disegni precedenti]+covariate Ancova, Mancova VD = variabile dipendente; VI = variabile indipendente; MR = Misure ripetute; I/R = Intervallo/rapporto; N/O = Nominale/ordinale G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 73

4 Tipi di anova I modelli anova si distinguono anche come: Modelli between, tra within, entro misti covariati tutte le osservazioni sono indipendenti rispetto alle VI (estensione del t-test per campioni indipendenti) le VD misurano più volte lo stesso caso statistico (estensione del t-test appaiato) ci sono sia variabili misurate più volte sia Fattori quando le VD vengono depurate dall influenza di una variabile molto correlata con loro Per spiegare i concetti userò l anova a 1 fattore indipendente e presenterò un esempio di anova a 2 fattori indipendenti G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 73

5 Analisi della varianza Disegni a 1 via/fattore: quando c è una sola variabile indipendente (anova univariata) Disegni fattoriali: con 2 o più variabili indipendenti (anova multivariata) Disegni tra i soggetti (between subjects): quando, rispetto ad una VI, i soggetti sono misurati una sola volta (ad es. ansia misurata fra maschi e femmine) Disegni entro i soggetti (within subjects): quando, rispetto ad una VI, i soggetti sono misurati più di una volta (ad es. ansia prima e dopo un esame) G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 73

6 Concetto intuitivo Esistono altri modi per pensare l analisi della varianza Immaginare il punteggio della misurazione di una variabile come se fosse composta 1 da una misurazione vera e 2 da un errore dovuto allo strumento di misurazione valore osservato = valore vero + errore Oppure immaginare che una variabile Y (di per sé, senza l influenza di altre variabili) sia una costante uguale alla media osservata e che ogni variabile indipendente (X) produca una modifica nei risultati (in aumento o in diminuzione) come parte di se stessa approccio di regressione Y = μ Y ± ax + e G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 73

7 La logica dell anova Possiamo pensare all autoritarismo (Y) come ad una variabile casuale il cui valore atteso è la sua media Tuttavia l orientamento politico (X) può influenzare l autoritarismo aggiungendo un certo valore E(Y ) = μ y Y sx = μ y + μ sx Y centro = μ y + μ centro Y dx = μ y + μ dx e infine si aggiunge un possibile errore casuale (ε) che dipende da ogni singolo caso G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 73

8 La logica dell anova quindi il punteggio di ogni persona i appartenente al gruppo politico j è y ij = μ + α.j + ε ij cioè dipende dalla media della variabile nella popolazione ^μ = y da un fattore di correzione dovuto all influenza della variabile indipendente (fattore del trattamento) ^α i = (^y i. ^y.. ) e ad un errore dovuto al caso statistico (fattore di correzione) ^ε ij = (y ij ^y i. ) G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 73

9 Assunti dell anova per fattori indipendenti per l Anova assumiamo (fra l altro) che 1 normalità: la variabile dipendente (ad es. autoritarismo) sia quantitativa e che si distribuisca normalmente 2 omogeneità della varianza: i diversi campioni (in base alla v. indipendente) siano estratti dalla stessa popolazione e abbiano quindi varianza uguale fra loro e con quella della popolazione e quindi σ 2 1 = σ 2 2 = = σ 2 k σ 2 1 = s indipendenza dei soggetti: le osservazioni siano fra loro indipendenti e quindi le differenze individuali siano casuali G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 73

10 Ipotesi di lavoro Ipotizziamo che tutti i gruppi abbiano la stessa media H 0 : μ 1 = μ 2 L ipotesi alternativa sarà che almeno un gruppo ha media diversa dagli altri H 1 : μ i μ j per semplicità (nella spiegazione) usiamo campioni di uguale numerosità G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 73

11 Ancora logica Between Totale Within oppure Trattamento Punteggio Errore Se consideriamo il punteggio Y di un soggetto come formato da un punteggio vero (dovuto al trattamento subìto) e da una componente d errore (dovuta ai singoli soggetti) Noi conosciamo solo il valore misurato (Y ) e la sua varianza totale L anova ipotizza che il punteggio vero sia uguale alla media dei singoli campioni (Ȳ ) e che l errore sia Y Ȳ F è calcolato con la varianza del punteggio vero divisa la varianza dell errore G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 73

12 La logica dell anova Se sono veri i primi due assunti, i gruppi formati dall indipendente sono uguali, hanno la stessa forma e la stessa varianza Se hanno la stessa varianza, possiamo calcolare la stima della varianza della popolazione come media delle varianze dei singoli campioni ^σ 2 1 = s2 1 ^σ2 e = s 2 i k = n i=1 k j=1 (y ij ȳ i. ) 2 k(n 1) con y ij = il punteggio di un individuo in un certo gruppo, ȳ i. = la media di quel gruppo, n = l ampiezza del singolo gruppo e k = numero dei gruppi G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 73

13 La logica dell anova Se H 0 è vera, allora la varianza della popolazione è stimabile anche tramite la distribuzione campionaria delle medie σ 2 Ȳ = σ2 n Le medie dei singoli gruppi sono utilizzate per stimare la varianza, quindi con n è l ampiezza, ȳ i. è la media calcolata su ogni gruppo e ȳ.. è la media delle medie ^σ 2 t = n^σ 2 ȳ = n k j=1 (ȳ i. ȳ.. ) 2 k 1 G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 73

14 La logica dell anova La varianza totale (y ij ȳ) considera tutti i casi statistici come un solo gruppo e viene quindi scomposta in due diverse stime della varianza della popolazione y ij ȳ i. : La prima è calcolata entro i gruppi (chiamata anche within o varianza d errore = MS e ) perché si basa sulle differenze individuali rispetto alla media dei singoli gruppi ȳ i ȳ.. : La seconda fra i gruppi (chiamata anche between o varianza di trattamento = MS t ) perché considera uguali gli individui di un gruppo e imputa le differenze al trattamento (la variabile categoriale usata per suddividere il campione in gruppi) G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 73

15 La logica dell anova il loro rapporto si distribuisce secondo la curva di probabilità di F F = MS t MS e con k 1 e k(n 1) gradi di libertà Se il rapporto è piccolo (e non significativo) le due stime sono uguali e quindi non vi è differenza fra i gruppi Se il rapporto è grande (e significativo), le due stime sono diverse e vi è differenza fra i gruppi Se non siete interessati a capire i passaggi dei calcoli, saltate alla slide 20. G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 73

16 Esempio di calcolo della varianza Esempio di dati Grup. 1 Grup. 2 Grup Per i calcoli ricordiamo che (Xi X) 2 X 2 ( X) 2 /N var = N 1 = N 1 e che il numeratore si chiama anche somma dei quadrati, il denominatore può essere pensato come un gdl Gruppo (X X) 2 X 2 ( X) , , , , X = 29 /3 = 9, = ( 841 /3) = 8, G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 73

17 Esempio di calcolo: fase 1-var. totale EsempioAov1.sav Gruppo 1 Gruppo 2 Gruppo 3 Quadrati M 9,667 3,667 4,000 ( X ij ) 2 = ( ) 2 = 2704 X 2 ij = = 388 SS tot = X 2 ij ( X ij ) 2 /N = /9 = gdl = N 1 = 8 MS tot = var(x) = SS tot /gdl = G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 73

18 Esempio di calcolo: fase 1-var. totale EsempioAov1.sav Gruppo 1 Gruppo 2 Gruppo 3 Quadrati M 9,667 3,667 4,000 ( X ij ) 2 = ( ) 2 = 2704 X 2 ij = = 388 SS tot = X 2 ij ( X ij ) 2 /N = /9 = gdl = N 1 = 8 MS tot = var(x) = SS tot /gdl = G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 73

19 Esempio di calcolo: fase 1-var. totale EsempioAov1.sav Gruppo 1 Gruppo 2 Gruppo 3 Quadrati M 9,667 3,667 4,000 ( X ij ) 2 = ( ) 2 = 2704 X 2 ij = = 388 SS tot = X 2 ij ( X ij ) 2 /N = /9 = gdl = N 1 = 8 MS tot = var(x) = SS tot /gdl = G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 73

20 Esempio di calcolo: fase 2-var. fra i gruppi Sostituisco i valori con le medie dei gruppi Gruppo 1 Gruppo 2 Gruppo 3 Quadrati 9,667 3,667 4,000 93,444 13,444 16,000 9,667 3,667 4,000 93,444 13,444 16,000 9,667 3,667 4,000 93,444 13,444 16,000 29,000 11,000 12, ,333 40,333 48,000 ( x) 2 = ( ) 2 = 2704 x 2 = = SS t = x 2 ( x) 2 /N = /9 = gdl = k 1 = 2 MS t = SS t /gdl = G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 73

21 Esempio di calcolo: fase 3-var. entro i gruppi Sostituisco i valori con gli scarti dalla media: X i X Gruppo 1 Gruppo 2 Gruppo 3 Quadrati -0,667 0,333-1,000 0,444 0,111 1,000 2,333-1,667 2,000 5,444 2,778 4,000-1,667 1,333-1,000 2,778 1,778 1,000 0,000 0,000 0,000 8,667 4,667 6,000 ( x) 2 = ( ) 2 = 0 x 2 = 8, , = SS e = x 2 ( x) 2 /N = /9 = gdl = k(n 1) = 6 MS e = SS e /gdl = G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 73

22 Esempio di calcolo: fase finale Risultati da calcoli a mano SS gl MS F Sig Trattamento 68, ,111 10,586 Errore 19, ,222 Totale 87, ,944 Risultati da SPSS Somma dei Media dei quadrati gl quadrati F Sig. Fra gruppi 68, ,111 10,586 0,011 Entro gruppi 19, ,222 Totale 87,556 8 G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 73

23 In SPSS: univariata 1 fattore Analizza Confronta medie Anova a 1 via... trascinate almeno una variabile quantitativa (Intervallo o a rapporto) nel riquadro dipendenti se indicate più dipendenti, verrà calcolata una Anova per ogni variabile indicata trascinate una variabile qualitativa (Nominale o Ordinale) nel riquadro Fattore: Date l OK G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 73

24 In SPSS: univariata, Risultati Usando il file EsempioAov1.sav Senza altre indicazioni, l unico risultato è questo: Con Opzioni possiamo chiedere alcune statistiche ulteriori, con Post Hoc che vengano calcolati i confronti a posteriori (se l indipendente ha almeno 3 gruppi), con Contrasti i confronti a priori. G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 73

25 Omogeneità delle varianze Uno degli assunti dell anova è l omogeneità della varianza Questo assunto può essere verificato con il Test di Levene Se è non significativo (p>.05), allora usiamo la F standard G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 73

26 Omogeneità delle varianze Se è significativo (p<.05), allora usiamo una delle F robuste scelta nelle Opzioni Brown-Forsyte utilizza la stessa F, ma interviene sui gradi di libertà (5,625 invece di 6) modificando quindi il valore di p (.012 anziché.011) Welch interviene invece anche sul calcolo di F (7,815 anziché 10,586) e sui relativi gradi di libertà (p=.043 anziché.011) Welch è considerata più robusta e potente rispetto all altra G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 73

27 Confronti post-hoc Sono confronti che si fanno a posteriori, se l Anova è significativa e se ci sono più di 2 gruppi in una variabile indipendente La logica è quella di tenere sotto controllo i problemi di significatività legati ai confronti multipli. In Spss, premete il bottone Post Hoc... e selezionate tutti i test che volete gli output sono di due tipi: confronti multipli completi oppure gruppi omogenei Vi sono diverse procedure che effettuano confronti post-hoc G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 73

28 Confronti post-hoc: confronti multipli Usando il file EsempioAov1.sav G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 73

29 Confronti post-hoc: confronti multipli HSD di Tukey - Variabile dipendente: Stenner Differenza Intervallo di fra medie Err. std. Sig. confidenza 95% Lim. sup. Lim. inf. SX Cent. 2,796 2,2137 0,4168-2,409 8,002 Dx 7,859 2,7597 0,0128 1,369 14,349 Centro SX -2,796 2,2137 0,4168-8,002 2,409 Dx 5,063 2,6940 0,1459-1,273 11,398 Dx SX -7,859 2,7597 0, ,349-1,369 Cent. -5,063 2,6940 0, ,398 1,273 Viene fornita la differenza delle medie (ma non le medie), la sig. e l intervallo di confidenza (se include 0, non è significativo) Ogni gruppo viene confrontato con tutti gli altri Sx e Dx è significativa: le medie dei 2 gruppi sono diverse Centro e Dx non è significativa: le medie dei 2 gruppi sono simili G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 73

30 Confronti post-hoc: confronti multipli HSD di Tukey - Variabile dipendente: Stenner Differenza Intervallo di fra medie Err. std. Sig. confidenza 95% Lim. sup. Lim. inf. SX Cent. 2,796 2,2137 0,4168-2,409 8,002 Dx 7,859 2,7597 0,0128 1,369 14,349 Centro SX -2,796 2,2137 0,4168-8,002 2,409 Dx 5,063 2,6940 0,1459-1,273 11,398 Dx SX -7,859 2,7597 0, ,349-1,369 Cent. -5,063 2,6940 0, ,398 1,273 Viene fornita la differenza delle medie (ma non le medie), la sig. e l intervallo di confidenza (se include 0, non è significativo) Ogni gruppo viene confrontato con tutti gli altri Sx e Dx è significativa: le medie dei 2 gruppi sono diverse Centro e Dx non è significativa: le medie dei 2 gruppi sono simili G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 73

31 Confronti post-hoc: confronti multipli HSD di Tukey - Variabile dipendente: Stenner Differenza Intervallo di fra medie Err. std. Sig. confidenza 95% Lim. sup. Lim. inf. SX Cent. 2,796 2,2137 0,4168-2,409 8,002 Dx 7,859 2,7597 0,0128 1,369 14,349 Centro SX -2,796 2,2137 0,4168-8,002 2,409 Dx 5,063 2,6940 0,1459-1,273 11,398 Dx SX -7,859 2,7597 0, ,349-1,369 Cent. -5,063 2,6940 0, ,398 1,273 Viene fornita la differenza delle medie (ma non le medie), la sig. e l intervallo di confidenza (se include 0, non è significativo) Ogni gruppo viene confrontato con tutti gli altri Sx e Dx è significativa: le medie dei 2 gruppi sono diverse Centro e Dx non è significativa: le medie dei 2 gruppi sono simili G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 73

32 Confronti post-hoc: confronti multipli HSD di Tukey - Variabile dipendente: Stenner Differenza Intervallo di fra medie Err. std. Sig. confidenza 95% Lim. sup. Lim. inf. SX Cent. 2,796 2,2137 0,4168-2,409 8,002 Dx 7,859 2,7597 0,0128 1,369 14,349 Centro SX -2,796 2,2137 0,4168-8,002 2,409 Dx 5,063 2,6940 0,1459-1,273 11,398 Dx SX -7,859 2,7597 0, ,349-1,369 Cent. -5,063 2,6940 0, ,398 1,273 Viene fornita la differenza delle medie (ma non le medie), la sig. e l intervallo di confidenza (se include 0, non è significativo) Ogni gruppo viene confrontato con tutti gli altri Sx e Dx è significativa: le medie dei 2 gruppi sono diverse Centro e Dx non è significativa: le medie dei 2 gruppi sono simili G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 73

33 Confronti post-hoc: gruppi omogenei Usando il file EsempioAov1.sav H 0 = le medie all interno dei gruppi omogenei sono uguali primo gruppo omogeneo, 2 medie secondo gruppo omogeneo, 1 media probabilità rispetto ad H 0 G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 73

34 Confronti post-hoc: gruppi omogenei HSD di Tukey - Stenner trepol N Sottoinsieme per alfa = Dx 87 33,580 Centro ,643 38,643 SX ,439 Sig. 0,120 0,521 Sono visualizzate le medie per i gruppi di sottoinsiemi omogenei. Le medie di Centro e DX sono omogenee fra loro (si assomigliano) e la sig. di questa scelta è 12% Le medie di Centro e SX sono omogenee fra loro (si assomigliano) e la sig. di questa scelta è 52,1% Le medie di DX e SX non sono omogenee fra loro (vengono da due popolazioni diverse) G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 73

35 Confronti post-hoc: gruppi omogenei HSD di Tukey - Stenner trepol N Sottoinsieme per alfa = Dx 87 33,580 Centro ,643 38,643 SX ,439 Sig. 0,120 0,521 Sono visualizzate le medie per i gruppi di sottoinsiemi omogenei. Le medie di Centro e DX sono omogenee fra loro (si assomigliano) e la sig. di questa scelta è 12% Le medie di Centro e SX sono omogenee fra loro (si assomigliano) e la sig. di questa scelta è 52,1% Le medie di DX e SX non sono omogenee fra loro (vengono da due popolazioni diverse) G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 73

36 Confronti post-hoc: gruppi omogenei HSD di Tukey - Stenner trepol N Sottoinsieme per alfa = Dx 87 33,580 Centro ,643 38,643 SX ,439 Sig. 0,120 0,521 Sono visualizzate le medie per i gruppi di sottoinsiemi omogenei. Le medie di Centro e DX sono omogenee fra loro (si assomigliano) e la sig. di questa scelta è 12% Le medie di Centro e SX sono omogenee fra loro (si assomigliano) e la sig. di questa scelta è 52,1% Le medie di DX e SX non sono omogenee fra loro (vengono da due popolazioni diverse) G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 73

37 Confronti post-hoc: metodi Ci sono molti metodi di post-hoc SPSS li presenta suddivisi fra varianza uguale o diversa I metodi disponibili hanno caratteristiche diverse: ampiezze uguali, poco diverse, molto diverse; pochi confronto, molti confronti G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 73

38 Confronti post-hoc: metodi alcuni presumono che le varianze fra i gruppi siano uguali: LSD (Least Significant Difference), Bonferroni, Sidak, Scheffé, SNK (Studentized-Neumann-Kouls), Tukey HSD (Honesty Significant Difference), Duncan, Hochberg, Gabriel, Waller-Duncan, Dunnett altre non uguali: Tamhane, Dunnett, Games-Howell, C di Dunnett richiedono che le N dei gruppi siano = o di poco : LSD, HSD, F-H (LSD modificata), REGWQ (Ryan, Einot, Gabriel e Welsch Q), Gabriel accettano gruppi con N : Hoch GT2, Games-Howell, Gabriel, Tamhane T2, Dunnett T3, Dunnett C N piccoli: Games-Howell è molto potente ed robusto Meglio con solo 3 gruppi: LSD Meglio 4 o più gruppi: HSD, F-H, Bonferroni, Tukey, REGWQ G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 73

39 Confronti post-hoc Bonferroni è adatto alle ricerche esplorative, è molto potente con poche medie da confrontare Tukey è conservativo, quindi adatto a molti confronti REGWD è quello che viene suggerito perché è potente e tiene sotto controllo l errore di tipo I meglio di tutti gli altri (però richiede ampiezze uguali) Per concludere gruppi con stessa numerosità e varianza simile: REGWD o Tukey (potenti e controllo Tipo I); Bonferrori per pochi confronti ampiezze leggermente diverse: Gabriel (molto potente) ampiezze molto diverse: Hoch GT2 se ci sono dubbi sull omogeneità delle varianze: Games-Howell Field(2003) suggerisce di usare sempre Games-Howell in aggiunta G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 73

40 Confronti a priori Oltre ai post hoc si possono effettuare dei confronti a priori ovvero decisi prima ancora di effettuare l anova, sulla base di una teoria Questi confronti si chiamano anche contrasti perché contrastano la media di uno o più gruppi con quella di altri Anche in questo caso ci sono due possibilità: contrasti predefiniti: lineare, quadratico, Helmert... contrasti decisi da noi, tramite t-test G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 73

41 Confronti a priori Contrasti... In Spss, premete il bottone se selezionate Polinomiale, poi potete scegliere fra Lineare: ipotizzo che le medie aumentano o diminuiscono nelle varie categorie in modo lineare Quadratico: in forma di U o U rovesciata (1 punto di cambiamento della direzione) Cubico: 2 punti di cambiamento della direzione altrimenti dovrete inserire dei coefficienti (uno alla volta e poi premere Aggiungi ). Dovete inserire tanti coefficienti quanti sono i gruppi previsti dalla variabile indipendente la somma dei coefficienti dev essere 0. dopo aver inserito un contrasto è possibile inserirne un secondo tramite il pulsante Successivo G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 73

42 Confronti a priori: contrasti a scelta Vengono contrastati (confronti) i gruppi che hanno lo stesso peso I pesi vanno inseriti nell ordine dei gruppi da contrastare Uno alla volta, poi Aggiungi Il peso 0 esclude il gruppo dai contrasti La somma dei pesi dev essere 0 (zero) Non è necessario che vengano usati tutti i gruppi. G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 73

43 Confronti a priori: contrasti a scelta Se ho 4 gruppi, i coefficienti (oppure ) confrontano il primo con la somma del terzo e quarto, ignorando il secondo Si devono confrontare sempre e soltanto 2 raggruppamenti. 1 confronto fra SX e DX Contrasto trepol SX Centro Dx Risultato di Test di contrasto Contrasto Valore di Sig. contrasto Err. std. t df (2-code) Assumi var. = 2,775 0,621 4, ,000 Assumi var. 2,775 0,683 4, ,333 0,000 G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 73

44 Confronti a priori: Lineare Stenner ANOVA univariata Somma dei Media dei quadrati df quadrati F Sig. Fra gruppi Combinato 433, ,622 10,684 0,000 Termine Non pesato 405, ,482 19,998 0,000 lineare Pesato 432, ,589 21,335 0,000 Deviazione 0, ,656 0,032 0,857 Entro gruppi 8.373, ,276 Totale 8.807, G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 73

45 Ampiezza dell effetto Nell Anova si può calcolare un indice che indica l effect size dell intera analisi (eta) oppure di ogni singolo effetto (eta parziale, η p ) nel caso di 2 o più indipendenti In realtà gli indici sono 2: eta (η) ed omega (ω) Eta si basa sull R 2 e stima l effect size del campione utilizzato Omega cerca invece di stimare un effect size più generico che non tenga conto del campione di questa ricerca, ma stimi un effetto più generale sulla popolazione La maggior parte delle volte, gli articoli riportano solo l eta nella versione al quadrato (η 2 o η 2 p) G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 73

46 Ampiezza dell effetto: eta quadri η 2 è semplicemente l R 2 η 2 = R 2 = var spiegata var totale = SQ tra 68, 222 = SQ Totale = G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 73

47 Ampiezza dell effetto: omega Esiste anche un altro indice di effect size, chiamato omega (ω) usa un diverso modo di stimare la varianza spiegata (ω 2 ) ω 2 = SQ tra gl tra MQ entro * = = SQ Totale + MQ entro G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 73

48 Passaggi per l analisi Passaggi per l anova univariata (solo 1 variabile indipendente): Analizza Confronta medie Anova a una via... 1 Verificare normalità (statistiche descrittive, Boxplot...); se violati, correggere 2 Fare l Anova e chiedere Levene 3 Se non significativo, interpretare 4 Se significativo, chiedere la F di Welch 5 Procedere con i post-hoc (da scegliere sulla base dei vari indicatori) o con i contrasti (su una base teorica) 6 Calcolare l effect size a mano (SPSS non lo fa, con questo comando) oppure usare la procedura SPSS generale per l Anova indipendente G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 73

49 Analisi della varianza 2-fattori indipendenti L analisi della varianza si può usare anche con più variabili indipendenti categoriali Ipotizzando due variabili indipendenti (ad es. genere e fasce d età), il modello generale dell anova diventerà X = μ + α + β + φ + ε ovvero il punteggio X è scomponibile come: una parte dovuta alla variabile dipendente (μ = X... ) G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 73

50 Analisi della varianza 2-fattori indipendenti L analisi della varianza si può usare anche con più variabili indipendenti categoriali Ipotizzando due variabili indipendenti (ad es. genere e fasce d età), il modello generale dell anova diventerà X = μ + α + β + φ + ε ovvero il punteggio X è scomponibile come: una parte dovuta alla variabile dipendente (μ = X... ) una parte dovuta alla prima indipendente (α = ( X i.. X... )) G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 73

51 Analisi della varianza 2-fattori indipendenti L analisi della varianza si può usare anche con più variabili indipendenti categoriali Ipotizzando due variabili indipendenti (ad es. genere e fasce d età), il modello generale dell anova diventerà X = μ + α + β + φ + ε ovvero il punteggio X è scomponibile come: una parte dovuta alla variabile dipendente (μ = X... ) una parte dovuta alla prima indipendente (α = ( X i.. X... )) una alla seconda indipendente (β = ( X.j. X... )) G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 73

52 Analisi della varianza 2-fattori indipendenti L analisi della varianza si può usare anche con più variabili indipendenti categoriali Ipotizzando due variabili indipendenti (ad es. genere e fasce d età), il modello generale dell anova diventerà X = μ + α + β + φ + ε ovvero il punteggio X è scomponibile come: una parte dovuta alla variabile dipendente (μ = X... ) una parte dovuta alla prima indipendente (α = ( X i.. X... )) una alla seconda indipendente (β = ( X.j. X... )) una alla loro interazione (φ = μ ij μ (α + β)) G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 73

53 Analisi della varianza 2-fattori indipendenti L analisi della varianza si può usare anche con più variabili indipendenti categoriali Ipotizzando due variabili indipendenti (ad es. genere e fasce d età), il modello generale dell anova diventerà X = μ + α + β + φ + ε ovvero il punteggio X è scomponibile come: una parte dovuta alla variabile dipendente (μ = X... ) una parte dovuta alla prima indipendente (α = ( X i.. X... )) una alla seconda indipendente (β = ( X.j. X... )) una alla loro interazione (φ = μ ij μ (α + β)) e alle differenze individuali (o errori ε = ( X ijk X ij. )) G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 73

54 Scomposizione della varianza Totale Within (Errore) Between (Trattamento) A B AxB La varianza totale è quindi scomponibile in una parte dovuta alle differenze individuali (within=errore) e una parte dovuta ai trattamenti (che in questo caso sono 2 diversi) La varianza dovuta ai trattamenti (Between) è scomponibile in una parte dovuta solo al primo trattamento (A), una dovuta solo al secondo trattamento (B) e una parte dovuta alla loro interazione (AxB) G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 73

55 Esempio concreto Usando EsempioAov2.sav Var. dipendente: Errori ad un test Var. indipendenti: Alcool; Deprivazione di sonno Deprivazione sonno 4h 12h 24h Alcool No Alc M=15.18 s 2 =40.1 s= Questi dati possono essere considerati come un solo campione (media e varianza totale) 2 Ignorando la variabile alcool, usando i 3 gruppi della deprivazione di sonno (3 medie e varianze) 3 Ignorando la variabile deprivazione di sonno, (usando i 2 gruppi di alcool (2 medie e varianze) 4 Considerando i 6 sottogruppi (6 medie e varianze) Se non siete interessati a capire i passaggi dei calcoli, saltate alla slide 51. G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 73

56 Esempio concreto Usando EsempioAov2.sav Var. dipendente: Errori ad un test Var. indipendenti: Alcool; Deprivazione di sonno Deprivazione sonno 4h 12h 24h Alcool No Alc M=12.8; 15.2; 19.3 s 2 =9.37; 35.8; 65.1 s=3.06; 5.98; Questi dati possono essere considerati come un solo campione (media e varianza totale) 2 Ignorando la variabile alcool, usando i 3 gruppi della deprivazione di sonno (3 medie e varianze) 3 Ignorando la variabile deprivazione di sonno, (usando i 2 gruppi di alcool (2 medie e varianze) 4 Considerando i 6 sottogruppi (6 medie e varianze) Se non siete interessati a capire i passaggi dei calcoli, saltate alla slide 51. G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 73

57 Esempio concreto Usando EsempioAov2.sav Var. dipendente: Errori ad un test Var. indipendenti: Alcool; Deprivazione di sonno Deprivazione sonno 4h 12h 24h Alcool No Alc M=20.2; 11.3 s 2 =37.2; 3.5 s=6.10; Questi dati possono essere considerati come un solo campione (media e varianza totale) 2 Ignorando la variabile alcool, usando i 3 gruppi della deprivazione di sonno (3 medie e varianze) 3 Ignorando la variabile deprivazione di sonno, (usando i 2 gruppi di alcool (2 medie e varianze) 4 Considerando i 6 sottogruppi (6 medie e varianze) Se non siete interessati a capire i passaggi dei calcoli, saltate alla slide 51. G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 73

58 Esempio concreto Usando EsempioAov2.sav Var. dipendente: Errori ad un test Var. indipendenti: Alcool; Deprivazione di sonno Deprivazione sonno 4h 12h 24h Alcool No Alc Questi dati possono essere considerati come un solo campione (media e varianza totale) 2 Ignorando la variabile alcool, usando i 3 gruppi della deprivazione di sonno (3 medie e varianze) 3 Ignorando la variabile deprivazione di sonno, (usando i 2 gruppi di alcool (2 medie e varianze) 4 Considerando i 6 sottogruppi (6 medie e varianze) Se non siete interessati a capire i passaggi dei calcoli, saltate alla slide 51. G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 73

59 Varianza totale (18 punteggi) Depriv. sonno 4h 12h 24h Quadrati Alcohol No Alc Somma ( x) 2 = ( ) 2 = (284) 2 = X 2 = = 5162 SQ tot = /18 = gdl = N 1 = 18 1 = 17 G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 73

60 Varianza dell errore (18 scarti dalle relative medie) Depriv. sonno 4h 12h 24h Quadrati Alcohol 1,000-1,667-4, , ,000-3,667-2, , ,000 5,333 6, , No Alc. 0,333 2,333-0,667 0,111 5,444 0,444-1,667-2,667 1,333 2,778 7,111 1,778 1,333 0,333-0,667 1,778 0,111 0,444 Somma 0,000 0,000 0,000 18,667 57,333 58,667 ( x) 2 = ( ) 2 = (0) 2 = 0 X 2 = 18, , , 667 = 134, 667 SQ tot = 134, 667 0/18 = 134, 667 gdl = N k A * k B = 18 3 * 2 = 12 G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 73

61 Varianza sonno (3 medie del fattore A) Depriv. sonno 4h 12h 24h Quadrati Alcohol 12,833 15,167 19, , , ,778 12,833 15,167 19, , , ,778 12,833 15,167 19, , , ,778 No Alc. 12,833 15,167 19, , , ,778 12,833 15,167 19, , , ,778 12,833 15,167 19, , , ,778 Somma , , ,667 ( x) 2 = ( ) 2 = (284) 2 = X 2 = 988, , , 667 = 4611 SQ A = /18 = gdl = k A 1 = 3 1 = 2 G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 73

62 Varianza alcool (2 medie del fattore B) Depriv. sonno 4h 12h 24h Quadrati Alcohol 20,222 20,222 20, , , ,938 20,222 20,222 20, , , ,938 20,222 20,222 20, , , ,938 No Alc. 11,333 11,333 11, , , ,444 11,333 11,333 11, , , ,444 11,333 11,333 11, , , ,444 Somma 94,667 94,667 94, , , ,148 ( x) 2 = ( ) 2 = (284) 2 = X 2 = 1612, , , 148 = 4836, 444 SQ B = 4836, /18 = gdl = k B 1 = 2 1 = 1 G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 73

63 Varianza interazione (fattore AxB) Deprivazione sonno 4h 12h 24h Alcohol 15,00 19,67 26,00 20,22 No Alc. 10,67 10,67 12,67 11,33 I calcoli necessari per la varianza dell interazione sono un poco più complessi Si parte dalle medie dei singoli gruppi a cui si sottrae la media di una delle variabili categoriali (A o B): = e = si calcola la media di colonna: (3 * ( 5.222) + 3 * ( 0.666))/6 = che si sottrae ai singoli valori di quella colonna: ( 2.944) = e ( 2.944) = G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 73

64 Varianza interazione (fattore AxB) Deprivazione sonno 4h 12h 24h Alcohol 15,00 19,67 26,00 20,22 No Alc. 10,67 10,67 12,67 11,33 I calcoli necessari per la varianza dell interazione sono un poco più complessi Si parte dalle medie dei singoli gruppi a cui si sottrae la media di una delle variabili categoriali (A o B): = e = si calcola la media di colonna: (3 * ( 5.222) + 3 * ( 0.666))/6 = che si sottrae ai singoli valori di quella colonna: ( 2.944) = e ( 2.944) = G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 73

65 Varianza interazione (fattore AxB) Deprivazione sonno 4h 12h 24h Alcohol 15,00 19,67 26,00 20,22 No Alc. 10,67 10,67 12,67 11,33 I calcoli necessari per la varianza dell interazione sono un poco più complessi Si parte dalle medie dei singoli gruppi a cui si sottrae la media di una delle variabili categoriali (A o B): = e = si calcola la media di colonna: (3 * ( 5.222) + 3 * ( 0.666))/6 = che si sottrae ai singoli valori di quella colonna: ( 2.944) = e ( 2.944) = G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 73

66 Varianza interazione (fattore AxB) Deprivazione sonno 4h 12h 24h Alcohol 15,00 19,67 26,00 20,22 No Alc. 10,67 10,67 12,67 11,33 I calcoli necessari per la varianza dell interazione sono un poco più complessi Si parte dalle medie dei singoli gruppi a cui si sottrae la media di una delle variabili categoriali (A o B): = e = si calcola la media di colonna: (3 * ( 5.222) + 3 * ( 0.666))/6 = che si sottrae ai singoli valori di quella colonna: ( 2.944) = e ( 2.944) = G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 73

67 Varianza interazione (6 medie del fattore AxB) Depriv. sonno 4h 12h 24h Quadrati Alcohol -2,278 0,056 2,222 5,188 0,003 4,938-2,278 0,056 2,222 5,188 0,003 4,938-2,278 0,056 2,222 5,188 0,003 4,938 No Alc. 2,278-0,056-2,222 5,188 0,003 4,938 2,278-0,056-2,222 5,188 0,003 4,938 2,278-0,056-2,222 5,188 0,003 4,938 Somma ,130 0,019 29,630 ( x) 2 = ( ) 2 = (0) 2 = 0 X 2 = 31, , , 630 = SQ AxB = /18 = gdl = (k A 1)(k B 1) = 2x1 = 2 G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 73

68 Riepilogo: calcolato e SPSS Sorgente SQ gdl MQ F Effetti principali Sonno 130, ,056 5,80 Alcohol 355, ,556 31,68 Interazioni SxA 60, ,389 2,71 Errore 134, ,222 Totale 681, ,065 Test degli effetti fra soggetti Variabile dipendente: errori Sorgente SQ df MQ F Sig. Modello corretto 546,444 (a) 5 109,289 9,739 0,001 Intercetta 4.480, , ,287 0,000 sonno 130, ,056 5,797 0,017 alcool 355, ,556 31,683 0,000 alcool * sonno 60, ,389 2,708 0,107 Errore 134, ,222 Totale 5.162, Totale corretto 681, In giallo la parte corrispondente ai calcoli manuali (a). R quadrato =,802 (R quadrato corretto =,720) G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 73

69 Per capire i risultati Per capire e interpretare i risultati dobbiamo guardare le medie (marginali stimate) degli effetti significativi (con soli fattori between, coincidono con quelle calcolate, salvo missing) Variabile dipendente: errori alcool Media Errore std. Intervallo di confidenza 95% Limite inferiore Limite superiore Alcool 20,222 1,117 17,789 22,655 No alcool 11,333 1,117 8,900 13,766 sonno Media Errore std. Intervallo di confidenza 95% Limite inferiore Limite superiore 4h 12,833 1,368 9,854 15,813 12h 15,167 1,368 12,187 18,146 24h 19,333 1,368 16,354 22,313 G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 73

70 In Spss: univariata 2 o + fattori Usando EsempioAov2.sav Analizza Modello lineare generalizzato Univariata... Inserite la variabile da studiare in Variabile dipendente Inserite le variabili categoriali in Fattori fissi Date l OK G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 73

71 Univariata: Risultati semplici Questa è la tabella che si ottiene senza nessun altra scelta Questa procedura di SPSS affronta l Anova come se fosse una regressione Per questo motivo indica anche l R 2 G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 73

72 Univariata: Opzioni Salva Contrasti, Post-hoc e Opzioni svolgono lo stesso compito dell anova a 1 fattore Modello : permette di modificare il modello da studiare, ad es. solo gli effetti semplici, solo l interazione... Grafici : Serve per generare i grafici delle medie marginali : In una logica di regressione, salva un file SPSS con i valori stimati della dipendente e/o i residui, alcuni dati di diagnistica dei casi statistici (vedere Regressione multipla) Dalla versione 25, Medie EM permette di stampare le medie marginali (in Opzioni fino alla 24) G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 73

73 Univariata: Opzioni (SPSS 25) Nella finestra Opzioni della versione 25, ci sono 2 parti nuove Test dell eteroschedasticità (alla slide 69) Stime di parametri con errori standard robusti (alla slide 70) G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 73

74 Univariata: Opzioni Statistiche descrittive: stampa medie e deviazioni standard della dipendente suddivisa per le indipendenti Test di omogeneità: stampa il test di Levene considerando tutti i gruppi contemporaneamente Stime della dimensione degli effetti: stampa gli effect size Potenza osservata: stampa il valore della potenza (1 β) del test G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 73

75 Univariata: Descrittive Le statistiche descrittive sono: medie e dev. st. della VD suddivise per tutti i livelli della/e VI Queste statistiche sono chiamate medie marginali G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 73

76 Univariata: test di Levene La prima stima è quella standard (media) Le stime basate sulla mediana servono quando l uso della media non sembra appropriata La media ritagliata (trimmed) è ottenuta eliminando una piccola percentuale di dati dai due estremi della distribuzione G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 73

77 Univariata: effect size e potenza L ampiezza dell effetto è calcolato per ogni F calcolato Diminuisce all aumentare del valore di probabilità La potenza è la probabilità di accettare H 1 quando è veramente vera G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 73

78 Univariata: Post hoc Con + indipendenti, bisogna prima indicare la variabile da usare Non ha senso indicare una VI con 2 sole categorie (ad es. l alcool) In SPSS non si possono confrontare i gruppi delle interazioni Selezionare i post-hoc in base alle loro caratteristiche G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 73

79 Univariata: Grafici Una variabile indipendente può essere inserita come Asse orizzontale Un altra come Linee separate Quindi Aggiungi Con 2 indipendenti si possono evidenziare eventuali interazioni Si possono inserire più grafici, uno dopo la ltro Si può scegliere se avere delle linee o delle barre In entrambi i casi, si può aggiungere una barra che indica l intervallo di confidenza oppure l errore standard G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 73

80 Univariata: Grafico barre G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 73

81 Univariata: Grafico linee G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 73

82 Possibili esempi di interazione ipotizzando 2 INDIP (3x2) e unendo i valori medi di una indipendente suddivisi e separatamente per l altra, otteniamo due linee La forma di interazione più comune è quando le linee si incrociano (fig 1 e 2) Ma anche quando in corrispondenza di un valore c è una differenza particolarmente diversa (fig 3) G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 73

83 Possibili esempi di interazione G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 73

84 Univariata: Medie marginali e test Le medie marginali stimate sono basate sull analisi effettuata e il modello utilizzato (OVERALL) stampa le medie per ogni fattore e per tutte le interazioni Selezionando una indipendente si possono ottenere anche i post-hoc (non funziona con le interazioni) G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 73

85 Univariata: Confronti a coppie Si interpretano nel medesimo modo degli esempi precedenti G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 73

86 Test dell eteroschedasticità L eteroschedasticità delle varianze è il contrario dell omogeneità delle varianze Indica che le varianze non sono omogenee fra loro I test assumono H 0 = omoscedasticità Il test significativo indica eteroschedasticità (varianze non simili) G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 73

87 Stime di parametri con errori standard robusti Se il test di Levene o i test di eteroschedasticità sono significativi, la statistica dell anova andrebbe espressa in termini robusti La soluzione di SPSS è passare all approccio di regressione La tabella prodotta è analoga a quella che sarebbe prodotta impostando una regressione con solo variabili dummy G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 73

88 Stime di parametri con errori standard robusti Nell approccio di regressione, le var. indip. vengono dicotomizzate Alcool ha 2 categorie, ma è sufficiente solo la prima Sonno ha 3 categorie, ma due sono sufficienti L interazione si riduce 2 dummy G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 73

89 Stime di parametri con errori standard robusti Una regressione su Errori usando Sonno e Alcool come variabili dummy Confrontando questi valori con la slide precedente, osserviamo che: i parametri non standardizzati (B) sono uguali in entrambe le tabelle Gli errori standard sono diversi perché non robusti cambiano quindi t e probabilità G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 73

90 Passaggi per l analisi Passaggi per l anova Univariata (solo 1 o + variabili indipendenti): Analizza Modello lineare generalizzato Univariata... 1 Verificare normalità (statistiche descrittive, Boxplot...); se violati, correggere 2 Fare l Anova e chiedere Levene 3a Se non significativo, interpretare F 3b Procedere con i post-hoc (da scegliere sulla base dei vari indicatori) o con i contrasti (su una base teorica) 3c Riportare l effect size η 2 p a b Se significativo, ricorrere all approccio di regressione Procedere con i post-hoc (da scegliere sulla base dei vari indicatori) o con i contrasti (su una base teorica) G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 73