Corso di Sistemi di Gestione per la Qualità (SGQ) AA

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1 Corso di Sistemi di Gestione per la Qualità (SGQ) AA CFU Prof. Gianluca D Urso 1

2 Tecniche ANOVA ANalisys Of VAriance

3 Problema che si vuole risolvere: esiste una differenza? A punti rossi B punti blu x A xҧ x B Ci si può basare sul solo confronto tra i punti medi oppure considerare anche le dispersioni interne ai gruppi e tra i gruppi 3

4 L analisi della varianza L'analisi della varianza è un insieme di tecniche statistiche facenti parte della statistica inferenziale che permettono di confrontare due o più gruppi di dati confrontando la variabilità interna a questi gruppi con la variabilità tra i gruppi L'ipotesi nulla solitamente prevede che i dati di tutti i gruppi abbiano la stessa origine, ovvero la stessa distribuzione stocastica, e che le differenze osservate tra i gruppi siano dovuti solo al caso Il confronto si basa sull'idea che se la variabilità interna ai gruppi è relativamente elevata rispetto alla variabilità tra i gruppi, allora probabilmente la differenza tra questi gruppi è soltanto il risultato della variabilità interna, ovvero non c è influenza del fattore 4

5 L analisi della varianza Il più noto insieme di tecniche usa variabili di test distribuite come la variabile casuale F di Snedecor. Le diverse tecniche vengono suddivise a seconda che il modello preveda: una sola causa: p.es.: il gradimento di un cibo dipende dal colore del medesimo più di una causa: p.es.: il successo scolastico dipende sia dal genere (maschi,femmine) che dallo sport praticato (calcio, tennis, box,...) interazione tra più cause: p.es.: la velocità di guarigione dipende da due farmaci, i quali però si annullano (o rinforzano) a vicenda 5

6 Definizioni Il fenomeno statistico la cui variabilità si vuole spiegare in base ad una o più variabili categoriali viene definita come variabile risposta e deve essere necessariamente rappresentato da una variabile statistica quantitativa continua Le variabili statistiche che stabiliscono una ripartizione della variabile risposta in classi o strati vengono chiamate fattori (o trattamenti) e devono essere date necessariamente da variabili categoriali Le modalità, cioè i valori, che i fattori possono assumere si definiscono livelli del fattore 6

7 Un fattore può essere classificato in due categorie: fisso, se i livello del fattore è controllato dallo sperimentatore casuale, se il livello del fattore è determinato da un campionamento di una popolazione Le procedure statistiche per l analisi della varianza (ANOVA) si suddividono in quelle che sottintendono un modello bilanciato, cioè il numero di osservazione per ogni livello (ANOVA ad una via) o per ogni combinazione di livelli (ANOVA a due o più vie) deve essere il medesimo; oppure non bilanciato, in caso contrario rispetto a sopra In base al numero di fattori presi in considerazione si definisce ANOVA ad una via, per un unico fattore; oppure ANOVA a due o più vie, per due o più fattori. 7

8 Esempio di Analisi della varianza semplice Il modello prevede che: x ij = x ҧ.. + α i + ε ij significato L'ipotesi nulla prevede che i valori osservati derivino da una distribuzione gaussiana con stessa media μ e stessa varianza e che α i sia uguale per tutti i livelli (e pertanto nullo). I dati osservati nei 4 livelli (L1, L, L3 e L4) di uguale numerosità n sono: i = 1 4 (k = 4) L1 L L3 L4 1 0,7 0,75 0,68 0,78 j = 1 5 (n = 5) 0,69 0,85 0,70 0,86 3 0,71 0,8 0,67 0,87 4 0,70 0,80 0,65 0,84 5 0,68 0,88 0,70 0,85 8

9 Legame tra la singola osservazione e il valor medio A (1) punti rossi B () punti blu Punto i,j x i. ε ij ഥx.. α i 9

10 ҧ Siano adesso: SSQ a : la somma degli scarti quadratici delle medie dei singoli gruppi x i. dalla media generale ҧ x.. SSQ e : la somma degli scarti quadratici dei singoli valori x ij rispetto alla media xҧ i. del gruppo a cui appartengono SSQ tot : la somma degli scarti quadratici di tutti singoli valori rispetto alla media generale ҧ x.. Ovvero: x ҧ.. = σ i=1 n σk j=1 x ij n n T = n k x ҧ i. = σj=1 k T n n SSQ a = n i=1 xҧ i. x ҧ.. x ij SSQ tot = i j x ij x ҧ.. SSQ e = SSQ tot -SSQ a 10

11 La variabile test diventa: SSQa/(k 1) T = SSQe/(n T k) dove k è il numero di gruppi (nell esempio 4) n è la numerosità dei singoli gruppi (nell esempio 5) n T è il numero complessivo di casi osservati (nell esempio 0) 11

12 j i L1 L L3 L4 1 0,7 0,75 0,68 0,78 0,69 0,85 0,7 0,86 3 0,71 0,8 0,67 0,87 4 0,7 0,8 0,65 0,84 5 0,68 0,88 0,7 0,85 x i. 0,7 0,8 0,68 0,84 x.. 0,76 SSQa 0,1000 SSQtot i 0,019 0,078 0,0338 0,037 SSQtot 0,1176 SSQe 0,0176 T 30,30 1

13 Si ottiene che: SSQ a = 0,1000 SSQ tot =0,1176 SSQ e = 0,0176 e pertanto: T = 30,30 Tale valore viene confrontato con i valori dei una v.c. F di Snedecor con 3 e 16 gradi di libertà. Se si accetta una percentuale di falsi positivi del 5% = (100-95)% tale valore è: F( 0,95 ; 3 ; 16 ) = 3,4 pertanto, essendo 30,3 >> 3,4 si rigetta l'ipotesi nulla che prevedeva l'assenza di effetti e si afferma che molto probabilmente almeno uno dei quattro gruppi è diverso dagli altri Forse tutti i gruppi sono diversi uno dall'altro, forse solo uno di loro, questo non si può dire. 13

14 Funzione F al 95% 14

15 Funzione F al 97,5% 15

16 Funzione F al 99% 16

17 Grafico degli effetti principali Facciamo il calcolo dei valori medi delle osservazioni e facciamo il relativo grafico: L1 L L3 L4 1 0,7 0,75 0,68 0,78 0,69 0,85 0,7 0,86 3 0,71 0,8 0,67 0,87 4 0,7 0,8 0,65 0,84 5 0,68 0,88 0,7 0,85 x i. 0,7 0,8 0,68 0,84 17

18 0,90 Boxplot of output 0,85 0,80 output 0,75 0,70 0,65 1 level Residual Plots for output Normal Probability Plot 0,06 Versus Fits 90 0,03 Percent ,08-0,04 0,00 Residual 0,04 0,08 Residual 0,00-0,03-0,06 0,70 0,75 Fitted Value 0,80 0,85 Histogram Versus Order 6,0 0,06 Frequency 4,5 3,0 1,5 0,0-0,06-0,04-0,0 0,00 0,0 Residual 0,04 0,06 Residual 0,03 0,00-0,03-0, Observation Order

19 Esempio Un fabbricante di carta utilizzata per la produzione di sacchetti per la spesa è interessato al miglioramento della resistenza alla trazione del prodotto. Si sospetta che la resistenza alla trazione sia una funzione della concentrazione di legno duro, utilizzato nella pasta da cui si ottiene la carta. La resistenza a trazione è maggiore all aumentare della concentrazione di legno duro. L ingegnere di processo decide di studiare quattro livelli di concentrazione di legno duro (5%; 10%; 15%; 0%). Decide, inoltre, di fabbricare sei campioni di prova per ogni livello di concentrazione. 19

20 Risultati dell esperimento 1

21 Osservazioni Si tratta di un piano fattoriale con un fattore (i.e.: concentrazione di legno duro). In questo caso si ha che: Il numero dei livelli è a=4; Il numero delle osservazioni è n=6. Il numero di gradi di libertà (g.d.l.) totali è: an-1=3

22 Come procedere Per ogni riga (livello del fattore) si calcola la somma del valore delle osservazioni n y i. y ij j1 Si determina il totale generale di tutte le osservazioni y.. a n i1 j1 y ij OSSERVAZIONI % y i y

23 Come procedere A questo punto si possono applicare le formule per determinare la somma dei quadrati: SS Totale a n.. y ij i1 j1 an y SS Fattore a i1 y n y an i SS Errore SS Totale SS Fattore

24 Come procedere Si determina la media dei quadrati e F0 (di Fisher): MS Fattore SS a 1 Fattore MS Errore SSErrore a( n 1) F MS FATTORE 0 MSERRORE

25 Come procedere E utile riportare il tutto in una tabella riassuntiva finale: SS g.d.l. MS FATTORE ERRORE MSFATTORE F MS ERRORE TOT

26 Analisi della varianza Scelto il grado di affidabilità del test a si può determinare l influenza del fattore Indicati con n 1 =a-1 e n =a(n-1), si ricava il valore di Fa,n 1,n da tabella n n F 0.01,3,0 F 0.01,3,0 =4.94 F 0 >F 0.01,3,0 e quindi possiamo dire che la percentuale di legno duro influenza la resistenza a trazione dei sacchetti di carta 7

27 8

28 Verifica ipotesi di base Di tutti i dati misurati Probability Plot of res mecc Normal - 95% CI Percent Mean 15,96 StDev 4,73 N 4 AD 0,36 P-Value 0,505 Di tutti i dati misurati res mecc Histogram of res mecc Normal Mean 15,96 StDev 4,73 N 4 5 Frequency res mecc 0 5 9

29 Verifica ipotesi di base Residual Plots for resistenza 99 Normal Probability Plot Versus Fits Percent Residual ,0 -,5 0,0 Residual,5 5,0-4 10,0 1,5 15,0 17,5 Fitted Value 0,0 Histogram Versus Order Frequency 4,8 3,6,4 1, Residual 4 0-0, Residual Observation Order